高中数学讲义 第五章 数列 (超级详细)

（2）这个数列的前 5 项是 2, 7, 10, 11, 10 ；（图象略）
（3）由函数 f (x) x2 8x 5 的单调性： (, 4) 是减区间， (4, ) 是增区间，
所以当 n 4 时， an 最小，即 a4 最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解 决数列的问题有时非常方便。
分析：70 是否是数列的项，只要通过解方程 70 n2 8n 5 就可以知道；而作图时则要注意数列与函数
的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注 意定义域问题。
解：（1）由 70 n2 8n 5 得： n 13 或 n 5
所以 70 是这个数列中的项，是第 13 项。
2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；
3． 注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】 1．在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，首项 a1= -2
，公差 d= 3 。
16
2．一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，则它的第 1 项是 ，第 2 项是 8 。
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②；
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, ③
∴ nbn2 (n 1)bn1 2 0. ④
③－④，得 nbn2 2nbn1 nbn 0, 即
4．已知数列{an}的前 n
项和
Sn
n(5n 1) 2
，则其通项 an
【范例导析】
5n 2 ．
例 1．设数列{an} 的通项公式是 an n2 8n 5 ，则
（1）70 是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前 5 项，并作出前 5 项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
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（II）证明：因为 1 1 1 ， an1 an 2n1 2n 2n
所以 1 1 1 1 1 1 L 1
a2 a1 a3 a2
an1 an 21 22 23
2n
1 1 1
2 2n 1 1
2
1
1 2n
1.
2
点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注
例 2．（1）已知数列{log 2 (an 1)}n N * ) 为等差数列，且 a1 3, a3 9.
（Ⅰ）求数列{an }的通项公式；（Ⅱ）证明 a2
1 a1
a3
1 a2
1 an1 an
1.
分析：（1）借助 a1 3, a3 9. 通过等差数列的定义求出数列{log 2 (an 1)}n N * ) 的公差，再求出数列
n2
2
n2
1
n4
n2
1
；
3
3
（2）令 79 2 n2 n 1 ，解方程得 n 15,或n 16 ，
3
3
∵ n N ，∴ n 15 ，
即 79 2 为该数列的第 15 项。 3
第 2 课 等差、等比数列
【考点导读】
1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；
{an
}
的通项公式，（2）求和还是要先求出数列
{
a
1 n1
an
}
的通项公式，再利用通项公式进行求和。
解：（1）设等差数列{log 2 (an 1)}的公差为 d，
由 a1 3, a3 9得 : 2(log 2 2 d ) log 2 2 log 2 8, 即 d=1。
所以 log 2 (an 1) 1 (n 1) 1 n, 即 an 2n 1.
∴ a1 an 60
（2）答案：2
因为前三项和为 12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝ S3 ＝4 3
又 a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把 a1，a3 作为方程的两根且 a1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选 B. 点评：本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
即{bn}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。
（2） Sn
a
(4a
4)(1 2n1) 1 2
3a
4
(2a
2)2 n
当
n≥2
时，
Sn Sn1
(2a 2)2n 3a 4 (2a 2)2n1 3a 4
2
(a
3a 4 1)2n1 3a
4
∵{Sn } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数，
S n 1
∴3a+4=0，即 a 4 。 3
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。
【反馈演练】
1．已知等差数列an 中， a2 7, a4 15 ，则前 10 项的和 S10 ＝ 210 。
2．在等差数列an 中，已知 a1 2, a2 a3 13, 则 a4 a5 a6 ＝
n1 n 2 n3
2n
2n 1 2n 2
n
4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 S（n 万件）近似地满足 Sn=
90
（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是 8月 。
7 月、
5．在数列{an} 中， a1 1, a2 2 3, a3 4 5 6, a4 7 8 9 10, 则 a10 505
bn2 2bn1 bn 0, bn2 bn1 bn1 bn (n N *), bn 是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
【反馈演练】
1．若数列an 前 8 项的值各异，且 an8 an 对任意 n∈N*都成立，则下列数列中可取遍an 前 8 项值的
【知识图解】
高中数学复习讲义 第五章 数列
一般数列
通项
前n项 和
函数
数列
等差数列
通项公式
前 n 项和公式
特殊数列
等比数列
中项性质
通项公式
前 n 项和公式
中项性质
【方法点拨】 1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧． 3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）
42 。
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（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn} 满足 4b1 4 1 b2 1...4bn 1 (an 1)bn .(n N * ) ,证明：{bn}是等差数列;
分析：本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题，第 2 问依然是构造问题。
解：（I） an1 2an 1(n N *), an1 1 2(an 1),
例
2．设数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，点
(n,
Sn n
)(n
N
)
均在函数
y＝3x－2
的图像上,求数列
{an
}
的通项
公式。
分析：根据题目的条件利用 Sn 与 an 的关系：
an
S1 (当n Sn (当n
1时) 2时)
，（要特别注意讨论
n=1
的情况）求出
数列{an} 的通项。
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an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列。 an 1 2n.
即 an 2n 1(n N *).
（II） 4b1 4 1 b2 1...4bn 1 (an 1)bn .
4 2 . (b1 b2 ...bn )n
nbn
2[(b1 b2 ... bn) n] nbn,
。
6．数列an 中，已知 an
n2
n 3
1 (n
N)
，
（1）写出 a10 ， an1 ， an2 ；
（2） 79 2 是否是数列中的项？若是，是第几项？ 3
解：（1）∵ an
n2
n 3
1 (n N )
，∴
a10
102
10 3
1
109 3
，
an1
n 12
n 1 1
3
n2
3n 3
1
，
an2
数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
第 1 课 数列的概念
【考点导读】 1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解 数列是一种特殊的函数； 2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
意观察规律。
例 3．已知数列 an 的首项 a1 2a 1（ a 是常数，且 a 1 ）， an 2an1 n 2 4n 2 （ n 2 ），数
列 bn 的首项 b1 a ， bn an n2 （ n 2 ）。
（1）证明： bn 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；
（2）设 Sn 为数列 bn 的前 n 项和，且 Sn 是等比数列，求实数 a 的值。
S 解：依题意得， n 3n 2, 即 S n
n 3n2 2n 。
S S 当 n≥2 时， an n
n 1
(3n
2
Leabharlann Baidu
2n )
3
n
12
2(n
1)
6n
5
;
当 n=1 时， a1 S1 1
所以 an 6n 5(n N *) 。
例 3．已知数列｛a n ｝满足 a1 1 , an1 2an 1(n N * )
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。
解：（1）∵ bn an n 2 ∴ bn1 an1 (n 1)2 2an (n 1)2 4(n 1) 2 (n 1)2
2an 2n 2 2bn (n≥2)
由 a1 2a 1得 a2 4a ， b2 a2 4 4a 4 ，∵ a 1 ，∴ b2 0 ，
13
项。
（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 2
。
解：（1）答案：13
法 1：设这个数列有 n 项
∵
S3 3a1
S
3
Sn
32 2
S n3
d
3a1
3nd
6d
S
n
a1n
n(n 1) 2
d
∴ 33(aa113dd)(n342) 146
a1n
期变化的,且三个一循环,所以可得: a20 a2 3.
2．在数列{an} 中，若 a1 1 ， an1 an 2(n 1) ，则该数列的通项 an 2n-1 。
3．设数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，
Sn
a1(3n 1) 2
(n
N
*)
，且 a4 54 ，则 a1 ____2__.
n(n 1)d 2
390
∴n＝13 法 2：设这个数列有 n 项
∵ a1 a2 a3 34,an an1 an2 146
∴ (a1 an ) (a2 an1) (a3 an2 ) 3(a1 an ) 34 146 180
又 n(a1 an ) 390 2
∴n＝13
3
3．设an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2a3 80 ，则 a11 a12 a13 105 。
4．公差不为 0 的等差数列{an}中，a2，a3，a6 依次成等比数列，则公比等于 3
。
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【范例导析】
例 1．（1）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有
3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 n 项和的问题。
【基础练习】
1.已知数列{an } 满足 a1
0, an1
an 3an
3 1
(n
N
*
)
，则
a
20
=
3。
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分析:由 a1=0, an1
an 3an
3 1
(n
N
)
得
a2
3, a3
3, a4 0, 由此可知: 数列 {an } 是周
数列为
（2）
（1） a2k1
。
（2） a3k1
（3） a4k1
（4） a6k1
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2．设 Sn 是数列an 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an 是 等差数列，但不是等比数列 。
3．设 f（n）= 1 1 1 1 （n∈N），那么 f（n+1）－f（n）等于 1 1 。