一.选择题：(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60分(修订)
高一下学期第一次月考数学试卷 (20)
高一学年三月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2} 2.下列函数为奇函数的是 ( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x3.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝ ( )A ．－1213B ．－513 C.513 D .12134.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则 ( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b5.向量a ＝(1，－1)，b ＝ (－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝ ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 6.已知三角形ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，4b =，则a = （ ）A ．2B ．C ．．7.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b = （ ）A ．2 C ．．3 8.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ( ) A ．8B ．10C ．12D ．149. 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （ ）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ． (1)2n n -10.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．12D ．1312. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.15.设数列n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=__________.16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．18.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且4a =，c =，sin 4sin A B =.（1）求边b的长；（2）求角C的大小.19.（本题满分12分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,cos,4b c A-==-（I）求a和sin C的值;（II）求πcos26A⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.（本题满分12分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4Aπ=，22b a-=122c.（1）求tan C的值；（2）若ABC∆的面积为3，求b的值.21.（本题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为12，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.(1)求数列{a n}，{b n}的通项a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22.（本题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0， 3422+=+n n n S a a . （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。
四川省2024年普通高校对口招生统一考试数学试卷(含答案) (6)
四川省2024年普通高校对口招生统一考试数学试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =()（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）2已知复数z =2+i，则z z ⋅=()（C）3（D）53下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是()（A）12y x=（B）y =2x-（C）12log y x=（D）1y x=4执行如图所示的程序框图，输出的s 值为()（A）1（B）2（C）3（D）45已知双曲线2221x y a-=（a ，则a =()（B）4（C）2（D）126设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10.110-8如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()（A）4β+4cos β（B）4β+4sin β（C）2β+2cos β（D）2β+2sin β9.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=()A.16B.8C.4D.210.已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e）处的切线方程为y =2x +b ，则()A.a=e，b =-1B.a=e，b =1C.a=e -1，b =1D.a=e -1，1b =-11.（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（）A.B.C.D.12.（5分）已知函数f（x）=x 2﹣2x+a（e x﹣1+e ﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A.﹣B.C.D.1二、填空题13.（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=.14.（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=.15.（5分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=.16.（5分）设函数f （x）=，则满足f （x）+f （x﹣）＞1的x 的取值范围是.三、解答题17.(本题满分12分)已知函数)1,0()(≠>+=b b b a x f x的图象过点)4,1(和点)16,2(.(1)求)(x f 的表达式；(2)解不等式23)21()(xx f ->；(3)当]4,3(-∈x 时，求函数6)(log )(22-+=x x f x g 的值域.18.(本题满分12分)设)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，当),0(,+∞∈b a 时，均有)()()(b f a f b a f +=⋅，已知1)2(=f .求：（1）)1(f 和)4(f 的值；（2）不等式2()2(4)f x f <的解集.19.（12分）如图四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD.（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.20.（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2+mx﹣2与x 轴交于A、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.21.（12分）已知函数f（x）=lnx+ax 2+（2a+1）x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为，（t 为参数），直线l 2的参数方程为，（m 为参数）.设l 1与l 2的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C.（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|.（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x 2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围.四川省2024年普通高校对口招生统一考试数学试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
腾远高考数学试卷及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，则下列哪个选项不可能是$a$的值？A. 1B. 2C. -1D. -22. 在三角形ABC中，已知$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，则三角形ABC的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 123. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列$\{a_n\}$的第10项是：A. 1023B. 1024C. 2047D. 20484. 若复数$z = a + bi$满足$|z - 3i| = |z + 3|$，则实数$a$的取值范围是：A. $[-3, 3]$B. $[-6, 6]$C. $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$D. $[-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$5. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$，则$f(x)$的值域是：A. $[0, +\infty)$B. $(0, +\infty)$C. $[0, 1]$D. $(0, 1]$6. 若直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则实数$k$和$b$满足：A. $k^2 + b^2 = 1$B. $k^2 + b^2 = 2$C. $k^2 + b^2 = 3$D. $k^2 + b^2 = 4$7. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值是：A. 1B. 5C. -1D. -58. 若函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 2]$上单调递增，则下列哪个选项正确？A. $f(1) > f(2)$B. $f(1) < f(2)$C. $f(1) = f(2)$D. 无法确定9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - 2n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式是：A. $a_n = 3n - 2$B. $a_n = 3n^2 - 2n$C. $a_n = 3n + 2$D. $a_n = 3n^2 + 2n$10. 若函数$f(x) = \log_2(x + 1)$的图像向右平移2个单位后，得到的函数图像的解析式是：A. $f(x - 2) = \log_2(x - 1)$B. $f(x + 2) = \log_2(x + 3)$C. $f(x - 2) = \log_2(x + 3)$D. $f(x + 2) = \log_2(x - 1)$11. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为1，公差为2，则第10项与第15项的和是：A. 29B. 30C. 31D. 3212. 若复数$z = a + bi$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$和$b$满足：A. $a = 0$B. $b = 0$C. $a^2 + b^2 = 2$D. $a^2 + b^2 = 4$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
2002年全国高考数学试题
2002年全国高考数学试题（理工农医类）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是 （A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3 2.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 3.不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）{}10|<≤x x （B ）{}10|-≠<x x x 且 （C ）{}11|<<-x x （D ）{}11|-≠<x x x 且 4.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4ππππ5.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214|，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）φ=N M 6.点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）27.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53-8.正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ） 90 （B ） 60 （C ） 45 （D ） 30 9.函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0<b （D ）0>b10.函数11-=y 的图象是11.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种12.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（A ）115 000亿元（B ）120 000亿元（C ）127 000亿元（D ）135 000亿元 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
高中数学难题(含答案)
东莞龙文教育高中数学试卷（24）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 A ．｛0，1｝ B ．｛-1，0，1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛-1，0，1，2｝ 2．i 是虚数单位1+i 3等于 A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 3．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10D ．125．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．3 B ．11 C ．38 D ．1236．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的 取值范围是 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ．14 B ．13C ． 12D ． 238．已知函数f （x ）=。
若f （a ）+f （1）=0,则实数a 的值等于A ．-3B ．-1C ．1D ．39．若a ∈（0，2），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22 B ．33C ．2D ．310．若a>0,b>0,且函数f （x ）=3242x ax bx --在x=1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．911．设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于 A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。
湖北省华中师范大学第一附中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试高二年级数学(理科)试题一，选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.)1.用秦九韶算法求多项式当地值时,,则地值是A. 2B. 1C. 15D. 17【结果】C【思路】【思路】运用秦九韶算法将多项式进行化简,然后求出地值【详解】,当时,,故选【点睛】本题主要考查了秦九韶算法,结合已知款件即可计算出结果,较为基础2.某宠物商店对30只宠物狗地体重(单位：千克)作了测量,并依据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示,则这30只宠物狗体重(单位：千克)地平均值大约为A. 15.5B. 15.6C. 15.7D. 16【结果】B【思路】【思路】由频率分布直方图分别计算出各组得频率，频数,然后再计算出体重地平均值【详解】由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：,频数为：则平均值为：故选【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数,需要注意计算不要出错3.若方程,其中,则方程地正整数解地个数为A. 10B. 15C. 20D. 30【结果】A【思路】【思路】将方程正整数解问题转化为排列组合问题,采用挡板法求出结果【详解】方程,其中,则将其转化为有6个完全相同地小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组,第一组小球数目为第二组小球数目为第三组小球数目为共有种方式故方程地正整数解地个数为10故选【点睛】本题主要考查了多圆方程地正整数解地问题,在求解过程中将其转化为排列组合问题,运用挡板法求出结果,体现地转化地思想4.过作圆地切线,切点分别为,且直线过双曲线地右焦点,则双曲线地渐近线方程为A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】由题意先求出直线地方程,然后求出双曲线地右焦点,继而解出渐近线方程【详解】过作圆地切线,切点分别为,则两点在以点,连接线段为直径地圆上则圆心为,圆地方程为直线为两圆公共弦所在直线则直线地方程为：即,交轴由题意可得双曲线地右焦点为则解得,,故渐近线方程,即故选【点睛】本题主要考查了直线，圆，双曲线地综合问题,在解题过程中运用了直线与圆相切,两圆公共弦所在直线方程地求解,最后再结合款件计算出双曲线方程,得到渐近线方程,知识点较多,需要熟练掌握各知识点5.给出下面结论：(1)某学校从编号依次为001,002,…,900地900个学生中用系统抽样地方式抽取一个样本,已知样本中有两个相邻地编号分别为053,098,则样本中最大地编号为862.(2)甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,那么这两组数据中较稳定地是甲.(3)若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地值越接近于1.(4)对A，B，C三种个体按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为30.则正确地个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【结果】C【思路】【思路】运用抽样，方差，线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻地两个编号为053,098,则样本组距为样本容量为则对应号码数为当时,最大编号为,不是,故（1）错误（2）甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,则乙组数据地方差为那么这两组数据中较稳定地是乙,故（2）错误（3）若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地绝对值越接近于1,故错误（4）按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为,故正确综上,故正确地个数为1故选【点睛】本题主要考查了系统抽样，分层抽样，线性相关，方差相关知识,熟练运用各知识来进行判定,较为基础6.已知是之间地两个均匀随机数,则“能构成钝角三角形三边”地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】由已知款件得到有关地范围,结合图形运用几何概型求出概率【详解】已知是之间地两个均匀随机数,则均小于1,又能构成钝角三角形三边,结合余弦定理则,又由三角形三边关系得,如图：则满足款件地区域面积为,则满足题意地概率为,故选【点睛】本题考查了几何概率,首先要得到满足题意中地款件地不等式,画出图形,由几何概率求出结果,在解题中注意限制款件7.已知实数满足,则地取值范围是A. (－∞,0]∪(1,+∞)B. (－∞,0]∪[1,+∞)C. (－∞,0]∪[2,+∞)D. (－∞,0]∪(2,+∞)【结果】A【思路】【思路】先画出可行域,化简款件中地,将范围问题转化为斜率问题求解【详解】由,可得令,则为单调增函数即有可行域为：又因为,则问题可以转化为可行域内地点到连线斜率地取值范围将代入将代入结合图形,故地取值范围是故选【点睛】本题主要考查了线性规划求范围问题,在解答过程中要先画出可行域,然后将问题转化为斜率,求出结果,解题关键是对款件地转化8.在二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,则系数最小地项是A. 第6项B. 第5项C. 第4项D. 第3项【结果】C【思路】【思路】由已知款件先计算出地值,然后计算出系数最小地项【详解】由题意二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,故二项式展开式地通项为要系数最小,则为奇数当时,当时,当时,当时,故当当时系数最小则系数最小地项是第4项故选【点睛】本题主要考查了二项式展开式地应用,结合其通项即可计算出系数最小地项,较为基础9.已知椭圆地左，右焦点分别为,过地直线与椭圆交于两点,若且,则椭圆地离心率为A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】由已知款件进行转化,得到三角形三边地表示数量关系,再结合款件运用余弦定理求出结果【详解】如图得到椭圆图形,由题意中,两个三角形高相同故可以得到,又则,,由可以推得,即有,,,又因为,所以即有化简得,即,解得,故椭圆地离心率为故选【点睛】本题考查了求椭圆地离心率以及直线和椭圆地位置关系,结合椭圆地定义和已知角相等分别求出各边长,然后运用余弦定理求出结果,需要一定地计算量10.将一颗质地均匀地骰子先后抛掷三次,则数字之和能被3整除地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】先计算出一共有多少种情况,然后再计算出满足数字之和能被3整除地情况,求出概率【详解】先后抛掷三次一共有种情况数字之和能被3整除,则以第一次出现1为例,有：,共种,则运用枚举法可得数字之和能被3整除一共有种可能,数字之和能被3整除地概率为故选【点睛】本题主要考查了古典概率,结合古典概率公式分别求出符合款件地基本事件数,然后计算出结果,较为基础11.在下方程序框图中,若输入地分别为18，100,输出地地值为,则二项式地展开式中地常数项是A. 224B. 336C. 112D. 560【结果】D【思路】【思路】由程序图先求出地值,然后代入二项式中,求出展开式中地常数项【详解】由程序图可知求输入地最大公约数,即输出则二项式为地展开通项为要求展开式中地常数项,则当取时,令解得,则结果为,则当取时,令,解得,则结果为,故展开式中地常数项为,故选【点睛】本题考查了运用流程图求两个数地最大公约数,并求出二项式展开式中地常数项,在求解过程中注意题目地化简求解,属于中档题12.如下图,已知分别为双曲线地左，右焦点,过地直线与双曲线C地右支交于两点,且点A，B分别为地内心,则地取值范围是A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】由双曲线定义结合内切圆计算出点地横坐标,同理计算出点地横坐标,可得点地横坐标相等,然后设,用含有地正切值表示出内切圆半径,求出地取值范围.【详解】如图,圆与切于点三点,由双曲线定义,即,所以则,又,,故,同理可得,即,设,,,直线与双曲线右支交于两点,又知渐近线方程为,可得,设圆和圆地半径分别为,则,,所以因为,由基本不等式可得,故选【点睛】本题考查了直线与双曲线地位置关系,又得三角形地内切圆问题,在求解过程中将其转化利用双曲线定义求出,且得到两点横坐标,然后结合了三角函数求出半径之和,考查了转化地能力,较为综合二，填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.向正方形随机撒一些豆子,经查数,落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内,以此估计圆周率地值(用分数表示)为____________.【结果】【思路】【思路】运用古典概率和几何概率来估计圆周率地值【详解】令正方形内切圆地半径为,则正方形边长为,则由题意中“落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内”可得,化简得【点睛】本题考查了结合概率问题来估计圆周率地值,较为基础14.下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生地表演打出地分数地茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中地x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是____________.【结果】1【思路】【思路】因为题目中要去掉一个最高分,所以对进行分类讨论,然后结合平均数地计算公式求出结果【详解】若,去掉一个最高分和一个最低分86分后,平均分为,不符合题意,故,最高分为94分,去掉一个最高分94分,去掉一个最低分86分后,平均分,解得,故数字为1【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值,理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果,注意分类讨论15.将排成一排,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻地概率是___ _________.【结果】【思路】【思路】分类讨论不同字母和数字地特殊情况可能出现地结果,然后运用古典概率求出结果【详解】将排成一排一共有种不同排法,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻有种不同地排法,所以其概率为,故结果为【点睛】本题考查了排列组合问题,注意在排列过程中一些特殊地位置要求,不重复也不遗漏,属于中档题16.已知圆上存在点,使(为原点)成立,,则实数地取值范围是____________.【结果】【思路】【思路】依据款件中计算出点地轨迹,然后转化为圆和圆地位置关系求出实数地取值范围【详解】由题意中,设,则,化简得,又点在圆上,故两圆有交点,可得,又因为,解得【点睛】本题考查了圆和圆地位置关系,在解题时遇到形如款件时可以求出点地轨迹为圆,然后转化为圆和圆地位置关系来求解,属于中档题三，解答题：(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与相关,调研部(共10人)分三组对高中三个年级地学生进行调查,每个年级至少派3个人进行调查.(1)求调研部地甲，乙两人都被派到高一年级进行调查地概率.(2)调研部对三个年级共100人进行了调查,得到如下地列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有以上地把握认为喜欢吃辣与相关？喜欢吃辣不喜欢吃辣合计男生10女生2030合计100参考数据：参考公式：,其中.【结果】（1）。
(人教版B版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷01及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若23A a ab =+，24B ab b =-，则A ，B 的大小关系是（ ）A .AB …B .A B …C .A B ＜或A B ＞D .A B＞2.下列结论正确的是（ ）A .若ac bc ＞，则a b＞B .若22a b ＞，则a b＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c++＜D .若a b＜3.下列变形是根据等式的性质的是（ ）A .由213x -=得24x =B .由2x x =得1x =C .由29x =得x=3D .由213x x -=得51x =-4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A .0a b +=B .b a ＜C .0ab ＞D .||||b a ＜5.已知||a b a ＜＜，则（ ）A .11a b ＞B .1ab ＜C .1ab D .22a b ＞6.若41x -＜＜，则222()1x x f x x -+=-（ ）A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a ＞，0b ＞，2a b +=，则14y a b =+的最小值是（ ）A .72B .4C .92D .58.已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121234x x x x +-=，那么b 的值为（）A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --＜（其中0a ＜）的解集为（ ）A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a 10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*x x ÎN 为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运_____年，营运的年平均利润最大（ ）A .3B .4C .5D .611.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A .245B .285C .5D .612.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立，又0x $ÎR ，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.当1x ＞时，不等式11x a x +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________.14.若0a b ＜＜，则1a b -与1a 的大小关系为__________.15.若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=，则实数m 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解下列不等式（组）：（1）2(2)01x x x +ìíî＞，＜；（2）262318x x x --＜….18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =.111a b c++＜.19.（本小题满分12分）已知21()1f x x a x a æö=-++ç÷èø.（1）当12a =时，解不等式()0f x …；（2）若0a ＞，解关于x 的不等式()0f x ….20.（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21.（未小题满分12分）设函数2()3(0)f x ax bx a =++¹.（1）若不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；（2）若(1)4f =，0a ＞，0b ＞，求14a b+的最小值.22.（本小题满分12分）解下列不等式.（1）2560x x --+＜；（2）()(2)0a x a x --＞.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b æö-=+--=-+ç÷èø∵…，A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误.3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1，在等式213x -=的左右两边同时加上1，可得24x =，故本选项正确；B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ，可得1x =，但是当0x =时，不成立，故本选项错误；C .将等式29x =的左右两边开平方，可得3x =±，故本选项错误；D .根据等式的性质1，在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +，可得561x x =+，故本选项错误.4.【答案】D【解析】根据题图可知，21a --＜＜，01b ＜＜，所以||||b a ＜.5.【答案】D【解析】由||a b a ＜＜，可知0||||b a ＜…，由不等式的性质可知22||||b a ＜，所以22a b ＞.6.【答案】D 【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴＜＜，10x -∴＜，(1)0x --∴＞1()(1)2(1)f x x x éù=---+-êú--ëû∴…当且仅当111x x -=-，即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵，12a b +=∴∴14142a b a b a b +æö+=+×ç÷èø52592222a b b a æö=+++=ç÷èø…（当且仅当22a b b a =，即423b a ==时，等号成立）故14y a b =+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根，12x x b +=-∴，123x x =-，121234x x x x +-=∵，94b -+=∴，解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ，3a -，且43a a -＜，43a x a <<-∴.10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+，则营运的年平均利润2512122y x x x æö=-+-=ç÷èø…，当且仅当25x x=时，取“=”号，解得5x =.11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵，13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x æö+=+´=++ç÷èø∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =，即1x =，12y =时等号成立.12.【答案】D【解析】a b ∵＞，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，0a ∴＞，且440ab D =-…，1ab ³∴.再由0x $ÎR ，使20020ax x b ++=成立，可得0D …，1ab ∴…，又a b ＞，1a ＞.2224231101a a b a a a b a a a a +++==---∴2242484243624222211211211222a a a a a a a a a a a a a a a a æö+++ç÷æö+++èø===ç÷-+-æöèø+-+-ç÷èø22222221124412a a a a a a æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø=æö+-ç÷èø令22112a a +=＞，则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t æö+-+-+==-+++=ç÷---èø…，当且仅当4t =，即a =时取等.故2431a a a æö+ç÷-èø的最小值为8，故22a b a b +-=.二、13.【答案】(,3]-¥【解析】1x ∵＞，11(1)11311x x x x +=-+++=--∴….3a ∴….14.【答案】11a b a -＜【解析】110()()a ab b a b a a a b a a b -+-==---∵＜.11a b a-∴15.【答案】[9,)+¥【解析】33ab a b =+++…，所以1)0-+…，3，所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=，1226x x -=∵，即12236x x x +-=，2336x -=∴，解得21x =-，代入到方程中，得1320m ++=，解得2m =-.三、17.【答案】（1）原不等式组可化为 2 0,11,x x x -ìí-î＜或＞＜＜即01x ＜＜，所以原不等式组的解集为{|01}x x ＜＜.（2）原不等式等价于22623,318,x x x x x ì--í-î≤＜即2260,3180,x x x x ì--í--î＜…因式分解，得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+ìí-+î＜…所以 2 3,36,x x -ìí-î或＜＜……所以132x --＜≤或36x ＜….所以不等式的解集为{|3236}x x x --＜≤或≤＜.18.【答案】证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =，所以112a b +=…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加，得1112a b c æö++++ç÷èø…，即111a b c+++.因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++++＜.19.【答案】（1）当12a =时，有不等式25()102f x x x =-+≤，1(2)02x x æö--ç÷èø∴…，122x ∴……，即所求不等式的解集为1,22éùêúëû.（2）1()()0f x x x a a æö=--ç÷èø∵…，0a ＞且方程1()0x x a a æö--=ç÷èø的两根为1x a =，21x a =，∴当1a a ，即011a ＜＜，不等式的解集为1,a a éùêúëû；当1a a ＜，即1a ＞，不等式的解集为1,a a éùêúëû；当1a a=，即1a =，不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 m a ，后侧边长为 m b ，蔬菜的种植面积为2 m S ，则800ab =.所以(4)(2)4288082(2)808648S a b ab b a a b =--=--+=-+-=…当且仅当2a b =，即40a =，20b =时等号成立，则648S =最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648 m .21.【答案】（1）因为不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，所以1-和3是方程()0f x =的两个实根，从而有(1)30,(3)9330,f a b f a b -=-+=ìí=++=î解得1,2,a b =-ìí=î（2）由(1)4f =，得1a b +=，又0a ＞，0b ＞，所以1414()a b a b a b æö+=++ç÷èø4559b a a b =+++=…当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ì=ïïíï=ïî时等号成立，所以14a b+的最小值为9.22.【答案】（1）2560x x --+<∵，2560x x +->∴，(1)(6)0x x -+∴＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{| 6 1}x x x -＜或＞.（2）当0a ＜时，()(2)y a x a x =--的图象开口向下，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =，且2a <，()(2)0a x a a --∴＞的解集为{|2}x a x ＜＜.当0a =时，()(2)0a x a x --=，()(2)0a x a x --∴＞无解.当0a ＞时，抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =.当2a =时，不等式可化为22(2)0x -＞，解得2x ¹.当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞.当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.综上，当0a ＜时，不等式的解集是{|2}x a x ＜＜；当0a =时，不等式的解集是Æ；当02a ＜＜时，不等式的解集是{| 2}x x a x ＜或＞；当2a =时，不等式的解集是{|2}x x ¹；当2a ＞时，不等式的解集是{|2}x x x a ＜或＞.。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
【人教B版】选修2-3数学：第1章《计数原理》基础测试(含解析)
高中数学第一章计数原理知能基础测试新人教B版选修2-3时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A．24种B．18种C．12种D．6种[答案] B[解析]因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有C23A33＝18种．故选B.2．已知C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则n等于( )A．14 B．12C．13 D．15[答案] A[解析]因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1.∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A.3．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )A．8 B．12C．16 D．24[答案] B[解析]∵A2n＝n(n－1)＝132.∴n＝12.故选B.4．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35C．28 D．21[答案] D[解析]展开式中第r＋1项为T r＋1＝C r7x r，T3＝C27x2，∴x2的系数为C27＝21.5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9![答案] C[解析]本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．6．某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有( )A．48种B．36种C．30种D．24种[答案] A[解析]由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有A44种，第二类，用3色有4A33种，故共有A44＋4A33＝48种．7．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )A．9 B．10C．－9 D．－10[答案] D[解析]x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9＋C910·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10.故应选D.另解：∵[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，显然a9＝C110(－1)＝－10.8．(2015·黑龙江省龙东南四校高二期末)从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) A．48种B．36种C．18种D．12种[答案] B[解析] 分两种情况：(1)小张小赵去一人：C 12C 12A 33＝24；(2)小张小赵都去：A 22A 23＝12，故有36种，应选B.9．(2015·湖北理，3)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29[答案] D[解析] 由题意可得，二项式的展开式满足T r ＋1＝C r n x r ，且有C 3n ＝C 7n ，因此n ＝10.令x ＝1，则(1＋x )n ＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x ＝－1，则(1＋x )n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为12(210＋0)＝29.故本题正确答案为D.10．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种[答案] B[解析] 由题意不同的放法共有C 13C 24＝18种．11．(2015·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个[答案] B[解析] 据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2×A 34个；若万位上排5，则有3×A 34个．所以共有2×A 34＋3×A 34＝5×24＝120个．选B.12．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对[答案] C[解析] 解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C 、BC 1、C 1D 、CD 1、A 1D 、AD 1、A 1B 、AB 1共8条，同理与BD 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成60°角时，有AD 1，计算与AD 1成60°角时有AC ，故AD 1与AC 这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C 212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C 212－6－12＝48对．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2015·上海理，8)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有________种(用数值表示)[答案] 120[解析] 由题意得，去掉选5名教师情况即可：C 59－C 56＝126－6＝120.14．(2015·新课标Ⅱ，15)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由已知得(1＋x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4，故(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax,4ax 3，x,6x 3，x 5，其系数之和为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，解得a ＝3.15．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．[答案] 264[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，有A 44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9，故A44(2＋9)＝264种．16．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被3整除的数有________个．[答案]228[解析]一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能被3整除．根据这点，分为如下几数：(1)三位数各位上的数字是1,4,7或2,5,8这两种情况，这样的数有2A33＝12(个)．(2)三位数的各位上只含0,3,6,9中的一个，其他两位上的数则从(1,4,7)和(2,5,8)中各取1个，这样的数有C14C13C13A33＝216(个)，但要除去0在百位上的数，有C13C13A22＝18(个)，因而有216－18＝198(个)．(3)三位数的各位上的数字是0,3,6,9中的3个，但要去掉0在百位上的，这样应有3×3×2＝18(个)，综上所述，由0到9这10个数字所构成的无重复数字且能被3整除的3位数有12＋198＋18＝228(个)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，(1)其中至少有一名男生的选法有几种？(2)至多有1名男生的选法有几种？[解析](1)方法一：(直接法)．第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为C14·C26＝60(种)；第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为C24·C16＝36(种)；第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为C34＝4(种)；故共有60＋36＋4＝100(种)．方法二：(间接法)．从10名同学中选出3名同学的选法种数为C310种．其中不适合条件的有C36种．故共有C310－C36＝100(种)．(2)第一类：3名代表中有一名男生，则选法为C14C26＝60(种)；第二类：3名代表中无男生，则选法为C36＝20(种)；故共有60＋20＝80(种)．18．(本题满分12分)从－1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数．(1)开口向上的抛物线有多少条？(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？ [解析] (1)要使抛物线的开口向上，必须a ＞0， ∴C 13·A 24＝36(条)．(2)开口向上且不过原点的抛物线，必须a ＞0，c ≠0， ∴C 13·C 13·C 13＝27(条)．19．(本题满分12分)求(x －3x )9的展开式中的有理项． [解析] ∵T r ＋1＝C r 9·(x 12)9－r ·(－x 13)r ＝(－1)r ·C r9·x 27－r 6，令27－r 6∈Z ，即4＋3－r6∈Z ，且r ∈{0,1,2，…，9}． ∴r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3·C 39·x 4＝－84x 4；当r ＝9时，27－r 6＝3，T 10＝(－1)9·C 99·x 3＝－x 3.∴(x －3x )9的展开式中的有理项是：第4项，－84x 4和第10项，－x 3. 20．(本题满分12分)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？[解析] (1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C 24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计算原理，共有放法：C 14·C 24·C 13·A 22＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．21．(本题满分12分)(2015·北京高二质检)已知(3x 2＋3x 2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] 令x ＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n ＝4n， 又展开式二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n， 由题意有4n －2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大．又T k ＋1＝C k 5(3x 2)5－k ·(3x 2)k ＝C k 53k x 10＋4k 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 5·3k ≥C k －15·3k －1C k 5·3k ≥C k ＋15·3k ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k 15－k ≥3k ＋1⇒72≤k ≤92. 又因为k ∈Z ，所以k ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x263＝405x 263. 22．(本题满分14分)已知(1＋2x )n展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的56，试求该展开式中二项式系数最大的项．[解析] T r ＋1＝C rn (2x )r＝2r·C rn ·x x2，它的前一项的系数为2r －1·C r －1n ， 它的后一项的系数为2r ＋1·C r ＋1n ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2r·C rn ＝2·2r －1·C r －1n ，2r ·C r n ＝56·2r ＋1·C r ＋1n ，⎩⎪⎨⎪⎧2r －1＝n ，8r ＋3＝5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，r ＝4.∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项．3 2，T5＝C47(2x)4＝560x2.T4＝C37(2x)3＝280x。
数学必修I模块综合测评五(附答案)
数学必修I 模块综合测评五（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U=R ，集合M={x|x>1}，P={x|x 2>1}，则下列关系中正确的是（ ） A. M=P B. P M C. M ⊂P D. U M ∩P=∅思路解析：借助两个集合中元素的取值范围易知集合M 是集合P 的子集. 答案: C2. 设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}，定义P ※Q ＝{(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 12思路解析：这是一创新题,在给出一个新定义的条件下,通过理解然后简单的应用之,可使用列举法.P ※Q 中元素分别为(3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (5,5), (5,6),(5,7)共12个. 答案：D3. 设f(x)=|x-1|-|x|，则f ［f(21)］等于（ ） A. -21 B. 0 C.21 D. 1思路解析：这是一个多层法则求值问题,先内后外,易得到答案.因为f(21)=0,而f(0)=1. 答案：D4. 同时满足下列条件：（1）有反函数;（2）是奇函数;（3）其定义域集合等于值域集合的函数是（ ） A. f(x)=x B. f(x)=(x-1)32C. f(x)=-x 3D. f(x)=x 5+1思路解析：本题可使用排除法,借助是奇函数可去掉A 、B 、D 三个选项. 答案：C5. 设函数f(x)=x|x|+bx+c ，给出下列四个命题：①c=0时，y=f(x)是奇函数；②b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实根;③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④思路解析：要注意到函数f(x)=x|x|+bx+c 的图象同参量b 和c 之间的关系. 答案：C6. 已知函数y=f(2 x)的定义域是[-1, 1]，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，1) C ．[1, 2] D ．[2, 4]思路解析：函数y=f(2 x)的定义域是［－1，1］,可知2x∈［21,2］,所以log 2x ∈［21,2］，可解出x ∈［2,4］. 答案:D7. 函数y=11-+x x e e ,x ∈(0,+∞)的反函数是（ ）A. y=ln11+-x x , x ∈(-∞,1) B. y=ln 11-+x x , x ∈(-∞,1)C. y=ln 11+-x x , x ∈(1,+∞)D. y=ln 11-+x x , x ∈(1,+∞)思路解析：可先分离常数y=121-+-x x e e =1+12-x e ,又因为x ∈(0,+∞),可知y>1,然后按照求反函数的方法,即反解出x ，最后x 与y 互换.答案：D8. 函数y=f(x+1)与y=f －1(x+1)的图象（ ） A.关于直线y=x 对称 B.关于直线y=x+1对称 C.关于直线y=x －1对称 D.关于原点对称思路解析：举特殊的函数如f(x)=x+1,分别求出f(x+1)=x+2,f -1(x+1)=x ，显然这两个函数图象是关于直线y=x+1对称的. 答案: B9. 函 齳=x 2-2x 在区间[a, b]上的值域是[-1, 3],则点(a, b)的轨迹是图中的（ ）A.线段AB 和线段ADB.线段AB 和线段CDC.线段AD 和线段BCD.线段AC 和线段BD 思路解析：本题主要考查了二次函数的图象,可注意到分类讨论,借助图象可知，当a=-1时,1≤b ≤3,当b=3时,-1≤a ≤1，由上图可得答案. 答案: A10. 设f （x ）＝lg(10 x ＋1)＋ax 是偶函数，g （x ）＝4x -b2x是奇函数，那么a ＋b 的值为（ ） A. 1 B. -1C. -21 D. 21思路解析：f （x ）＝lg(10 x＋1)＋ax 是偶函数，可知f(-x)=lg xx 10110+-ax=f(x)，可求出a=-21，g （x ）＝xx b 24-是奇函数，可知g(0)=0，可得b=1.答案: D11. 下列四个图象中，是函数图象的是（ ）A. (1)B. (1) (3) (4)C. (1）（2）（3）D. (3）（4）思路解析：注意到函数的图象的特点，不能存在一个自变量的取值对应两个或两个以上的函数值. 答案: B12. 某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ） A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 C. 5人洗浴 D. 6人洗浴思路解析：设经过时间t 时水箱中的水量为y,可知y=2t 2-34t+200,当t=434=217时,y 取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴. 答案: B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13. 函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为______________． 思路解析：要使函数有意义,则0<4x 2-3x ≤1,可解出x ∈［-41,0）∪(43,1］. 答案:［-41,0)∪(43,1］ 14. 已知a 、b 为常数，若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+ b)=x 2+10x+24，则5a-b=__________．思路解析：使用待定系数法.f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24,可求出a=1,b=3. 答案:2 15. 函数y=3472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是__________.思路解析：注意要分类讨论,当k=0时，显然成立，当k ≠0时，则要有（4k ）2-4k ×3<0,可解出0<k<43. 答案:0≤k<4316. “依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过800元的，免征个人工资、薪金所得税；超过800元部分需征税，设纳税所得额(所得额指月工资、薪金中应纳税的部分)为x ，x=全月总收入－800(元)，税率见下表： 级数 全月应纳税所得额x 税率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2 000元部分 10% 3 超过2 000元至5 000元部分 15% … … (9)超过100 000元部分45%某人2004年10月份工资总收入为 4 000元，试计算这个人10月份应纳个人所得税___________元.思路解析：(1)依税率表，有第一段：x ·5%,第二段：(x －500)·10%＋500·5%,第三段：(x －2 000)·15%＋1 500·10%＋500·5%,即f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<+-≤<50002000,175)2000(15.02000500,25)500(1.0,5000,05.0x x x x x x .(2)这个人10月份纳税所得额x=4 000－800=3 200, f(3 200)=0.15(3 200－2 000)＋175=355(元). 答案:355三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． （本小题满分12分）若集合M=｛a ｜a=x 2－y 2，x ，y ∈Z ｝. （1）整数8，9，10是否属于M ？ （2）证明一切奇数都属于M.解：（1）∵8=32-1，9=52-42，∴8∈M ，9∈M.假设10=x 2-y 2，x ，y ∈Z ，则(|x|＋|y|)(|x|－|y|)=10，且|x|＋|y|＞|x|－|y|＞0. ∵10=1×10=2×5， ∴⎩⎨⎧=-=+1||||10||||y x y x ,或⎩⎨⎧=-=+2||||5||||y x y x 显然均无整数解，∴10∉M.（2）设奇数为2n ＋1，n ∈Z ，则恒有2n ＋1=(n ＋1)2－n 2， ∴2n ＋1∈M ，即一切奇数都属于M.18． （本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2+2ax+2,x ∈[-5，5]． （1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值与最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数．解： （1）当a=-1时，f(x)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,x ∈［-5,5］. ∴x=1时，f(x)的最小值为1； x=-5时，f(x)的最大值为37．（2）函数f(x)=(x+a)2+2-a 2图象的对称轴为x=-a ，∵f(x)在区间［-5,5］上是单调函数，∴-a ≤-5或-a ≥ 5. 故a 的取值范围是a ≤-5或a ≥5．19． （本小题满分12分）已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|)1(22+--a x ax <0}. （1）当a=2时，求A ∩B;（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A ∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a 2+1)， 当a<13时,A=(3a+1,2) ,要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧≤++≥212132a a a ,此时a=-1；当a=31时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在；当a>31时，A ＝（2，3a ＋1）, 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ,此时1≤a ≤3.综上,可知使B ⊆A 的实数a 的取值范围为［1，3］∪{－1}.20. （本小题满分12分）设函数f(x)对任意x 、y ∈R ，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时， f(x)<0,f(1)=-2.（1）求证：f(x)是奇函数.（2）试问在-3≤x ≤3时，f(x) 是否有最值？如果有,求出最值；如果没有，说出理由.答案：（1）证明：令x=y=0，则有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0.令 y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数． （2）解：任取x 1<x 2，则x 2-x 1>0⇒f(x 2-x 1)<0,且f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=-f(x 2-x 1) >0.∴f(x 1)>f(x 2).∴y=f(x)在R 上为减函数.因此f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值. f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6, ∴函数最大值为6，最小值为-6.21. （本小题满分12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数y=hx 2+qx+r 或函数y=a ·b x＋c(a 、b 、c)为常数.已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.解：令f(x)=px 2+qx+r(p ≠0)，由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241r q p r q p r q p ,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7. ∴f(4)=1.3.再设g(x)=a ·b x+c,由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,有⎪⎩⎪⎨⎧=+•=+•=+•3.12.1132c b a c b a c b a ,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4. ∴g(4)=1.35.答：用y=-0.8×(0.5)x+1.4作模拟函数较好. 22. （本小题满分14分）设函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x), （1）求f(x)的定义域.（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由.解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x ,得⎩⎨⎧<>p x x 1,因为函数的定义域是非空集合，故p>1，所以f(x)的定义域为（1，p ）.（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-(x-21-p )2+4)1(2+p ］, ∴当21-p ≤1,即1<p ≤3时，f(x)既无最大值又无最小值； 当1<21-p <p, 即p>3时，当x=21-p 时，f(x)有最大值log 24)1(2+p ,但没有最小值.综上,可知1<p ≤3,f(x)既无最大值又无最小值；p>3,f(x)有最大值log 24)1(2+p ,但没有最小值.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 信息卷答案7答案(1)
答案7本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{a,2}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2答案 B2．已知i 为虚数单位，若11－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a b ＝( ) A ．1 B ． 2 C.22 D ．2 答案 C 3．“k ＝33”是“直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x <0，4x ，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)＝( )A ．9B ．11C ．13D ．15答案 B5．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B6．设不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则P 点的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.π8 B ．π4 C ．12＋πD ．12＋π答案 A7．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m (m >0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为( )A ．20%,369B ．80%,369C ．40%,360D ．60%,365答案 A8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83 B ．833C ．163D ．1633 答案 B9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则三个数a ＝f (－log 313)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1218，c ＝f (20.6)的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b 答案 C10．函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A11．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序．若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f [f (x )]－m 的零点个数至多有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．9个答案 A第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝________.答案 114．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.答案 5.2515．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________．答案 5516．已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________．答案 27π32a 2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差是1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2an 的前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋8)，解得a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .(2)T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以12T n ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1. 所以T n ＝2－2＋n2n .18．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．解(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，DO，PO⊂平面PDO，所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1＝1.又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，故三棱锥P－ABC体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB 旋转至平面C′PB，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．又因为OP＝OB，C′P＝C′B，所以OC′垂直平分PB，即E为PB的中点．从而OC′＝OE＋EC′＝22＋62＝2＋62，即CE＋OE的最小值为2＋62.19．(本小题满分12分)为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数．他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示．(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率．解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05＋0.075＋x 2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5，所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步)．(2)设评价级别是及格的2天分别为a，b，评价级别是良好的3天分别为x，y，z，则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab，xy，xz，yz.所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P＝410＝25.20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－83，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．解(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义知|QF|＝x0＋p 2，又|QF|＝2|PQ|，|PQ|＝x0，所以2x 0＝x 0＋p 2，解得x 0＝p2，将点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)证明：由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ， 所以点T 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝8x得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n >0. 所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ， 所以k MT ＋k NT ＝y 1＋2x 1－12＋y 2＋2x 2－12 ＝y 1＋2y 218－12＋y 2＋2y 228－12＝8y 1－2＋8y 2－2 ＝8(y 1＋y 2)－32y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝64m －32－8n －16m ＋4＝－83，解得n ＝m －1，所以直线MN 的方程为x ＋1＝m (y ＋1)，恒过定点(－1，－1)． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解 (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x . 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83. g ′(x )，g (x )的情况如下：所以g (x )的最小值为－6，最大值为0. 故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋2t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－16cos θ＝0，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P (1,3)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求1|P A |＋1|PB |的值．解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋2t (t 为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1， 曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－16cos θ＝0， 即ρ2sin 2θ－16ρcos θ＝0，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝16x . (2)直线的参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t(t 为参数)，代入y 2＝16x ，得45t 2－455t －7＝0，则t 1＋t 2＝5，t 1t 2＝－354， 1|P A |＋1|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝81035.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 解 (1)f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋|x －3|≤x ＋1.①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5. 又∵x>3，∴3<x≤5.综上所述，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.∴原不等式的解集为[1,5]．(2)证明：由绝对值不等式的性质，得|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立，∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，a2 a＋1＋b2b＋1＝(m－1)2m＋(n－1)2n＝m＋n＋1m＋1n－4＝4mn≥4⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝1.。
高三数学基础知识小题训练1(含答案)
选择填空题快速训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.2、△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556B.－6556C.－6516 D.65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒）12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒） 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15.21 16、乙，乙的标准差较小，比较稳定。
2022年河南省驻马店市高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年河南省驻马店市高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |x ≥﹣1}，B ＝{x |﹣1≤x ≤1}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ∩B ＝∅2．设x ∈R ，则“|x |＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4＝6，a 6＝4，则公差d ＝（ ） A ．1 B ．2C ．13D ．234．函数f(x)=−1x+1−2的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知tan α＝3，则3sinα−cosαsinα−2cosα=（ ）A ．45B ．2C ．5D ．86．已知x ，y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z ＝2x +4y 的取值范围是（ ）A ．[0，4]B ．[4，6]C ．[0，6]D ．[6，8]7．已知单位向量a →，b →满足a →⊥(a →+b →)，则向量a →与b →的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．0或πD ．5π68．函数y ＝23x +1在x ＝0处的导数是（ ） A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．29．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于30km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．30kmB ．30√2kmC ．30√3kmD ．15√5km10．直线mx +（m +1）y ﹣2＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（m ∈R ）相切，则m ＝（ ） A ．1B ．3C ．0或1D ．0或311．已知x ＞0，y ＞0，x +2y ＝1，则(x+1)(y+1)xy的最小值为（ ） A ．4+4√3B ．12C ．8+4√3D ．1612．在三棱锥P ﹣ABC 中，点A 在平面PBC 中的投影是△PBC 的垂心，若△ABC 是等腰直角三角形且AB ＝AC ＝1，PC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球表面积为（ ）A ．πB ．4π3C ．4πD ．6π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知α是第二象限的角，tan α=−√3，则sin （90°+α）＝ ． 14．命题“∃x ≥0，x 2﹣2x ﹣3≤0”的否定是 ．15．直线l ：（m +1）x +（1﹣m ）y ﹣4m ﹣2＝0被圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝9所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ．16．若函数f （x +1）为偶函数且f （2）＝2，当x 1＞x 2≥1时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，则不等式f （x ）≥2的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知等差数列{a n }满足a n +1+a n ＝4n +2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n ﹣a n }是公比为3的等比数列，且b 1＝3，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，sin A+a sin B＝2√3．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a≤b，a sin A+c sin C＝6sin B，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1＝1，∠ABC=2π3，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．（1）证明：MN∥平面AB1C1；（2）若BA＝BC＝2，求二面角A﹣B1C1﹣B的平面角的大小．20．（12分）已知函数a →=（2，√3），b →=（sin 2(x +π6)，sin(2x +π3)），f （x ）=a →•b →−1． （1）求函数f （x ）的对称轴方程； （2）将函数f （x ）图像先向左平移π12个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图像，当x ∈[0，π4]时，求函数g （x ）的单调区间．21．（12分）已知⊙O：x2+y2＝r2（r＞0），过圆外一点M（7，1）引圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，且MA⊥MB．（1）求r；（2）直线l交⊙O所得弦长为2，且分别交x轴、y轴于P（a，0），Q（0，b），a＞0，b ＞0，求a2+2b2的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝xlnx+1，不等式f[g（x）]≥f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2022年河南省驻马店市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |x ≥﹣1}，B ＝{x |﹣1≤x ≤1}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ∩B ＝∅解：因为集合A ＝{x |x ≥﹣1}，B ＝{x |﹣1≤x ≤1}， 所以B ⊆A ， 故选：C ．2．设x ∈R ，则“|x |＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由|x |＜1，可得﹣1＜x ＜1， 由x 2＜1可得，﹣1＜x ＜1，故“|x |＜1”是“x 2＜1”的充要条件， 故选：C ．3．在等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4＝6，a 6＝4，则公差d ＝（ ） A ．1B ．2C ．13D ．23解：等差数列{a n }中，∵a 2+a 3+a 4＝6，a 6＝4， ∴3a 1+6d ＝6，a 1+5d ＝4， 解得d =23， 故选：D ．4．函数f(x)=−1x+1−2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据题意，f(x)=−1x+1−2的图象可以由函数y =−1x 的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到， A 选项图象符合， 故选：A ． 5．已知tan α＝3，则3sinα−cosαsinα−2cosα=（ ）A ．45B ．2C ．5D ．8解：因为tan α＝3， 所以3sinα−cosαsinα−2cosα=3tanα−1tanα−2=3×3−13−2=8．故选：D ．6．已知x ，y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z ＝2x +4y 的取值范围是（ ）A ．[0，4]B ．[4，6]C ．[0，6]D ．[6，8]解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝2x +4y 得y =−12x +z4，平移直线y =−12x +z 4，由图象知当直线经过A 点时，直线的截距最大，此时z 最大， 此时x +2y ＝3，即z ＝2x +4y ＝6，经过点C （2，0）时，直线的截距最小，此时z 最小，z ＝2x +4y ＝4+0＝4， 即4≤z ≤6，即z 的取值范围是[4，6]， 故选：B ．7．已知单位向量a →，b →满足a →⊥(a →+b →)，则向量a →与b →的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．0或πD ．5π6解：∵单位向量a →，b →满足a →⊥(a →+b →)，∴a →•（a →+b →）=a →2+a →⋅b →=1+a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=1×1×cos ＜a →，b →＞=−1，∴cos ＜a →，b →＞=−1，∴＜a →，b →＞=π， 则向量a →与b →的夹角为π， 故选：B ．8．函数y ＝23x +1在x ＝0处的导数是（ ） A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2解：∵y ′＝3ln 2•23x +1，∴y ＝23x +1在x ＝0处的导数是：3ln 2×2＝6ln 2． 故选：A ．9．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于30km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．30kmB ．30√2kmC ．30√3kmD ．15√5km解：由题意得，AC ＝BC ＝30，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝900+900﹣2×30×30×（−12）＝2700，∴AB ＝30√3， 即灯塔A 与灯塔B 的距离为30√3km ．故选：C ．10．直线mx +（m +1）y ﹣2＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（m ∈R ）相切，则m ＝（ ） A ．1B ．3C ．0或1D ．0或3解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为（1，1），半径r ＝1， 由题意可得√m 2+(m+1)2=√2m 2+2m+1=1，解得m ＝0或3． 故选：D ．11．已知x ＞0，y ＞0，x +2y ＝1，则(x+1)(y+1)xy的最小值为（ ） A ．4+4√3B ．12C ．8+4√3D ．16解：由x +2y ＝1可得，(x+1)(y+1)xy =(x+x+2y)(y+x+2y)xy=(2x+2y)(x+3y)xy=2x 2+8xy+6y 2xy=2x y+6y x+8≥2√2x y×6y x+8=8+4√3．当且仅当2x y =6y x时，等号成立，即x 2＝3y 2．所以(x+1)(y+1)xy的最小值为8+4√3，故选：C ．12．在三棱锥P ﹣ABC 中，点A 在平面PBC 中的投影是△PBC 的垂心，若△ABC 是等腰直角三角形且AB ＝AC ＝1，PC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球表面积为（ ） A ．πB ．4π3C ．4πD ．6π解：设△PBC 的垂心为H ，则AH ⊥平面PCB ，所以AH ⊥PC ，又BH ⊥PC ，所以PC ⊥平面ABH ，所以PC ⊥AB ，同理AC ⊥BP ，AP ⊥BC ． 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，所以AB ⊥平面APC ，所以AB ⊥AP ，又因为AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP ⊥AC ，则AP =√PC 2−AC 2=√2 因为AB ，AP ，AC 两两互相垂直，设三棱锥P ﹣ABC 的外接球半径为R ，则（2R ）2＝AP 2+AB 2+AC 2，所以4R 2＝4，球的表面积为4πR 2＝4π． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知α是第二象限的角，tan α=−√3，则sin （90°+α）＝ −12． 解：因为α是第二象限的角，tan α=−√3，所以α＝2k π+120°，k ∈Z ， 所以sin （90°+α）＝cos α＝cos120°=−12． 故答案为：−12．14．命题“∃x ≥0，x 2﹣2x ﹣3≤0”的否定是 ∀x ≥0，x 2﹣2x ﹣3＞0 ． 解：命题为特称命题，则命题的否定为“∀x ≥0，x 2﹣2x ﹣3＞0”， 故答案为：∀x ≥0，x 2﹣2x ﹣3＞0．15．直线l ：（m +1）x +（1﹣m ）y ﹣4m ﹣2＝0被圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝9所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 x +2y ﹣1＝0 ．解：直线l ：（m +1）x +（1﹣m ）y ﹣4m ﹣2＝0，即 m （x ﹣y ﹣4）+（x +y ﹣2）＝0， 圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝9的圆心C （2，﹣3）、半径为3， 由{x −y −4=0x +y −2=0，解得{x =3y =−1，故直线l 经过定点A （3，﹣1）．要使直线l 被圆C 截得的弦长最短，需CA 和直线l 垂直， 故有k CA •k l ＝﹣1，即−1+33−2•（−m+11−m）＝﹣1， 解得m =−13，所以直线方程为x +2y ﹣1＝0． 故答案为：x +2y ﹣1＝0．16．若函数f （x +1）为偶函数且f （2）＝2，当x 1＞x 2≥1时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，则不等式f （x ）≥2的解集为 （﹣∞，0]∪[2，+∞） ． 解：因为当x 1＞x 2≥1时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立， 即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0在[1，+∞）上恒成立，所以f （x ）在[1，+∞）上单调递增， 又函数f （x +1）为偶函数， 即f （1﹣x ）＝f （x +1）， 所以函数f （x ）关于x ＝1对称，则函数f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减， 因为f （2）＝2， 则f （0）＝2，所以不等式f（x）≥2，解得x≤0或x≥2，所以不等式f（x）≥2的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列{a n}满足a n+1+a n＝4n+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n﹣a n}是公比为3的等比数列，且b1＝3，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a n+1+a n＝4n+2，可得a1+nd+a1+（n﹣1）d＝2nd+（2a1﹣d）＝4n+2，即有2d＝4，2a1﹣d＝2，解得d＝2，a1＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）若数列{b n﹣a n}是公比为3的等比数列，且b1＝3，则b n﹣a n＝3n﹣1，由（Ⅰ）可得b n＝a n+3n﹣1＝2n+3n﹣1，所以S n＝（2+4+...+2n）+（1+3+9+...+3n﹣1）=12n（2+2n）+1−3n1−3＝n+n2+3n2−12．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，sin A+a sin B＝2√3．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a≤b，a sin A+c sin C＝6sin B，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵b＝3，sin A+a sin B＝2√3，且a sin B＝b sin A，∴sin A+3sin A＝2√3，得sin A=√3 2，∵A∈（0，π），∴A=π3或A=2π3；（Ⅱ）∵a≤b，∴A≤B，结合（Ⅰ）可得A=π3，由a sin A+c sin C＝6sin B，结合正弦定理可得，a2+c2＝6b＝18，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即18﹣c 2＝9+c 2﹣6c •12=9+c 2﹣3c ，∴2c 2﹣3c ﹣9＝0，解得c =−32（舍去），或c ＝3． ∴S △ABC =12bc ⋅sinA =12×3×3×√32=9√34． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱BB 1＝1，∠ABC =2π3，且M ，N 分别为BB 1，AC 的中点，连接MN ． （1）证明：MN ∥平面AB 1C 1；（2）若BA ＝BC ＝2，求二面角A ﹣B 1C 1﹣B 的平面角的大小．（1）证明：如图，取AC 1的中点P ，连接B 1P ，PN ．∵N 为AC 的中点，∴PN ∥C 1C ，且PN =12C 1C ．又∵B 1M ∥C 1C ，B 1M =12C 1C ，∴PN ∥B 1M ，PN ＝B 1M ，∴四边形B 1MNP 是平行四边形，∴MN ∥B 1P ．又B 1P ⊂平面AB 1C 1，MN ⊄平面AB 1C 1，∴MN ∥平面AB 1C 1．（2）解：如图，以点B 为原点，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 的边长BA ＝BC ＝2，侧棱BB 1=1，∠ABC =2π3， ∴A(√3，−1，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，B 1(0，0，1)，C 1(0，2，1)，∴AB 1→=(−√3，1，1)，B 1C 1→=(0，2，0)． 设平面AB 1C 1的法向量为m →=(x ，y ，z)．则{m →⋅AB 1→=−√3x +y +z =0m →⋅B 1C 1→=2y =0，令x ＝1，则z =√3，∴m →=(1，0，√3)． ∵平面BB 1C 1的一个法向量为n →=(1，0，0)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=12×1=12，∵由图知二面角A ﹣B 1C 1﹣B 的平面角为锐角， ∴二面角A ﹣B 1C 1﹣B 的平面角的大小为π3．20．（12分）已知函数a →=（2，√3），b →=（sin 2(x +π6)，sin(2x +π3)），f （x ）=a →•b →−1．（1）求函数f （x ）的对称轴方程； （2）将函数f （x ）图像先向左平移π12个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图像，当x ∈[0，π4]时，求函数g （x ）的单调区间． 解：（1）由题可得f （x ）=a →•b →−1＝（2，√3）•（sin ²（x +π6），sin （2x +π3））﹣1 ＝2sin ²（x +π6）+√3sin （2x +π3）﹣1 ＝1﹣cos （2x +π3）+√3sin （2x +π3）﹣1 ＝2sin （2x +π6） 令2x +π6=π2+k π（k ∈Z ），解得x =π6+kπ2（k ∈Z ）， 即函数的对称轴方程为：x =π6+kπ2（k ∈Z ）； （2）将函数f （x ）图像先向左平移π12个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），则函数g （x ）＝sin （4x +π3），令−π2+2k π≤4x +π3≤π2+2k π（k ∈Z ），则x ∈[−5π24+kπ2，π24+kπ2]（k ∈Z ），则当x ∈[0，π4]时，令k ＝0，则x ∈[−5π24，π24]，所以g （x ）的单调递增区间为[0，π24]；令π2+2k π≤4x +π3≤3π2+2k π（k ∈Z ），则x ∈[π24+kπ2，7π24+kπ2]（k ∈Z ）， 则当x ∈[0，π4]时，令k ＝0，则x ∈[π24，7π24]，所以g （x ）的单调递减区间为[π24，π4]；综上：g （x ）的单调递增区间为[0，π24]；单调递减区间为[π24，π4]．21．（12分）已知⊙O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），过圆外一点M （7，1）引圆的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，且MA ⊥MB ． （1）求r ；（2）直线l 交⊙O 所得弦长为2，且分别交x 轴、y 轴于P （a ，0），Q （0，b ），a ＞0，b ＞0，求a 2+2b 2的最小值． 解：（1）如图，连结OA ，OB ，因为∠AMB ＝90°，MA ，MB 与OO 相切， 故四边形OAMB 为正方形， 又OM =√2r =√72+12=5√2， 所以r ＝5；（2）设直线l 的方程为xa +y b=1，故原点O 到直线l 的距离为√1a 2+1b2=√52−1，所以1a 2+1b 2=124，故a 2+2b 2＝24（a 2+2b 2）（1a 2+1b 2）＝24（3+2b 2a 2+a 2b2）≥24（3+2√2）＝72+48√2，当且仅当a 2=√2b 2时取等号，即b 2＝24+12√2，a 2＝24+24√2， 故a 2+2b 2的最小值为72+48√2．22．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx ﹣1（a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g （x ）＝xlnx +1，不等式f [g （x ）]≥f （x ）在x ∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵x＞0，f′(x)=1−a x．①当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝a．当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．（2）由题意，函数g（x）＝xlnx+1，且f[g（x）]≥f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，先由g（x）＝xlnx+1，可得g'（x）＝lnx+1，当x∈(0，1e)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴当x=1e时，函数g(x)min=g(1e)=1−1e=e−1e＞0．再令h（x）＝g（x）﹣x＝xlnx﹣x+1，且x∈（0，+∞），可得h'（x）＝lnx+1﹣1＝lnx，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴当x＝1，函数h（x）取得最小值，为h（x）min＝0，∴h（x）≥0，即xlnx+1≥x在区间（0，+∞）上恒成立．由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f[g（x）]≥f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴f[g（x）]≥f（x）在x∈（0，+∞）上不恒成立．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．。
高中数学空间几何经典习题及解答
1 高中数学空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．p 32B ．p 31C ．p 32D ．p 322 2．如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，．如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 为（为（ ）A ．1800B ．1200 C ．600D ．450 3．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，r AC 2=，则球的体积与三棱锥体积之比是（，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A ．p B ．p 2 C ．p 3 D ．p 44．如图所示，如图所示，一个空间几何体的正视图、一个空间几何体的正视图、一个空间几何体的正视图、侧视图、侧视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为（ ）A ．1 B ．21 C ．31 D ．61 5．一平面截球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（积是（ ）A ．33100cm pB ．33208cm pC ．33500cm pD ．33416cm p6．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）A ．6:5p B ．2:6p C ．2:pD ．12:5p 7．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h 3，则h 1:h 2:h 3等于（等于（ ）A ．1:1:3B ．2:2:3C ．2:2:3D ．3:2:38．如图所示的一个5×4×4的长方体，阴影所示为穿透的三个洞，的长方体，阴影所示为穿透的三个洞， 那么剩下的部分的体积是（那么剩下的部分的体积是（ ） A ．50 B B．．54 C 54 C．．56 D D．．582 9.9.一个正三棱锥的四个顶是半径为一个正三棱锥的四个顶是半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．123B ．43C ．33D D．．433 1010．如图用□表示．如图用□表示1个正方体，用□（浅黑）表示两个正方体叠加，用□（深黑）表示三个立方体叠加，示三个立方体叠加，那么右图是由那么右图是由7个立方体叠成的几何体，个立方体叠成的几何体，从正前方观察，从正前方观察，从正前方观察，可画出可画出的平面图形是（的平面图形是（ ））11.11.如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，并使三角板与地面垂直，P P 为三角板与球的切点，为三角板与球的切点，如果测得PA PA＝＝5，则球的表面积为（，则球的表面积为（ ））A ．p 200B ．p 300C ．p 3200D ．p 330012.12.一个盛满水的三棱锥容器，一个盛满水的三棱锥容器，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ；且知SD SD：：DA DA＝＝SE SE：：EB EB＝＝CF CF：：FS FS＝＝2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ））A ．2923B ．2723C ．2719D ．3531二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）分）13.13.若棱长为若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________________________。
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f
(2a 1)
0
f
(1 a)
f
(2a 1)
2 1 a 2 f (1 2a) 2 1 2a 2
1 a 1 2a
1 a 3
1 2
a
3 2
a 0
1 2
a
0
21.解析：(1)证明：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，因为 f(1)＝2，所以 1＋a＝2，即 a＝1，
f
1 2
f
3
f
1 3
f
4
f
1 4
f
1
f
1 1
又f
1
12 112
1 2
f
1
f
2
f
3
f
4
f
1 2
f
1 3
f
1 4
4
1 2
A. 0
B. 1
C. 0 或 1
D.2
3．如果 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间(- ,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是（ ）
A. a 3
B. a 3
C. a 3
D. a 5
4．f (x), g(x)都是定义在R上的函数，f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (x)，g(x)
第4页 共6页
22.(12分)已知函数f
x
x2 1 x2
,
x
R.
1 求f
x
f
1 x
的值； 2 计算f
1
f
2
f
3
f
4
f
1 2
f
1 3
f
1 4
第5页 共6页
参考答案
一．DCBBC DBABB BC
.
15．已知全集U ={0，1，2}，则满足 ðU (A B) ={2}的集合 A ， B 共有
组.
16．
f
(x)
x 1 x 3
x 1, 则 f ( f ( 5)) =
x 1.
2
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本大题满分 10 分） 已知函数 f (x) = x2 x 1， g(x) x2 3，
一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。）
1．下列表述正确的是（ ）
A. 0
B. 0
C. 0 {}
D. 0
2.函数 y ax b 在[1,2]上的最小值为 0，最大值为 1，则 a b 的值为（ ）
都不恒为0，则h x f x g x为
A.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
B.奇函数 D.以上都不对
5． A ={x | 1 x 2}， B ={x | x a}，若 A B ，则 a 的范围为（ ）
A. a 2
B. a 2
C. a 1
7 2
第6页 共6页
(1) 求 f (2x) 的解析式;
(2) 求 f (g(x)) 的解析式;
第2页 共6页
18．(12 分) 作下列函数的图像：
x2, ① f (x) 1,
2x 1,
x0 x0 x 0.
y
② y 2 x 3
y
0
x
0
x
19.12分已知函数f x x 3 1 的定义域为A,集合B=x Z 2 x 10;
C．(－3,0)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
13． y x2 x 2 的定义域为[-1,2]，则 y 的取值范围为
.
14． A {x | ax2 3x 2 0, x R}，若 A 中至多有 1 个元素，则 a 的取值范围为
f(x)＝x2＋x 1＝x＋1x，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
(2)证明：任取 x1，x2∈(1，＋∞)且 x1<x2.
f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－(x2＋x12) ＝(x1－x2)·x1xx12x－2 1.
∵x1<x2，且 x1x2∈(1，＋∞)，
∴x1－x2<0，x1x2>1，
A.
B. {d}
C. {a, c}
D.{b, e}
9．将进货单价为８元的商品按 10 元一个销售时，每天可卖出 100 个，若这种商品的销售单价每涨 1 元，日销售
量就减少 10 个，为了获得最大利润，销售单价应定为（ ）
A.12 元
B. 14 元
C. 4 元
D.6 元
10.若A a,b, c, B 1, 2,从A到B建立映射，使f a f b f c 4,则满足条件的映射
D. 1 a 2
6.给出下列命题：1 Ø 0,20 0,3U {1, 2,3, 4}, B {2, 4},则ðUB {1,3}，
其中正确的是
A.（1）（2）
B.（2）（3）
C.（2）
D. （1）（3）
7． y f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 2x 3 ，则当 x 0 时 f (x) 为（ ）
个数是
A. 2Bຫໍສະໝຸດ 3C. 5D. 7
11.已知f
x
x
f
5
x
2
x6
则f 3
x<6
A.5
B.2
C.4
D.7
第1页 共6页
12．若函数 f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又 f(3)＝0，则 x f(x)<0 的解集为( )
A．(－3,3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
A. f (x) x2 2x 3
B. f (x) x2 2x 3
C. f (x) x2 2x 3
D. f (x) x2 2x 3
8．设全集U ={a,b, c, d, e}， N {b, d, e} ， M {a, c, d}，则 ðU (M N) 等于（ ）
二．13. 9 y 4 14.a=0 或 a 9
15.9
3
16 .
4
4
2
三．17. 1 f 2x 4x2 2x 1;
2 f g x x4 5x2 7;
19. 1 A=3,7;2ðRA B=7,8,9
20. f
(1 a)
∴f(x1)－f(x2)<0，
所以 f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
(3)由(2)知，f(x)在[2,5]上的最大值为 f(5)＝256，最小值为 f(2)＝52.
1
f
x
f
1 x
1
x
2
x
2
x2
1
1 x2
x2 1 x2
1 1 x2
1
22.
f
2
7x
1求集合A；2求(ðRA) B.
第3页 共6页
20．(12 分)已知函数 f (x) 在定义域（-2，2）内是增函数，且 f (x) = f (x) ， f (1 a) f (2a 1) 0 ，求 a
的范围.
21. (12 分)已知函数 f(x)＝x2＋x a，且 f(1)＝2， (1)证明函数 f(x)是奇函数； (2)证明 f(x)在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数 f(x)在[2,5]上的最大值与最小值．