湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题含答案
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．63．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜04．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+三、填空题（共4小题）13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x解：命题为全称命题，则命题的否定为x0＞0，使得x0≤sin x0，故选：B．2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．6解：由点D在z轴上，设D（0，0，m），故＝（1，﹣1，m﹣2），而＝（1，﹣3，﹣1），∵，∴•＝1+3﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝6，故||＝＝3，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜0解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选：A．4．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对解：如图，设α∩β＝l，P是两相交平面α，β外的任意一点，当过P的直线a与l平行时，a∥α，a∥β，∵过l外的一点P与l平行的直线唯一，∴过点P有且仅有一条直线与α，β都平行，故A正确；若过点P有一条直线与α，β都垂直，则α∥β，与α，β相交矛盾，故B错误；有无数条过点P的直线与α，β都相交，故C错误；∵A正确，∴D错误．故选：A．5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°解：椭圆＝1的右焦点F（1，0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，所以P＝2，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，＝3，|AF|＝，|BF|＝，∴＝．∴cosα＝，所以α＝60°．故选：C．6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：由等比数列的性质可知：a3a4＝a1a6＝a2a5，又a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，两式相除可得：+++++＝+++++＝×（﹣）＝﹣，故选：D．7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），由＝λ，可得P（λ，λ，1﹣λ），则＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），因为∠APC为锐角，所以＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）•（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，解得λ，或λ＞1，又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，所以0，故λ的取值范围是[0，）．故选：A．8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设左焦点关于bx+ay＝0的对称点为Q（x，y），由题意可得，解得：x＝，y＝，即Q（，），而Q在双曲线上，＝1，整理可得（c2﹣2a2）2﹣4a4﹣a2c2＝0，即c4＝5a2c2，整理可得：c2＝5a2，所以离心率e＝＝，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程解：双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），可得a＝|cosθ|，b＝|cosθ|，所以c＝2|cosθ|，所以顶点坐标，焦距是变量；所以AC不正确，离心率为：e＝＝，所以B正确；渐近线方程为：x y＝0，所以D正确；故选：BD．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1＝O，则CO⊥BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，AB⊂平面ABC1D1，∴平面BB1C1C⊥平面ABC1D1，∵平面BB1C1C∩平面ABC1D1＝BC1，CO⊥BC1，∴CO⊥平面ABC1D1，则∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故A正确；CO为C到平面ABC1D1距离，长为＝，故B正确；由AB∥C1D1，AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，得BC1∥AD1，则∠AD1C为异面直线CD1和BC1所成的角，为，故C错误；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AD，DD1⊥DB，可得△D1DA，△D1DB为直角三角形，∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，可得△BAD，△BAD1为直角三角形，∴三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形，故D正确．故选：ABD．11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线解：若mn＞0，则C为双曲线，所以A正确；若m＞0且m+n＜0，可得n＜0，|n|＞m＞0，所以则C为焦点在x轴的椭圆，所以B正确；若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆，显然不正确，反例m＝1，n＝﹣1，是单位圆，所以C不正确；若m＞0，n＝0，则C为两条直线，所以D正确；故选：ABD．12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+解：由题设可得：a＝2，b＝＝c，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝4，故选项A正确；由椭圆的性质可知：|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2c＝2（当P为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B正确；又由椭圆的性质可知：当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时tan＝＝＜，∴＜60°，即∠F1PF2＜120°，故选项C错误；设P（2cosθ，sinθ），则|MP|＝＝＝，当sinθ＝﹣1时，|MP|max＝2+，故选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，渐近线方程为y＝±x，可得焦点（2，0）到渐近线的距离为d＝＝．故答案为：．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为4．【解答】设OA：y＝kx，代入y2＝2x得x＝0，x＝，∴A（，），同理以﹣代k得B（2k2，﹣2k）．|OA|＝，|OB|＝，△AOB面积S＝|OA||OB|＝×＝2（）≥4，当且仅当k＝±1时，取等号．所以△AOB面积的最小值为4．故答案为：4．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝10﹣解：且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，①当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2+2（n﹣1）②，①﹣②得：2n﹣1a n＝2n+1，所以．所以③，④，故③﹣④得：＝，整理得．16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为3π．解：∵BD＝，BC＝DC，BC⊥DC，∴BC＝DC＝1，∵AB＝AD＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AD2+DC2＝AC2，即AB⊥BC，AD⊥CD，取AC的中点M，则MA＝MC＝MB＝MD，∴点M即为外接球的球心，外接球的半径r＝MA＝AC＝，∴外接球的表面积为4πr2＝4π•＝3π．故答案为：3π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0即（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．解：（1）若选①，a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项，则，由{a n}为等差数列，S3＝15，得3a2＝15，∴a2＝5，把a2＝5代入上式，可得（4﹣d）（6+d）＝16，解得d＝2或d＝﹣4（舍）．∴a1＝3，a n＝2n+1；若选②，等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3，可得b3＝b1q2，即a3＝a2，即有（a1+2d）＝（a1+d），又S3＝15，可得3a1+×3×2d＝15，即a1+d＝5，解得d＝﹣＜1，不符题意，故选①，此时a n＝2n+1；（2）∵＝，∴T n＝（++…+）＝（﹣）＝．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圆心C（1，2），半径为1，因为切线在x轴，y轴上的截距相等，若切线的截距为0时，设切线方程为y＝kx，由＝1，解得k＝，切线方程为y ＝x，当切线的截距不为0时，设切线方程为x+y＝a，则＝1，解得a＝3±，即切线方程为x+y＝3±．综上，切线方程为y＝x，或x+y＝3±．（2）由条件知|PO|2+r2＝|PC|2，所以x02+y02+1＝（x0﹣1）2+（y0﹣2）2，即x0+2y0﹣2＝0，即点P在直线x+2y﹣2＝0上运动，要使|PM|最小，只要|PO|最小即可，即直线x+2y﹣2＝0上的点到原点的距离最小，最小值即为点O到直线x+2y﹣2＝0的距离为＝．所以|PM|的最小值为．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则O为BD的中点，又E为PD的中点，所以PB∥OE，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．（2）由菱形ABCD的面积为2，得菱形边长为2，取BC中点M，连接AM，以点A为原点，以AM为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系．D（0，2，0），A（0，0，0），E（0，1，），C（，1，0），＝（0，1，），＝（，1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，令x＝，得＝（，﹣3，6），平面ADE的一个法向量＝（1，0，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设，直线l：x＝ky+2（k＞0）A（2，0），|MA|＝2|AN|⇒y1＝﹣2y2，∵∴．∴直线l的方程为（或．（Ⅱ）若存在B（t，0），∠ABM＝∠ABN⇒k BM+k BN＝0．∴⇒（﹣2﹣t）•（2k）＝0⇒t＝﹣2∴在x轴上存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，点B坐标为（﹣2，0）．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．解：（1）设P的坐标为（x，y），由题意知k PA•k PB＝﹣，即•＝﹣，即y2＝﹣（x2﹣4），所以曲线Γ的方程为+y2＝1（y≠0）；（2）设直线AM的方程为y＝k（x+2），k＞0，代入椭圆方程得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，设M（x1，y1），则有﹣2x1＝，解得x1＝，从而|AM|＝|x1﹣（﹣2）|＝，由椭圆对称性可得N（﹣x1，﹣y1），所以k•k AN＝•＝＝﹣，于是k AN＝﹣，故|AN|＝|（﹣x1）﹣（﹣2）|＝•，|AC|＝|x1﹣（﹣2）|＝•，|AC|•|AN|＝（1+）•＝，所以|AM|2﹣|AC|•|AN|＝，因为点M在第二象限，所以k＞，＜0，于是有|AM|2＜|AC|•|AN|．。
湖北省鄂东南省级示范高中2021届高三上学期期中联考语文试题含答案
2020年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三语文试卷考试时间：2020 年11月11日下午14:30～17:00 试卷满分：150 分一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一:古代中国对历史的重视程度，不仅是其他国家所望尘莫及的，也出乎今天大多数人的想象。
人类之间的威慑力有限，统治者不得不借助于天或神的力量。
为了巩固自己的统治权威，统治者总是将自己打扮成天或神的代表。
在有些群体，神被直接当作统治者；而在另一些群体，统治者被当作神的代表。
中国的华夏诸族显然属于后者，所以在古代没有形成系统的神话，至多是一些半神半人的英雄，并且逐渐让位于代表了天意或天命的人物。
“普天之下，莫非王土；率土之滨，莫非王臣”的理想，“君权神授”和“天人感应”的观念，都赋子记录君主言行和祭祀、军事等大事的史官最神圣的使命一他们所记录的实际是天意和天命。
如果有半点不实，那就是曲解了天意和天命，就是欺天。
正因为如此，历史在古代中国所起的作用，一定程度上等同于对神的崇拜和对某种宗教的信仰。
天或神的意志通过天象、祥瑞、灾异传达给人，类社会，或者直接给予人类庇佑或惩罚，又由获得它们充分授权或信任的君主加以执行。
史官的作用不仅在于记录以君主为核心的事实，而且扮演着沟通天人之间的角色。
离开了他们的记录和解释，普通人不可能从某种孤立的现象或事件中了解天意，即使那些人有幸在现场，或耳闻目睹，亲身感受。
对于后人来说，史官的记录更是他们了解天意的唯一来源。
所以，史官实际上类似早期的巫师或祭司，或者是宗教中的高级神职人员。
“视死如生”的观念在先秦时就已形成，至秦汉已成为处理后事的原则。
君主的去世被认为是生命在另一个世界的延续，所以不仅要给子精神上的尊崇，还需要物质上的供养。
这也使君主对史官的记录和未来编纂成的历史保持着更大的敬畏。
如果说受到天谴或许还有点虚无缥缈，至少不至于立竿见影的话，那么在另一个世界直接要听到后人的咒骂，看到自己的子孙后代受到报应，就足以使他们的行为有所收敛，或者在史官面前要有所顾忌。
湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题答案
2020 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 4 页）第 1页
（2） 1
1
1( 1 1 )，
anan1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
Tn
1 (1 1 1 1 23 5 5 7
1 1 ) 2n 1 2n 3
1 (1 1 ) 2 3 2n 3
从而
AM
1 k2
x1
(2)
4 1 k2 4k 2 1
............... 6
分
由椭圆对称性可得 N (x1, y1) 所以 k kAN
y1 y1 x1 2 x1 2
y12 4 x12
1 4
于是 k AN
1 4k
故 AN
1 (
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2020 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学参考答案
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B
9．BD 10．ABD
13． 3 14． 4
11．ABD 12．ABD
2n 1 15. 2n1
，10
2n 5 2n1
16． 3
17.解：由x2 y2 4x 2my 2m2 m 2 0, 得
因为点 M 在第二象限，所以 k 1 ，于是有 AM 2 AC AN ............... 12 分 2
2020 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 6 页）第 4页
21．设
M
y12 2
,
y1
、N
y22 2
,
y2
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．两个事件互斥是两个事件对立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义及必要不充分条件定义可得答案.【详解】互斥事件是指事件A 和B 的交集为空，也叫互不相容事件，也可叙述为：不可能同时发生的事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生； 对立事件是指AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称A 事件与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 和事件B 必有一个且仅有一个发生，不会同时发生. 所以对立一定互斥但互斥不一定对立． 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查必要不条件充分的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】A【分析】求出双曲线的右焦点坐标，根据抛物线22y px =的焦点(,0)2p与双曲线2213x y -=的右焦点重合可得4p =. 【详解】由双曲线2213x y -=得223,1a b ==，所以222314c a b =+=+=，2c =，所以双曲线的右焦点为(2,0)，因为抛物线22y px =的焦点(,0)2p 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以22p=，所以4p =. 故选：A 3．曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为（ ） A ．2πB ．2π-C ．-2πD ．24π【答案】B【分析】求出函数的导数，然后可得答案. 【详解】2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（ ） A ．38B ．316C ．516D ．58【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可.【详解】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A5．已知()()201f x x xf =-'-，则()2f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【分析】对函数()f x 求导，求出()0f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()2f 的值. 【详解】()()201f x x xf =-'-，()()20f x x f ''∴=-，()()00f f ''∴=-，可得()00f '=，()21f x x ∴=-，因此，()22213f =-=.故选：C.6．已知向量OA →=(1，0，1)，OB →=(0，1，1)，O 为坐标原点，则三角形OAB 的面积为（ ） A ．12B ．3C ．1D ．3 【答案】D【分析】利用向量的夹角公式可得cos AOB ∠，进而可求出sin AOB ∠，最后由三角形面积公式可得结果.【详解】∵()1,0,1OA =，()0,1,1OB =， ∴2OA =，2OB =，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==⋅， 由于0AOB π<∠<，所以3AOB π∠=，所以三角形OAB 的面积为1133sin 2223222OA OB π⨯=⨯⨯⨯=， 故选:D.7．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=，平方得：()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线. 故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)； (2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式． 8．过点P 32,4m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆C :224690x y x y +-++=作切线，切点分别为A ，B .则PA PB →→⋅的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．92【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，画出草图，设APC θ∠=，则()()22212sin P C B P P ACA θ→→⋅=--，又sin AC PCθ=，所以223212P PB PA PC C →→+-⋅=，利用平面直角坐标系下任意两点的距离公式及二次函数的性质得到216PC ≥，再根据对勾函数的性质计算可得；【详解】解：圆C :224690x y x y +-++=，即圆C :()()22234x y -++=，圆心为()2,3C -，半径2r如图，设APC θ∠=，由对称性BPC θ∠=且PA PB =，所以()()()222222cos 2cos 2cos 212sin PA PA P P PB PB A A A PC C CCθθθθ→→→→→⋅=⋅==-=--因为sin AC PCθ=，所以()222222321212AC PB ACPC PA PC PC PC →→⎛⎫ ⎪⋅=--+ ⎪⎭-=⎝ 因为32,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2222322522316164165m PC m m +⎛⎫⎛⎫=-++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令2t PC =，则[)16,t ∈+∞，所以3212P t PB A t →→=+-⋅，因为函数()3212f x x x+=-在)82,⎡+∞⎣上单调递增，(0,82上单调递减，因为[)16,x ∈+∞，所以()()min 166f x f ==故选：B【点睛】本题解答的关键是将PA PB →→⋅进行转化，转化为223212PC PC+-，再根据对勾函数的性质计算可得；二、多选题9．下列说法不正确的是（ ） A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．曲线的切线和曲线可能有无数个交点C ．已知ln 2y =，则12y '=D ．函数3()f x x =在原点处的切线为x 轴 【答案】AC【分析】对选项A 、B ，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项C ，这个错误很明显；对选项D ，利用导数的几何意义求切线即可.【详解】对选项A ，例如：cos y x =在(0,1)处的切线和cos y x =有无数个交点，故A 错误，从而也可知B 正确；对选项C ，2,0y ln y ='=，故C 错误；对选项D ，由3()f x x =，得2()3f x x '=，所以(0)0f '=.所以函数3()f x x =在原点处的切线方程是0y =，即为x 轴，故D 正确. 故选：AC.10．已知曲线22:1C mx ny +=，m 、n 为实数，则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 可能表示两条直线B ．若0m n >>，则C 是椭圆，长轴长为C ．若0m n =>，则CD ．若0m n ⋅<，则C 是双曲线，渐近线方程为y = 【答案】AC【分析】取0m >，0n =可判断A 选项的正误；将曲线C 的方程化为标准方程，可判断B 选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断C 选项的正误；分00m n >⎧⎨<⎩和0m n <⎧⎨>⎩两种情况讨论，将曲线C 的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0m >，0n =，则曲线C 的方程为21mx =，即x=， 此时，曲线C 表示两条直线，A 选项正确；对于B 选项，若0m n >>，则110n m>>，曲线C 的标准方程为22111x y m n+=，此时，曲线C 表示焦点在y，B 选项错误； 对于C 选项，若0m n =>，曲线C 的方程为221x y m+=， 此时，曲线CC 选项正确； 对于D 选项，若0m >，0n <，则曲线C 的方程为22111x y m n-=-， 曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则21a m=，21b n =-，此时，双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=； 当0m <，0n >时，则曲线C 的方程为22111y x n m-=-， 曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则21a n =，21b m=-， 所以，双曲线C的渐近线方程为a y x b =±=. 综上所述，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建c a的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 11．下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤⋅B ．2,,11a b R a b+∈≥+C ．,0a b c c >>>，则b b ca a c+<+D．,a b R +∈≥【答案】ACD【分析】根据向量的数量积和基本不等式判断各选项．【详解】因为cos ,1a b <>≤，所以cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，A 正确；0,0a b >>，11a b +≥211a b≤=+B 错；因为,0a b c c >>>，()0()b bc c b a a a c a a c +--=<++，C 正确； 22,,2a b R a b ab+∈+≥，222a b ab +≥≥D 正确．故选ACD ．12．已知函数()sin(cos )f x x =，下列关于该函数结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x的图象关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根【答案】ACD【分析】计算出()(2)f x f x π+=，可判断A ，由()()f x f x π-=-可判断B ，max ()sin1sin3f x π=<，即可判断C ，令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，利用单调性和零点存在定理可判断D.【详解】()()()()(2)sin cos 2sin cos f x x x f x ππ+=+==，故A 正确 因为()()()()()()sin cos sin cos sin cos fx x x x f x ππ-=-=-=-=-所以()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误 因为[]cos 1,1x ∈-，所以max ()sin1sin3f x π=<=C 正确令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭()()sin cos cos 10g x x x '=--<所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为()0sin10g =>，022g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭所以()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根，故D 正确故选：ACD三、填空题13．一组数据2，4，x ，8，10的平均值是6，则此组数据的方差是_______. 【答案】8【分析】由条件求得6x =，然后算出答案即可. 【详解】因为2481065x ++++=，解得6x =所以此组数据的方差是()()()()()2222226466686+106=85-+-+-+--故答案为：814．已知球的体积V 是关于半径r 的函数，34()3r V r π=，则r =2时，球的体积的瞬时变化率为________ 【答案】16π【分析】利用瞬时变化率的概念求解即可.【详解】3324(2)424[126()](2)(2)333r r r r V V r V πππ+∆⋅∆+∆+∆∆=+∆-=-=， 24[126()]3V r r r π∆∴=+∆+∆∆， 当r ∆趋于0时，Vr∆∆趋于16π.故答案为：16π.15．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),0A c -、(),0B c ，求出点C 的坐标，利用32AE EC =求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线方程，可得出关于e 的方程，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】2AB CD =，以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由于双曲线的焦点为A 、B ，可设(),0A c -、(),0B c ， 由于双曲线过C 、D 两点，且//CD AB ，由双曲线的对称性可知，点C 、D 关于y 轴对称，则12CD AB c ==， 将12x c =代入双曲线方程可得222214c y a b -=，可得22214ey b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2,124c e C ⎛- ⎝， 设点(),E x y ，由()322AE EC AC AE ==-可得25AE AC =， 即()223,,1524c e x c y ⎛+=- ⎝，可得2352154c x c b e y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2252154x c b e y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，点2221554c b e E ⎛-- ⎝，将点E 的坐标代入双曲线方程可得22441125254c e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2225144e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，可得27e =，1e >，解得e =..【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、双空题16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都为60，3AB AD ==，12AA =.则（1）对角线1AC =________；（2）三棱锥1A ABD -的外接球的体积为_________.【分析】（1）计算出()2211AC AB AD AA =++的值，即可求得对角线1AC 的长；（2）在射线1AA 上取点M ，使得3AM =，则三棱锥A BDM -为正四面体，可将正四面体A BDM -置于正方体APMQ EBFD -，以点A 为坐标原点，AP 、AQ 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。
$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。
$[-1,1]$D。
$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。
$[0,2]$B。
$(1,2]$C。
$[1,2]$D。
$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。
$a<b<c$B。
2020-2021学年湖北省鄂东南新高考联盟高一(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省鄂东南新高考联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x﹣1≤0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．[﹣2，3）2．sin454°+cos176°的值为（）A．sin4°B．cos4°C．0D．2sin4°3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（，1）B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）4．设p：实数a，b满足a＞1且b＞1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771＜lg3＜0.4772，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．10936．把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ的值为（）A．B．C．或D．或7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数，若不等式f（3x﹣9x）+f（m•3x﹣3）＜0对任意x∈R 均成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2﹣1）B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ﹣45°的终边相同，那么α﹣β的可能值为（）A．90°B．360°C．450°D．2330°10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（）A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）C．y＝x2+2D．11．已知f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为偶函数且g（x）也为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）最小正周期为2π12．高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.3]＝﹣3，[15.31]＝15．已知函数，G（x）＝[f（x）]，则下列说法正确的有（）A．G（x）是偶函数B．G（x）的值域是{﹣1，0}C．f（x）是奇函数D．f（x）在R上是增函数三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为．14．已知实数a，b满足log4（a+9b）＝log2，则a+b的最小值是．15．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＝2f（）﹣1，则f（x）＝．16．已知函数f（x）＝A sin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜），g（x）＝，f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．（1）当a＝2时，求（∁U A）∩（∁U B）；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若已知sinα+f（α）＝，求的值．19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？20．已知函数f（x）＝2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．21．已知连续不断函数，．（1）求证：函数f（x）在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数g（x）在上有且只有一个零点（不必证明），记f（x）和g （x）在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．22．已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）．（1）设g（x）＝f（x）﹣a+1，k＝2，若函数g（x）存在零点，求a的取值范围；（2）若f（x）是偶函数，设h（x）＝log2（b•2x），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A＝{x|x﹣1≤0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．[﹣2，3）解：由A＝{x|x﹣1≤0}＝{x|x≤1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，故选：B．2．sin454°+cos176°的值为（）A．sin4°B．cos4°C．0D．2sin4°解：sin454°+cos176°＝sin94°﹣cos4°＝cos4°﹣cos4°＝0，故选：C．3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（，1）B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：由于连续函数f（x）＝lnx﹣满足f（1）＝﹣1＜0，f（e）＝1﹣＞0，且函数在区间（0，e）上单调递增，故函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的区间为（1，e）．故选：B．4．设p：实数a，b满足a＞1且b＞1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，反之当a＝4，b＝1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A．5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771＜lg3＜0.4772，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093解：∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．∴M≈3361，N≈1080，根据对数性质有3＝10lg3≈100.477，∴M≈3361≈（100.477）361≈10172.2，∴≈＝1092.2≈1093，故选：D．6．把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ的值为（）A．B．C．或D．或解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位，可以得到函数g（x）＝sin（2x+2φ﹣）的图象，若g（x）是偶函数，则2φ﹣＝+kπ，k∈Z，∴分别令k＝0、k＝1，可得φ＝，或φ＝，故选：D．7．已知，则＝（）A．B．C．D．解：因为，所以sin（+θ）＝﹣，则＝cos[﹣（+θ）]＝sin（+θ）＝﹣．故选：B．8．已知函数，若不等式f（3x﹣9x）+f（m•3x﹣3）＜0对任意x∈R 均成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2﹣1）B．C．D．解：因为f（﹣x）+f（x）＝﹣2x+ln（）+2x+ln（）＝ln1＝0，所以函数f（x）是奇函数，由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，而y＝2x在R上也单调递增，所以函数f（x）在R上单调递增，所以不等式f（3x﹣9x）+f（m•3x﹣3）＜0对任意x∈R均成立等价于f（3x﹣9x）＜﹣f（m •3x﹣3）＝f（3﹣m•3x），即3x﹣9x＜3﹣m•3x，即m＜对任意x∈R均成立，因为≥，所以m＜．故选：A．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ﹣45°的终边相同，那么α﹣β的可能值为（）A．90°B．360°C．450°D．2330°解：如果角α与γ+45°终边相同，则α＝2mπ+γ+45°，m∈Z角β与γ﹣45°终边相同，则β＝2nπ+γ﹣45°．n∈Z，∴α﹣β＝2mπ+γ+45°﹣2nπ﹣γ+45°＝2（m﹣n）π+90°，（k＝m﹣n+1），即α﹣β与90°角的终边相同，观察选项，选项AC符合题意，故选：AC．10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（）A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）C．y＝x2+2D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f（﹣x）＝3|﹣x|+1＝3|x|+1＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间（1，+∞）上，y＝3|x|+1＝y＝3x+1，为增函数，符合题意，对于B，y＝ln（x+1）+ln（x﹣1），有，解可得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），不是偶函数，不符合题意，对于C，y＝x2+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数，符合题意，对于D，y＝x2+，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）2+＝x2+＝f（x），即函数f（x）为偶函数，可令t＝x2，可得t＝x2在（1，+∞）递增；y＝t+在（1，+∞）递增，则函数y＝x2+为增函数，符合题意，故选：ACD．11．已知f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为偶函数且g（x）也为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）最小正周期为2π解：对于A，f（x）与g（x）的定义域都是R，所以A错；对于B，因为f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），f（x）和g（x）都是偶函数，所以B对；对于C，因为sin x∈[﹣1，1]⊂（﹣，），所以f（x）的值域为[cos1，1]，因为cos x∈[﹣1，1]⊂（﹣，），sin t在（﹣，）内单调递增，所以g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]，所以C对；对于D，f（x）＝cos（sin x）＝cos|sin x|，π是f（x）一个周期，所以D错．故选：BC．12．高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.3]＝﹣3，[15.31]＝15．已知函数，G（x）＝[f（x）]，则下列说法正确的有（）A．G（x）是偶函数B．G（x）的值域是{﹣1，0}C．f（x）是奇函数D．f（x）在R上是增函数解：根据题意，对于A，G（1）＝[f（1）]＝0，G（﹣1）＝[f（﹣1）]＝﹣1，G（1）≠G（﹣1），则函数G（x）不是偶函数，A错误，对于B，＝﹣，由1+2x＞1，则﹣＜f（x）＜，则有G（x）的值域是{﹣1，0}，B正确，对于C，，其定义域位R，由f（﹣x）＝﹣＝﹣，则f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，C正确，对于D，＝﹣，设t＝1+2x，则y＝﹣，t＝2x+1在R上是增函数，y＝﹣，在（1，+∞）也是增函数，则f（x）在R上是增函数，D正确，故选：BCD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为9．解：半径r＝＝＝3，根据扇形面积公式S＝|α|r2＝×2×32＝9，故答案为：9．14．已知实数a，b满足log4（a+9b）＝log2，则a+b的最小值是16．解：∵log4（a+9b）＝log2＝log4（）2，∴a+9b＝ab，即＝1，∴a+b＝（a+b）•（）＝1+9++≥10+2＝16，当且仅当＝，即a＝3b＝12时，等号成立，∴a+b的最小值是16．故答案为：16．15．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＝2f（）﹣1，则f（x）＝+．解：考虑到所给式子中含有f（x）和f（），故可考虑利用换元法进行求解．在f（x）＝2f（）﹣1，用代替x，得f（）＝2f（x）﹣1，将f（）＝﹣1代入f（x）＝2f（）﹣1中，可求得f（x）＝+．故答案为：+16．已知函数f（x）＝A sin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜），g（x）＝，f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），则实数m的取值范围为．解：f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．∴f（0）＝A sinφ﹣＝1，sin（2×+φ）＝±1．又A＞0，0＜φ＜，∴φ＝，A＝．∴f（x）＝sin（2x+）﹣，x∈[0，]，∴（2x+）∈，∴sin（2x+）∈，∴f（x）∈．∴f（x）min＝1．g（x）＝＝﹣m，∵x∈[﹣1，2]，∴g（x）min＝﹣m．若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），则g（x1）min≥f（x2）min，∴﹣m≥1，解得m≤﹣．∴实数m的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．（1）当a＝2时，求（∁U A）∩（∁U B）；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）A＝{x|≤0}＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．当a＝2时，B＝（1，3），则∁U A＝{x|x≥5或x＜2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{x|x≥5或x≤1．（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得3≤a≤4，即实数a的取值范围是[3，4]．18．已知函数f（x）＝sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若已知sinα+f（α）＝，求的值．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin（﹣ωx）＝cosωx，故其周期为，最大值为1．设图象上最高点为（x1，1），与之相邻的最低点为（x2，﹣1），则|x2﹣x1|＝＝．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为＝，解得ω＝1，∴函数f（x）＝cos x．（Ⅱ）∵sinα+f（α）＝，∴sinα+cosα＝，两边平方可得：1+2sinαcosα＝，解得：2sinαcosα＝﹣，cosα﹣sinα＝±，∴＝＝＝±．19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？解：（1）当0≤x≤30时，L（x）＝2+0.5x；当x＞30时，L（x）＝2+30×0.5+（x﹣30）×0.6＝0.6x﹣1，∴（注：x也可不取0）；（2）当0≤x≤30时，由L（x）＝2+0.5x＝35得x＝66，舍去；当x＞30时，由L（x）＝0.6x﹣1＝35得x＝60，∴李刚家该月用电60度；（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）＝0.58x，当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，∴25＜x≤30；当x＞30时，由L（x）＜F（x），得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，∴30＜x＜50；综上，25＜x＜50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．20．已知函数f（x）＝2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴ω•≤，∴0＜ω≤．（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得y＝2sin2（x+）的图象；再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin2（x+）+1的图象，令2sin（2x+）＝0，可得2x+＝kπ，k∈Z，求得x＝﹣，故g（x）的图象的对称中心为（﹣，1），k∈Z，故g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（﹣，1）．21．已知连续不断函数，．（1）求证：函数f（x）在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数g（x）在上有且只有一个零点（不必证明），记f（x）和g（x）在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．【解答】（1）证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间上单调递增，故函数f（x）在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f（x）在区间上有且只有一个零点；（2）解：因为函数f（x）在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g（x）在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x2＝．22．已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）．（1）设g（x）＝f（x）﹣a+1，k＝2，若函数g（x）存在零点，求a的取值范围；（2）若f（x）是偶函数，设h（x）＝log2（b•2x），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．解：（1）由题意函数g（x）存在零点，即f（x）＝a﹣1有解．又f（x）＝log2（4x+1）﹣2x＝log2（）＝log2（1+），易知f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，又1+＞1，log2（）＞0，即f（x）＞0，所以a﹣1∈（0，+∞），所以a的取值范围是a∈（1，+∞）．（2）∵f（x）＝log2（4x+1）﹣kx的定义域为R，f（x）是偶函数，∴f（﹣1）＝f（1），∴log2（+1）+k＝log2（4+1）﹣k，∴k＝1检验f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2（2x+2﹣x），f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2（2x+2﹣x），∴f（x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，∴方程f（x）＝g（x）只有一解，即方程2x+＝b•2x﹣b有且只有一个实根，令t＝2x＞0，则方程（b﹣1）t2﹣bt﹣1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t＝﹣，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝（﹣4b）2﹣4×3（b﹣1）×（﹣3）＝0，且＞0，解得b＝﹣3③若一个正根和一个负根，则＜0，即b＞1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b＞1或b＝﹣3}．。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说明正确的是()A. “若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B. {a n}为等比数列，则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既不充分也不必要条件C. ∃x0∈(−∞,0)，使3x0<4x0成立D. “tanα≠√3”必要不充分条件是“a≠π3”2.设复数z1=1−i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1⋅z2的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.“∃x0∈R,x02+1<0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+1≥0B. ∀x∈R，x2+1<0C. ∃x0∈R,x02+1≥0D. ∃x0∈R,x2+1<04.若，则等于()A. −2B. −4C. 2D. 05.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B的在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为23，则k的值为()A. −13B. 13C. ±13D. ±126.方程|x|+|y|=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是()A. 2B. 1C. 4D. √27.直线l1:y=mx+1，直线l2的方向向量为a⃗=(1,2)，且l1⊥l2，则m=A. 12B. −12C. 2D. −28.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线E的渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±x C. y=±√3 D. y=±2x9. 已知A 、B 两点均值焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上，若|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，线段AB 的中点到直线x =p2的距离为1，则p 的值为( )A. 1B. 1或3C. 2D. 2或610. 已知命题p ：f(x)=12+12x −1为奇函数；命题q ：∀x ∈(0,π2)，sinx <x <tanx ，则下面结论正确的是( )A. p ∧(￢q)是真命题B. (￢p)∨q 是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是假命题11. 直线y =kx 与函数f(x)=|x 2−1|x−1图象有两个交点，则k 的范围是( )A. (0,√3)B. (0,1)∪(1,√3)C. (1,√3)D. (0,1)∪(1,2)12. 抛物线y =ax 2的准线方程为y =−1，则实数a =( )A. 4B. 14C. 2D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(2,0)，N(3,0)，P 是抛物线C ：y 2=3x 上一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中正确的序号是______ ．①∃x 0∈R ，使f(x 0)=0；②若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)=0；③若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x 0)上单调递减； ④函数y =f(x)的图象是中心对称图形． 15. 设F 1、F 2为曲线C 1：的焦点，P 是曲线：与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为_______________________． 16. 设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (12分)(I)求函数图象上的点处的切线方程；(Ⅱ)已知函数，其中是自然对数的底数，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。
2020-2021学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点P在抛物线x2=4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1：3，则点P到x轴的距离是()A. 14B. 12C. 1D. 22.若函数f(x)=e−2x，则f′(x)=()A. e−2xB. −e−2xC. 2e−2xD. −2e−2x3.设命题p：∃n∈N∗，2n≤2n+1，则￢p是()A. ∃n∈N∗，2n≤2n+1B. ∀n∈N∗，2n>2n+1C. ∃n∈N∗，2n=2n+1D. ∀n∈N∗，2n≥2n+14.某公司准备招聘一批员工，有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，则选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是()A. 519B. 119C. 14D. 125.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[−2,2]，则输出的S属于()A. [−4,2]B. [−2,2]C. [−2,4]D. [−4,0]6.现用系统抽样方法从已编号(1−60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是()A. 5，10，15，20，25，30B. 2，4，8，16，32，48C. 5，15，25，35，45，55D. 1，12，34，47，51，607.函数y=34x4−x3的极值点的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.在棱长为1正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则EF，CG所成角的余弦值为()A. √55B. √515C. √155D. √15159.在区间[−π,π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax−b2+π2有零点的概率为()A. 1−B. 1−C. 1−D. 1−10.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为()A. A55A42B. A55A52C. A55A62D. A77−4A6611.在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a和b，则方程=1(a<b)表示离心率小于的双曲线的概率为()A. B. C. D.12.如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是()A. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在(3x2+√x)n的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于______．14.已知随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0.05且η=5ξ+1，则E(η)等于______．15.给定下列四个命题：①“x=π6”是“sinx=12”的充分不必要条件；②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③若a<b，则am2<bm2；④若集合A⋂B=A，则A⊆B．其中为真命题的是___________ (填上所有正确命题的序号)．16.在线段A1A2的两端点各置一个光源，已知A1，A2光源的发光强度之比为1：2，则该线段上光照度最小的一点到A1，A2的距离之比为______(光学定律：P点的光照度与P到光源的距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．(Ⅰ)某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3(≤3)项的概率．(Ⅱ)“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试(按①，②，③，④，⑤的顺序进行)，如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，910，23，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率②求该学员缴纳的考试费用X 的数学期望．18. (本小题满分13分)如图，在三棱锥S −ABC 中，BC ⊥平面SAC ，AD ⊥SC ．(Ⅰ)求证：AD ⊥平面SBC ；(Ⅱ)试在SB 上找一点E ，使得平面ABS ⊥平面ADE ，并证明你的结论．19.某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(I)按照上述数据，求回归直线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=−20，â=y−b̂x；(II)预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从(I)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？(利润=销售收入−成本)．20.某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m(件)与销售价x(元)之间的函数关系为m=70−x，10≤x≤70，设该商场日销售这种商品的利润为y(元).(单件利润=销售单价−进价；日销售利润=单件利润×日销售量)(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．21.一个口袋中有红球3个，白球4个．(Ⅰ)从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；(Ⅱ)每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E(X)．22.设函数f(x)=x2+ax−lnx．(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，求切点的横坐标；(2)令g(x)=f(x)，若函数g(x)在区间(0,1]上是减函数，求a的取值范围．e x【答案与解析】1.答案：B解析：解：由点P 在抛物线x 2=4y 上，设点P 的坐标为(m,14m 2)，∵抛物线x 2=4y 的焦点为F(0,1)，准线为l ：y =−1，∴根据抛物线的定义，点P 到抛物线焦点的距离等于P 到准线的距离，即|PF|=14m 2−(−1)=14m 2+1，又∵点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1：3，∴P 的纵坐标等于|PF|的13，即14m 2=13|PF|=13(14m 2+1)，解之得m =±√2．因此，点P 的坐标为(±√2,12)，可得P 到x 轴的距离为12．故选：B设点P 的坐标为(m,14m 2)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m 的等式，解出m 的值进而得到P 点的纵坐标，即可得到点P 到x 轴的距离．本题已知抛物线上满足指定条件的点P ，求点P 到x 轴的距离．着重考查了点到直线的距离计算、抛物线的定义与标准方程等知识，属于中档题． 2.答案：D解析：解：f(x)=e −2x ，求导，f′(x)=(−2x)′e −2x =−2e −2x ，故选：D ．由复合函数求导法则，即可求得答案．本题考查复合函数求导法则，考查计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃n ∈N ∗，2n ≤2n +1，则￢p 是：∀n ∈N ∗，2n >2n +1．故选：B.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.答案：C解析：解：从经过初试的20人中任选2人，共有A 202=20×19种不同选法．第一个人面试后，则选到的第二人与公司所需专业不对口的选法分为两类：第一类、第一个人与公司专业对口的选法为C 151C 51；第二类、第一个人与公司专业不对口的选法为C 51C 41．故第一个人面试后，选到第二人与公司所需专业不对口的选法共15×5+5×4=19×5． ∴选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是19×520×19=14．故选：C ．求出从经过初试的20人中任选2人的所有不同方法种数，再分类求出选到第二人与公司所需专业不对口的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，对题意理解是关键，属中档题． 5.答案：A解析：解：本程序为条件结果对应的表达式为S ={2t t <0t 2−3t t ≥0， 则当输入的t ∈[−2,2]，则当t ∈[−2,0)时，S =2t ∈[−4,0)，当t ∈[0,2]时，如右图，S =−3t +t 3=t(t −√3)(t +√3)∈[−2,2]，综上S ∈[−4,2]，故选：A ．根据程序框图的功能进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为606=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：C．由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．7.答案：Bx4−x3，解析：解：∵y=34∴y′=3x3−3x2=3x2(x−1)，令y′>0，则x>1，令y′<0，则x<1且x≠0，则函数在(1,+∞)上是增函数，在(−∞,0)，(0,1)上是减函数．故x=1为极小值点，无极大值点．故选：B．对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调区间、函数的极值的判断，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查异面直线所成的角，余弦定理，是中档题．取B1D1的中点M，连接GM，CM，BD1，∠CGM(或其补角)为EF与CG所成角．再用余弦定理求解即可．解：取B1D1的中点M，连接GM，CM，BD1，在平面BB1D1D上，FE//BD1，GM//BD1，所以∠CGM(或其补角)为EF与CG所成角．在△CMG中，MG=√32，CG=√1+14=√52，CM=√1+12=√62，∴cos∠CGM=34+54−642×√32×√52=√1515，∴EF与CG所成角的余弦值为√1515，故选：D．9.答案：B解析：函数f(x)=x2+2ax−b2+π2有零点，需Δ=4a2−4(−b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立．而a，b∈[−π,π]，建立平面直角坐标系，满足a2+b2≥π2的点(a,b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P=，故选B．10.答案：A解析：解：先排大人，有A55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A42种排法，由分步计数原理，有A55A42种不同的排法，故选A．根据题意，先排大人，有A55种排法，分析可得，去掉头尾后，有4个空位，再用插空法，将2个小孩插在4个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．本题考查排列与分步计数原理的运用，注意这类问题的特殊方法，如本题的插空法．11.答案：B解析：由e2=1+<5，得b<2a，又b>a，所以a<b<2a，点(a,b)在aOb平面上表示的区域如图，使得方程=1(a<b)表示离心率小于的双曲线的点(a,b)所在的区域为图中的阴影部分，其面积为16−×2×4−×3×3=，所以所求的概率为=．12.答案：A解析：试题分析：原函数单调递增，则导函数为正，原函数单调递减，则导函数为负，根据这条性质可知符合要求的是A。
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知不同的平面α、β和不同的直线m、n，有下列四个命题①若m//n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α//β；③若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β；④若m//α，α∩β=n，则m//n，其中正确命题的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.已知平面α⊥平面β，m是α内的一条直线，n是β内的一条直线，且m⊥n，则()A. m⊥βB. n⊥αC. m⊥β或n⊥αD. m⊥β且n⊥α3.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆长轴的两个三等分点，则椭圆离心率是()A. 13B. √33C. √34D. 2√234.已知数列，，，且，则数列的第五项为()A. B. C. D.5.下列直线中，平行于极轴且与圆ρ=2cosθ相切的是()A. ρcosθ=1B. ρsinθ=1C. ρcosθ=2D. ρsinθ=26.已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O−ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为()A. 15π4B. 4π C. 7π2D. 3π7.已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，P为AB的中点，O为原点．若△OPF是以OF为底边的等腰三角形，则l的斜率为()A. ±12B. ±√36C. ±2D. ±2√38.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为()A. √6B. √5C. √62D. √529.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，b=√33a，A=2B，则cosB=()A. 12B. √32C. 14D. √2210.8、抛物线y=的准线方程是()A. y=−1B. y=−2C. x=−1D. x=−211.已知椭圆C：=1，直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A. [1,4)B. [1,+∞)C. [1,4)∪(4,+∞)D. (4,+∞)12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n2+n，那么数列{a n}的前99项之和是()A. 99100B. 101100C. 9950D. 10150二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知命题p：|1−x−13|≤2命题q：x2−2x+1−m2≤0(m>0)，且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．14.设向量a⃗=(1,2，3)，b⃗ =(−1,y，z)，且a⃗//b⃗ ，则y=______ ，z=______ ．15.直线过点(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是______．16.直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围____三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ACD=∠CAB，∠ADC=45°，AD=√2AC，PC=PD．(1)求证：PC⊥AD；(2)若AB=CD=PC=√2，求三棱锥C−PAB的高．18. 已知曲线C 1上任意一点M 到直线l ：y =4的距离是它到点F(0,1)距离的2倍；曲线C 2是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线． (1)求C 1，C 2的方程；(2)设过点F 的直线与曲线C 2相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线C 2的两条切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P ，连接PF 的直线交曲线C 1于C ，D 两点，求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．19. 数列{a n }的前项和记为S n ，a 1=t ，点(a n+1,S n )在直线y =12x −1上n ∈N +． (1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？并求数列{a n }的通项公式；(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x 的最大整数)，在(1)的结论下，令b n =f(log 3a n )+1,c n =a n +1b n b n+2，求{c n }的前n 项和T n ．20. 已知直线l 1：mx −y =0，l 2：x +my −m −2=0． (1)求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上；(2)若l 1与定圆的另一个交点为P 1，l 2与定圆的另一个交点为P 2，求当m 在实数范围内取值时，△PP 1P 2的面积的最大值及对应的m ．21. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、B 1C 1的中点． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1； (2)求证：EF//平面ACC 1A 1．22. 已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)O 为坐标原点，若求椭圆的方程；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①，∵两条平行线中的一条垂直于一个平面α，则另一条也垂直于这个平面α，∴若m//n，m⊥α，则n⊥α，正确；②，若m⊥α，m⊥β，则α//β，这是判定面面平行的一种方法，故正确；③，若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，由面面垂直的判定定理得：α⊥β，故正确；④，若m//α，α∩β=n，则m//n，错误，原因是n与平面β的位置关系不确定．故选：B．①两条平行线中的一条垂直于一个平面α，则另一条也垂直于这个平面α，可判断①；②利用“一条直线垂直于两个平面，则这两个平面平行”可判断②；③利用面面垂直的判定定理可判断③；④依题意，直线n与平面β的位置关系不确定，可判断④．本题考查空间直线与直线平行、线面平行及面面垂直的判断与性质的应用，考查空间想象能力，是中档题．2.答案：C解析：解：平面α⊥平面β，m是α内的一条直线，n是β内的一条直线，且m⊥n，由图①②可以判断出m⊥β或n⊥α．故选：C．利用m⊥n作出所对应的两种图形即可判断出正确答案．本题是有面面垂直和线线垂直来推线面间的位置关系．做这一类型题的关键是理解课本定义．3.答案：D解析：根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a=3b，进而计算可得c=2√2b，进而由椭圆的离心率公式计算可得答案．。
湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.30°B.60°C.120°D.150°2.P 为圆x 2+y 2=1上任一点，则P 与点M(3,4)的距离的最小值是（ ）A. 1B. 4C. 5D. 63.直线y m =+与圆221x y +=在第二象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A.2)B.2)C.(1,2)D.4.以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是（ ） A.()()2212100x y -++= B.()()221225x y +++= C.()()2212100x y -+-=D.()()221225x y -+-=5.设点()1,1A ，()5,1B -，直线l 过点()6,4且与线段AB 不相交，则l 的斜率的取值范围是（ ） A.355k ≤≤ B.355k << C.35k <或5k > D.不存在6.圆心在直线20x y -=上的圆C 与x 轴相切，圆C 截y 轴所得的弦长为C 的标准方程为（ ） A.22(1)(2)4x y -+-= B.22(1)(2)4x y +++= C.22(1)(2)4x y -++=D.22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=7.已知在等比数列{}n a 中，34a =，前三项之和312S =，则{}n a 的通项公式为（ ）A.11162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭B.11162n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭C.4n a =D.4n a =或15(1)2n nn a --=-⋅8.圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（ ）A.1B.2第II 卷（非选择题）二、解答题9.求经过直线150-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线270x y ++=平行； （2）与直线270x y ++=垂直.10.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相交于点(2,0)Q ，经x 轴反射，反射光线与圆22:2450C x y x y +---=相交.（1）求反射光线所在直线方程；（2）求（1）中反射光线所在直线被圆C 截得的弦长. 11.已知点(1,1)A -，(5,1)B ，直线L 经过A ，且斜率为34-. （1）求直线L 的方程；（2）求以B 为圆心，并且与直线L 相切的圆的标准方程.12.在数列{}n a 中，11a =，且点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线20x y -=上，2log n n b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .13.某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间(),x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180),[180,200),[200,220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)的概率.三、填空题14.在等差数列n a 中，若n S 为{}n a 的前n 项和，101228a a =+，则15S =______. 15.已知直线l 的倾斜角为6π，直线1l 经过点(1,2)A ，(2,)B a ，且直线l 与1l 垂直，则实数a 的值为______.16.若圆221x y +=与圆22()(4)25x a y -++=相交，则实数a 的取值范围是______. 17.直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线()1230a x by +++=过定点P ，P 点坐标为______.四、新添加的题型ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A.()sin sin B C A += B.()cos cos A B C +=C.若A B >，则sin sin A B >D.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形19.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（ ） A.70a =B.130S =C.7S 最小D.58S S =20.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和21.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A.(1)2n n n a +=B.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D.数列{}n a 的第50项为2550参考答案1.C【解析】1.50y ++=的倾斜角为α，得到tan α=.50y ++=的倾斜角为α，50y ++=，可得直线的斜率为k =所以tan α=0180α≤<，解得120α=，50y ++=的倾斜角为120， 故选：C 2.B【解析】2.先确定点M 在圆x 2+y 2=1，因此圆上的点到点M 的距离的最小值即等于圆心与M 的距离减去半径，进而可得出结果. 因为M(3,4)在圆x 2+y 2=1外，且圆心与M(3,4)的距离等于√32+42=5，又P 为圆x 2+y 2=1上任一点，所以P 与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为5−1=4.故选B 3.A【解析】3.由图可得，直线与圆在第二象限由两个不同交点时，在过A 点时和切线之间，进而可得结果.如图，当直线y m =+，过点(1,0)A -时，m =，当直线y m =+1,0,2m m =>∴=，所以m 的取值为2). 故选：A. 4.D【解析】4.先求出线段AB 中点坐标即为圆心，再求出AB 即为直径，即可得出圆的方程. 可知线段AB 的中点坐标为3515,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即为()1,2，10AB ==，以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的圆心为()1,2，半径为5， 则方程为()()221225x y -+-=. 故选：D. 5.C【解析】5.写出直线l 和AB 的方程，解方程组得交点坐标，由交点横坐标在区间[1,5]上可解得k 的范围，再在R 中求补集即得． 直线AB 方程为111151y x --=---，即1322y x =-+，直线l 方程为4(6)y k x -=-，由13224(6)y x y k x ⎧=-+⎪⎨⎪-=-⎩，解得125213421k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， 由1251521k k -≤≤+，得355k ≤≤，此时直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 与线段AB 不相交时，35k <或5k >． 故选：C ． 6.D【解析】6.设出圆心坐标和半径，由相切与弦长列出方程组，解之可得．因为圆心在直线20x y -=上，所以设圆心坐标为(,2)C a a ，圆半径为r ， 则2223r ar a ⎧=⎨-=⎩， 解得12a r =⎧⎨=⎩或12a r =-⎧⎨=⎩， 圆方程为22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=． 故选：D ． 7.D【解析】7.设公比为q ，求出首项1a 的公比q 后可得通项公式．设公比为q ，则212111412a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得141a q =⎧⎨=⎩或11612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 所以4n a =或()115116122n n n n a ---⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭．故选：D ． 8.B【解析】8.求得直线恒过定点(1,1)P ，当l PC ⊥时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长. 直线:10l ax y a +--=可化为:(1)(1)0l a x y -+-=，故直线l 恒过点(1,1)P . 圆22:2430C x y x y +--+=的圆心为(1,2)C当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，此时弦长2d =. 故选：B9.（1）20x y +=；（2）250x y -+=.【解析】9.（1）求出交点M 坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程； （2）由垂直，斜率乘积等于1-得直线斜率，可得直线方程． 解：（1）由345238x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以交点2()1,M -. 因为斜率2k =-，由点斜式得所求直线方程为22(1)y x -=-+， 即20x y +=.（2）由垂直可得所求直线的斜率12k =， 由点斜式得所求直线方程为12(1)2y x -=+， 即250x y -+=.10.（1）20x y +-=；（2【解析】10.（1）求出点关于x 轴对称的点，即可找到反射光线所在直线；（2）求出圆心，借助弦长公式计算即可．（1）由已知，根据直线的两点式方程，得直线PQ 的方程是：024062y x --=--，即20x y --=.根据光的反射原理，作出点P 关于x 轴对称的点()16,4P -，直线1PQ 就是反射光线所在直线，利用点斜式可得直线1PQ 的方程为()12y x =-⋅+，即20x y +-=．（2）由题可知圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y -+-=，∴圆心(1,2)C ，则C 到直线1PQ 的距离d ==，∴弦长===.∴（1）中反射光线所在直线被圆C 11.（1）3410x y ++=；（2）22(5)(1)16x y -+-=.【解析】11.（1）根据点和斜率可直接写出直线方程；（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程． 解：（1）由题意，直线的方程为：31(1)4y x +=--， 整理成一般式方程，得3410x y ++=， ∴直线L 的方程为3410x y ++=；（2）由已知条件，得所求圆的圆心为(5,1)B ， 可设圆B 方程为：222(5)(1)x y r -+-=， ∵圆B 与直线:3410L x y ++=相切， ∴r d ==∴4r =.故圆B 的方程为22(5)(1)16x y -+-=. 12.（1）12n n a ，1n b n =-；（2）(1)212n n n n S -=--.【解析】12.（1）由题意可知数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可求得{}n b 的通项公式； （2）求得()121n n c n -=--，利用分组求和法可求得n S .（1）由题意可得12n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2的等比数列，11a =，11122n n n a --∴=⨯=，12log 21nnb n ；（2）()121n n c n -=--，()()121212n n n n S c c c a a a b b b =++⋅⋅⋅+=+++-+++()()012122220121n n -=++++-++++-⎡⎤⎣⎦()()1121(01)211222n n n n n n ⨯--+-⨯=-=---. 13.（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）35【解析】13.（1）由题可知，根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数x ，即可判断；（2）由频数=频率×样本容量，可求出[160,180),[180,200),[200,220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.050.11700.21900.22100.32300.152500.05270217x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 190x s -≈∵187190<∴该生属于“体能不达标”的学生（2）由题意，跳远距离在[160,180),[180,200),[200,220)的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则[160,180)抽1人，[180,200)抽2人，[200,220)抽2人 设[160,180)抽出的人编号为a ，[180,200)抽出的人编号为,b c ，[200,220)抽出的人编号为,d e从中选两人，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ∴63()105P A ==. 14.120【解析】14.利用等差数列的性质计算出8a 的值，再利用等差数列的求和公式可求得15S 的值. 由等差数列的性质可得121012882a a a a +==+，可得88a =， 因此，()11515815151581202a a S a +===⨯=.故答案为：120.15.2【解析】15.由斜率乘积为1-可得参数值．因为直线l 与1l 垂直，所以21321a -⨯=--，解得2a =故答案为：2．16.((0,25)-【解析】16. 求出圆心距d ，解不等式R r d R r -<<+可得，其中,R r 分别是两圆半径． 两圆圆心分别为(0,0)O ，(,4)C a -，半径分别为1，5，OC =，两圆相交，则46<，解得a -<<0a ≠，故答案为：((0,25)- 17.(1,2)-【解析】17.依题意得220ax by +-=过圆心()1,2-，则1b a =-，所以()()12130a x a y ++-+=令3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得定点. 由圆222410x y x y +-++=得圆心为()1,2-，因为直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线220ax by +-=过圆心，所以1a b -=得1b a =-， 则直线()1230a x by +++=化为()()12130a x a y ++-+=；所以()320x y a x y -+++= 由3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得12x y =-⎧⎨=⎩； 所以直线()1230a x by +++=过定点()1,2P -故答案为：(1,2)-18.AC【解析】18.由A B C π++=结合诱导公式可判断选项A ，B ，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C ，在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=可判断选项D. 由A B C π++=，则()()sin sin sin B C A A π+=-=,故A 正确.()()cos cos cos A B C C π+=-=-,故B 不正确.由三角形中大角对大边，A B >，则a b >，根据正弦定理有sin sin A B >,故C 正确. 在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=.所以2A =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形,故D 不正确.故选：AC19.ABD【解析】19.由条件可得70a =，然后逐一判断每个选项即可因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d +=即160a d +=，即70a =所以137130S a == 67878530a a S S a a -=++==所以正确的有ABD故选：ABD20.BCD【解析】20.根据折线图，中位数、极差的概念，判断各选项．20日新增确诊病例数量比19日多，A 错；新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数在21、22日左右，比较可得B 正确； 新增确诊极差25005002000>-=、新增疑似极差23002002000>->、新增治愈病例的极差350015002000>-=，均大于2000，C 正确；21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和，D 正确． 故选：BCD ．21.AC【解析】21. 用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．因为11n n a a a n +=++，11a =，所以11n n a a n +-=+，所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误，12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2020-2021学年湖北省恩施高中高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年湖北省恩施高中高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 椭圆x 236+y 220=1的左顶点为A ，右焦点为F ，点P 在椭圆上，且位于第一象限，当△PAF 是直角三角形时，S △PAF =( )A. 25√34或203 B. 25√32或503 C. 25√34或103 D. 25√32或203 2. 已知函数f(x)=x 3−bx 2−4，x ∈R ，则下列命题正确的是A. 当b >0时，，使得f(x 0)=0B. 当b <0时，，都有f(x)<0C. f(x)有三个零点的充要条件是b <−3D. f(x)在区间(0,+∞)上有最小值的充要条件是b <03. 已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为( )A.B.C.D.4. 在△ABC 中，“A >B ”是“sin A2>sin B2”的( ) 条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5. 设函数y =f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m ≤2时，f(x)=16x 3−12mx 2+x 在(−1,2)上是“凸函数”.则f(c)在(−1,2)上( )A. 既有极大值，也有极小值B. 既有极大值，也有最小值C. 有极大值，没有极小值D. 没有极大值，也没有极小值6. 已知椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且|PF 1|=3，则△PF 1F 2的面积为( )A. 6B. 4√2C. √32D. √37. 已知定义在R 上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有两个不同的根，则这两根之和为( )A. ±8B. ±4C. ±6D. ±28. 下列命题是真命题是( )①如果命题“p 且q 是假命题”，“非p ”为真命题，则命题q 一定是假命题；②已知命题P ：∃x ∈(−∞,0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0,π2)，tanx >sinx.则(￢p)∧q 为真命题；③命题p ：若a ⃗ ⋅b⃗ <0，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角是真命题； ④若p ：|x +1|>2，q ：x >2，则￢p 是￢q 成立的充分不必要条件； ⑤命题“存在x 0∈R ，2 x 0≤0”的否定是“不存在x 0∈R ，2 x 0>0”A. ①③B. ②④C. ③④D. ②⑤9. 已知在菱形ABCD 中，对角线BD =4，E 为AD 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12 B. 14 C. 10 D. 810. 若对∀x ，y ∈[0,+∞)，不等式ax −2≤e x+y−2+e x−y−2恒成立，则实数a 的最大值是( )A. 3B. 2C. 1D. 1211. 已知双曲线C ：x 2a −y 2b=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，满足|PF 1|=|F 1F 2|，PF 2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是( )A. √2B. √3C. √5D. 312. 已知f(x)=x 3−ax 在(−∞,−1]上递增，则a 的取值范围是( )A. a >3B. a ≥3C. a <3D. a ≤3二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 以下五个说法：①函数y =x 2在R 上是增函数．②函数y =1x 的单调递减区间是(−∞,0)∪(0,+∞)． ③实数集可以表示为{R}.④方程√2x −1+|2y +1|=0的解集是{(12,−12)}．⑤集合M ={y|y =x 2+1,x ∈R}与集合N ={(x,y)|y =x 2+1，x ∈R}表示同一个集合． 其中正确的命题序号是______ ．14. 圆ρ=4cos θ的圆心到直线tan(θ+π2)=1的距离为______ ． 15. 曲线y =x 4与直线y =4x +b 相切，则实数b 的值是______ ． 16. 给出下列四个命题：①椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，则b =c ②双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离是b ；③已知抛物线y 2=2px 上两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为原点)，则y 1y 2=−p 2； ④动点M 到两定点A 、B 的距离之比为常数λ(λ>0且≠1)，则动点M 的轨迹是圆． 其中的真命题是______ .(把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的平面直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求点P 与MN 中点的距离．18. 已知函数f(x)=1(1−x)+aln(x −1)，其中n ∈N ∗，a 为常数．(Ⅰ)当n =2时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)当a =1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f(x)≤x −1．19. 已知函数g(x)=14x 2−32x +lnx +b ．(1)当b =−54时，求g(x)在(1,g(1))处的切线方程；(2)若函数g(x)在[1,4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围．20. 学生人均课外学习时间是指单日内学生不在教室内的平均学习时间．某校高中学生群体G 有走读生和住校生两种，调查显示：当群体G 中x% (0<x <100)的学生为走读生时，走读生的人均课外学习时间(单位分钟)为f(x)={30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100，而住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，试根据上述调查结果回答下列问题：(1)当x 为何值时，住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间？ (2)求该校高中学生群体G 的人均课外学习时间g(x)的表达式，并求g(x)的最小值．21. 曲线在矩阵的变换作用下得到曲线．(Ⅰ)求矩阵；(Ⅱ)求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．22. 已知f(x)=x −ax (a >0)，g(x)=2lnx +bx ，且直线y =2x −2与曲线y =g(x)相切．(1)若对[1,+∞]内的一切实数x ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a =1时，求最大的正整数k ，使得对[e,3](e =2.71828…是自然对数的底数)内的任意k 个实数x 1，x 2，…，x k 都有f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x k−1)≤16g(x k )成立；(3)求证：∑4i 4i 2−1n i=1>ln(2n +1)(n ∈N ∗).【答案与解析】1.答案：B解析：由椭圆方程，当PA ⊥PF ，根据向量数量积的坐标运算求得P 点坐标，利用三角形的面积公式即可求得三角形的面积，当PF ⊥AF ，则P(4,y)，代入椭圆方程求得y ，即可求得S △PAF ．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 解：由题意可知：椭圆x 236+y 220=1焦点在x 轴上， a =6，b =2√5，c =4，则A(−6,0)，F(4,0)， 设点P 的坐标是(x,y)，y >0， 当PA ⊥PF ，如图1，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +6,y)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y)， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(x +6)(x −4)+y 2=0， 由y 2=20(1−x 236)，整理得：2x 2+9x −18=0，解得：x =32或x =−6， 由y >0，则x =32，则y =5√32，∴S △PAF =12×丨AF 丨×y =12×10×5√32=25√32，当PF ⊥AF ，如图2． 则P(4,y)，y >0， y 2=20(1−x 236)=1009，y =103，S △PAF =12×丨AF 丨×y =12×10×103=503，∴△PAF 面积25√32或503．故选B ．如图1，如图2．2.答案：C解析：本题主要考查是充要条件的应用，熟悉函数零点的定义和特称命题以及全称命题的定义是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：由题意得，当b>0时，且x<0时，，∴A不正确；当b=−4时，，此时f(−2)=4>0，∴B不正确；令，解得，当b<0时，则，∴有三个零点的充要条件是，解得b<−3，当b>0时，则，结合图像可知此时f(x)只有一个零点，∴有三个零点的充要条件是b<−3，∴C正确；当b<0时，f(x)在上单调递增，没有最值，∴D不正确．故选C．3.答案：D解析：试题分析：曲线在点处的导数为，所以在点处的切线的斜率为，所以考点：本小题主要考查导数的几何意义和两直线垂直的充要条件的应用．点评：导数的几何意义是高考考查的热点内容，要看清楚是在点处的切线还是过点的切线．4.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．根据三角函数的倍角公式，结合充分条件和必要条件的定义进行化简判断即可．解：∵在三角形中，sin A2>sin B2>0，∴sin2A2>sin2B2，∵cosA=1−2sin2A2，cosB=1−2sin2B2，∴cosA<cosB，则A>B，即，“A>B”是“sin A2>sin B2”的充要条件，故选C．5.答案：C解析：解：因f′(x)=12x2−mx+1，f″(x)=x−m<0对于x∈(−1,2)恒成立．∴m>(x)max=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．于是f′(x)=12x2−2x+1，由f′(x)=0，x=2−√2或x=2+√2(舍去)，f(x)(−1,2−√2)上递增，在(2−√2,2)上递减，则f(x)有极大值，没有极小值．只有C正确．故选C求出导数，根据函数恒成立，得出m的值，利用导数求出函数单调性，得出结果．本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性、极值，属于中档题．6.答案：A解析：解：∵|PF1|=3，|PF1|+|PF2|=2a=8，∴|PF2|=8−3=5，∵c=√16−12=2，∴|F1F2|=2c=4，在△PF1F2中，|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2，则△PF1F2是以PF2为斜边的直角三角形，×3×4=6．则三角形的面积为：12故选：A．由已知结合椭圆定义求得|PF2|，再由隐含条件求得|F1F2|，利用勾股定理可得△PF1F2是以PF2为斜边的直角三角形，则△PF1F2的面积可求．本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义及勾股定理的应用，是中档题．7.答案：B解析：试题分析：由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有两个不同的根，所以这两个根必为−6、2或−2、6，所以这两个根之和为−4或4.选B ．考点：1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根．8.答案：B解析： 【试题解析】①，如果命题“p 且q 是假命题”，“非p ”为真命题，则p 为假命题，命题q 可能是假命题，也可能是真命题；②，只需判定命题P ，q 真假即可； ③，若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角或π；④，由q 是p 的充分不必要条件，则￢p 是￢q 成立的充分不必要条件； ⑤，命题“存在x 0∈R ，2 x 0≤0”的否定是“∀x 0∈R ，2 x 0>0”．本题考查了命题真假的判定，涉及到复合命题、充要条件等大量的基础知识，属于中档题． 解：对于①，如果命题“p 且q 是假命题”，“非p ”为真命题，则p 为假命题，命题q 可能是假命题，也可能是真命题，故错；对于②，当x ∈(−∞,0)，(23)x >1⇒2x >3x ，故命题P 是假命题；命题q ：∀x ∈(0,π2)，tanx =sinxcosx >sinx.则故命题q 是真命题，故(￢p)∧q 为真命题，正确；对于③，命题p ：若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角或π，故③错；对于④，若p ：|x +1|>2，q ：x >2，⇒q 是p 的充分不必要条件，则￢p 是￢q 成立的充分不必要条件，故正确；对于⑤，命题“存在x 0∈R ，2 x 0≤0”的否定是“∀x 0∈R ，2 x 0>0”，故错． 故选：B ．9.答案：A解析：解：如图，根据条件：BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34×16+0 =12． 故选A ．可作出图形，根据向量加法和数乘的几何意义可以得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，这样进行向量的数乘运算便可得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，从而带入BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进行向量数量积的运算便可求出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，以及菱形对角线互相垂直，向量垂直的充要条件．10.答案：B解析：解：当x =0时，不等式即为−2≤e y−2+e −y−2，显然成立； 当x >0时，设f(x)=e x+y−2+e x−y−2+2， 不等式ax ≤e x+y−2+e x−y−2+2恒成立， 即为不等式ax ≤f(x)恒成立．即有f(x)=e x−2(e y+e−y)+2≥e x−2⋅2√e y⋅e−y+2 =2+2e x−2(当且仅当y=0时，取等号)，由题意可得ax≤2+2e x−2，即有a≤2+2e x−2x在x>0时恒成立，令g(x)=2+2e x−2x ，g′(x)=2xe x−2−2(1+e x−2)x2，令g′(x)=0，即有(x−1)e x−2=1，令ℎ(x)=(x−1)e x−2，ℎ′(x)=xe x−2，当x>0时ℎ(x)递增，由于ℎ(2)=1，即有(x−1)e x−2=1的根为2，当x>2时，g(x)递增，0<x<2时，g(x)递减，即有x=2时，g(x)取得最小值，为2+22=2，则有a≤2．当x=2，y=0时，a取得最大值2．故选：B．当x=0时，不等式即为−2≤e y−2+e−y−2，显然成立；当x>0时，设f(x)=e x+y−2+e x−y−2+2，原不等式恒成立，即为不等式ax≤f(x)恒成立．运用基本不等式和参数分离可得a≤2+2e x−2x在x>0时恒成立，令g(x)=2+2e x−2x，通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值．本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．11.答案：D解析：解：设双曲线焦距为2c，由题意得|PF1|=|F1F2|=2c，所以|PF2|=2c−2a．如图，在等腰△PF1F2中，cos∠PF2F1=c−a2c，又由PF2与双曲线的一条渐近线平行知cos∠PF2F1=ac，所以c−a2c =ac，解得c=3a，则该双曲线的离心率e=3，故选：D．由三角形的余弦定理和双曲线的渐近线可得所以c−a2c =ac，化简可得c=3a，再由离心率公式可得所求值．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a、c关系，是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：f′(x)=3x2−a，若f(x)=x3−ax在(−∞,−1]上递增，则f′(x)=3x2−a≥0在(−∞,−1]上恒成立，即：a≤(3x2)min=3，故选：D．先求出函数的导数，分离出a，从而求出a的范围．本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．13.答案：④解析：①根据图形可知，函数y=x2在(0,+∞)上是增函数，故错误；②函数y=1x的单调递减区间是(−∞,0)和(0,+∞)，是两个减区间，但在整个区间上不单调，故错误．③实数集可以表示为R，R本身即是一集合，故错误；④方程√2x−1+|2y+1|=0，∴√2x−1=0，2y+1=0，∴解集是{(12,−12)}，故正确；⑤集合M={y|y=x2+1,x∈R}表示的是数集，集合N={(x,y)|y=x2+1，x∈R}表示的是点集，故错误．故答案为④．①根据函数图象直接判断；②(−∞,0)和(0,+∞)是两个集合，(−∞,0)∪(0,+∞)是一个区间；③R表示一集合，不能写成{R}.④两个非负数和等于零的问题，每一个式子都为零；解集是一组解；⑤集合中要看代表元素是什么．考查了集合的表示方法，单调区间的表示，两个非负数和等于零的问题．属于常规题型，应熟练掌握．14.答案：√2解析：解：圆ρ=4cosθ为ρ2=4ρcosθ， 化为直角坐标方程为：x 2+y 2−4x =0， 圆心坐标为C(2,0)，直线tan(θ+π2)=1，即cotθ=1，即ρcosθρsinθ=1， 化为直角坐标方程为：x −y =0， ∴圆心C(2,0)到直线的距离d =√2=√2．故答案为：√2．圆ρ=4cosθ化为直角坐标方程为：x 2+y 2−4x =0，圆心坐标为C(2,0)，直线tan(θ+π2)=1化为直角坐标方程为：x −y =0，由此能求出圆心C(2,0)到直线的距离．本题考查圆心到直线的距离的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．15.答案：−3解析：解：设直线与曲线的切点为P(m,n)则有：{y′(m)=44m +b =n ⇒{4m 3=44m +b =n，化简求：m =1，b =n −4； 又因为点P 满足曲线y =x 4，所以：n =1； 则：b =n −4=−3； 故答案为：−3．设直线与曲线的切点为P(m,n)，点P 分别满足直线方程与曲线方程，同时y′(m)=4即可求出b 值 本题主要考察了点满足曲线，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属中等题．16.答案：①②④解析：解：对①，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，则c2b2+c2=12，即b2=c2，所以b=c.故①正确．对于②，双曲线的一个焦点(c,0)，一条渐近线是bx−ay=0，由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：√a2+b2=b，故②正确．对于③，A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB．∴k OA⋅k OB=−1，∴x1x2+y1y2=0，则(y1y2)24p2+y1y2=0，解得y1y2=−4p2，所以③错误．对于④，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M(x,y)，A(−a,0)，B(a,0)，则有√(x+a)2+y2√(x−a)2+y2=λ，化简得(1−λ2)x2+(1−λ2)y2+(2a+2aλ2)x+a2−a2λ2=0，所以动点M的轨迹是圆，④正确．故答案为：①②④．①根据椭圆得离心率的定义可求得b，c的关系．②双曲线的一个焦点(c,0)，一条渐近线是bx−ay=0，由点到直线距离公式可求出双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离．③利用直线和抛物线的位置关系判断．④由圆的性质知此命题成立本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．17.答案：解：(1)由曲线C的极坐标方程为，展开得，可得直角坐标方程为：x2+y2=2y+2x，配方为(x−1)2+(y−1)2=2；(2)把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得=2，即−1=0，由于△=6>0，可设t 1，t 2是上述方程的两实根，则.∵直线l过点P(1,0)，∴由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为．解析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由曲线C 的极坐标方程为，展开得，利用{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出； (2)把直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得t 2−√2t −1=0，由t 的几何意义，可得点P 与MN 中点的距离为|t 1+t 22|．18.答案：解：(Ⅰ)解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x >1}，当n =2时，f(x)=1(1−x)2+aln(x −1)，所以f′(x)=2−a(1−x)2(1−x)．(1)当a >0时，由f′(x)=0得x 1=1+√2a>1，x 2=1−√2a<1，此时f′(x)=−a(x−x 1)(x−x 2)(1−x)3．当x ∈(1,x 1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(x 1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． (2)当a ≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)无极值． 综上所述，n =2时，当a >0时，f(x)在x =1+√2a 处取得极小值，极小值为f(1+√2a )=a2(1+ln 2a )．当a ≤0时，f(x)无极值．(Ⅱ)证法一：因为a =1，所以f(x)=1(1−x)n +ln(x −1)． 当n 为偶数时，令g(x)=x −1−1(1−x)n −ln(x −1)，则g′(x)=1+n(x−1)n+1−1x−1=x−2x−1+n(x−1)n+1>0(x ≥2)． 所以当x ∈[2,+∞)时，g(x)单调递增，又g(2)=0，因此g(x)=x−1−1(x−1)n−ln(x−1)≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x−1成立．当n为奇数时，要证f(x)≤x−1，由于1(1−x)n<0，所以只需证ln(x−1)≤x−1，令ℎ(x)=x−1−ln(x−1)，则ℎ′(x)=1−1x−1=x−2x−1≥0(x≥2)，所以当x∈[2,+∞)时，ℎ(x)=x−1−ln(x−1)单调递增，又ℎ(2)=1>0，所以当x≥2时，恒有ℎ(x)>0，即ln(x−1)<x−1命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当a=1时，f(x)=1(1−x)n+ln(x−1)．当x≥2时，对任意的正整数n，恒有1(1−x)n≤1，故只需证明1+ln(x−1)≤x−1．令ℎ(x)=x−1−(1+ln(x−1))=x−2−ln(x−1)，x∈[2,+∞)，则ℎ′(x)=1−1x−1=x−2x−1，当x≥2时，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)在[2,+∞)上单调递增，因此当x≥2时，ℎ(x)≥ℎ(2)=0，即1+ln(x−1)≤x−1成立．故当x≥2时，有1(1−x)n+ln(x−1)≤x−1．即f(x)≤x−1．解析：(1)欲求：“当n=2时，f(x)=1(1−x)2+aln(x−1)”的极值，利用导数，求其导函数的零点及单调性进行判断即可；(2)欲证：“f(x)≤x−1”，令g(x)=x−1−1(1−x)n−ln(x−1)，利用导函数的单调性，只要证明函数f(x)的最大值是x−1即可．本题主要考查函数的导数、不等式等知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．19.答案：解：(1)g(x)=14x2−32x+lnx−54的导数为g′(x)=12x−32+1x，可得g(x)在(1,g(1))处的切线的斜率为12−32+1=0，切点为(1,−52)，可得切线的方程为y =−52； (2)若函数g(x)在[1,4]上有两个不同的零点， 可得−b =14x 2−32x +lnx 在[1,4]内有两个实根， 设ℎ(x)=14x 2−32x +lnx ，ℎ′(x)=12x −32+1x =(x−1)(x−2)2x，当x ∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 当x ∈(2,4]时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，由ℎ(1)=−54，ℎ(2)=−2+ln2，ℎ(4)=ln4−2， ℎ(1)<ℎ(4)，画出y =ℎ(x)的图象可得−2+ln2<−b ≤−54， 解得54≤b <2−ln2．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点及单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)求得g(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而可得所求切线方程；(2)由题意可得−b =14x 2−32x +lnx 在[1,4]内有两个实根，设ℎ(x)=14x 2−32x +lnx ，求得导数和单调性、极值和最值，可得y =ℎ(x)的图象，可得b 的不等式，解不等式可得所求范围． 20.答案：解：(1)因走读生的人均课外学习时间为f(x)={30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100，由于住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间， 故40=2x +1800x−90(x ∈(30,100)，则(x −20(x −45)=0，得x =45，所以当x =45时，两类学生的课外学习时间相等；(2)由题意可得g(x)={30⋅x%+40(1−x%).0<x ≤30(2x +1800x−90)x%+40(1−x%).30<x <100={−110x +40,0<x ≤30150x 2−1310x +58,30<x <100， 当0<x ≤30时，g(x)单调递减，最小值是37， 所以当30<x <100时，150x 2−1310x +58=150(x −652)2+2958，所以当x =652时，g(x)min =2958， 因为2958<37，所以g(x)min =2958，答：当x =45时，两类学生的课外学习时间相等，g(x)的最小值为2958，解析：(1)因为住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，由分段函数f(x)={30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100，可计算40=2x +1800x −90(x ∈(30,100)，从而得到答案． (2)由题意可得g(x)={30⋅x%+40(1−x%).0<x ≤30(2x +1800x −90)x%+40(1−x%).30<x <100，求g(x)的分段表达式的最小值进行比较，可得求g(x)的最小值．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：(Ⅰ)矩阵；(Ⅱ)矩阵的特征值或.当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向量为．解析：试题分析：(Ⅰ)首先设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由可得再由点在曲线上，把代入求得的值，即可得矩阵；(Ⅱ)由，可得矩阵的特征值，根据特征向量的求法，分别列出方程组，即可求得其对应的特征向量． 试题解析：(Ⅰ)设曲线上的任一点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，则由点在曲线上，得，再由，解得.3分(Ⅱ)由，解得：或.5分当时，由得对应的特征向量为；当时，由得对应的特征向量为.7分考点：1.矩阵与变换；2.矩阵的特征值及对应的一个特征向量的计算．22.答案：解：(1)设点(x0,y0)为直线y=2x−2与曲线y=g(x)的切点，则有2lnx0+bx0=2x0−2①∵g′(x)=2x +b，∴2x0+b=2②由②得，2x0−2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g(x)=2lnx．由f(x)≥g(x)，即x−ax ≥2lnx，整理得ax≤x−2lnx，∵x≥1，∴要使不等式f(x)≥g(x)恒成立，必须a≤x2−2xlnx恒成立．设ℎ(x)=x2−2xlnx，ℎ′(x)=2x−2(lnx+x⋅1x)=2x−2lnx−2，∵ℎ″(x)=2−2x，∴当x≥1时，ℎ′′(x)≥0，则ℎ′(x)是增函数，∴ℎ′(x)≥ℎ′(1)=0，∴ℎ(x)是增函数，则ℎ(x)≥ℎ(1)=1，∴a≤1．又a>0，因此，实数a的取值范围是0<a≤1.(2)当a=1时，f(x)=x−1x ，∵f′(x)=1+1x2>0，∴f(x)在[e,3]上是增函数，f(x)在[e,3]上的最大值为f(3)=83．要对[e,3]内的任意k个实数x1，x2，…，x k，都有f(x1)+f(x2)+⋯+f(x k−1)≤16g(x k)成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=⋯=x k−1=3时不等式左边取得最大值，x k=e时不等式右边取得最小值．∴(k−1)f(3)≤16g(3)，即(k−1)×83≤16×2，解得k≤13．因此，k的最大值为13.(3)证明：1°当n =1时，左边=43，右边=ln3，根据(1)的推导有，x ∈(1,+∞)时，f(x)>g(x)，即x −1x >2lnx ．令x =3，得3−13>2ln3，即43>ln3．因此，n =1时不等式成立．2°假设当n =k 时不等式成立，即∑4i 4i 2−1k i=1>ln(2k +1)，则当n =k +1时，∑4i 4i 2−1k+1i=1=∑4i 4i 2−1k i=1+4(k+1)4(k+1)2−1>ln(2k +1)+4(k+1)4(k+1)2−1， 要证n =k +1时命题成立，即证ln(2k +1)+4(k+1)4(k+1)2−1>ln(2k +3)，即证4(k+1)4(k+1)2−1>ln 2k+32k+1．在不等式x −1x >2lnx 中，令x =2k+32k+1，得ln 2k+32k+1<12(2k+32k+1−2k+12k+3)=4(k+1)4(k+1)2−1．∴n =k +1时命题也成立．综上所述，不等式∑4i 4i 2−1n i=1>ln(2n +1)对一切n ∈N ∗成立．解析：(1)首先设出直线y =2x −2与曲线y =g(x)的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b 的值，解出g(x)后把f(x)和g(x)的解析式代入f(x)≥g(x)，分离变量a 后对函数进行两次求导得到函数在区间[1,+∞)内的最小值，则实数a 的范围可求；(2)当a =1时可证得函数f(x)在[e,3]上为增函数，而g(x)也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k ；(3)该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n =k +1成立时，穿插运用分析法．本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．。
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中高二(上)期中化学试卷(Word+答案)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中高二（上）期中化学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．化学与生产、生活密切相关。
下列说法正确的是（）A．明矾常用于水体杀菌消毒B．从石墨中剥离出的石墨烯薄片能导电，因此是电解质C．碳酸氢钠和碳酸钠均可用于治疗胃酸过多D．轮船上挂锌锭防止铁腐蚀，属于牺牲阳极的阴极保护法2．下列说法正确的是（）A．CH3COOH的浓度越大，其电离程度越大B．常温下，pH＝3的醋酸溶液与pH＝11的NaOH溶液等体积混合后溶液呈酸性C．pH＝6的溶液一定显酸性D．用蒸馏水润湿的pH试纸测某溶液的pH，一定会使结果偏低3．下列的理解不正确的是（）A．体系越有序，熵值越小；体系越混乱，熵值越大B．25℃、1.01×105Pa时，2N2O5（g）⇌4NO2（g）+O2（g）是熵增的反应C．2KClO3（s）═2KCl（s）+3O2（g）△H＞0在任意温度下都能自发进行D．常温下，反应C（s）+CO2（g）═2CO（g）不能自发进行，则该反应的△H＞04．下列说法正确的是（）A．难溶电解质作比较时，K sp小的溶解度一定小B．配制FeCl3溶液时，将FeCl3固体溶于少量浓盐酸中，然后稀释至所需浓度C．滴有酚酞的明矾溶液加热，颜色变深D．将Na2S溶液与AlCl3溶液混合可制取Al2S35．关于反应2NO（g）+2CO（g）⇌N2（g）+2CO2（g）△H＜0的下列说法正确的是（）A．使用高效催化剂可降低反应的活化能，增大活化分子百分数，反应速率增大B．增大压强，可以使NO和CO完全转化为无污染的N2和CO2，而消除污染C．增大压强，正、逆反应速率都增大，且逆反应速率增大的多D．升高温度可使该反应的逆反应速率增大，正反应速率减小6．在恒容密闭容器中发生反应C（s）+CO2（g）⇌2CO（g）△H＞0。
一定条件下达到平衡时，CO的物质的量与加入的CO2的物质的量的关系如图所示。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷及解析
湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知直线120,:410l ax y =++=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A.8B.2C.12-D.-22.方程220x y x y m +++-=表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A.12m >-B.12m <-C.12m ≤-D.12m ≥-3.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 ）A.2213616x y += B.2211636x y += C.22164x y += D.22164y x += 4.已知直线1l ：()111100A x B y C C ++=≠与直线2l ：()222200A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A.121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.3y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =±6.已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，则下面命题错误的是（ ） A.必存在实数k 与θ，使得直线l 与圆M 相切B.对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 有公共点C.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切7.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =，则直线AB 的斜率为（ ） A.13-或13B.16-或16C.2D.16第II 卷（非选择题）二、解答题8.已知直线l 经过点)1,2P .（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若()1,1A -，()3,1B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.9.已知圆C 以点(2,0)为圆心，且被直线20x -+=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过点(5,5)M ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.10.已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.的最小值是______．12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，且12PF F △的面积等于4，则ab 的取值范围为________.13.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.四、新添加的题型14.设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A.当点P 不在x 轴上时，12PF F △的周长是6B.当点P 不在x 轴上时，12PF F △C.存在点P ，使12PF PF ⊥D.1PF 的取值范围是[]1,315.双曲线221916x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列结论正确的是（ ）A.该双曲线的离心率为54B.该双曲线的渐近线方程为43y x =±C.点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D.若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为3216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ） A.()2,0B.()0,2C.()2,0-D.()0,2-参考答案1.D【解析】1.根据两条直线垂直，列方程求解即可.由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直， 所以240a +=， 解得：2a =-. 故选：D 2.A【解析】2.解不等式2241140D E F m +-=++>即得解. 由题得22141140,2D E F m m +-=++>∴>-. 故选：A 3.A【解析】3.根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，由此可求得椭圆的标准方程.由题意可得222102a b c c a b +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2213616x y +=.故选：A. 4.A【解析】4.将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O ，M 的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 直线1l ：111110A B x y C C ++=，直线2l ：222210A Bx y C C ++=， 两式相减可得121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为点O ，M 的坐标都满足该直线的方程，故点O ，M 都在该直线上. 所以直线OM 的方程为121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 5.A【解析】5.根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b ，即可求出双曲线的渐近线方程.解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b ，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：y x =. 故选：A . 6.D【解析】6.由题意可知，直线l 过原点，可计算出圆心M 到直线l 的最大距离，进而可判断出各选项的正误.圆心M 的坐标为()cos ,sin θθ-，直线l 恒过原点O ，所以，圆心M 到直线l 的距离d 的最大值为1OM ==，即1d ≤，所以直线l 与圆M 必有公共点，B 选项正确；对任意实数k ，过原点作直线l 的垂线交圆221x y +=于点M ，则点M 即为所求，A 、C选项正确；当0θ=时，圆M 的方程为()2211x y ++=，此时，直线0x =与圆M 相切，但k 不存在，D 选项错误. 故选：D. 7.B【解析】7.根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案.因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a=22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A A c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B.8.（1）2y x =或3x y +=（2）24y x =-+或1y x =+【解析】8.（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A ，B 的中点两种情况进行求解即可． （1）若直线过原点，则设为y ＝kx ，则k ＝2，此时直线方程为y ＝2x ， 当直线不过原点，设方程为x ya a+=1，即x +y ＝a ， 此时a ＝1+2＝3，则方程为x +y ＝3， 综上直线方程为y ＝2x 或x +y ＝3． （2）若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB ∥l ， AB 的斜率k 112132---===--1， 即l 的斜率为1，则l 的方程为y ﹣2＝x ﹣1，即y ＝x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C （2，0）， 则k 2012-==--2，则l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x +4， 综上l 的方程为y ＝﹣2x +4或y ＝x +1．9.（1）22(2)9x y -+=（2）5x =或815350x y -+=.【解析】9.（1）设出圆的半径，根据圆的弦长公式可求出半径，即可写出圆C 的标准方程； （2）当斜率不存在时，检验是符合；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，根据直线与圆相切，即可求出斜率，得到直线方程．（1）根据题意，设圆C 的方程为222(2)x y r -+=，因为圆C 被直线20x -+=截得的弦长为()2,0到直线20x -+=的距离为2d ==，则=29r =． 则圆C 的标准方程为22(2)9x y -+=. （2）当斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，显然圆心(2,0)到5x =的距离为3，正好等于半径，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则过M 点的直线方程为：5(5)y k x -=-， 即550kx y k -+-=，圆心到直线的距离等于半径3，3d ==，解得815k =，所以直线l 的方程为815350x y -+=.综上，所求的直线方程为5x =或815350x y -+=.10.(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】10.(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72. 11.-10【解析】11.将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.(,0)P x 到点()()1,2,5,10A B -距离之差，当点,,P A B 三点不共线时，则有PA PB AB -<,当点,,P A B 三点共线时，则有PA PB AB -=,故10,10PA PB AB PA PB -≤=-≤-，当且仅当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，取最小值-10. 故答案为：-1012.)⎡+∞⎣【解析】12.设(),P x y ，由120PF PF ⋅=得到P 在圆222x y c +=上，根据题意可得c b ≥，根据12PF F △的面积等于4，得到P 点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出P 点纵坐标，从而得到2b 的值，结合222a b c =+，得到a 的范围，从而求得ab 的范围. 设(),P x y ，()1,0F c -，()2,0F c ， 因为椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，所以222120PF PF x y c ⋅=+-=，即222x y c +=， 可得c b ≥，因为12PF F △的面积等于4，所以1242P c y ⋅⋅=，即4P y c=，椭圆与圆联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得2P by c =， 所以24b =，即2b =，因为c b ≥，222a b c =+，所以2228a b ≥=，即a ≥，所以ab ≥故答案为：)⎡+∞⎣ 13.2【解析】13.联立8y x =-和2140x y --=，得到线段AB 的中点C 的坐标为()2,6-，由点差法得到2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+，根据AB 斜率和C 的坐标为()2,6-，得到,a b 之间的关系，从而得到离心率.点A ，B 关于直线8y x =-对称， 线段AB 的中点在直线2140x y --=上 所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩将()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，则有22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+.∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=.∵点A ，B 关于直线8y x =-对称 ∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：214.ABD【解析】14.根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A ；当点P 位于上下顶点时，12PF F △面积的最大即可判断选项B ；当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大与90比较即可判断选项C ；当点P 为椭圆C 的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知2a =，b =1c ==．对于选项A :根据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==，所以12PF F △的周长是226a c += ，故选项A 正确；对于选项B ：设点()()1000,P x y y ≠，因为122F F =，则12020112PF F S F F y y ⋅==△．因为00y b <≤=12PF F △B 正确； 对于选项C ：由椭圆性质可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =，则12PF F △为正三角形，1260F PF =︒△， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，故选项C 错误；由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=； 对于选项D ：当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以[]11,3PF ∈，故选项D 正确．故选：ABD15.BC【解析】15.由所给双曲线方程计算可得. 解：221916x y -= 3,4,5a b c ∴===53c e a ∴==，故A 错误； 双曲线的渐近线方程为43y x =±即430x y ±=，故B 正确； 设双曲线上一点()00,P x y ，22001916x y ∴-=即2200169144x y -= 则P 到两渐近线的距离的乘积为220000001694343144552525x y x y x y -+-⋅==，故C 正确；若12PF PF ⊥，则1290F PF ∠=︒ 由焦点三角形面积公式122121616tan 45tan 2PF F F P S F b ∆===∠︒，故D 错误. 综上，正确的有BC故选：BC16.AD【解析】16. 设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，②由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-.故选:AD。