线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………()

5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456.

7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知4阶行列式1

6

11221212

112401---=

D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .

四、(10分)求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-024*********

432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.

五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为

2六、(10（1（2（3（41. 2、（单

（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.

模拟试题二

一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；

（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；

（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。

123、设4、(33α5一；

67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T

2,,2λ-正交，则λ=；

8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。

三、计算题（每小题8分，共16分）

1、设矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

求矩阵方程AX B C -=。

四、计算题（每小题8分，共16分）

1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

（1）（2）212六、（(1)(2)七、（5分）证明题

设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。

八、（5分）应用题

假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第三个矩阵为C 。

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？

（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？

模拟试题三

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、B A ,为n 阶方阵则BA AB =（）

2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。（）

3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关；（） 4

（）

5、41234、设x =； 5B =100⎛ ⎝当k =6712、已知111121113A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，试判断A 是否可逆。若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *

四、计算：(每小题10分，共20分)

1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-0

3422022240202432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

2、已知线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；

的一个基（1）做矩阵43⨯A 表示2010年工厂i a 产油品j b 的数量)4,3,2,1;3,2,1(==j i （2）计算三个工厂在2010年的生产总值。

模拟试题四

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、设B A ,均为n 阶方阵,则若A 或B 可逆,则AB 必可逆.（）

2、已知B A ,是n 阶方阵，k 为整数，则k k k B A AB =)(.（）

3、已知向量组1234,,,αααα的秩为3，则1234,,,αααα中至少有三个向量线性无关.（）

4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价.（）

5、设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则1p 与2p 正交.（） 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、4阶行列式)det(ij a 中含2113,a a 的带正号的项为.

2、,A B 为3阶方阵，如果3,2==B A ，那么=-13AB .

3、m

),m a 的秩

)(A R 4、若567i 行第j

8910、已知2=λ是A 特征值，且A 可逆，则是1-A 的特征值. 三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001A ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=300020001B ，求（1）A 2；（2）()

1

20122-+T

B A .

2、设矩阵A 和B 满足关系式B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=5432A ，求矩阵B .