非线性化模型的线性化方法总结
非线性回归模型的线性化
k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 （生长曲线模型）
把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检 测存活个数，计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点，坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性模型的线性化方法
提高计算效率
线性模型通常具有更简单的计算形式，可以更快地求解，提高模型 的计算效率。
扩展应用范围
线性模型在许多领域都有广泛的应用，线性化方法可以扩展非线性模 型的应用范围。
缺点
近似误差
线性化方法通常是对非线性模型 的近似，可能引入一定的误差， 特别是在非线性较强的模型中。
考虑模型的物理意义和实际应用背景，选择一个具有代表性的
点作为线性化点。
通过交叉验证和比较不同线性化点的拟合效果，选择最优的线
03
性化点。
对非线性模型进行线性化转换
01
02
03
将非线性模型在所选的 线性化点处进行泰勒级 数展开，得到线性化模
型。
保留级数展开的前几项 ，舍弃高阶项以避免过
拟合。
根据实际需求和数据特 点，选择适合的线性化 方法，如对数转换、幂
非线性模型的特点
复杂性和不确定性
非线性模型通常具有复杂性和不确定性，难以预测和控制。
动态性和时变性
非线性模型中的变量通常具有动态性和时变性，即随着时间的推 移，变量之间的关系可能会发生变化。
相互作用和耦合
非线性模型中的变量之间通常存在相互作用和耦合，即一个变量 的变化可能会对其他变量产生影响。
非线性模型的应用场景
函数转换等。
验证线性化模型的准确性
01
使用独立的数据集对线性化后的模型进行验证，评估其预测 精度和稳定性。
02
比较线性化模型和非线性模型在验证数据集上的表现，以评 估线性化的效果。
03
如果线性化后的模型表现不佳，可能需要重新选择线性化点 或尝试其他线性化方法。
非线性模型的线性化方法
（7-19）
6.2072 dLnyt dyt / yt ， 6.2072 dyt / yt
dLnLnxt
1 Lnxt
1 xt
dxt
Lnxt dxt / xt
弹性系数不是常量，是弹性函数 6.2072/ Lnxt。说明人均食品支出对人均收入的 弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减小。当城镇人均收入为 1000 元水平
LnQt = Ln + LnLt + LnCt + ut
(7-6)
取 yt = LnQt, 0 = Ln, 1= , 2= , xt1 = LnLt, xt2 = LnCt，可写为，
yt= 0 +1 xt 1 + 2 xt 2 + ut
(7-7)
为线性模型。只要 ut 满足第 5 章给出的假定条件，用 OLS 法估计式（7-7），再 返回到原模型（7-5）。根据新古典增长理论， 若回归参数 1 + 2 = + = 1，则称该模型为规模报酬不变型。 若回归参数1 + 2 = + > 1，则称模型为规模报酬递增型。 若回归参数1 + 2 = + < 1，则称模型为规模报酬递减型。
log(y) c log(x) 这样写的好处是，模型可以直接预测到 y。
7.1.2 指数函数模型
指数函数定义如下： yt aebxt
b>0 和 b<0 两种情形的函数曲线分别见图 7-3 和 7-4。xt 和 yt 呈指数函数关系， 是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得
Lnyt = Lna + bxt
第 7 章 可线性化的非线性模型
7.1.2 指数函数模型
由式 Lnyt = Lna + bxt，得
03-非线性回归模型的线性化
yˆt aˆxtbˆ
• 用来测量当 xt变化 1%时 yt变化 % • 柯布-道格拉斯生产函数模型就是幂函数模型
Qt Lat Ct eut
• 其中Qt表示生产量，Lt表示生产力投入，Ct表示资本投入 量， ,, 是需要被估计的回归系数
• 请对上述模型线性化
• 若回归系数 1 时，该模型是报酬不变型； • 若回归系数 1 时，该模型是报酬递增型； • 若回归系数 1 时，该模型是报酬递减型。 • 例3-1 • 利用柯布--道格拉斯生产函数模型评价中国台湾农业生产
• 例3-5
(b1<0, b2>0, b3<0)
(6) 生长曲线 (logistic) 模型
yt
k
1 e f (t)ut
k
1 e abtut
美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学
模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生
长发育过程。其中k和0分别为yt的上限和下限。
•当a>0,
Lim
t
yt
,k当a>0,b>0,
Lim
t-
yt
0
•曲线有拐点，坐标是 ( Lnb , k，) 但是曲线关于拐点不对称
ae
•对于龚伯斯曲线线性化的前提也是必须知道k的取值，
•线性化过程
yt* Lnb at ut 0 1t ut
其中
yt*
Ln
k yt
1
•案例3-1,3-2,3-3.
yt 0 1xt* ut
变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。
(4) 双曲线函数模型
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法
非线性系统表现出的动力学特性比线性系统要复杂，因此通常不能直接使用线性方法来分析或控制非线性系统。
然而，还有一些基于线性化的方法可以在一定程度上处理非线性系统，这些方法被称为线性方法。
其中最常用的线性方法包括：
1. 线性化方法：通过在某个工作点附近对非线性系统进行泰勒展开，得到一个线性模型，然后使用线性系统的理论和方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的小扰动，且要求非线性系统在其他工作点上的行为与线性模型类似。
2. 线性误差反馈（LEF）方法：通过估计非线性系统与线性系统的误差，并利用误差来设计一个线性系统的反馈控制器。
该方法的关键是如何估计非线性系统与线性模型之间的误差，通常使用状态观测器或者误差动态模型来实现。
3. 线性拟合方法：通过在非线性系统的某个工作点上采集大量数据，并利用数据拟合技术（如最小二乘法）来得到一个线性模型。
然后使用线性系统的方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的输入输出数据已知的情况。
需要注意的是，这些线性方法只是对非线性系统的一种简化处理，只能在一定程
度上解决非线性系统的分析和控制问题。
对于复杂的非线性系统，需要使用更加复杂和全面的非线性方法来分析和控制。
测试中非线性问题线性化处理的方法
测试中非线性问题线性化处理的方法摘要：检测系统的组建要考虑的一个问题就是线性化及处理。
基于此，浅析检测系统非线性产生的原因，介绍对检测系统和装置输出和输入量之间非线性关系进行处理的几种方法，以期在实际应用中优化检测系统的性能、减小测量误差。
关键词：检测系统；非线性；传感器在工程测试中，力求测试结果能定性定量地表示出被测量，为了方便地标定和数据处理，便于检测系统的制造、调校和使用，通常希望检测系统有线性输出。
但是实际的检测系统输入输出关系往往呈现出非线性特性，为了提高测量精度，增大测量范围，减小读数误差，则有必要对检测系统进行线性化处理。
1 传感器的非线性误差及其处理传感器是检测系统的最前沿装置，它的特性往往影响整个检测系统的性能优劣，理想的传感器输入输出关系是呈线性关系，但绝大部分传感器的输出量与被测量之间的关系是非线性的。
造成非线性的原因主要有：（1）传感器的转换原理为非线性，例如：热电偶测温，其热电势与温度之间的关系为非线性；热电阻输出的电阻变化量与温度之间的关系为非线性；在流量检测中，孔板输出的差压与流量之间也呈非线性。
（2）传感器结构参数等因素引起的非线性，例如：应变式传感器测压力时弹性元件的挠性模变引起的非线性；电感式传感器，磁性材料的磁化曲线呈非线性等。
（3）传感器的间隙、松动、摩擦、蠕变以及外界条件的影响造成非线性。
为了得到较好的输入—输出线性关系，在传感器的选用上应尽可能选取适合的转换原理呈线性关系的传感器。
适当减小测量范围以提高测量系统的线性度，很多传感器在全量程的测量中，输入输出特性曲线呈非线性，特别是在量程的较小和较大区域，非线性特性明显。
在情况允许的条件下，可取非线性曲线上线性比较好的一段，这种选取与检测系统测量精度的要求有关，当精度要求不太高的情况下，可以在相当宽的范围内都可近似为线性关系，精度要求越高，线性范围越窄。
当测量范围与精度要求不可取舍的情况下，则可利用多传感器进行非线性补偿，例如在进行湿度测量时，为了扩大湿度测量范围，将多个LiCl含量不同的湿敏电阻组合使用，将测量范围分别为（10%～20%）RH、（20%～40%）RH、（40%～70%）RH、（70%～90%）RH、（80%～99%）RH这五个器件配合使用，就可自动转换成整个湿度范围的湿度测量；如磁敏二极管，其输入输出特性曲线在磁场正向与反向时不对称，正向灵敏度大，反向时小，若采用特性相近的两只磁敏二极管按相反磁极性组合，或采用磁敏对管，则磁场正、反向时特性曲线对称，且在弱磁场下有较好的线性。
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
非线性方程线性化
1.0066 err = 0.0066 k= 5 y= 1.3270e-004 p1 = 1.0033 err = 0.0033 k= 6 y= 3.3211e-005 p1 = 1.0017 err = 0.0017 k= 7 y= 8.3074e-006 p1 = 1.0008 err = 8.3157e-004 k= 8 y= 2.0774e-006 p1 = 1.0004 err = 4.1596e-004 k= 9 y= 5.1943e-007 p1 = 1.0002 err = 2.0802e-004 k= 10 y=
3
6
function y=f(x); y=x^3-3*x+2; 再用 M-文件写一个名为 df.m 的文件定义函数的微商 df ( x) 3x 2 3 。 function y=df(x) y=3*x^2-3; 然后再 MATLAB 的命令窗口输入： newton('f','df',1.2,10^(-6),10) 结果为： p0 = 1.2000 ans = 0.1280 p1 = 1.1030 err = 0.0970 k= 1 y= 0.0329 p1 = 1.0524 err = 0.0507 k= 2 y= 0.0084 p1 = 1.0264 err = 0.0260 k= 3 y= 0.0021 p1 = 1.0133 err = 0.0131 k= 4 y= 5.2963e-004 p1 =
二：实验内容所需的基本知识
二分法的原理：
设 f ( x) 在 [a, b] 上 连 续 ， 且 f (a) f (b) 0 。 则 [a, b] 为 方 程 区 间 （ 设 只 有 唯 一 根 ） 。 取中 点
非线性回归模型的线性化
p f p ( X1, X 2 , , X k ) ＋u
令
Z1 f1(X1, X2, Z2 f2(X1, X2,
, Xk) , Xk)
Zp fp(X1, X2, , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1Z1 2Z2 pZ p u
6
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型
p fp(X1, X2, , Xk )
2024/10/17
5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 , , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 , , X k )
Yi* bX i ui
2024/10/17
16
（2）幂函数模型（全对数模型）
幂函数模型的一般形式为：
Yi
AX
1 1i
X
2 2i
X e k ui ki
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
2024/10/17
1
线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1X1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或
（1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
15
2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
非线性化模型的线性化方法总结
非线性化模型的线性化方法总结在学习计量经济学过程中，我们所接触的经济学模型不仅仅是线性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型：一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。
适用模型如下：（1）倒数（双曲线）模型：0111u Q P ββ=++，可以用1Y Q =,1X P=来置换，变为01Y X u ββ=++（2）多项式模型：2012Y t t u βββ=+++，可以用212,X t X t ==来置换变为： 0122Y X X u βββ=+++（3）对数模型： 01ln Y X u ββ=++，将1ln X X=带入原式进行置换，得到：011Y X u ββ=++二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进行变形以得到线性化模型：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+（1） 幂函数模型：u Q AK L e αβ=，方程两边取对数，得到：ln ln ln ln Q A K L u αβ=+++再对上式进行置换。
（2）指数函数模型：Q uC ab e =，方程两边取对数得到：ln ln ln C a Q b u =++，再对上式进行置换。
三、级数展开法：如CES 函数112()p p u pQ A K L e δδ---=+，方程两边取对数得到：121ln ln ln()p p Q A K L u pδδ--=-++，将式中12ln()p p K L δδ--+在p=0处展开泰勒级数，取关于p 的线性项，即得到一个线性近似式，如取0阶、1阶、2阶项，可得:212121ln ln ln ln [ln()]2K Y A K L p Lδδδδ=++- （备注：无法线性化的模型一般为：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+，其中12(,,,)k f X X X ⋅⋅⋅为非线性函数）。
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢？
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，但是可以转化 为线性函数。例如： 生产函数模型： Y AK L e 转化为： ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型： 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，而且无法转化 为线性函数。 例如：Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
第四章 非线性回归模型的线性化
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
-10.46385643
1.287009777
-8.130362812
1.1E-06
X Variable 1
1.021123591
0.029404208
34.72712407
5.5E-15
X Variable 2
1.471943365
0.239290421
6.151284117
2.5E-05
（2）Eviews3.1结果：
0 =lnA 1 =
2 =
X1=lnK
X2=lnL
新生成的线性回归模型为： Y= 0 +1X1+ 2 X2+
对于非线性模型的解决方法：以生产函数为例
案例分析：见Excel表格
解答： （1）Excel回归 （2）Eviews3.1
（1）EXcel回归结果
回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.99930353 1 0.99860754 8 0.99840862 6 0.02991798 5 17
第四章 非线性回归模型的线性化
陈修兰
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
4非线性回归模型的线性
变量间的非线性关系 变量非线性 变量与参数非线性(可线性化) 变量与参数非线性（不可线性化） 线性化方法（可线性化模型）
变量替换法 函数变换法 级数展开法
案例分析
第一节 变量间的非线性关系
一般的非线性回归模型的表示形式：
Y f ( X 1 , X 2 , , X k , 0 , 1 , , k ) u
i
ui
当b>0和b<0时的图形如图，Xt与Yt的关系是非线性的。
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
令LnXi = Xi*,则
Yi = a + bXi* + ui
变量Yi和Xi*已变换成为线性关系。
4、S-型曲线模型
Yi 1
*
* 0
1 X 1i 2 X 2i u i
* *
——线性模型
用OLS法估计后，再返回到原模型。若参数：
1 + 2 = 1，称模型为规模报酬不变型； 1 + 2 > 1，称模型为规模报酬递增型；
1 + 2 < 1，称模型为规模报酬递减型。
对于对数线性模型，LnYi = Ln0 + 1 LnX1i + 2 LnX2i + ui ，1和2称作弹
性系数。以1为例：
1
LnY LnX
i 1i
Yi
1
Yi
X 1i X 1i
1
X i Yi Yt X 1 i
Yi / Yi X 1i / X 1i
非线性系统的线性化处理方法
非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。
非线性系统线性化
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
醉客天涯之计量经济学
（3） 对数模型： Y 0 1 ln X u ， 将 X 1 1 u
二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进 行变形以得到线性化模型：
直接替换法
（1）倒数（双 曲线）模型
（2）多项式模 型
（3）对数模型
（1）倒数（双曲线）模型：
1 1 1 1 Y X 来置换， 0 1 u ，可以用 变为 Q, Q P P
Y 0 1 X u
（2）多项式模型：
Y 0 1t 2t 2 u ，可以用 X1 t , X 2 t 2 来
函数变换法
（1）幂函数模型
（2）指数函数模型
Y f ( X 1 , X 2 , , X k ) u
u （1） 幂函数模型： Q AK L e ，方程两边
取对数，得到： ln Q ln A ln K ln L u 再对上式进行置换。
Q u C ab e ，方程两边 （2）指数函数模型：
醉客天涯之计量经济学
非线性化模型的线性化方法总结
在学习计量经济学过程中， 我们所接触的经济学模型不仅仅是线 性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲 线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介 绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型： 一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。适用模型 如下：
ln(1K p 2 L p ) 在 p=0 处展开泰勒级数，取关于 p 的线性项，
即得到一个线性近似式，如取 0 阶、1 阶、2 阶项，可得:
ln Y ln A 1 ln K 2 ln L
1 K p1 2 [ln( )]2 2 L
（ 备 注 ：无 法 线性 化 的 模型 一 般为 ： Y f ( X 1 , X 2 , , X k ) u ， 其 中
取对数得到： ln C ln a Q ln b u，再 对上式进行置换。
2
醉客天涯之计量经济学
三、级数展开法：如 CES 函数
Q A(1 K p 2 L p ) eu
1 p
，方程两
边 取 对 数 得 到 ： ln Q ln A
1 ln(1K p 2 L p ) u ， 将 式 中 p
f ( X 1 , X 2 , , X k ) 为非线性函数）
3