人教B版数学高一版必修1课后导练函数的奇偶性
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的奇偶性【精品课件】
注: 既不是奇函数也不是偶函数的函数, 称为非奇非偶函数.
问题 6. 是否存在函数, 既是奇函数又是偶函数? 说明理由.
分析 设函数 的定义域为 D, 且满足: ∀ ∈, − ∈, 则:
是奇函数 ⇔ − = − ,
是偶函数 ⇔ − = ,
∴ 既是奇函数又是偶函数 ⇔ − = − = ⇔ = 0.
如: = 2 − 2, =
1
都是偶函数.
注: 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数, 偶函数的图像关于 y 轴对称.
问题2.函数 ℎ = 2 − 2,
∈ −1,2 是偶函数吗?
分析 = −1,2 , ∀ ∈ , 是否满足 ① − ∈ ; ② − = ?
2. − =
− = −
⇔ − − = 0,
⇔ − + = 0.
(1) = 2 +
偶函数
(2) = + 1 − − 1 +
奇函数
(3) = 2 + ∙
奇函数
例 3 如果函数 和 均为奇函数, 且定义域相同(均为 D), 判断下列
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
1+
≥ 0
.
< 0
(1) = + 1 − − 1 ;
解 (1)定义域为, ∴∀ ∈, − ∈.
∵ − = − + 1 − − − 1 �
= − 1 − + 1 = − ,
点 P, 那么图像上必定存在一个横坐标为 − 的点 Q, 这两点关于 y 轴对称,
人教B版必修1函数性质之奇偶性(1)
2.1.4函数的奇偶性（1）【学习目标】1. 结合具体函数，明确函数奇偶性的含义；2. 明确奇偶函数的图象特征；3. 能运用定义判断函数的奇偶性【自学指导】1. 奇函数的定义？2. 偶函数的定义？3. 奇函数的图象特征？举例。
4. 偶函数的图象特征？举例。
5. 如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【自学检测】1．函数x x x f +=2)(的奇偶性是 （ ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2．函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（ ）A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a -- D. ))(1,(a f a 3. 下面四个结论①偶函数的图像一定与y 轴相交.②奇函数的图像一定过原点.③偶函数的图像关于y 轴对称.④没有一个函数既是奇函数又是偶函数,其中正确的结论个数是( )A 1B 2C 3D 44. 若函数b x bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为[]a a 2,3-，则=a ，=b5. 设f(x)=ax 5+bx 3+cx －5(a,b,c 是常数)且(7)7f -=,则f （7）= ______.6．判断函数的奇偶性 3)()1(x x x f += 21)()2(x x f -= 2)()3(+=x x f1)()4(2+=x x f []3,1-∈x 0)()5(=x f 331)()6(2-+-=x x x f【能力提升】1. 已知)(x f 是区间(-∞,+∞)上的奇函数, 1)3(,2)1(=-=f f ,则( )A )1()3(->f fB )1()3(-<f fC )1()3(-=f fD )1()3(-f f 与无法比较2.若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = ( ) A 21 B 32 C 43 D 1 3. 函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->4. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A )(52R x x y ∈+-=B x y -=C )(3R x x y ∈=D )0,(1≠∈-=x R x xy 5.奇函数)(x f 在区间[1，6]上是增函数且最大值是10最小值是4，则)(x f 在区间[-6,-1]上的最大值是 ,最小值是6.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．思考：请根据以上练习，归纳出几个重要的结论（1）（2）【巩固提高】已知函数)(x f 在R 上的奇函数，而且在（0，+∞）上的减函数，证明：)(x f 在（-∞，0）上是减函数？【课堂小结】1. 奇函数的定义？2.偶函数的定义？3.奇函数的图象特征？4.偶函数的图象特征？5.如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【课堂小测】1.已知()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么a b +的值是( ) A. 13-B. 13C. 12D. 12- 2.函数()1f x x x =-的图像关于( ) A. y 轴对称 B. 直线y x =-对称 C.坐标原点对称 D.直线y x =对称3. 下列函数中,所有奇函数的序号是________．①()4223f x x x =+②()32f x x x =-③()21x f x x +=④()31f x x =+ 4. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数5. 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.6.判断下列函数是否具有奇偶性。
高一数学人教B版必修1教学教案：函数的奇偶性含解析
函数的奇偶性函数的奇偶性（教学设计）一、教材、学情、目标分析二、重点、难点三、教学法突破四、过程分析五、教学过程（一）创设情境、引入课题做一个剪纸的手工，对折后再剪出一个轴对称图形，让学生欣赏剪纸艺术大家的作品，了解这项非物质文化遗产，再给出生活中其他对称美的图片，让学生体会对称美，进而提出问题，源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？请同学们举出学过的体现对称美的图象。
根据学生举得例子给出奇偶函数一个形象的定义，图象关于y轴对称的就是偶函数，关于原点对称的就是奇函数。
然后设疑：怎么从数值上是去定义奇偶函数呢？（二）设问诱导、讨论猜想考察下面的函数： ☆思考1:根据形象认识可知这样的函数即为偶函数，那么这个函数的图象上的点的坐标有何特征呢？☆思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？几何画板展示：只要自变量互为相反数，函数值必相等。
一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
即 f(-x)=f(x)☆思考3:怎样定义偶函数？（此处设置小组讨论，讨论2分钟，讨论闭又组长提出讨论的定义，教师板书）☆思考4:函数 偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？（用此例帮助学生完善定义，若此前已完善，帮助学生强化定义中的软肋。
）练习1：判断下列函数是否为偶函数？（PPT 展示，学生口答）（三）合作探究、类比发现仿照讨论偶函数的过程，回答下列问题， 共同完成探究xx f =)(xx f 1)(=2()f x x =2(),[3,2]f x x x =∈-]1,1[,1-)()1(2-∈=x x x f )3,1[,1-)()2(2-∈=x x x f ]2,1()1,2[,)()3(2--∈=x x x f☆(1)请你仔细观察这两个函数图象，它们又有什么共同特征？几何画板展示：只要自变量互为相反数，函数值必为相反数。
人教版数学高一B版必修1同步精练 函数的奇偶性
函数的奇偶性双基达标(限时20分钟)1．函数f(x)＝x3＋3x的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析定义域为R，且f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，∴为奇函数．答案 A2．已知定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则()．A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)解析f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)，∴f(3)＜f(π)＜f(4)，∴f(3)＜f(－π)＜f(－4)．答案 C3．函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()．A．－2 B．－1C．1 D．2解析y＝x2＋(1－a)x－a，∵函数是偶函数，∴1－a＝0，∴a＝1.答案 C4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)5．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x －1.答案 －x －16．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，∵f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上为减函数， ∴f (x )在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3－2≤m ≤2m <12，解得－1≤m <12.综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析 由f (2)＝0和偶函数性质知f (－2)＝0.∵函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，∴当x ∈(－2,0]时，f (x )＜0.由图象关于y轴对称知，当x∈(0,2)时，f(x)＜0，故选D.答案 D8．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()．A．－3 B．－1C．1 D．3解析f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝－1.f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－3.答案 A9．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.解析f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝10，∴25＋a·23＋2b＝－18，∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－26.答案－2610．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.解析∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.答案－x2＋3x－211．设f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值．解∵f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，∴f(－x)＝a(－x)2＋1b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2＋1bx＋c.∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)，求得c＝0.由f (1)＝2，f (2)＜3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1b ＝2，4a ＋12b ＜3，消去b ，得4a ＋1a ＋1＜3，解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时，求得b ＝12∉Z ；当a ＝1时，求得b ＝1∈Z . ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.12．(创新拓展)(1)函数f (x )，x ∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．求证：f (x )为奇函数．(2)函数f (x )，x ∈R .若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)．求证：f (x )为偶函数．证明 (1)设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0. 又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)令x 1＝0，x 2＝x ，得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )， ① 令x 2＝0，x 1＝x ，得f (x )＋f (x )＝2f (0)f (x )． ②由①②得f (x )＋f (－x )＝f (x )＋f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．。
函数的奇偶性 2022-2023学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
g( x) x x3是奇函数
h( x) 2|xb| 是偶函数
利用奇偶性求分段函数解 析式的一般过程：
(1)取范围: 将x取在需要求对 应关系时的范围；
(2)调范围: 把含有x式子调整 到已知对应关系时的范围；
(3)代入: 将调整后式子代入 已知的解析式；
(4)求出f(x): 根据奇偶性求 出该范围的解析式；
(5)作结论：写成分段函数的 形式
练习
已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x+1。 (1)求f(-3); (2)求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状.
0”,对应的运算量如何?
2a( x) b 2ax b
( x)2 1
x2 1
2a(x) b 2ax b 0 ( x)2 1 x2 1
即 -2ax b -2ax b
x2 1
x2 1
2b 0 ( x)2 1
2ax b 2ax b
b 0
2ax
b 0, f ( x) x2 1 .
对于它们各自定义域内的任意x ，都有 f ( x) f ( x)，g( x) g(x)
对于函数f ( x) g( x)，有 f ( x)+g( x) f ( x) g( x) [ f ( x) g( x)]
f ( x) g( x)为奇函数。 同理f ( x) g( x)为奇函数。
对于函数f ( x)g( x)，有 f ( x)g( x) [ f ( x)][ g( x)] f ( x)g( x)
f ( x)g( x)偶函数。
同理，f ( x) 为偶函数。 g( x)
问题3：已知函数f ( x)和g( x)具有奇偶性，则由它们 的和、差、积、商得到的新函数的奇偶性如何？
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
人教B版必修1函数性质之奇偶性(2)
2.1.4函数的奇偶性（2）应用2014.9.20 崔文【学习目标】会解决和函数的奇偶性相关的问题。
【自学指导】1. 函数奇偶性的定义？2. 奇偶函数的图象特征是什么？3. 判断函数奇偶性的步骤？【题型分类】类型1：分段函数的奇偶性判断例：判断下列函数的奇偶性：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2（x >0），x （x ＝0），－x 2－2（x <0）.练习：判断下列函数的奇偶性： （1）⎩⎨⎧<+≥-=)0(),1()0(),1()(x x x x x x x f （2）23,0()0,023,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩题型2：求解析式例：设f (x )是R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，当x ∈(－∞，0)时，求f (x )的解析式思考：若函数f (x )是R 上的奇函数呢？求解析式。
练习：1. F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3 （x >0）f （x ） （x <0）是奇函数，求f (x )2.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．3.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。
当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=，求)(x f 的解析式.题型3.单调性与奇偶性结合例1：设定义在[-2,2]上的奇函数)(x f 在x ∈[0,2]时，)(x f 单减，若0)()1(<-+-m f m f ，求m 的范围。
例2：设定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在x ∈[0,2]时，)(x f 单增，若)()1(m f m f <-，求m 的范围。
练习：1.定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0， 求实数m 的取值范围．2.定义在（－2，2）上的偶函数)(x f 在（－2，0]是减函数，若f(m －1)-f(2m －1)>0， 求实数m 的取值范围．3. 函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。
高一必修一函数的奇偶性(人教B版)
解：(1)函数f ( x) x x x 的定义域为R,当
3 5
x R时，-x R. 因为f ( x) x x x ( x x x ) f ( x),
3 5 3 5
所以f ( x) x x x 函数是奇函数。
3 5
(2)函数f ( x) x 1的定义域为R，当x R时 x R.
(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在 3 -1，3 而 3 1，，所以f ( x) x ,x -1,3 3
2
既不是奇函数也不是偶函数.
(5)函数f ( x) 0的定义域为R，当x R时， x R. 因为f ( x) 0 f ( x) f ( x) 所以函数f ( x) 0既是奇函数又是偶函数.
偶函数图象的特点:
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的 图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
函数奇偶性的应用: 1 例2研究函数y 2 的性质并作出它的图象。 x
通过图象看单调性 已知函数奇偶性， 简化图象的画法。
-3 -2 -1 1 2 3
复习回顾: 函数的定义: 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 内任意数 x , 按照确定的对应法则 f ,都有惟一的数值 y 与 它对应,则这种对应关系叫做集合 A上的一个 函数.
美 丽 的 蝴 蝶
美 丽 的 雪 花
自 然 景 物 和 它 在 水 中 的 倒 影
观察 y x 和
3
y x 的图象
2
y
y
o
x
o
x
奇函数和偶函数的定义 设函数 y f ( x) 的定义域为D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有 x D ，且 f ( x) f ( x) 则这个函数叫做奇函数． 设函数 y g ( x) 的定义域为D ，如果对D 内的任意一个 x ，都有 x D ，且
第三章-3.1.3-函数的奇偶性高中数学必修第一册人教B版
A.
1
−
2
=0
C.函数
1
−
2
B.
是偶函数
1
2
)
= −2
D.函数
1
+
2
是减函数
1
2
≠ 0，
【解析】令 =
又
令
0
1
2
1
,
2
= 0，则有
1
2
+
1
2
× 0 =
1
2
[1 + 0 ] = 4 ×
图3.1.3-1
例7（1） 已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
∴ 0 = 0.
令 = −, = ,则 0 = − + ，
∴ − = − . ∴ 是奇函数.
【解析】∵ 为奇函数，∴ 的图象关于原点对称，而 − 1 的图象是将
的图象向右平移1个单位长度得到的，∴ − 1 的图象关于点 1,0 对称,故A正确.
令 = − 1，则由 + 1 = − 1 可知， = ( + 2)，即 = + 2 ,
对于C， = 0，定义域为[−1,1]时,该函数既是奇函数又是偶函数，因此 ⇏ .由
= 0， ∈ ，只要A关于原点对称，都可以得到 既是奇函数又是偶函数，
所以是的必要不充分条件，故C为假命题.
对于D，由于 是奇函数，且定义域为，所以对任意的 ∈ 都有 − = − ,
人教B版高中数学必修一2.1.4函数的奇偶性.doc
２.１.４函数的奇偶性【目标要求】1． 理解奇函数和偶函数的定义，并会利用定义判断函数的奇偶性．2． 掌握奇函数和偶函数图像的对称性质．3． 会利用函数的奇偶性特征解决一些简单问题．【巩固教材——稳扎马步】1．定义在Ｒ上的任何奇函数)(x f 对任意的实数ｘ，都有 （ ）Ａ．)(x f －)(x f -＞０ Ｂ．)(x f －)(x f -＜０Ｃ．)(x f )(x f -＞０ Ｄ．)(x f )(x f -≤０2．对于两个定义域关于原点对称的函数)(x f 和)(x g 在它们的公共定义域内，下列命题正确的是（ ）Ａ．若)(x f 和)(x g 都是奇函数，则)(x f ·)(x g 是奇函数Ｂ．若)(x f 和ｇ（ｘ）都是偶函数，则)(x f ·)(x g 是偶函数Ｃ．若)(x f 是奇函数，)(x g 都是偶函数，则)(x f ·)(x g 是偶函数Ｄ．若)(x f 和)(x g 都是奇函数，则)(x f ＋)(x g 不一定是奇函数3．函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(,1)0(,0)0(,1x x x x x 是 （ ）Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既奇又偶函数 Ｄ．非奇非偶函数4．若函数)(x f （)(x f 不恒为零）与ｙ＝－)(x f 的图像关于原点对称，则ｙ＝)(x f 的奇偶性为 （ ） Ａ．是奇函数而不是偶函数 Ｂ．是偶函数而不是奇函数Ｃ．是奇函数又是偶函数 Ｄ．不是奇函数也不是偶函数【重难突破——重拳出击】5．已知)(x f 对任意实数ｘ，ｙ都有)(y x f +＝)(x f ＋)(y f ，则)(x f 是 （ ） Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．无法判断奇偶性6．若)(x F ＝)(x f －)(x f -（ｘR ∈），则)(x F （ ） Ａ．一定是奇函数 Ｂ．一定是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．无法判断起奇偶性7．设函数)(x f 在()2,0上是增函数，)2(+x f 是偶函数，则下列正确的是 （ ）Ａ．)1(f ＜)25(f ＜)27(f Ｂ．)27(f ＜)25(f ＜)1(f Ｃ．)27(f ＜)1(f ＜)25(f Ｄ．)1(f ＜)27(f ＜)25(f 8．设)(x f 是Ｒ上的奇函数，且当ｘ[)+∞∈,0时，)(x f ＝)1(3x x +，那么当ｘ(]0,∞-∈时，)(x f 为 （ ） Ａ．－ｘ（１＋3x ） Ｂ．ｘ（１＋3x ） Ｃ．－ｘ（１－3x ） Ｄ．ｘ（１－3x ）9．已知函数)(x f ＝７x x 63-（ｘ≠０），则)(x f （ ） Ａ．是奇函数，且在()+∞,0上是减函数Ｂ．是奇函数，且在()+∞,0上是增函数Ｃ．是偶函数，且在()+∞,0上是增函数Ｄ．是偶函数，且在()+∞,0上是减函数10．奇函数)(x f 在区间[]30,10上是减函数，且最小值为８，则)(x f 在区间[]10,30-- 上是（ ）Ａ．增函数，且最大值是8- Ｂ．增函数，且最小值是8-Ｃ．减函数，且最大值是8- Ｄ．减函数，且最小值是8-11．若函数ｙ＝)(x f 是偶函数，当ｘ＜０时，ｙ时增函数，对于0,021><x x 且21x x <，则（ ）Ａ．)(1x f -＞)(2x f - Ｂ．)(1x f -＜)(2x f -Ｃ．)(1x f -＝)(2x f - Ｄ．)(1x f -≥)(2x f -12．设(1)f x +是Ｒ上的偶函数，当10≤≤x 时，)(x f ＝ｘ+7，则(1.4)f 的值为 （ ） Ａ．1.4 B.7.6 C.1.4 D.8.4【巩固提高——登峰揽月】13．已知函数)(x f ＝7567-++bx a x ，且)10(-f ＝－2019则)10(f＝ ． 14．设)(x f 的定义域是[]5,5-上的奇函数，若当ｘ[]5,0∈时，)(x f 的图象如图２－１则不等式0)(<x f 的解集为 .【课外拓展——超越自我】15.已知ｙ＝)(x f 为R 上的奇函数,且在()+∞,0上是递增函数.（１）．求证：ｙ＝)(x f 在()0,∞-上也是增函数；（２）．若)21(f ＝１，解不等式－１＜)13(-x f ≤０．16．已知)(x f 是定义在Ｒ上的不恒为零的函数，且对于任意的ａ，ｂR ∈都满 )()()(a bf b af ab f +=．（１）．求)0(f ，)1(f 的值；（２）．判断)(x f 的奇偶性并加以证明；２.１.４函数的奇偶性题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B A A CD B C A B 13. 2005；14.{}5x 2,02|≤<<<-或x x ；15．（１）证明：设021<<x x ，则021>->-x x ，因为)(x f 在()+∞,0上是增函数，所以，)()(21x f x f ->-，又)(x f 是奇函数，所以)()(21x f x f ->-即)()(21x f x f <所以)(x f 在()0,∞-上是增函数；（２）因为1)21()21(-=-=-f f ，0)0(=f ，所以)0()13()21(f x f f ≤-<-，因为)(x f 在()0,∞-上单调递增，所以01321≤-<-x 所以3161≤<x ，即不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<3161|x x ．16．（１）0)0(0)0(0)00()0(=+=⋅=f f f f 令ａ＝ｂ＝１得)1(1)1(1)11()1(f f f f ==⋅=所以)1(f ＝０；（２）)(x f 是奇函数，证明如下：因为0)1()1(])1[()1(2=----=-=f f f f ，所以0)1(=-f ，)()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=-，所以)(x f 为奇函数．。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.4 函数的奇偶性》教学设计
2.1.4《函数的奇偶性》教学设计一．教材分析：“函数的奇偶性”是普通高中课程标准试验教科书（必修）数学1的第二章第2.1.4节的内容。
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。
函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性和点对称性。
利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。
函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
二．学情分析：这节课是函数奇偶性质学习的第一课时，因此通过学生先对实物图的观察、分析、理解来获得函数的奇偶性再结合理论推导来理解函数的奇偶性就显得比较流畅。
这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。
另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。
三．教学目标1、知识与技能目标：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会用定义判断函数的奇偶性。
2、过程与方法目标：在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.3、情感、态度、价值观目标：在学生感受数学美的同时激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神。
四．教学重点、难点教学重点：函数奇偶性概念。
教学难点：对函数奇偶性的概念的理解及判断。
五．教学方法本节课采用观察、探索、启发、讨论、归纳等多种教学手段和方法，采用媒体辅助教学，通过数形结合，增强直观性，通过函数奇偶性的图象对称性演示，使学生享受到数学的美感。
六．教学用具：多媒体。
七．教学过程：（一）导入新课设计：提出问题“我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家观察下列事物给你的感觉体现了什么样的美感呢？”在屏幕上给出一组图片设计理由：联系生活实际，激发学生的学习兴趣，使学生对函数的奇偶性反应在图像上的特点有一个初步的认识。
人教b版高一数学必修一：2.1.4《函数的奇偶性(1)》学案(含答案)
2.1.4函数的奇偶性(一)自主学习学习目标1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．自学导引1．阅读课本内容填写下表：(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．对点讲练知识点一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝2x2＋2x x＋1；(3)f(x)＝1－x2＋x2－1；(4)f(x)＝4－x2 |x＋2|－2.规律方法(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．(2)奇(偶)函数的性质①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；②在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数．变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－|x|；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝x－1＋1－x.知识点二 分段函数奇偶性的证明例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3 (x <0)－x 2＋2x －3 (x >0)，判断f (x )的奇偶性．规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x 与－x 所满足的对应关系，如x >0时，f (x )满足f (x )＝－x 2＋2x －3，－x <0满足的不再是f (x )＝－x 2＋2x －3，而是f (x )＝x 2＋2x ＋3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f (－x )＝－f (x )，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断． 变式迁移2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1(x >0)，0(x ＝0)，x ＋1(x <0)的奇偶性．知识点三 抽象函数奇偶性的判断例3 已知函数f (x )，x ∈R ，若对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．求证：f (x )为奇函数．规律方法 抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f (x )与f (－x )的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．变式迁移3 函数f (x )，x ∈R ，且f (x )不恒为0.若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)．求证：f (x )为偶函数．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x ∈D ，－x ∈D ，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．2．解题中可以灵活运用f (x )±f (－x )＝0对奇偶性作出判断．3．奇函数f (x )若在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝0.课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝1x 2(x ≠0)，则这个函数( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )的图象必过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎫a ，f ⎝⎛⎭⎫1a 3．函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．如图是一个由集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的是( )A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数5．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0 (x ∈R )；④偶函数的图象关于y 轴对称，其中正确的命题有______个．8．已知f (x )＝ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝__________.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0)； (4)f (x )＝x 3－x 2x －1.10．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x ，y ，f (x )都满足f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．2．1.4 函数的奇偶性(一)答案自学导引1．原点 原点 原点 y 轴 f (－x )＝－f (x )f (－x )＝f (x )2．(1)0 (2)有，例如f (x )＝0，x ∈[－1,1]．对点讲练例1 解 (1)函数定义域为R .f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠－1}．不关于原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0x 2－1≥0，得x ＝±1， 此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．变式迁移1 解 (1)既是奇函数，又是偶函数．∵f (x )＝0，f (－x )＝0.∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )．(2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，1－x ≥0，知x ＝1，∴函数f (x )的定义域为{1}，不关于原点对称．故f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．例2 解 ①当x <0时，－x >0.f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )．②当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )，综上可知f (x )为奇函数．变式迁移2 解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1＝－(x ＋1)＝－f (x )，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)＝－f (x )，而f (0)＝0，∴f (x )是奇函数．例3 证明 设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0. 又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )．∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．变式迁移3 证明 令x 1＝0，x 2＝x ，则得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )①又令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (x )f (0)②由①、②得f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．课时作业1．C [∵x ≠0，∴f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．]2．C [∵y ＝f (x )是奇函数，过(－a ，f (－a ))点，而f (－a )＝－f (a )∴y ＝f (x )过点(－a ，－f (a ))．]3．C [结合选项，当a ＝1时，y ＝x 2－1，显然为偶函数．]4．C [因为f (x )＝0，x ∈{－2,2}，满足f (－x )＝±f (x )． 所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．]5．A [∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，此时g (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，由于g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．]6.130 解析 ∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b .∴b ＝0. 7．1解析 ①错误，如偶函数f (x )＝1x2的图象与纵坐标轴不相交．②错误，如奇函数f (x )＝1x不过原点． ③错误，如f (x )＝0，x ∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数． ④正确．8．－26解析 ∵f (－x )＋f (x )＝－16，∴f (2)＋f (－2)＝－16， ∴f (2)＝－26.9．解 (1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称． 该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域为R ，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称．所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数． 10．解 (1)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，令x ＝y ＝1时，有f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1时，有f [(－1)·(－1)]＝(－1)·f (－1)＋(－1)·f (－1)，∴f (－1)＝0.(2)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，∴令x ＝t ，y ＝－1，有f (－t )＝－f (t )＋t ·f (－1)．将f (－1)＝0代入得f (－t )＝－f (t )，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上为奇函数．。
人教高中数学必修一B版《函数的奇偶性》函数的概念与性质说课复习(函数奇偶性的概念)
栏目 导引
第三章 函 数
已知函数 y＝f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四
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个交点，则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选 D.因为 f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，所
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解：(1)由题意作出函数图像如图所示：
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(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)据图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
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第三章 函 数
巧用奇偶性作函数图像的步骤
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第三章 函 数
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若函数
y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则
a
的值为( 课件
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A．－2
B．2
C．0
D．不能确定
解析：选 B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝ 0，所以 a＝2.
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人教新课标版数学高一B版必修1素材 课前导引 函数的奇偶性
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精心校对 2.1.4 函数的奇偶性
课前导引
情景导入
从祖国大好河山的自然美,到赏心悦目的名人字画、美丽动听的乐曲等艺术美,都给人以美的享受……你是否意识到了数学中的对称美?数学是全人类智慧的结晶,数学图形的直观对称性蕴涵着比诗画更美的意义.
知识预览
1.设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D 内的任意一个x,都有-x ∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数.
2.设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D 内的任意一个x,都有-x ∈D,且f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数.
3.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是关于原点中心对称,则这个函数是奇函数.
4.如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.
5.函数的奇偶性⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ ⎝⎛应用
图象特征性质法图象法定义法判定方法偶函数奇函数定义。
新人教版高中数学必修1(B)函数的奇偶性
函数的奇偶性一、课题：函数的奇偶性二、教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三、教学重点：函数的奇偶性的定义及应用． 四、教学过程：（一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-；（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x-=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-． 例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =， 则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩．（2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ） A .12()()f x f x ->- B .12()()f x f x -<- C .12()()f x f x ->- D . 12()()f x f x -<- 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值． 解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．。
人教B版数学高一版必修1学案 函数的奇偶性
2.1.4 函数的奇偶性谈重点对函数奇偶性的理解(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的前提条件是定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(2)函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(3)既奇又偶函数的表达式如f(x)＝0(x∈A)，定义域A是关于原点对称的非空数集．如函数f(x)＝0(－2≤x≤2)是既奇又偶函数；再如函数f(x)＝x＋－x，定义域为{0}且f(x)＝0，所以该函数也是既奇又偶函数．(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.(5)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．用定义判断函数奇偶性的一般步骤(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进行下一步．(2)求f(－x)并判断f(－x)与f(x)的关系．若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数．(3)得出结论．【例1－1】下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数答案：B【例1－2】判断下列函数的奇偶性：(1)(f x(2)(f x(3)f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]．解：(1)∵由10,10,xx-≥⎧⎨-≥⎩得x＝1，∴函数f(x)的定义域为{1}，不关于原点对称．故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)∵由2210,10,xx⎧-≥⎨-≥⎩得x2＝1，即x＝±1.∴函数f(x)的定义域是{－1,1}，关于原点对称．又∵f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称．又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．2．奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．析规律巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数(－∞，0](或[0，＋∞))上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．【例2－1】奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)＜0的解集是(－1,0)∪(1,2)．答案：(－1,0)∪(1,2)【例2－2】已知，如图为某函数y＝f(x)的图象(关于原点对称)，且f(2)＝2，求f(－2)的值是多少？解：∵函数y＝f(x)的图象关于原点对称，∴函数y＝f(x)是奇函数．又f(2)＝2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2.【例2－3】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．分析：方法一：方法二：解：方法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)＜f(3)．方法二：由题图可知f(－1)＜f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，∴f(1)＜f(3)．析规律奇、偶函数图象的作用(1)由函数图象的对称性判断函数的奇偶性也是一种常用的奇偶性判断方法，称作图象法．(2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数，则只要将它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．3．判断函数奇偶性的方法(1)定义法 (2)图象法其步骤是：①画出函数f (x )的图象；②判断函数图象关于原点或y 轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 【例3】判断下列函数的奇偶性：(1)222()=1x xf x x ++；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 2＋1.解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称， 故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－(x 3－2x )＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3－2x 是奇函数．方法二：∵f 1(x )＝x 3是奇函数，f 2(x )＝－2x 也是奇函数， ∴f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )＝x 3－2x 是奇函数． (3)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．方法二：画出y ＝x 2＋1的图象，如图，由图可知其图象关于y 轴对称．∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．辨误区 判断奇偶性应先考虑定义域本题(1)易错解为：f (x )＝2x 2＋2x x ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域．避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则．4．分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系．首先要特别注意的是x 与－x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x )与f (－x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ≥0，－x (x ＋1)，x <0的奇偶性．解：函数的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R .∵当x ＞0时，有f (x )＝x (x －1)，－x ＜0， ∴f (－x )＝－(－x )·(－x ＋1)＝x (1－x )＝－x (x －1)＝－f (x )． 当x ＜0时，有f (x )＝－x (x ＋1)，－x ＞0， ∴f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)＝－f (x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，f (－0)＝0＝－f (0)．综上所得，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )成立． ∴f (x )是奇函数．【例4－1】已知函数222,0,()=0,=0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪⎨⎪+<⎩是奇函数，则m ＝________.解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x . ∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， ∴m ＝2. 答案：2【例4－2】判断函数2211,0,2()=11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩的奇偶性．解：方法一：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝12－(－x )2－1＝2112x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝2112x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝－f (x )．综上所述，在(－∞，0)∪(0，＋∞)上总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．方法二：作出函数的图象，如图所示．函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．点技巧分段函数奇偶性的判断技巧(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，可利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性．5．抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．【例5】函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．6．利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.若做选择题或填空题，还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．(2)特殊点对称法：在函数y＝f(x)图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))，(－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．【例6－1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.解析：方法一：由于是填空题，故可采用直接代换法，将x用－x代替，即答案为－x－x 4.方法二：设x ∈(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)，则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝－x －x 4. 答案：－x －x 4【例6－2】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．分析：解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0. 当x ＞0时，－x ＜0，则 f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (x ＋2)．故(2),0,()=0,=0,(2),0.x x x f x x x x x +>⎧⎪⎨⎪-<⎩辨误区 定义在R 上的奇函数易忽略的结论f (x )在定义域内的解析式是分段给出的，要写成分段函数的形式，另外不要忽略当x ＝0时，f (x )＝0.7．函数的奇偶性与单调性的综合应用 函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系：(1)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相同”的单调性．证明：当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时，设－b ＜x 1＜x 2＜－a ，则a ＜－x 2＜－x 1＜b . 由于f (x )在区间(a ，b )上是增函数， 则有f (－x 1)＞f (－x 2)．又函数y ＝f (x )是奇函数，所以－f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间(－b ，－a )上也是增函数．同理可证，当f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )上是减函数时，f (x )在区间(－b ，－a )上也是减函数．(2)如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相反”的单调性．证明略，与(1)的证明类似．这样，就可以利用函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系解决有关问题了．【例7】函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (2)＝0，求不规范解答顾问点评解：∵f (2)＝0，∴不等式可转化为f [x (x ＋1)]＜f (2)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解决有关函数的奇偶性、单调性及不等式的综合问题，一般是先利用奇偶性。
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课后导练
基础达标
1.已知y=f(x)是偶函数,且其图象与x 轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称,
∴图象与x 轴的交点也关于y 轴对称.
答案：A
2.下列结论正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y 轴相交
B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.定义域为R 的增函数一定是奇函数
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
答案：B
3.已知函数f(x)=1-x +1+-x ,则f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：∵x-1≥0,1-x≥0,∴x=1,定义域不关于原点对称.∴函数是非奇非偶函数.
答案：D
4.对于定义域为R 的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )
A.f(x)-f(-x)≥0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
解析：∵f(x)在R 上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)f(-x)=-f 2(x)≤0.故选C.
答案：C
5.已知等式f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x 、y 都成立,则f(x)为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：令x=y=0,∴f(0)=2f(0).
∴f(0)=0.
令y=-x,∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).故选A.
答案：A
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)<0的解集为…( )
A.(-3,-2)∪(0,1)
B.(-2,-1)∪(0,1)
C.(-3,-1)∪(0,1)
D.(0,1)∪(1,3)
答案：A
7.已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数,且定义域为［a-1,2a ］,则a=______,b=______.
解析：定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a,
∴a=
31.又f(-x)=f(x),∴b=0.故a=3
1,b=0. 答案：31 0 8.函数f(x)和g(x)的定义域为R,若f(x)\,g(x)都是奇函数或都是偶函数,则f(x)与g(x)的积是_____函数(填“奇”或“偶”).
解析：令F(x)=f(x)·g(x),∴F(-x)=f(-x)g(-x)=［-f(x)］［-g(x)］=f(x)g(x)=F(x).
∴f(x)与g(x)的积是偶函数.
答案：偶
9.已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,试证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.
证明：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下:任取x 1\,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则-x 1\,-x 2∈(0,+∞),且-x 1>-x 2.
由f(x)在(0,+∞)上是增函数,有f(-x 1)>f(-x 2).
又f(x)是奇函数,则有-f(x 1)>-f(x 2),即f(x 1)<f(x 2).
故f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
综合运用
10.已知f(x)是定义在［-5,5］上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(-1)<f(3)
B.f(0)<f(5)
C.f(3)>f(2)
D.f(2)>f(0)
解析：f(3)>f(1)=f(-1)⇒f(-1)<f(3).
答案：A
11.设函数f(x)(x ∈R )为奇函数,f(1)= 2
1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于( ) A.0 B.1 C.52 D.5
解析：f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2).
∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=2
1-. 又f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),
∴f(2)=1.
∴f(5)=2
5. 答案：C 12.已知函数f(x)=a-
121x +,若f(x)为奇函数,则a=___________. 解析：∵x ∈R ,∴f(0)=0.
∴0=a 121+-
x =a 21-. ∴a=2
1. 答案：2
1 13.(1)设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］,若当x ∈［0,5］时,f(x)的图象如图(1),则不等式f(x)<0的解是_________.
(1)
解析：作出［-5,0］的图象,利用奇函数图象关于原点对称性来作图.如图(2),依图得
f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5］.
(2)
答案：(-2,0)∪(2,5］
14.判断函数g(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+1x 2,x -1,|x |0,-1,x 2,x 的奇偶性.
解析：对于g(x),可以用画函数图象的方法(
如图所示),因此g(x)为偶函数,也可用定义来判断:
设x<-1,g(x)=x+2,则-x>1,
∴g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x).
设x>1,g(x)=-x+2,则-x<-1,
∴g(-x)=-x+2=g(x).
而-1≤x≤1时,g(-x)=g(x)=0.
综上,有g(-x)=g(x),
∴g(x)为偶函数.
15.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a 、b ∈R 都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
解析：(1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,
由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),
得f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数.
证明：∵f(1)=f ［(-1)2］=-f(-1)-f(-1)=0,∴f(-1)=0.
f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
拓展探究
16.函数f(x)=2
1x b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(21)=52. (1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(1)解析：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧
==,52
)21
(,
0)0(f f 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=
++=+.0,
15
24
1120
012b a b a
b
∴f(x)=21x x
+.
(2)证明：任取-1<x 1<x 2<1.
f(x 1)-f(x 2)=2111x x +22
2
1x x +- =)
1)(1()
1()(22212121x x x x x x ++•-•-.
∵-1<x 1<x 2<1,
∴x 1-x 2<0.
1+x 12>0,1+x 22>0.
又-1<x 1·x 2<1,
∴1-x 1x 2>0.
∴f(x 1)-f(x 2)<0.
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解析：f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1<t-1<-t<1.
解之,得0<t<21
.。