1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1984年全国统一高考数学试卷(理科)
1984年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A ．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A ．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠03．（3分）如果n是正整数，那么的值（）A ．一定是零B．一定是偶数C ．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）A ．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角二、解答题（共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？8．（4分）求方程的解集．9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．10．（4分）求的值．11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．13．（6分）画出极坐标方程的曲线．14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．19．（12分）设a＞2，给定数列{x n}，其中x1=a，求证：（1）x n＞2，且；（2）如果a≤3，那么．20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．1984年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A ．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y考点：集合的包含关系判断及应用．分析：题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．解答：解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}∴其中的元素是π的奇数倍．∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}∴其中的元素也是π的奇数倍．∴它们之间的关系是X=Y．故选C．点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A ．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0考点：圆的一般方程．分析：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0解答：解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．3．（3分）如果n是正整数，那么的值（）A ．一定是零B．一定是偶数C ．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数考点：进行简单的合情推理．专题：分类讨论．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：解：∵n是正整数①当为为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N*则=2Z，Z∈N*即此时的值为偶数．②当为为偶数时，1﹣（﹣1）n=0则=0故的值一定是偶数故选B点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）A ．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x）的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx 的充分条件解答：解：∵arccosx∈[0，π]，（1）arccosx∈[0，）时，x∈∈（0，1]，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，（2）arccosx∈（，π]时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，（3）arccosx=时x=0，arccosx==arccos（﹣x），故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解：∵θ是第二象限角∴∴（k∈Z）∴当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；∵==∴∴是第三象限角故选B．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．二、解答题（共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；分类讨论．分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是：或．点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．解答：解：令x2+4x+4＞0，得x≠﹣2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=﹣2故内层函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，+∞）上是增函数．因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．答：函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．8．（4分）求方程的解集．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；数形结合．分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．解答：解：由题意知，，即1+sin2x=，∴sin2x=﹣，则2x=+2nπ或﹣+2nπ（n∈Z），解得x=+nπ或﹣+nπ（n∈Z），∴所求方程的解集是：{x|x=+nπ，n∈Z}∪{x|x=﹣+nπ，n∈Z}点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．考点：二项式系数的性质．分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解法一：（|x|+﹣2）3=（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取﹣2，得（﹣2）3；②一个括号取|x|，一个括号取，一个括号取﹣2，得C31C21（﹣2）=﹣12，∴常数项为（﹣2）3+（﹣12）=﹣20．解法二：（|x|+﹣2）3=（﹣）6．设第r+1项为常数项，则T r+1=C6r•（﹣1）r•（）r•|x|6﹣r=（﹣1）6•C6r•|x|6﹣2r，得6﹣2r=0，r=3．∴T3+1=（﹣1）3•C63=﹣20．点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．10．（4分）求的值．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子、分母同时除以3n，原式转化为，由此能求出的值．解答：解：==0．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．解答：解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有P74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种所以共有种P74•A66排法，答案为P74•A66．点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．分析：考查函数图象的变化，y=H（x﹣1）的图象是由y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H（x）的图象然后再向右平移1个单位得到H（x﹣1）的图象．解答：解：点评：考查函数图象的平移问题．记y=f（x），则y=f（x+1），y=f（x﹣1），y=f（x）+1，y=f（x）﹣1的图象，是由y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．13．（6分）画出极坐标方程的曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：作图题．分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程∴ρ﹣2=0或θ﹣=0，即ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆θ=表示极角为的射线画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合题．分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．解答：证明：设三个平面为α，β，γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c⊂α，b⊂α；∴c与b交于一点，或互相平行．（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．图①；图②（2）如图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c∥γ；又由c⊂β，且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．解答：解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知，所以cx2+d=1再由c≠0，可得又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及，知x≠1因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c＞0，1﹣d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1﹣d＜0，即c＜0，d＞1、再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1﹣d从而，当c＞0，d＜1且c≠1﹣d时，或者当c＜0，d＞1且c≠1﹣d时，原方程有解，它的解是点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．考点：复数的基本概念；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．解答：解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，所以（﹣2p）2﹣4q＜0，q＞p2＞0由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z1﹣z2|=，长轴长=2a=点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．分析：先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A（x，y），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．解答：解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为设d为点M到y轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程点评：本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．考点：三角函数的最值；正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得A+B=判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．解答：解：由，运用正弦定理，有，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．因为A≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，切点分别为D，E，F，则AD+DB+EC=（10+8+6）=12．但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2，如图建立坐标系，则内切圆方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4设圆上动点P的坐标为（x，y），则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76=3×4﹣4x+76=88﹣4x．因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，S最大值=88﹣0=88，S最小值=88﹣16=72点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．19．（12分）设a＞2，给定数列{x n}，其中x1=a，求证：（1）x n＞2，且；（2）如果a≤3，那么．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式x n＞2当n=1时成立，再假设不等式x n ＞2当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式x k+1＞2也成立，最后得到不等式x n ＞2对于所有的正整数n成立；（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当n=1时成立，再假设不等式当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数n成立；解答：证明：（1）①当n=1时，∵=，==2+，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．结论成立．②假设n=k时，结论成立，即2＜x k+1＜x k（k∈N+），则=＞x k+1，=2+＞2．∴2＜x k+2＜x k+1，综上所述，由①②知2＜x n+1＜x n．∴x n＞2且．（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k（k≥1）时成立当n=k+1时，由条件及x k＞2知≤0，再由x k＞2及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．解答：解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠CO A=θ，由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．∵△APM∽△DCM，∴．∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴∴．上式两边对时间t进行求导，则y′t=y′x•x′t．∴y′t=当时，x′t=v，代入上式得点M的速度．点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．。
1992高考数学全国卷及答案理
1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π，那么常数ω为 ( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (3)极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 ( )(A) 2(B)2(C) 1(D)22 (4)方程sin4x cos5x =－cos4x sin5x 的一个解是 ( )(A) 10°(B) 20°(C) 50°(D) 70°(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6：5(B) 5：4(C) 4：3(D) 3：2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像．已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，－21，21，2 (B) 2，21，－21，－2 (C) －21，－2，2，21(D) 2，21，－2，－21(7)若log a 2<log b 2<0，则 ( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角是( )(A) 20° (B) )70° (C) 110°(D) 160°(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2+y 2－x －2y －41=0 (B) x 2+y 2+x －2y +1=0 (C) x 2+y 2－x －2y +1=0(D) x 2+y 2－x －2y +41=0 (11)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为 ( )(A) 160(B) 240(C) 360(D) 800(12)若0<a <1，在[0，2π]上满足sin x ≥a 的x 的范围是 ( )(A) [0，arcsin a ] (B) [arcsin a ，π－arcsin a ] (C) [π－arcsin a ，π](D) [arcsin a ，2π+arcsin a ] (13)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx +ay +c =0 (B) ax －by +c =0 (C) bx +ay －c =0(D) bx －ay +c =0(14)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 ( )(A)23(B)1010(C) 53(D)52(15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为 ( ) (A) 1(B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e -的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数 (B) 是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数 (D) 是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2－t )，那么 ( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32 (B)14(C) 5 (D) 6二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(19)方程33131=++-xx的解是_________________ (20)sin15°sin75°的值是(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为___________________ (22)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________(23)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是____________________三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．(24)已知z ∈C ，解方程z z －3i z =1+3i ． (25)已知432παβπ<<<，cos(α－β)=1312，sin(α+β)=53-．求sin 2α的值． (26)已知：两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ．在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E =m ，AF =n ．求证：EF =θcos 2222mn n m d ±++．(27)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 3=12，S 12>0，S 13<0． (Ⅰ)求公差d 的取值范围．(Ⅱ)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．(28)已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)．证明ab a x a b a 22022-<<--．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．(19)x =－1 (20)41 (21) 12815 (22)()1124222=--y x (23) 1613三、解答题(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识． 解：设z =x +yi (x ，y ∈R )． 将z =x +yi 代入原方程，得 (x +yi )(x －yi )－3i (x －yi )=1+3i ，整理得x 2+y 2－3y －3xi =1+3i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧=-+=-.13,3322y y x x由①得 x =－1．将x =－1代入②式解得y =0，y =3． ∴z 1=－1，z 2=－1+3i ．(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力． 解：由题设知α—β为第一象限的角，∴ sin(α—β)=()βα--2cos 1135131212=⎪⎭⎫⎝⎛-=由题设知α+β为第三象限的角， ∴ cos(α+β)=()βα+--2sin 1545312-=⎪⎭⎫⎝⎛---=∴ sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) =655653131254135-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． (26)本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．解法一：设经过b 与a 平行的平面为α，经过a 和AA 1的平面为β，α∩β=c ，则 c ∥a ．因而b ，c 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ．∵ AA 1⊥b ， ∴AA 1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG =AA 1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG ⊥α．连结FG ，则EG ⊥FG ．在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2．∵ AG =m ， ∴ 在△AFG 中， FG 2=m 2+n 2－2mn cos θ．∵ EG 2=d 2，∴ EF 2=d 2+m 2+n 2－2mn c o s θ． 如果点F (或E )在点A (或A 1)的另一侧，则EF 2=d 2+m 2+n 2+2mn cos θ．因此，EF =θcos 2222mn n m d ±++解法二：经过点A 作直线c ∥a ，则c 、b 所成的角等于θ，且AA 1⊥c ． 根据直线和平面垂直的判定定理，AA 1垂直于b 、c 所确定的平面a ．在两平行直线a 、c 所确定的平面内，作EG ⊥c ，垂足为G ，则EG 平行且等于AA 1， 从而EG ⊥α．连结FG ，则根据直线和平面垂直的定义，EG ⊥FG ． 在Rt △EFG 中，EF 2=EG 2+FG 2． (以下同解法一)(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力． (Ⅰ)解：依题意，有 ()021121212112>⋅-⨯+=d a S()021131313113<⋅-⨯+=d a S即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a由a 3=12，得 a 1=12－2d ． ③将③式分别代①、②式，得⎩⎨⎧<+>+030724d d ∴ 724-<d <－3 (Ⅱ)解法一：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n+1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值． 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0，a 7<0． 由此得a 6>－a 7>0． 因为a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． (Ⅱ)解法二：()d n n na S n 211-+= ()()d n n d n 121212-+-=＝22245212245212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d d d n d ．∵ d <0，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，S n 最大．当 724-<d <－3时 5.6245216<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<d ，∵ 正整数n =6时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴ S 6最大． (Ⅲ)解法三：由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒076a a故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给2分． (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．证法一：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴，即x 1≠x 2．又交点为P (x 0，0)，故|P A |=|PB |，即(x 1－x 0)2+21y =(x 2－x 0)2+22y ①∵ A 、B 在椭圆上，∴ 2122221x ab b y -=，2222222x ab b y -=．将上式代入①，得2(x 2－x 1) x 0=()2222122ab a x x -- ② ∵ x 1≠x 2，可得.2222210a b a x x x -⋅+= ③∵ －a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2， ∴ －2a <x 1+x 2<2a ，∴ .22022ab a x a b a -<<--证法二：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因P (x 0，0)在AB 的垂直平分线上，以点P 为圆心，|P A |=r 为半径的圆P 过A 、B 两点，圆P 的方程为(x －x 0)2+y 2=r 2，与椭圆方程联立，消去y 得(x －x 0)222ab -x 2=r 2－b 2， ∴02222002222=+-+--b r x x x x ab a ① 因A 、B 是椭圆与圆P 的交点，故x 1，x 2为方程①的两个根．由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -x 0．因－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，且x 1≠x 2，故－2a <x 1+x 2=2222b a a -x 0<2a ， ∴ .22022ab a x a b a -<<--。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集，集合M,N⊂I,若M∩N=N，则（)A．B．C．D．2．（4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（)A．B．C．D．3．（4分)函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．(4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．(4分)(2008•湖南）在(1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是(）A．B．C．D．[﹣1,0)8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于() A．B．C．D．10．（4分)(2014•市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分)(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在［0，1］上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．(1,2）D．(2，+∞）12．(5分）等差数列{a n｝，｛b n｝的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共()A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（)A．B．C．D．15．（5分)(2010•内江二模)如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（)A．B．C．D．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分)16．（4分)不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin(x﹣）cosx的最小值_________．19．(4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点,并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题,满分65分）21．（7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1)求证:AF⊥DB;(2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8,t≥0），Q=500（8≤x≤14)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．（12分）设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2）是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．26．(12分)已知椭圆,直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足｜OQ｜•|OP｜=｜OR｜2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题，1—10每小题4分，11—15每小题5，满分65分）1．(4分）已知I为全集，集合M,N⊂I，若M ∩N=N,则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N⊆M,做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析: 把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答: 解：将函数y=的图象向右平移1个单位,得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评: 本题考查函数图象的平移规律和平移的方法,体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin(3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ)的形式,再由T=确定结果．4．（4分)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是(）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R,依题意知R2=a2,即R2=a2,∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评: 本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．(4分）若图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析: 由直线斜率（倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得．解答：解:直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数,但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3)(1+x)10展开式中，x5的系数是()A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析: 先将多项式展开，转化成两二项式系数的差,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：(1﹣x3)(1+x）10=(1+x）10﹣x3（1+x）10∴(1﹣x3)（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x)10的展开式的x5的系数减去（1+x)10的x2的系数∵(1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x)10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评: 本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．［﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答: 解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin(arcsinx）＞sin（arccosx）即:x＞，且x∈[0,1]，所以解得x∈故选B．点评: 本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是(）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点: 双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理后就得到双曲线的渐近线．解答:解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理得．故选C．点评: 把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．(4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点: 三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ,所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点: 平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题;由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α,再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内,如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m;即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m,可以平行，相交,异面；故②为假命题;因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题;由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理,定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻,并会用．11．（5分）(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax)在［0，1]上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0，1) B．(0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0⇒2﹣ax在［0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解：∵a＞0,∴2﹣ax在［0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在［0，1］上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n｝,｛b n｝的前n项和分别为S n与T n,若，则等于（)A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析:利用等差数列的性质求得，再求极限．解答:解:∵=∴故选C点评: 本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题: 计算题;压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数,则其个位数字为2或4，有2种情况,进而分析百位、十位,将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4,有2种情况，将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理,可得共2×12=24个,故选A．点评: 本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c,0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．考点: 简单曲线的极坐标方程．专题: 计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可,从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离,∴，∴椭圆的极坐标方程是:．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．(5分）(2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点: 异面直线及其所成的角．专题: 计算题；压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D,将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答: 解：取BC的中点D，连接D1F1,F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=,AF1=,DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是{x｜﹣2＜x＜4｝．考点: 其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式,利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为:x｜﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径,圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是:球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,逻辑思维能力，是基础题．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题: 计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解:y=sin(x﹣）cosx=（sinx﹣cosx)cosx=sinxcosx﹣cos2x=(cos2x+1)=﹣∴y=sin（x﹣)cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分)（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2(a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a=．考点: 抛物线的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 先把抛物线方程整理成标准方程,可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答: 解：抛物线方程整理得x2=y,焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=;故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种(用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答: 解：四个不同的小球放入编号为1，2，3,4的四个盒子中，恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题，满分65分)21．(7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2,Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点: 复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得====点评: 采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂,再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解:原式====点评: 本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE,F是垂足．（1）求证：AF⊥DB;（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点: 平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：(1)欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB,根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE,且EB∩DE=E，即可证得线面垂直;（2)点E作EH⊥AB，H是垂足,连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质,DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE,∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上，∴AE⊥EB,又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心,AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8，t≥0）,Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?考点: 根据实际问题选择函数类型．专题: 应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解答：解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80)x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时,可得x=8﹣±．由△≥0,t≥0,8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤,不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为［0，］．（2)为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5,由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．(12分)设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2)是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析: (1）设{a n｝的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg(S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立,则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c)=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣(S n+1﹣c）2=﹣a1q n［a1﹣c(1﹣q）]，进而推知a1﹣c(1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1)证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．(i）当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2)a1﹣(n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由(i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，即．(2)解：不存在．要使．成立,则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（S n﹣c)(S n+2﹣c）=(S n+1﹣c）2=（na1﹣c）［（n+2）a1﹣c］﹣[(n+1)a1﹣c］2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n［a1﹣c（1﹣q)］，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0,即此时，因为c＞0,a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②,即不存在常数c＞0，使结论成立．综合(i）、（ii),同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分)已知椭圆，直线．P是l上点,射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ｜•|OP｜=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题: 计算题;压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P)，(x R,y R），(x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•｜OP|=｜OR|2,将三点的坐标代入,最终得到关于x,y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为(x P，y P），(x R，y R），(x，y），其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设|OQ｜•｜OP｜=｜OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0,故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心,长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分120分.考试时间120分钟一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）3log 9log 28的值是 （ ） （A ）32 （B ）1 （C ）23 （D ）2 （2）如果函数)cos()sin(x x y ωω=的最小正周期是π4，那么常数ω为 （ ）（A ）4 （B ）2 （C ）21 （D ）41 （3）极坐标方程是θ=ρθ=ρsin cos 和的两个圆的圆心距是 （ ）（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）22 （4）方程x x x x 5sin 4cos 5cos 4sin -=的一个解是 （ ）（A ）100 （B ）200 （C ）500 （D ）700（5）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 （ ）（A ）6:5 （B ）5:4 （C ）4:3 （D ）3:2（6）图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象。
已知n 取21,2±±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 值依次为 （ ） （A ）2,21,21,2-- （B ）2,21,21,2-- （C ）21,2,2,21-- （D ）21,2,21,2-- (7) 若02log 2log <<b a ，则 （ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b（C ）1>>b a （D ）1>>a b（8）直线⎩⎨⎧︒-=+︒=.20cos ,320sin t y t x （t 为参数）的倾斜角是 （ ）（A ）200 （B ）700 （C ）1100 （D ）1600（9）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （ ）（A ）4个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）1个（10）圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）（A ）041222=---+y x y x （B ）01222=+-++y x y x （C ）01222=+--+y x y x （D ）041222=+--+y x y x （11）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为 （ ）（A ）160 （B ）240 （C ）360 （D ）800（12）若a x a ≥π<<sin ]2,0[,10上满足在的x 的范围是 （ ）（A ）]arcsin ,0[a （B ）]arcsin ,[arcsin a a -π（C ）],arcsin [π-πa （D ）]arcsin 2,[arcsin a a +π （13）已知直线21l l 和夹角的平分线为y=x ，如果1l 的方程是)0(0>=++ab c by ax ，那么2l 的方程是 （ ）（A ）0=++c ay bx （B ）0=+-c by ax（C ）0=-+c ay bx （D ）0=+-c ay bx（14）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）（A ）23 （B ）1010 （C ）53 （D ）52 （15）已知复数z 的模为2，则|z - i|的最大值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）3（16）函数2xx e e y -=的反函数 （ ） （A ）是奇函数，它在),0(+∞上是减函数（B ）是偶函数，它在),0(+∞上是减函数（C ）是奇函数，它在),0(+∞上是增函数（D ）是偶函数，它在),0(+∞上是增函数（17）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么 （ ）（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<（18）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）（A ）32 （B ）14 （C ）5 （D ）6二．填空题：本大题共5小题;每小题3分，共15分。
1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1992年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 22．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ）A ． 10°B ． 20°C ． 50°D ． 70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）A ． 20°B ． 70°C ． 45°D ． 135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ）A ． 160B ． 240C ． 360D ． 80012．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ）A ． [0，arcsina ]B ． [arcsina ，π﹣arcsina ]C ． [π﹣arcsina ，π]D ． [arcsina ，+arcsina ]13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ．b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）B ． f （1）＜f （2）C ． f （2）＜f （4）D ． f （4）＜f （2）＜f（4）＜f（4）＜f（1）＜f（1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是_________．20．（3分）sin15°sin75°的值是_________．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为_________．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．1992年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ．B ． 1C ．D ． 2考点：对数的运算性质． 分析：根据，从而得到答案．解答： 解：． 故选A ． 点评：本题考查对数的运算性质． 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin （ωx+φ）+b 的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值 解答： 解：∵y=sin （ωx ）cos （ωx ）=sin （2ωx ），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题： 计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，∴sin（4x+5x）=0，∴sin9x=0，∴9x=kπ，k∈Z，∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：已知直线（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l的倾斜角．解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，∴x+y﹣3=0，∴直线倾斜角是135°，故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y 2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．解答：解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]D．[arcsina，+arcsina]C．[π﹣arcsina，π]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答：解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题． 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．专题： 压轴题；数形结合．分析： 先从条件“对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答： 解：∵对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）∴f （x ）的对称轴为x=2，而f （x ）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f （2）＜f （1）＜f （4），故选A ．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）．将z=x+yi代入原方程，得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i，整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义，得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=﹣1，z2=﹣1+3i．点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识，考查计算能力，是基础题．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．解答：解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线，结合线面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂线的长；考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．分析：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB 不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①∵A、B在椭圆上，∴，．将上式代入①，得2（x2﹣x1）x0=②∵x1≠x2，可得．③∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2，∴﹣2a＜x1+x2＜2a，∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．。
1992年全国统一高考数学试卷(文科)
1992年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ．B ． 1C ．D ． 22．（3分）已知椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ． 9 B ． 7 C ． 5 D ． 33．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．4．（3分）在（﹣）8的二项展开式中，常数项等于（ ） A ． B ． ﹣7C ． 7D ． ﹣5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4： 3 D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1 D ． b ＞a ＞18．（3分）原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（ ）A ． （）B ． （）C ．（3，4） D ． （4，3）9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0D ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在[0，2π]上满足sinx≥的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ）A ． b x+ay+c=0B ． a x ﹣by+c=0C ． b x+ay ﹣c=0D ． b x ﹣ay+c=013．（3分）如果α，β∈（，π）且tan α＜cotβ，那么必有（ ） A ． α＜β B ． β＜α C ． π＜α+β＜ D ． α+β＞14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 316．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 上是增函数17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）A ．B ．C ． 5D ． 6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）（2009•金山区二模）的值为_________ ．20．（3分）已知α在第三象限且tanα=2，则cosα的值是_________ ．21．（3分）方程的解是 _________ ．22．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则的值为 _________ ．23．（3分）焦点为F 1（﹣2，0）和F 2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________ ．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（9分）求sin 220°+cos 280°+sin20°cos80°的值．25．（10分）设z ∈C ，解方程z ﹣2|z|=﹣7+4i ．26．（10分）如图，已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥的A 1﹣EBFD 1的体积．27．（10分）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y+1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y=0．若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标．28．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．1992年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．2考点：对数的运算性质．分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2．（3分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a 的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．3．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（）A．4B．2C．D．考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值解答：解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．4．（3分）在（﹣）8的二项展开式中，常数项等于（）A．B．﹣7 C．7D．﹣考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r代入通项求出常数项．解答：解：：（﹣）8的二项展开式的通项公式为T r+1=c8r（）8﹣r•（﹣x﹣）r=•x8﹣r，令8﹣r=0得r=6，所以r=6时，得二项展开式的常数项为T7==7．故选C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快，故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞ 1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（）A．（）B．（）C．（3，4）D．（4，3）考点：中点坐标公式．专题：综合题．分析：设出原点与已知直线的对称点A的坐标（a，b），然后根据已知直线是线段AO的垂直平分线，得到斜率乘积为﹣1且AO的中点在已知直线上分别列出两个关于a与b的方程，联立两个方程即可求出a与b的值，写出A的坐标即可．解答：解：设原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为A（a，b），直线8x+6y=25的斜率k=﹣，因为直线OA与已知直线垂直，所以k OA==，即3a=4b①；且AO的中点B在已知直线上，B（，），代入直线8x+6y=25得：4a+3b=25②，联立①②解得：a=4，b=3．所以A的坐标为（4，3）．故选D．点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，利用运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项．解答：解：在[0，2π]上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥，的解，在图中阴影部分，故选B点评：本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．12．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．13．（3分）如果α，β∈（，π）且tanα＜cotβ，那么必有（）A．α＜βB．β＜αC．π＜α+β＜D．α+β＞考点：正切函数的单调性．专题：计算题．分析：先判断tanα＜0 且cotβ＜0，不等式即tanα•tanβ＞1，由tan（α+β）＞0及π＜α+β＜2π，可得π＜α+β＜π．解答：解：∵α，β∈（，π），∴tanα＜0 且cotβ＜0，不等式tanα＜cotβ，即tanα＜，tanα•tanβ＞1，∴tanα+tanβ＜0，∴tan（α+β）=＞0，又π＜α+β＜2π，∴π＜α+β＜π，故选C．点评：本题考查正切值在各个象限内的符号，以及正切函数的单调性．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 3考点： 复数的代数表示法及其几何意义．分析： 根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z ﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答： 解：∵|z|=2，则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z ﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D ．点评： 本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（ ）A ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C ． 是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；综合题．分析： 先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答： 解：设e x =t （t ＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+，对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）=由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题．17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）（2009•金山区二模）的值为．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：先利用等比列求和公式求出数列{（﹣1）n﹣1×}的前n项和，再利用极限法则求极限．解答：解：不妨设Sn=﹣+…+（﹣1）n﹣1×=∴Sn===故答案为：．点评：.本题考查数列极限的知识，是基础题，要熟练掌握．20．（3分）已知α在第三象限且tanα=2，则cosα的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用；象限角、轴线角．专题：计算题．分析：利用α在第三象限判断出cosα＜0，进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．解答：解：∵α在第三象限∴cosα=﹣=﹣=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的关键是熟练记忆三角函数中的平方关系和商数关系．21．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．22．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．23．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（9分）求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．考点：三角函数恒等式的证明．专题：计算题．分析：见到平方式就降幂，见到乘积式就积化和差，将前二项用降幂公式，后两项积化和差，结合特殊角的三角函数值即可解决．解答：解：原式=\frac{1}{2}（1﹣cos40°）+\frac{1}{2}（1+cos160°）+\frac{3}{2}（sin100°﹣sin60°）=1+\frac{1}{2}（cos160°﹣cos40°）+\frac{3}{2}sin100°﹣=﹣sin100°sin60°+sin100°=\frac{1}{4}．故答案为．点评：本题主要考查知识点：两角和与差、二倍角的三角函数．25．（10分）设z∈C，解方程z﹣2|z|=﹣7+4i．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设z=x+yi（x，y∈R）代入方程，由实部和虚部相等列出方程组，求出方程组的解验证后，再求出复数．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），依题意有x+yi﹣2=﹣7+4i，由复数相等的定义得，，解得y=4，且x﹣2=﹣7①．解方程①并经检验得x1=3，x2=．∴z1=3+4i，z2=+4i．点评：本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识，考查了计算能力．26．（10分）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：法一：判断四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形，连接A1C1、EF、BD1，说明A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高，求出底面，高的大小，即可得到棱锥的体积．法二：三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，棱锥转化为2•••a，求解即可．解答：解：法一：∵EB=BF=FD1=D1E==a，∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）连接A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF．根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1﹣EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高（4分）设G、H分别是A1C1、EF的中点，连接D1G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD1根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD1，又，四棱锥A1﹣EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，有A1﹣EBFD1的底面⊥平面HGD1．作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A1﹣EBFD1的底面．（6分）∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1，∴∠HGD1=90°．在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a．∴a•GK=a•a，从而GK=a．（8分）∴=•GK=••EF•BD1•GK=•a•a•a=a3（10分）解法二∵EB=BF=FD1=D1E==a，∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）连接EF，则△EFB≌△EFD1．∵三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，∴．∴．（4分）又，∴，（6分）∵CC1∥平面ABB1A1，∴三棱锥F﹣EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a．（8分）又△EBA1边EA1上的高为a．∴=2•••a=a3．（10分）点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．27．（10分）在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．考点：直线的点斜式方程．专题：压轴题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．故选C（5，﹣6）．点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．28．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．。
1992年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)
1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分） 设函数z=i 2+，那么argz 是（ ） A ． B ． C ． D ． ﹣2．（3分）如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm 3，那么它的底面半径等于（ ） A ． 4cm B ． 4cm C ． 2cm D ． 2cm3．（3分）的值等于（ ） A ． 1 B ． 0C ． ﹣D ． ﹣4．（3分） 函数y=log的反函数是（ ）A ． y =1+2﹣x （x ∈R ）B ． y =1﹣2﹣x （x ∈R ）C ． y =1+2x （x ∈R ）D ． y =1﹣2x （x ∈R ） 5．（3分） 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=a ，AA 1=2a ，那么点A 到直线A 1C 的距离等于（ ） A ． B ． a C ． a D ．a6．（3分） 函数y=sinxcosx+的最小正周期等于（ ）A ．π B ． 2πC ．D ．7．（3分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ） A ． B ． ρ=C ． ρ=D ． ρ=8．（3分） 不等式的解集是（ ）A ． {x|5＜x ＜16}B ． {x|6＜x ＜18}C ． {x|7＜x ＜20}D ． {x|8＜x ＜22} 9．（3分） 设等差数列{a n }的公差是d ，如果它的前n 项和S n =﹣n 2，那么（ ） A ． a n =2n ﹣1，d=﹣2 B ． a n =2n ﹣1，d=2 C ． a n =﹣2n+1，d=﹣2 D ． a n =﹣2n+1，d=2 10．（3分） 方程cos2x=3cosx+1的解集是（ ）A ． {x|x=2k }B ．C ． {x|x=k }D ． {x|x=2kx}11．（3分） 有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ） A ． 4（2﹣）π B ． 2（2﹣） C ． 4 D ． 2 12．（3分） 某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（ ） A ． 27种 B ． 48种 C ． 21种 D ． 24种13．（3分） 设全集I=R ，集合M={x|＞2}，N={x|log x 7＞log 37}那么M∩∁U N=（ ）A ．{x|x ＜﹣2} B ． {x|x ＜﹣2，或x≥3}C ．{x|x≥3} D ． {x|﹣2≤x ＜3}14．（3分） 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1•a 2•a 3•…•a 30=230，那么a 3•a 6•a 9•…•a 30等于（ ） A ． 210 B ． 220 C ． 216 D ． 215 15．（3分） 设△ABC 不是直角三角形，A 和B 是它的两个内角，那么（ ） A ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的充分条件，但不是必要条件． B ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的必要条件，但不是充分条件． C ． “A ＜B“是“tanA ＜tanB“的充分必要条件． D ． “A ＜B“不是“tanA ＜tanB“的充分条件，也不是必要条件． 16．（3分） 对于定义域是R 的任何奇函数f （x ），都有（ ） A ． f （x ）﹣f （﹣x ）＞0 （x ∈R ） B ． f （x ）﹣f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）C ． f （x ）f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）D ． f （x ）f （﹣x ）＞0 （x ∈R ）17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（﹣，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：把答案填在题中的横线上. 18．（3分） = _________ ．19．（3分）设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是_________．20．（3分）如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是_________．21．（3分）=_________．22．（3分）9192除以100的余数是_________．23．（3分）已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=_________．三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.24．已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7a x﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．25．已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α．26．证明不等式（n∈N*）27．设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．28．求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+是实数，且1＜z+≤6；②z的实部和虚部都是整数．1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设函数z=i2+，那么argz是（）A．B．C．D．﹣考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出．解答：解：z=﹣1+i═2=2，∴．故选C．点评：熟练掌握特殊角的三角函数值和辐角主值的意义是解题的关键．2．（3分）如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm3，那么它的底面半径等于（）A．4cm B．4cm C．2cm D．2cm考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：先要根据题意设出底面半径，根据圆柱体的体积公式列出方程即可求解．解答：解：设等边圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，由题意得πr2•2r=16π，r=2．故选D．点评：此题主要考查了实数的运算，解答此类题目的关键是熟知圆柱的体积公式即可．3．（3分）的值等于（）A．1B．0C．﹣D．﹣考点：反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：根据反三角函数的定义可得arcsin=，arccos（﹣）=，arctan（﹣）=﹣，代入要求的式子化简可得结果．解答：解：==1，故选A．点评：本题主要考查反三角函数的定义，属于中档题．4．（3分）函数y=log的反函数是（）A．y=1+2﹣x（x∈R）B．y=1﹣2﹣x（x∈R）C．y=1+2x（x∈R）D．y=1﹣2x（x∈R）考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：把y看作常数，求出x：x=﹣2﹣y+1，x，y互换，得到y=log的反函数．解答：解：把y看作常数，求出x：x﹣1=﹣2﹣y，x=﹣2﹣y+1，x，y互换，得到y=log的反函数：y=﹣2﹣x+1，x∈R，故选B．点评：本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．5．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB=BC=a，AA1=2a，那么点A到直线A1C的距离等于（）A．B． a C． a D． a考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC=，A1C=，再根据等面积可得答案．解答：解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD．因为AB=BC=a，AA1=2a，所以AC=，A1C=，根据等面积可得：AE==．故选C．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．6．（3分）函数y=sinxcosx+的最小正周期等于（）A．πB．2πC．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将y=sinxcosx+cos2x﹣转化为y=sin（2x+），即可求得其最小正周期．解答：解：∵y=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴其最小正周期T==π．故选A．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．7．（3分）有一个椭圆，它的极坐标方程是（）A．B．ρ=C．ρ=D．ρ=考点：简单曲线的极坐标方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，我们可以判断出曲线的离心率，进而判断出的极坐标方程．解答：解：∵圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=，则该曲线表示离心率为e，对照选项，排除C．A中：，e=＞1，表示双曲线，故错；B中：ρ=，e=1，表示抛物线，故错；D中：，e=＜1，表示椭圆，故正确；故选D．点评：本题的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中圆锥曲线的极坐标方程统一为ρ=，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离，就是解答本题的关键．8．（3分）不等式的解集是（）A．{x|5＜x＜16} B．{x|6＜x＜18} C．{x|7＜x＜20} D．{x|8＜x＜22}考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得﹣1＜﹣3＜1，即2＜＜4，化为4＜x﹣2＜16，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得﹣1＜﹣3＜1，故有2＜＜4，∴4＜x﹣2＜16，解得6＜x＜18，故选B．点评：本题主要考查绝对值不等式、根式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．9．（3分）设等差数列{a n}的公差是d，如果它的前n项和S n=﹣n2，那么（）A．a n=2n﹣1，d=﹣2 B．a n=2n﹣1，d=2 C．a n=﹣2n+1，d=﹣2D．a n=﹣2n+1，d=2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用即可得出．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2﹣[﹣（n﹣1）2]=1﹣2n，当n=1时也成立．∴d=﹣2．故选C．点评：熟练掌握是解题的关键．10．（3分）方程cos2x=3cosx+1的解集是（）A．{x|x=2k} B．C．{x|x=k}D．{x|x=2kx}考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦cos2x=2cos2x﹣1，将其代入已知关系式，解方程即可．解答：解：∵cos2x=2cos2x﹣1，∴2cos2x﹣1=3cosx+1，∴（cosx﹣2）（2cosx+1）=0，∴cosx=﹣或cosx=2（舍去）．∴x=2kπ±，k∈Z．∴方程cos2x=3cosx+1的解集是{x|x=2kπ±，k∈Z}．故选A．点评：本题考查二倍角的余弦，考查方程思想与余弦函数的性质，属于中档题．11．（3分）有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（）A．4（2﹣）π B．2（2﹣）C．4D．2考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用度数是60°求出球冠的高，再利用球冠的面积公式求出球冠的面积即可．解答：解：球的半径为：r=OA=OB=2，有一条半径是2的弧，度数是60°，如图．在直角三角形BOD中，∠BOD=30°，OB=2，∴OD=，∴球冠的高H=CD=OC﹣OD=2﹣，∴球冠的面积为：2πr•H=2π×2×（2﹣）=4（2﹣）π，故选A点评：本题是基础题，考查球冠的面积，考查计算能力，牢记基本公式是解题的关键．球冠面积求法公式中学不学习推导方法，记住就可以12．（3分）某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（）A．27种B．48种C．21种D．24种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女，分别用组合数表示出二种情况的结果数，根据分类计数原理“至少有1名女生当选”包含的基本事件数．解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女，当有一女一男时共有C31•C71=21当有两女时共有C32=3事件“至少有1名女生当选”所包含的基本事件数21+3=24（种）故选D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（3分）设全集I=R，集合M={x|＞2}，N={x|log x7＞log37}那么M∩∁U N=（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2，或C．{x|x≥3}D．{x|﹣2≤x＜3}x≥3}考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：解根式不等式或对数不等式，求出M，N，依据补集定义求出∁U N，再根据交集的定义求出M∩（∁U N）．解答：解：由＞2，得x＜﹣2或x＞2，∴M={x|x＜﹣2或x＞2}．∵N=x|log x7＞log37}={x|1＜x＜3}，∴∁U N={x|x≤1或x≥3}．∴M∩（∁U N）={x|x＜﹣2，或x≥3}．故选B．点评：本题考查两个集合的交集、补集的定义和运算，对数函数的单调性和特殊点．14．（3分）设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1•a2•a3•…•a30=230，那么a3•a6•a9•…•a30等于（）A．210B．220C．216D．215考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式，可得a1•a2•a3=（）3，同理a4•a5•a6=（）3，…，a28•a29•a30=（）3，故原式a•a2•a3•…•a30=（）3=230，将q=2代入，即可求出a3•a6•a9•…•a30的值．1解答：解：∵a1•a2•a3=••a3=（）3，a4•a5•a6=••a6=（）3，…，a28•a29•a30=（）3，∴a1•a2•a3…a30=（）3•（）3…（）3=（）3=230，又∵q=2，∴a3•a6•a9••a30=220．故选B．点评：本题考查了等比数列的通项公式，找出已知a1•a2•a3•…•a30和未知a3•a6•a9•…•a30的关系是解题的关键．15．（3分）设△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，那么（）A．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分条件，但不是必要条件．B．“A＜B“是“tanA＜tanB“的必要条件，但不是充分条件．C．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分必要条件．D．“A＜B“不是“tanA＜tanB“的充分条件，也不是必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义分别判断．解答：解：因为△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，所以A≠90°，B≠90°．若A=30°，B=45°，满足A＜B，则tan30°＜tan45°，若A=30°，B=135°，满足A ＜B ，则tan30°＞tan45°，所以A ，B 的大小与tanA ，tanB 的大小没有关系．所以“A ＜B“不是“tgA ＜tgB“的充分条件，也不是必要条件． 故选D ．点评： 本题主要考查正切函数的图象和性质以及充分条件和必要条件的应用．16．（3分） 对于定义域是R 的任何奇函数f （x ），都有（ ） A ． f （x ）﹣f （﹣x ）＞0 （x ∈R ） B ． f （x ）﹣f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）C ． f （x ）f （﹣x ）≤0 （x ∈R ）D ． f （x ）f （﹣x ）＞0 （x ∈R ）考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 探究型． 分析： 利用奇函数的性质分别进行判断． 解答： 解：因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ）．则A ．f （x ）﹣f （﹣x ）=2f （x ），不一定大于0，所以A 错误． B ．f （x ）﹣f （﹣x ）=2f （x ）不一定小于等于0，所以B 错误． C ．f （x ）f （﹣x ）=﹣f 2（x ）≤0，所以C 正确． D ．f （x ）f （﹣x ）=﹣f 2（x ）≤0，所以D 不正确． 故选C ．点评： 本题主要考查奇函数的应用，要求熟练掌握奇函数的性质．17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（﹣，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据题意，设双曲线方程为﹣=1，可得关于a 、b 的方程组：=且a 2+b 2=26，联解可得a=2，b=3，由此求出双曲线的两条准线，即可得到两条准线之间的距离． 解答：解：∵双曲线的焦点坐标是（﹣，0）和（，0）， ∴设双曲线方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0） 由渐近线的方程是，得=…① 又有a 2+b 2=26…② 将①②联解，得a=2，b=3，因此，双曲线的准线方程为x=，即x=可得两条准线之间的距离是故选：A点评：本题给出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，求它的两条准线间的距离，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．二、填空题：把答案填在题中的横线上.18．（3分）=﹣1．考点：二倍角的正切．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由于=×，利用公式tan=即可求得答案．解答：解：∵tan====﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题．19．（3分）设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是．考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），从而得到直线的普通方程，最后再化成斜截式方程即可．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），那么它的斜截式方程是．故答案为：．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线斜截式方程，属于基础题．20．（3分）如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是（x+3）2+（y﹣3）2=9．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用截距式求得AB的方程为15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|=，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程．解答：解：利用截距式求得AB的方程为，即15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|==，解得a=﹣3，故圆心为（﹣3，3），半径为3，故它的内切圆方程是（x+3）2+（y﹣3）2=9，故答案为（x+3）2+（y﹣3）2=9．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题．21．（3分）=．考点：极限及其运算；数列的求和．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：首先利用列项相消法求出数列的和，然后取极限即可得到答案．解答：解：====．故答案为．点评：本题考查了列项相消法求数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是基础的运算题．22．（3分）9192除以100的余数是81．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开9192，可得展开式中，除了最后一项992外，其余的项都能被100整除，故9192除以10的余数是992．再用二项式定理展开992=（10﹣1）92，可得992=﹣919=﹣10×100+81，从而得到答案．解答：解：由于9192=（100﹣9）92=+++…++，在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于=992除以100的余数，而992=（10﹣1）92=+++…+++，故992除以100的余数等价于+除以100的余数，而+=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是81，故答案为81．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．23．（3分）已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；作图题．分析：作出三棱锥A﹣BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角A﹣BC﹣D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值．解答：解：如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，根据三垂线定理可知，HE⊥BC，所以∠AEH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，则∠AEH=α，由已知S△BCD=S2，三棱锥A﹣BCD的体积为V=，AH=，，AE=2，sinα===．所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为．故答案为．点评：本题考查了二面角的平面角的求法，考查了锥体的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.24．已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7a x﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：先用待定系数法解出a的值再解指数方程即可求其余根．解答：解：由已知2a4﹣2﹣7a2﹣1+3=0 2a2﹣7a1+3=0⇒a=或a=3当a=时，原方程就是解得或故有x=2 或x=1+log1/23当a=3时，原方程就是2•32x﹣2﹣7•3x﹣1+3=0解得或3x﹣1=3故有x=1﹣log32 或x=2综上所述，当a=时，方程的另一个根是1+log1/23；当a=3时，方程的另一个根是1﹣log32点评：本题主要考查了指数方程的解法，做题过程中注意指数运算律的应用．25．已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．再由直线a⊥平面β，可得a∥c，根据直线和平面平行的判定定理，可得a∥平面α．解答：证明：∵平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．∵直线a⊥平面β，∴a∥c．而c⊂α，a⊄α，∴根据直线和平面平行的判定定理，可得a∥平面α．点评：本小题考查直线与平面、平面与平面的位置关系以及逻辑推理和空间想象能力，属于中档题．26．证明不等式（n∈N*）考点：用数学归纳法证明不等式．专题：证明题；转化思想．分析：证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）然后推出结论．解答：证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+＜2，则∴当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+＜2．证法二：设f（n）=，那么对任意k∈*都有：∴f（k+1）＞f（k）因此，对任意n∈N*都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0，∴．点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．27．设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（﹣1，6）在抛物线上，代入可得2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．因此．设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1），利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p．解答：解：∵两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y ﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．∵点（﹣1，6）在抛物线上，∴2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．∴．设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1）∴x1+x2=，x1x2=．∵|AB|==，∴=16×10，化为2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=．∵a＞0，∴a=．∴=16．∴抛物线的方程为．点评：熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．28．求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+是实数，且1＜z+≤6；②z的实部和虚部都是整数．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+为一个整体t，进行整体换元，得到z2﹣tz+10=0，对于②利用求根公式解出z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．解答：解：设z+=t，则z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0，解方程得z=±i．又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或z=3±i．点评：本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．。
1996年全国统一高考数学试卷(理科)
1996年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N ，集合A={x|x=2n ，n ∈N}，B={x|x=4n ，n ∈N}，则（ ）A ． I =A ∪B B ． I =∪BC ．D ．2．（4分）（2010•兰州一模）当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a ﹣x 与y=log a x 的图象（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A ． α⊥γ且l ⊥mB ． α⊥γ且m ∥βC ． m ∥β且l ⊥mD ． α∥β且α⊥γ6．（4分）当时，函数f （x ）=sinx+cosx 的（ ）A ． 最大值是1，最小值是﹣1B ． 最大值是1，最小值是﹣C ． 最大值是2，最小值是﹣2D ． 最大值是2，最小值是﹣17．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）8．（4分）若，则等于（ ）A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣211．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）B．（，），（，）A．（3，0），（1，π）C．（2，），（2，D．（，），（，））12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．26013．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f （7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=_________．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个（用数字作答）．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦值是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵_________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵_________∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵_________∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵_________∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵_________∴，即．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．1996年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，分析A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合，易得B⊂A，做出图示，分析可得答案．解答：解：根据题意，A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合．易得B⊂A，根据题意，做出图示可得，由图示可得，故选C．点评：本题考查集合间的关系，图示法简单直观的方法．2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=log a x，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的单调性；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解答：解：因为sin2x＞cos2x，所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0解得：2kπ+＜2x＜2kπk∈Z所以x的取值范围是故选D．点评：本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案．解答：解：复数==．故选B．点评：复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果．解答：解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，故选A．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题．6．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域． 解答： 解：∵f （x ）=sinx+cosx=2（sinx+cosx ） =2sin （x+）， ∵，∴f （x ）∈[﹣1，2]， 故选D 点评： 了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．7．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）考点： 椭圆的参数方程．专题： 计算题．分析： 由题意将椭圆先化为一般方程坐标，然后再计算两个焦点坐标．解答：解：∵椭圆，∴5x ﹣15=15cos φ，3y+3=15sin φ，方程两边平方相加， ∴（5x ﹣15）2+（3y+3）2=152∴，∴椭圆的两个焦点坐标是（3，3），（3，﹣5）， 故选B ． 点评：此题考查椭圆的性质和焦点坐标，还考查了参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．8．（4分）若，则等于（ ） A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α考点：反三角函数的运用． 专题： 计算题． 分析： 利用诱导公式化简，然后根据﹣sin α∈[﹣1，1]，反三角函数的运算法则求出结果即可． 解答： 解：=arcsin[﹣sinα]+arccos[﹣sinα]因为﹣sinα∈[﹣1，1]所以，上式=故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，诱导公式，是基础题．9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D ﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等比数列的前n项和；极限及其运算．专题：计算题．分析：根据q5=得到q5，进而求出q．根据等比数列的求和公式，求得S n，最后令n趋近无穷取极限可得到答案．解答：解：∵∴q5===﹣∴q=∴==（）•[1﹣（）n﹣1]=﹣故选B点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题巧妙利用了在同一等比数列中项数相等的几组数列仍是等比数列的性质．11．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）A．（3，0），（1，B ．（，），（，）π）D．（，），（，）C．（2，），（2，）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴上的两个顶点位置，从而确定它们的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=2，b=，c=1．∴它在短轴上的两个顶点的极坐标（2，），（2，）．故选C．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．点评：解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．13．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．解答：解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．点评：若，则有0＜b＜a．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值．解答：解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V=πr2•h又∵r2+h2=1∴h=∴圆锥体积V=πr2•=•∵=，当且仅当时，即当时圆锥体积V取得最大值∴侧面展开图圆心角ϕ=2πr=2π•故选择D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值：需要注意满足的条件：一正；二定；三相等．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5考点：奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=2或6．考点：直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再根据对称性得到，列出方程求出P即可．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（﹣2，0），半径为1；由抛物线的方程得：准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，所以圆心到准线的距离d=圆的半径r得：d===r=1，解得p=2，p=﹣2（舍去），所以p=2；得到准线方程为x=﹣1，根据对称性得：x=﹣3也和圆相切，所以﹣=﹣3，解得p=6．所以p=2或6．故答案为2或6点评：考查学生掌握直线与圆相切时得到圆心到直线的距离等于圆的半径，以及灵活运用抛物线的简单性质解决数学问题，此题有两种情况，学生容易漏解．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答：解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35﹣3=32个故答案为：32点评：本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．解答：解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：先由对数函数的单调性转化不等式分a＞1时，原不等式等价于不等式组：，0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：求解．解答：解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：由此得．因为1﹣a＜0，所以x＜0，∴．②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：解得：综上，当a＞1时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为点评：本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．最后两种结果分开来写．既不取并集也不能取交集．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵面A1EC⊥侧面AC1∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵面ABC⊥侧面AC1∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵BE∥侧面AC1∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵BE∥AA1∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵AF=FC∴，即．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征．分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=，由中位线性质，我们易得答案．（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1②面ABC⊥侧面AC1③BE∥侧面AC1④BE∥AA1⑤AF=FC（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．∵EB1∥，∴，∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=（180°﹣∠DB1A1）=30°，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA1C1为所求二面角的平面角，通过解∠CA1C1所在的三角形求得∠CA1C1．其解题过程为：作∠CA1C1→证∠CA1C1是二面角的平面角→计算∠CA1C1，简记为“作、证、算”．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）考点：二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用公式粮食单产=，人均粮食占有量=分别求出现在和10 年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．解答：解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得∵=≈4.1∴x≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．点评：本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1，消去y得（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．①根据题意得k12﹣1≠0，②△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③完全类似地有﹣1≠0，④△2＞0，即有12•﹣4＞0，⑤从而k1∈（﹣，﹣）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=．⑥完全类似地有|A2B2|=．⑦∵|A1B1|=|A2B2|，∴k1=±，k2=．从而l1：y=（x+），l2：y=﹣（x+）或l1：y=﹣（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．考点：简单线性规划．专题：压轴题；分类讨论．分析：①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论．注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少．解答：证明：①∵当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是增函数，∴g（﹣1）≤g（x）≤g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（1）=a+b=f（1）﹣c≤|f（1）|+|c|≤2，g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≥﹣（|f（﹣1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；同理当a＜0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是减函数，∴g（﹣1）≥g（x）≥g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≤|f（﹣1）|+|c|≤2，g（1）=a+b=f（1）﹣c≥﹣（|f（1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．∵﹣1≤x≤1，∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2．综上得|g（x）|≤2．点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分） ．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌．． ． ．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． ．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有♉♉♉♉♉♉♉♉♉种（用数字作答）．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当 ✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分）．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若 ✆☠☠，则☠⑥，做出图示如图，分析可得，必有，故选 ．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌． ． ． ．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数⍓的图象先经过左右平移得到⍓的图象，再经过上下平移得到⍓ 的图象．解答：解：将函数⍓的图象向右平移 个单位，得到⍓的图象，再把⍓的图象向上平移一个单位，即得到⍓ 的图象，故选 ✌．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．考点：函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆可得到答案．解答：解： ⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧） ♦♓⏹（ ⌧ ）（其中♦♓⏹，♍☐♦）❆故选 ．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆确定结果．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，球 ⇨ ⇨❿♋ ．故选点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线● 的倾斜角是钝角，则斜率 ＜ ；直线● 与● 的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线● 的倾斜角大于● 的倾斜角，所以 ＞ ＞ ，所以 ＜ ＜ ，故选 ．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． 考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第❒项，令⌧的指数为 ， 求出二项展开式的系数．解答：解：（ ﹣⌧ ）（ ⌧） （ ⌧） ﹣⌧ （ ⌧） （ ⌧） 的⌧ 的系数（ ⌧） 的展开式的通项为❆❒ ❒⌧❒令❒， 得（ ⌧） 展开式的含⌧ 的系数为 ；展开式的含⌧ 的系数为 ﹣ ﹣ 故选项为点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）✌． ． ． ．☯﹣ ， ）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意♋❒♍♦♓⏹⌧、♋❒♍♍☐♦⌧的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解：因为♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧ 所以♦♓⏹（♋❒♍♦♓⏹⌧）＞♦♓⏹（♋❒♍♍☐♦⌧）即：⌧＞，且⌧ ☯， ，所以解得⌧故选 ．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，整理得．故选 ．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是♦♓⏹→，所以把正弦和余弦的平方和等于 两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解： ♦♓⏹ →♍☐♦ →，♦♓⏹ →♍☐♦ →♦♓⏹ →♍☐♦ →，角是第三象限角，♦♓⏹→，故选✌点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍考点：平面与平面之间的位置关系．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线●平面↓，再利用面面垂直的判定可得♊为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故♋为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线❍平面↑，再利用面面垂直的判定可得♌为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线❍在平面↑内，则有↑和↓相交于❍，故♍为假命题．解答：解：●平面↑且↑↓可以得到直线●平面↓，又由直线❍②平面↓，所以有●❍；即♊为真命题；因为直线●平面↑且↑↓可得直线●平行与平面↓或在平面↓内，又由直线❍②平面↓，所以●与❍，可以平行，相交，异面；故♋为假命题；因为直线●平面↑且●❍可得直线❍平面↑，又由直线❍②平面↓可得↑↓；即♌为真命题；由直线●平面↑以及●❍可得直线❍平行与平面↑或在平面↑内，又由直线❍②平面↓得↑与↓可以平行也可以相交，即♍为假命题．所以真命题为♊♌．故选 ．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：♋＞ ﹣♋⌧在☯， 上是减函数由复合函数的单调性可得♋＞ ，在利用对数函数的真数须大于 可解得♋的取值范围．解答：解： ♋＞ ，⍓●☐♑♋◆应为增函数，且◆﹣♋⌧在☯， 上应恒大于零．＜♋＜ ．故答案为： ．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．考点：等差数列的前⏹项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解：故选点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分 步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，进而分析百位、十位，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位，有✌ 种情况，由分步计数原理，可得共 个，故选✌．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量☐即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解： 椭圆的极坐标方程，☐即椭圆的焦点到相应准线的距离，，椭圆的极坐标方程是：．故填： ．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ，将 平移到☞ ，则 ☞ ✌就是异面直线 与✌☞ 所成角，在 ☞ ✌中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ☞☞ ✌就是 与✌☞ 所成角设 ✌ ，则✌，✌☞ ， ☞在 ☞ ✌中，♍☐♦ ☞ ✌，故选✌点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：⌧ ﹣ ＜ ⌧解得：⌧﹣ ＜⌧＜故答案为：⌧﹣ ＜⌧＜点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为 ，由题意可得圆台上底面半径为 ，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧（♦♓⏹⌧﹣♍☐♦⌧）♍☐♦⌧♦♓⏹⌧♍☐♦⌧﹣♍☐♦ ⌧（♍☐♦⌧） ﹣⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值为：故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得●被抛物线截得的线段长，进而求得♋．解答：解：抛物线方程整理得⌧ ⍓，焦点（ ，）●被抛物线截得的线段长即为通径长，故 ，♋；故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有 ✌ 种不同的放法．故答案为 ．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设☪ ，☪ 对应的复数分别为 ， ，依题设得点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解：原式点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（ ）欲证✌☞，先证✌☞平面 ☜，根据线面垂直的判定定理可知只需证☜✌☞，✌☞☜，且☜✆☜☜，即可证得线面垂直；（ ）点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟，易证 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角，在三角形☜☟中求出此角即可．解答：（ ）证明：根据圆柱性质， ✌平面✌☜．☜②平面✌☜，✌☜．✌是圆柱底面的直径，点☜在圆周上，✌☜☜，又✌☜✆✌✌，故得☜平面 ✌☜．✌☞②平面 ✌☜，☜✌☞．又✌☞☜，且☜✆☜☜，故得✌☞平面 ☜．②平面 ☜，✌☞．（ ）解：过点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟．根据圆柱性质，平面✌平面✌☜，✌是交线．且☜☟②平面✌☜，所以☜☟平面✌．又 ☟②平面✌，所以 ☟是☜在平面✌上的射影，从而 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角．设圆柱的底面半径为 ，则 ✌✌，于是✞圆柱 ⇨ ，．：✞ ﹣✌☜ ⇨，得☜☟，可知☟是圆柱底面的圆心，由✞圆柱✌☟，☟☜☟♋❒♍♍♦♑ ♋❒♍♍♦♑（ ），点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．☐✈得到方程，当根的判别式♏时，方程有解，求出解可得函数．然后 ♏，原题♦♏， ♎⌧♎以及二次根式自变量取值范围得♦的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于 元，得⌧♎，求出♦的取值范围．解答：解：（ ）依题设有（⌧♦﹣ ） ，化简得 ⌧ （ ♦﹣ ）⌧（ ♦ ﹣ ♦） ．当判别式 ﹣ ♦ ♏时，可得⌧﹣ ．由 ♏，♦♏， ♎⌧♎，得不等式组：♊♋解不等式组♊，得 ♎♦♎，不等式组♋无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为☯， ．（ ）为使⌧♎，应有♎化简得♦ ♦﹣ ♏．解得♦♏或♦♎﹣ ，由♦♏知♦♏．从而政府补贴至少为每千克 元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前⏹项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ ）设 ♋⏹❝的公比为❑，当❑时根据 ⏹❿⏹﹣ ⏹ 求得结果小于 ，不符合；当❑♊时利用等比数列求和公式求得 ⏹❿⏹﹣ ⏹ ＜ ，进而推断 ⏹❿⏹，＜⏹ ．根据对数函数的单调性求得●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，原式得证．（ ）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当❑时根据（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍） 求得﹣♋ ＜ 不符合题意；当❑♊时求得（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍） ﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，进而推知♋ ﹣♍（ ﹣❑），判断出 ＜❑＜ ，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（ ）证明：设 ♋⏹❝的公比为❑，由题设♋ ＞ ，❑＞ ．（♓）当❑时， ⏹ ⏹♋ ，从而⏹❿⏹﹣ ⏹⏹♋ ❿（⏹）♋ ﹣（⏹） ♋﹣♋ ＜（❑）当❑♊时，，从而⏹❿⏹﹣ ⏹﹣♋ ❑⏹＜ ．由（♓）和（♓♓）得 ⏹❿⏹，＜ ⏹ ．根据对数函数的单调性，知●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，即．（ ）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（♓）当❑时，（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍）（⏹♋ ﹣♍）☯（⏹）♋ ﹣♍﹣☯（⏹）♋ ﹣♍﹣♋ ＜ ．可知，不满足条件♊，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．（♓♓）当❑♊时，若条件♊成立，因为（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍）﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，且♋ ❑⏹♊，故只能有♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，即此时，因为♍＞ ，♋ ＞ ，所以 ＜❑＜ ．但 ＜❑＜ 时，，不满足条件♋，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．综合（♓）、（♓♓），同时满足条件♊、♋的常数♍＞ 不存在，即不存在常数♍＞ ，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件 ✈❿ ，将三点的坐标代入，最终得到关于⌧，⍓的方程即为所求．解答：解：由题设知点✈不在原点．设 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），其中⌧，⍓不同时为零．当点 不在⍓轴上时，由于点 在椭圆上及点 、✈、 共线，得方程组解得由于点 在直线●上及点 、✈、 共线，得方程组．解得当点 在⍓轴上时，经验证♊～♍式也成立．由题设 ✈❿ ，得将♊～♍代入上式，化简整理得因⌧与⌧☐同号或⍓与⍓☐同号，以及♌、♍知 ⌧⍓＞ ，故点✈的轨迹方程为（其中⌧，⍓不同时为零）．所以点✈的轨迹是以（ ， ）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与⌧轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)与参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案.不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长.l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球.其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（.其中'S .S 分别表示上下底面积.h 表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分.第11—14题每小题5分.共60分在每小题给出的四个选顶中.只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集.由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象.且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数.且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数.则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中.曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中.量得水面的高度为６cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中.则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图.在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２.则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5.下底面半径为R.中截面把圆台分为上、下两个圆台.它们的侧面积的比为1∶2.那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1.),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1996年全国统一高考数学试卷(理科)
1996年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N ，集合A={x|x=2n ，n ∈N}，B={x|x=4n ，n ∈N}，则（ ）A ． I =A ∪B B ． I =∪BC ．D ．2．（4分）（2010•兰州一模）当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a ﹣x 与y=log a x 的图象（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A ． α⊥γ且l ⊥mB ． α⊥γ且m ∥βC ． m ∥β且l ⊥mD ． α∥β且α⊥γ6．（4分）当时，函数f （x ）=sinx+cosx 的（ ）A ． 最大值是1，最小值是﹣1B ． 最大值是1，最小值是﹣C ． 最大值是2，最小值是﹣2D ． 最大值是2，最小值是﹣17．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）8．（4分）若，则等于（ ）A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣211．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）B．（，），（，）A．（3，0），（1，π）C．（2，），（2，D．（，），（，））12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．26013．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f （7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=_________．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个（用数字作答）．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦值是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵_________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵_________∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵_________∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵_________∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵_________∴，即．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．1996年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，分析A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合，易得B⊂A，做出图示，分析可得答案．解答：解：根据题意，A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合．易得B⊂A，根据题意，做出图示可得，由图示可得，故选C．点评：本题考查集合间的关系，图示法简单直观的方法．2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=log a x，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的单调性；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解答：解：因为sin2x＞cos2x，所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0解得：2kπ+＜2x＜2kπk∈Z所以x的取值范围是故选D．点评：本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案．解答：解：复数==．故选B．点评：复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果．解答：解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，故选A．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题．6．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域． 解答： 解：∵f （x ）=sinx+cosx=2（sinx+cosx ） =2sin （x+）， ∵，∴f （x ）∈[﹣1，2]， 故选D 点评： 了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．7．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）考点： 椭圆的参数方程．专题： 计算题．分析： 由题意将椭圆先化为一般方程坐标，然后再计算两个焦点坐标．解答：解：∵椭圆，∴5x ﹣15=15cos φ，3y+3=15sin φ，方程两边平方相加， ∴（5x ﹣15）2+（3y+3）2=152∴，∴椭圆的两个焦点坐标是（3，3），（3，﹣5）， 故选B ． 点评：此题考查椭圆的性质和焦点坐标，还考查了参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．8．（4分）若，则等于（ ） A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α考点：反三角函数的运用． 专题： 计算题． 分析： 利用诱导公式化简，然后根据﹣sin α∈[﹣1，1]，反三角函数的运算法则求出结果即可． 解答： 解：=arcsin[﹣sinα]+arccos[﹣sinα]因为﹣sinα∈[﹣1，1]所以，上式=故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，诱导公式，是基础题．9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D ﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等比数列的前n项和；极限及其运算．专题：计算题．分析：根据q5=得到q5，进而求出q．根据等比数列的求和公式，求得S n，最后令n趋近无穷取极限可得到答案．解答：解：∵∴q5===﹣∴q=∴==（）•[1﹣（）n﹣1]=﹣故选B点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题巧妙利用了在同一等比数列中项数相等的几组数列仍是等比数列的性质．11．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）A．（3，0），（1，B ．（，），（，）π）D．（，），（，）C．（2，），（2，）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴上的两个顶点位置，从而确定它们的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=2，b=，c=1．∴它在短轴上的两个顶点的极坐标（2，），（2，）．故选C．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．点评：解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．13．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．解答：解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．点评：若，则有0＜b＜a．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值．解答：解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V=πr2•h又∵r2+h2=1∴h=∴圆锥体积V=πr2•=•∵=，当且仅当时，即当时圆锥体积V取得最大值∴侧面展开图圆心角ϕ=2πr=2π•故选择D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值：需要注意满足的条件：一正；二定；三相等．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5考点：奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=2或6．考点：直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再根据对称性得到，列出方程求出P即可．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（﹣2，0），半径为1；由抛物线的方程得：准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，所以圆心到准线的距离d=圆的半径r得：d===r=1，解得p=2，p=﹣2（舍去），所以p=2；得到准线方程为x=﹣1，根据对称性得：x=﹣3也和圆相切，所以﹣=﹣3，解得p=6．所以p=2或6．故答案为2或6点评：考查学生掌握直线与圆相切时得到圆心到直线的距离等于圆的半径，以及灵活运用抛物线的简单性质解决数学问题，此题有两种情况，学生容易漏解．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答：解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35﹣3=32个故答案为：32点评：本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．解答：解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：先由对数函数的单调性转化不等式分a＞1时，原不等式等价于不等式组：，0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：求解．解答：解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：由此得．因为1﹣a＜0，所以x＜0，∴．②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：解得：综上，当a＞1时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为点评：本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．最后两种结果分开来写．既不取并集也不能取交集．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵面A1EC⊥侧面AC1∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵面ABC⊥侧面AC1∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵BE∥侧面AC1∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵BE∥AA1∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵AF=FC∴，即．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征．分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=，由中位线性质，我们易得答案．（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1②面ABC⊥侧面AC1③BE∥侧面AC1④BE∥AA1⑤AF=FC（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．∵EB1∥，∴，∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=（180°﹣∠DB1A1）=30°，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA1C1为所求二面角的平面角，通过解∠CA1C1所在的三角形求得∠CA1C1．其解题过程为：作∠CA1C1→证∠CA1C1是二面角的平面角→计算∠CA1C1，简记为“作、证、算”．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）考点：二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用公式粮食单产=，人均粮食占有量=分别求出现在和10 年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．解答：解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得∵=≈4.1∴x≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．点评：本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1，消去y得（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．①根据题意得k12﹣1≠0，②△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③完全类似地有﹣1≠0，④△2＞0，即有12•﹣4＞0，⑤从而k1∈（﹣，﹣）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=．⑥完全类似地有|A2B2|=．⑦∵|A1B1|=|A2B2|，∴k1=±，k2=．从而l1：y=（x+），l2：y=﹣（x+）或l1：y=﹣（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．考点：简单线性规划．专题：压轴题；分类讨论．分析：①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论．注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少．解答：证明：①∵当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是增函数，∴g（﹣1）≤g（x）≤g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（1）=a+b=f（1）﹣c≤|f（1）|+|c|≤2，g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≥﹣（|f（﹣1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；同理当a＜0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是减函数，∴g（﹣1）≥g（x）≥g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≤|f（﹣1）|+|c|≤2，g（1）=a+b=f（1）﹣c≥﹣（|f（1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．∵﹣1≤x≤1，∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2．综上得|g（x）|≤2．点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．。
1990年全国统一高考数学试卷(理科)
1990年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x =D．x=92．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）A．B．iC．D．3．（4分）（2009•烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=68．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么等于（）A．B．{（2，3）} C．（2，3）D．{（x，y）|y=x+1}10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A．24种B．60种C．90种D．120种14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A．70个B．64个C．58个D．52个15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是（）A．y=﹣arctg（x ﹣2）B．y=arctg（x﹣2）C．y=﹣arctg（x+2）D．y=arctg（x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是_________．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于_________．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于_________．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=_________．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．1990年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x=D．x=9考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．解答：解：∵∴∴故选A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化．2．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）C．D．A．B ．i考点：复数代数形式的混合运算．分析：把复数1+i乘以cos （﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos （﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，故选D．点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．3．（4分）（2009•烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω•+=2π，求出ω．解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin （ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，，π，，2π．6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．解答：解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么等于（）A．B．{（2，3）} C．（2，3）D．{（x，y）|y=x+1}考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合M，再计算．解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A．24种B．60种C．90种D．120种考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A．70个B．64个C．58个D．52个考点：棱锥的结构特征．专题：压轴题；分类讨论．分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个故选C．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（）A．y=﹣arctg（x ﹣2）B．y=arctg（x﹣2）C．y=﹣arctg（x+2）D．y=arctg（x+2）考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题．分析：根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C 则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）又∵图象C'与C关于原点对称则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是y=±．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．解答：解：∵a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．点评：本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数．解答：解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案为﹣20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于2．考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．分析：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入求出极限即可．解答：解：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入得===2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．解答：解：令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=﹣1∴当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V计算体积：V1=h（s1+s+）①V=sh ②V2=V﹣V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．解答：解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号．解答：解法一：由已知得sinα+sinβ=2sin cos=，cos，两式相除得tan=，tan（α+β）==点评：数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设SA=a，则AB=a，BC=SB= a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件．专题：压轴题；分类讨论．分析：由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．考点：椭圆的应用．分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则====．如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2．∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．考点：对数函数图象与性质的综合应用．分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（﹣∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞﹣}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+a n2）2=（a12+a22+…a n2）+2（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）≤（a12+a22+…a n2）+[（a12+a22）+…+（a12+a n2）]+[（a22+a32）+…+（a22+a n2）]+…+[（a n﹣22+a n﹣12）+（a n﹣22+a n2）]+（a n﹣12+a n2）=n（a12+a22+…+a n2）．于是（a1+a2+…+a n）2≤n（a12+a22+…+a n2）当a1=a2=…=a n时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．。
1993年全国统一高考数学试卷(理科)
1993年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分） 1．（4分）函数f （x ）=sinx+cosx 的最小正周期是（ ） A ． 2π B ． C ． π D ．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x ﹣4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ） A ． 3x+4y ﹣5=0 B ． 3x+4y+5=0 C ． ﹣3x+4y ﹣5=0D ． ﹣3x+4y+5=04．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数 6．（4分）的值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（ ）A ． M =NB ． M ⊂NC ． M ⊃ND ． M ∩N=Φ 8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（ ） A ． B ． C ． D ．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．11．（4分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 双曲线的一支 D ． 抛物线 12．（4分）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．（4分）（+1）4（x ﹣1）5展开式中x 4的系数为（ ） A ． ﹣40 B ． 10 C ． 40 D ． 4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ．C ．D ．15．（4分）已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8＜a 4+a 5 C ． a 1+a 8=a 4+a 5 D ． a 1+a 8和a 4+a 5的大小关系不能由已知条件确定 16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内； 乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时（ ） A ． 乙是丙的充分而不必要条件 B ． 乙是丙的必要而不充分条件 C ． 乙是丙的充分且必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=_________．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=_________．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．1993年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）D．﹣3x+4y+5=0A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．借助斜率，比较简单．4．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离，从而确定选项．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=＞1，表示双曲线，且焦点到准线距离为．故选B ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数考点： 幂函数的性质． 专题： 数形结合． 分析：做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性． 解答：解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（）A．B．C．D．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=Φ考点：集合的包含关系判断及应用．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N==当k=2m﹣1（为奇数）时，N===M∴M⊂N故选B点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法．8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）考点： 三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项． 解答：解：原式=]==，故选A点评： 在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 计算题．分析： 将参数方程化为普通方程，然后再对A 、B 、C 、D 进行判断； 解答：解：∵x=|cos+sin|，∴x 2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ）， ∴y=x 2，是抛物线； 当x=1时，y=；故选B ．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ． C ． l g （a ﹣b ）＞0 D ．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定考点：等比数列．分析：用作差法比较即可．解答：解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0故选A点评：本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件考点：空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．专题：证明题；压轴题．分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．解答：解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选C．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用两角和正玹公式展开，利用反三角函数值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）==故答案为；点评：本题考查三角函数求值，不过学生对反三角函数不是很理解，希望学生能抓住实质，加大训练量．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或}．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：压轴题．分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．因0＜θ＜π，故有（ⅰ）当时，得或，这时都有，得，适合题意．（ⅱ）当时，得或，这时都有，得，不适合题意，舍去．综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．解法二z4=cos4θ+isin4θ．记φ=4θ，得．．==．∵，，①②③∴当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ），或（ⅱ），解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）或．点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．。
(详细解析)1992年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1992年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）考生注意：这份试卷共三道大题（28个小题）．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内1．3log 9log 28的值是 A ．32 B ．1 C ．23D ．2 【答案】A【解析】82lg 92lg 3log 92lg83lg 2lg 3lg 3log 33lg 2lg 2===．2．如果函数()sin cos f x x x ωω=的最小正周期是4π，那么常数ω为 A ．4 B ．2 C ．21 D ．41 【答案】D【解析】()sin cos sin 2f x x x x ωωω==，由242T ππω==，所以14ω=．3．极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是A ．3B ．2C ．1D ．22 【答案】D【解析】两个圆化为直角坐标方程分别为2211()24x y -+=，2211()24x y +-=，圆心为11(,0),(0,)22，两个圆的圆心距是22．4．方程sin 4cos5cos 4sin 5x x x x =-的一个解是A ．10°B ．20°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】由已知得sin 4cos5cos 4sin 5sin 4cos5cos 4sin 50x x x x x x x x =-⇒+=，则 sin 90x =，易知B 正确．5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 A ．6:5 B ．5:4 C ．4:3 D ．3:2 【答案】D【解析】设球的半径为R ，则22222342S R R R S R πππ+⨯==圆柱球．6．图中曲线是幂函数ny x =在第一象限的图像．已知n 取12,2±±四个值，则相应于曲线 1234,,,C C C C 的n 依次为A ．112,,,222--B ．112,,,222-- C ．11,2,2,22-- D ．112,,2,22--【答案】B【解析】根据幂函数的性质可知B 正确．7．若log 2log 20a b <<，则A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．1b a >> 【答案】B【解析】由log 2log 20a b <<可得22110log log a b<<，220log log a b >>，所以01b a <<<．8．直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x （t 为参数）的倾斜角是 A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°【答案】C【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x 得3,sin 20.cos 20x t y t -⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以3sin 20cos 20x y -=-即cos 20sin 20y =-⋅ (3)cot 20(3)tan110(3)x x x -=--=-．9．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】本小题考查四棱锥中线面位置关系的判断．底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，其四个侧面都是直角三角形．10．圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．221204x y x y +--+=【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ，则21,22,a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得1,12a b ==±，从而得到一个圆的方程为221204x y x y +--+=．11．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为A ．160B ．240C ．360D ．800 【答案】B【解析】2555(32)(1)(2)x x x x ++=++，故x 的系数为45545522240C C ⋅+⋅=．12．若01a <<，在[0,2]π上满足sin x a ≥的x 的范围是 A ．[0,arcsin ]a B ．[arcsin ,arcsin ]a a π- C ．[arcsin ,]a ππ- D ．[arcsin ,arcsin ]2a a π+【答案】B【解析】由题设条件0sin 1a x <≤≤，且[0,2]x π∈，则B 正确．13．已知直线1l 和2l 夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+= 【答案】A【解析】两直线共有y x =对称，则两直线互为反函数，则0ay bx c ++=，则A 正确．14．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 A ．23 B ．1010C ．53D ．52【答案】D【解析】过1B 作10//B A MA ，交AB 于0A ，作10//B C NC ，交1CC 于0C ，则010A B C ∠即为所求，在010A B C ∆中易得0102cos 5A B C ∠=．15．已知复数z 的模为2，则z i -的最大值为 A ．1 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】D【解析】3z i z i -≤+=．16．函数2x xe e y --=的反函数A ．是奇函数，它在(0,)+∞上是减函数B ．是偶函数，它在(0,)+∞上是减函数C ．是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，它在(0,)+∞上是增函数 【答案】C【解析】函数2x xe e y --=为奇函数，在(0,)+∞上是增函数，所以其反函数为奇函数，在(0,)+∞上是增函数．17．如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么 A ．(2)(1)(4)f f f << B ．(1)(2)(4)f f f << C ．(2)(4)(1)f f f << D ．(4)(2)(1)f f f << 【答案】A【解析】由题设可得，二次函数开口向上，对称轴为2x =，所以(2)(1)(4)f f f <<．18．长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 A ．32 B ．14 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】设长方体的长、宽和高分别为,,a b c ，由题设得11,62ab bc ac a b c ++=++=，5==．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．19．方程33131=++-xx的解是 ． 【答案】1x =-【解析】11331333311313x x x x x x-+++=⇒=⋅⇒=++，解得1x =-．20．sin15sin 75︒︒的值是 ． 【答案】41 【解析】11sin15sin 75sin15cos15sin 3024︒︒=︒︒=︒=．21．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为 ． 【答案】12815 【解析】31010152128C T S ==．22．焦点为1(2,0)F -和2(6,0)F ，离心率为2的双曲线的方程是 ．【答案】()1124222=--y x 【解析】由已知得28,2cc a==，故4,2,2c a b ===(2,0)，所以 双曲线的方程是()1124222=--y x ．23．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是 ． 【答案】1613 【解析】由已知可得1a d =，所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．三、解答题：（本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明、演算步骤）．24．（本小题满分9分）已知z C ∈，解方程313zz iz i -=+． 【解】本小题考查复数相等的条件及解方程的知识．设(,)z x yi x y R =+∈．将z x yi =+代入原方程，得()()3()13x yi x yi i x yi i +---=+， 整理得223313x y y xi i +--=+． 根据复数相等的定义，得2233,3 1.x x y y -= ⎧⎨+-=⎩由①得1x =-．将1x =-代入②式解得0,3y y ==． ∴121,13z z i =-=-+．25．（本小题满分10分）已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，．求sin 2α的值． 【解】本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．由题设知αβ-为第一象限的角，∴5sin()13αβ-===．由题设知αβ+为第三象限的角，∴4cos()5αβ+===-．∴sin 2sin[()()]sin()cos()ααβαβαβαβ=-++=-+cos()sin()αβαβ+-+541235613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．26．（本小题满分10分）已知：两条异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段1AA 的长度为d ．在直线,a b上分别取点,E F ，设1,A E m AF n ==．求证：EF =【解】本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．解法一：设经过b 与a 平行的平面为α，经过a 和1AA 的平面为β，c αβ=，则//c a ．因而,b c 所成的角等于θ，且1AA c ⊥． ∵1AA b ⊥，∴1AA α⊥．根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥．在平面β内作EG c ⊥，垂足为G ，则1EG AA =． 并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥． 连结FG ，则EG FG ⊥．在Rt EFG ∆中，222EF EG FG =+． ∵AG m =，∴在AFG ∆中，2222cos FG m n mn θ=+-． ∵22EG d =，∴22222cos EF d m n mn θ=++-．如果点F （或E ）在点A （或1A ）的另一侧，则22222cos EF d m n mn θ=+++．因此，EF =解法二：经过点A 作直线//c a ，则,b c 所成的角等于θ，且1AA c ⊥．根据直线和平面垂直的判定定理，1AA 垂直于,b c 所确定的平面α．在两平行直线,a c 所确定的平面内，作EG c ⊥，垂足为G ，则EG 平行且等于1AA ， 从而EG α⊥．连结FG ，则根据直线和平面垂直的定义，EG FG ⊥． 在Rt EFG ∆中，222EF EG FG =+． （以下同解法一）27．（本小题满分10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知3121312,0,0a S S =><． （Ⅰ）求公差d 的取值范围．（Ⅱ）指出1212,,...,S S S 中哪一个值最大，并说明理由．【解】本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力． （Ⅰ）依题意，有()021121212112>⋅-⨯+=d a S ．()021*********<⋅-⨯+=d a S ，即112110,60.a d a d +>⎧⎨+<⎩由312a =，得1122a d =-． ③将③式分别代①、②式，得⎩⎨⎧<+>+030724d d∴2437d -<<-． （Ⅱ）解法一：由0d <可知1231213...a a a a a >>>>>．因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得10,0n n a a +><， 则n S 就是1212,,...,S S S 中的最大值．由于12671376()0,130S a a S a =+>=<，即6770,0a a a +><． 由此得670a a >->．因为670,0a a ><，故在1212,,...,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解法二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-= 22124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时5.6245216<⎪⎭⎫⎝⎛-<d ， ∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅲ）解法三：由0d <可知1231213...a a a a a >>>>>．因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得10,0n n a a +><， 则n S 就是1212,,...,S S S 中的最大值．⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒0076a a 故在1212,,...,S S S 中6S 的值最大．（注：如果只答出6S 的值最大，而未说明理由者，在（Ⅱ）中只给2分．）28．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ．证明ab a x a b a 22022-<<--． 【解】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力． 证法一：设,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴，即12x x ≠．11 又交点为0(,0)P x ，故PA PB =，即2222101202()()x x y x x y -+=-+ ① ∵,A B 在椭圆上，∴2122221x a b b y -=，2222222x a b b y -=． 将上式代入①，得()22221202122()a b x x x x x a --=- ② ∵12x x ≠，可得.2222210a b a x x x -⋅+= ③ ∵12,a x a a x a -≤≤-≤≤，且12x x ≠，∴1222a x x a -<+<， ∴.22022ab a x a b a -<<-- 证法二：设,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．因0(,0)P x 在AB 的垂直平分线上，以点P 为圆心，PA r =为半径的圆P 过,A B 两点，圆P 的方程为2220()x x y r -+=，与椭圆方程联立，消去y 得2222202()b x x x r b a --=-， ∴022*******2=+-+--b r x x x x ab a ① 因,A B 是椭圆与圆P 的交点，故12,x x 为方程①的两个根．由韦达定理得2120222a x x x a b+=-． 因12,a x a a x a -≤≤-≤≤，且12x x ≠，故212022222a a x x x a a b-<+=<-， ∴ .22022ab a x a b a -<<--。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1988-1998年高考理科数学试题
D /C /B/A /D CB A 1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.1.211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值等于 A.1 B.-1 C.i D.i -2.设圆M 的方程为22(3)(2)2x y -+-=,直线l 的方程为30x y +-=,点P 的坐标为(2,1)，那么A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上B.点P 在圆M 上，但不在直线l 上C.点P 既在圆M 上，又在直线l 上D.点P 既不在直线l 上，也不在圆M 上3.集合{}1,2,3的子集共有A.7个B.8个C.6个D.5个 4.已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是A.10B.5C.15D.1525.在10(x 的展开式中，6x 的系数是 A.610C 27- B.410C 27 C.610C 9- D.410C 9 6.函数44cos sin y x x =-的最小正周期是A.πB.π2C.2πD.π47.方程24cos 30x x -+=的解集是A.{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-⋅∈B.{|(1),}3k x x k k Z ππ=+-⋅∈C.{|2,}6x x k k Z ππ=±∈D.{|2,}3x x k k Z ππ=±∈8.极坐标方程432cos ρθ=-所表示的曲线是A.圆B.双曲线右支C.抛物线D.椭圆 9.如图，正四棱台中，A D ''所在的直线与BB '所在的直线是 A.相交直线 B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线10.1tan(arctan arctan 3)5+的值等于 A.4 B.21 C.81D.811.设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件12.在复平面内，若复数z 满足|1||z z i +=-，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线 13.如果曲线222210x y x y ----=经过平移坐标轴后的新方程为221x y ''-=，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 A.(1,1) B.(1,1)-- C.(1,1)- D.(1,1)- 14.假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有A.233197C C 种 B.233231973197C C C C +种 C.55200197C C -种 D.5142003197C C C -种15.已知二面角AB αβ--的平面角是锐角，C 是平面α内一 点（它不在棱AB 上）， 点D 是点C 在面βl D A y xO S A B C D SF A C ED 上的射影，点E 是棱 AB 上满足CEB ∠为锐角的任一点，那么 A.CEB DEB ∠>∠ B.CEB DEB ∠=∠ C.CEB DEB ∠<∠D.CEB ∠与DEB ∠的大小关系不能确定 二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果1.i 的模和辐角的主值．2.解方程192327.xx---⋅=3.已知37sin ,352πθπθ=-<<，求tan2θ的值． 4.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB =α 表示∠ASD ，求sin α的值．5.已知等比数列{}n a 的公比1q >，并且1(0)a b b =≠，求．123678lim nn n a a a a a a a a →∞++++++． 三、（本题满分10分） 已知tan x a =，求3sin sin 33cos cos3x xx x++的值．四、（本题满分10分）如图，正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积．五、（本题满分11分） 设0,1,0a a t >≠>，比较1l o g 2a t 与1log 2at +的大小，并证明你的结论． 六、本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数,0a a ≠，且1a ≠，设函数1(1x y x R ax -=∈-且1x a≠） 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于x 轴；（2）这个函数的图象关于直线y x =成轴对称图形．七、本题满分12分） 如图，直线l 的方程为2px =-，其中0P >，椭圆的中心为(2,0)2pD +，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为(2pA 问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线l 的距离．1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题3分） 1．1.如果{,,,,},{,,}I a b c d e M a c d ==,{,,}N b d e =，其中I 是全集，那么M N等于A.φB.{d }C.{,a c }D.{,b e } 2．与函数y x =有相同图象的一个函数是A.y =2xy x=C.log (0,1)a xy aa a =>≠D.log (0,1)x a y a a a =>≠3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是A.π34B.π22C.π32D.π24 4．43cos[sin()cos()]55arc arc ---的值等于A.-1B.257-C.257D.510- 5．已知{}n a 是等比数列，如果12318a a a ++=，2349a a a ++=-，且12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞的值等于 A.8 B.16 C.32 D.486．如果15|cos |,352θπθπ=<<，那么sin 2θ的值等于A.510-B.510C.515-D.5157．设复数z 满足关系式||2z z i +=+，那么z 等于A.34i -+B.34i - C.34i -- D.34i +8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 A.4 B.3 C.2 D.59．已知椭圆的极坐标方程是532cos ρθ=-，那么它的短轴长是A.310 B.5 C.52 D.32 10．如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A.10B.7732 C.72 D.53211．已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x A.在区间(1,0)-上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(2,0)-上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有A.60个B.48个C.36个D.24个 二、填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分）13．方程sin x x = _________________14．不等式2|3|4x x ->的解集是_____15．函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是_____________16．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++=____17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;A 是B 的______条件 18．如图，已知圆柱的底面 半径是3，高是4，A ，B 两点分别在两底面的圆周上， 并且AB =5，那么直线AB 与轴OO '之间的距离等于 ________________三、解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）证明：32sin 22cos cos 2x x xtg tg x x-=+. 20、（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，已知15,4,3AB AD AA ===，AB ⊥AD ，∠1AA B =∠1A AD =.3π（Ⅰ）求证：顶点1A 在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积. 21、（本小题满分10分）自点)3,3(-A 出发的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求入射光线l 所在的直线方程．22、（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围. 23、（本小题满分10分）是否存在常数,,a b c 使得等式2221223(1)n n ⋅+⋅+++ 2(1)()12n n an bn c +=++对一切自然数n都成立？并证明你的结论. 24、（本小题满分10分）设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上以2为周期的函数，对k Z ∈,用k I 表示区间(21,21]k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =.（1）求()f x 在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k ,求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}.1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） 满分120分，120分钟一、选择题:（共45分）在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 1.方程3log 124x=的解是A.19x = B.x = CD .9x =2.把复数1i +对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122-+ B .1122-+--+C.1122-++D.1122--+3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ,那么圆柱的体积等于CD4.方程sin 2sin x x =在区间()0,2π内的解的个数是A.1 B .2 C .3 D .4.已知上图是函数2s i n (y x ωϕ=+ 2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象，那么A.10,116πωϕ== B .10,116πωϕ==- C .2,6πωϕ==D .2,6πωϕ==-6.函数c o s c ot s i n t a n s i n c o s t a n c o tx x x x y x x x x =+++的值域是A.{2,4}- B . {2,0,4}- C .{2,0,2,4}- D .{4,2,0,4}--7．如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =称,那么 A.1,63a b == B .1,63a b ==- C . 3,6a b ==- D . 3,6a b == 8．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是A.圆 B .椭圆 C .双曲线的一支 D .抛物线9．设全集{}I=(,),R x y x y ∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N 等于A.12 B .{(2,3)} C . (2,3) D .{}(,)1x y y x =+ 10．如果实数满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是 A.12 BCD11．如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相 等,如果,E F 分别为,SC AB 的中点,那么 异面直线EF 与SA所成的角等于A.90° B .60° C .45° D .30°12．已知0h >.设命题甲为:两个实数,a b 满足2a b h -<;命题乙为:两个实数,a b 满足1a h -<且1b h -<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B .甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C .甲是乙的充分条件D .甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件13．,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）,那么不同的排法共有A.24种 B .60种 C .90种 D .120种 14．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有A.70个 B .64个 C .58个 D .52个 15．设函数arctan y x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C .又设图象C '与C 关于原点对称,那么C '所对应的函数是A.arctan(2)y x =-- B .arctan(2)y x =-C .arctan(2)y x =-+D .arctan(2)y x =+二、填空题: （本题满分15分，共5个小题，每一个小题满分3分）把答案填在题中横线上. 16．双曲线221169x y-=的准线方程是 17．234(1)(1)(1)(1)x x x x ---+---5(1)x +-的展开式中, 2x 的系数等于 ．18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列,如果n S 是{}n a 的前n 项的和,那么l i m n n nn aS →+∞= ． 19．函数sin cos sin cosy x x x x =++的最大值是 ．20．如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC 的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为12,V V 的两部分,那么V :2V ＝ ．三、解答题（本题满分60分，共6个小题.） 21．（本小题满分8分）有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数. 22．（本小题满分10分） 已知11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=，求t an()αβ+的值23．（本小题满分10分）如图,在三棱锥S ABC -中， SA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于,D E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.24．（本小题满分10分）设0a ≥，在复数集C 中解方程22z z a +=.25．（本小题满分10分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =已知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到这个椭圆上的点的最远求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P.26．（本小题满分12分）12(1)()lg x x x n n af x n+++-+=，其中a 是实数，n 是任意自然数，且2n ≥ (Ⅰ)如果()f x 当(,1]x ∈-∞时有意义,求a 的取值范围;(Ⅱ)如果(0,1]a ∈,证明2()(2)f x f x <当0x ≠时成立.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷共120分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分. 1.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于A .34-B .43- C .43 D .342.焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A .28(1)y x =+B .28(1)y x =-+C .28(1)y x =-D .28(1)y x =-- 3．函数44cos sin y x x =-的最小正周期是 A .2πB .πC .2πD .4π 4.如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )A .12对B .24对C .36对D .48对 5.函数5sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)的图像的一条对称轴的方程是 A .2x π=-B .4x π=-C . 8π=x D .45π=x6.如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的A . 垂心B .重心C .外心D .内心 7.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于A .5B . 10C .15D .208.如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为A . (0,0),(6,)πB .(3,0),(3,0)-C .(0,0),(3,0)D .(0,0),(6,0)9.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A . 140种B .84种C .70种D .35种 10.如果0AC <，且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过A . 第一象限B .第二象限C .第三象限D . 第四象限 11.设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么A .丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B .丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C .丙是甲的充要条件D .丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12.111lim[(1)(1)(1)345n n →∞--- (1)21+n )]的值等于 A . 0 B . 1 C .2 D .313.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是A .增函数且最小值为－5B .增函数且最大值为－5C .减函数且最小值为－5D .减函数且最大值为－514.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有A .1个B .2个C .3个D .4个15.设全集为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那么集合{()()0}x f x g x =等于 A .N M ⋂ B .N MC .N MD .N M二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上.16.11arctanarctan 32+的值是________. 17.不等式2261x x +-<的解集是________.18.已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于 . 19.7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1a >，那么a = .20.在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===．那么这个球面的面积是 .三、解答题：本大题共6小题；共60分． 21. (本小题满分8分)求函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．22. (本小题满分8分)已知复数1z i =+, 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值． 23. (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD 的中点，CG 垂直于ABCD 所在的平面，且2CG =．求点B 到平面EFG 的距离．24. (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(),-∞+∞上是减函数．25. (本小题满分12分)已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log 4log 12log a a a x x x -++121(2)(2)log log ()3n nn a a n x x a ---+->-26. (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于,P Q 两点．若OP OQ ⊥，4PQ =，求双曲线的方程．NABCD 1C 1B 1A 1MD1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共120分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．1.3log 9log 28的值是 A .32 B .1 C .23D .22.如果函数sin cos y x x ωω=的最小正周期是4π，那么常数ω为A . 4B .2C .21D .413.极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是A . 2B .2C .1D .224.方程s i n 4c o s 5c o s 4s i n xx x x =-的一个解是A . 10°B .20°C . 50°D .70° 5.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是A . 6：5B .5：4C .4：3D .3：2 6.图中曲线是幂函数ny x =在第一象限的图像．已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的n 依次为A .112222--，，， B .112222--，，， C .112222--，，， D .112222--，，， 7.若log 2log 20a b <<，则A .01a b <<<B . 01b a <<<C .1b a <<D .1a b << ( )8.直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=20cos 320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角是A . 20°B .)70°C .110°D .160° 9.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A . 1个B .2个C .3个D .4个 10.圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A . 221202x y x y +---= B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+=D . 221204x y x y +--+= 11.在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为A . 160B .240C .360D .800 12.若01a <<，在[]0,2π上满足sin x a ≥的x 的范围是A . []0,arcsin aB . []arcsin ,arcsin a a π-C .[]arcsin ,a ππ-D .arcsin ,arcsin 2a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦13.已知直线1l 和2l 夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0ax by c ++=(0)ab >，那么2l 的方程是A . 0bx ay c ++=B . 0ax by c -+=C .0bx ay c +-=D .0bx ay c -+=14.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D - 中，M 和N 分别为 11A B 和1BB 的中点， 那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是A . 23B .1010C .53D . 5215.已知复数z 的模为2，则|z i -|的最大值为A . 1B .2C .5D . 316.函数2x xe e y --=的反函数( ) A .是奇函数，它在(0,)+∞上是减函数 B .是偶函数，它在(0,)+∞上是减函数 C .是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数 D .是偶函数，它在(0,)+∞上是增函数17.如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么 A . (2)(1)(4)f f f << B .(1)(2)(4)f f f << C .(2)(4)(1)f f f <<D .(4)(2)(1)f f f << 18.长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 A . 32 B .14 C .5 D .6二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．19.方程33131=++-xx的解是________. 20.sin15sin 75︒︒的值是 .21.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为___________________. 22.焦点为1(2,0)F -和2(6,0)F ，离心率为2的双曲线的方程是__________. 23.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是____________________.三、解答题：本大题共5小题；共51分.解答应写出文字说明、演算步骤.24. (本小题满分9分)已知z ∈C ，解方程z z －3i z =1+3i ．25. (本小题满分10分) 已知432παβπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-．求sin 2α的值．26. (本小题满分10分)已知：两条异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段1AA 的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设1A E m =，AF n =．求证：EF =27. (本小题满分10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知3121312,0,0a S S =><． (Ⅰ)求公差d 的取值范围．(Ⅱ)指出1212,,,S S S 中哪一个值最大，并说明理由．28. (本小题满分12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> ， ,A B是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ．证明ab a x a b a 22022-<<--．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共68分)一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是( ) A .2π B .π22 C .π D .4π 2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 ( )A .23 B .23 C . 26 D .2 3．和直线3x －4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为( )A .3x +4y －5=0B . 3x +4y +5=0C .－3x +4y －5=0D .－3x +4y +5=0 4．极坐标方程435cos ρθ=-所表示的曲线是( ) A . 焦点到准线距离为54的椭圆 B .焦点到准线距离为54的双曲线右支 C .焦点到准线距离为34的椭圆D .焦点到准线距离为34的双曲线右支5．53x y =在[－1，1]上是 ( ) A .增函数且是奇函数 B .增函数且是偶函数 C .减函数且是奇函数 D .减函数且是偶函数6．5215lim22+--∞→n n n n 的值为( )A .51-B . 25- C .51 D .257．集合{|}24k M x x k Z ππ==+∈，， {|}42k N x x k Z ππ==+∈，，则 A . M =N B .N M ⊃ C .N M ⊂ D .=⋂N M Ø 8．sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是A .41 B .23 C . 21 D .43 9．参数方程()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212sin 2cos y x()πθ20<<表示A . 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫⎝⎛211，B .抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫⎝⎛211， C .双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，D .抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛-211， 10．若,a b 是任意实数，且a b >，则A .22a b > B .1<abC .lg()0a b ->D .ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为 A .圆 B .椭圆 C .双曲线的一支 D .抛物线12．圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A . π36⎪⎭⎫⎝⎛l B .π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l C .π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l D .π342⎪⎭⎫⎝⎛l 13．(x +1)4(x －1)5展开式中x 4的系数为A . －40B .10C . 40D .45 14．直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为( ) A . 2π B .π324+ C .π325+ D .π3715．已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q ≠1，则( ) A .a 1+ a 8> a 4+ a 5 B . a 1+ a 8< a 4+ a 5 C .a 1+ a 8= a 4+ a 5 D .a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 16．设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：l ，m 之中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．当甲成立时A . 乙是丙的充分而不必要的条件B .乙是丙的必要而不充分的条件C .乙是丙的充分且必要的条件D .乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( ) A . 6种 B . 9种C .11种 D .23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．18．⎪⎭⎫ ⎝⎛+31arccos 21arccos sin = _______.19．若双曲线222249k y k x -=1与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为_________________.20．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______________种取法(用数字作答)．21．设1()42x x f x +=-，则1(0)f -=__. 22．建造一个容积为8m 3 ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元. 23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度.三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤． 24．(本小题满分10分)已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-．(Ⅰ)求()f x 的定义域；(Ⅱ)判断()f x 的奇偶性并予以证明；(Ⅲ)求使()0f x >的x 取值范围．25．(本小题满分12分)已知数列()()2222228182813352121nn n ⋅⋅⋅⋅-+，，，，. n S 为其前n 项和．计算得123482448809254981S S S S ====，，，，….观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 26．(本小题满分12分) 已知：平面α∩平面β=直线a ．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b ． 求证：(Ⅰ) a ⊥γ；(Ⅱ)b ⊥γ．PM b a βα27．(本小题满分12分)在面积为1的PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=，tan 2MNP ∠=-．建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．28．(本小题满分12分) 设复数()πθθθ<<+=0si n c o s i z ，()4411zz+-=ω，并且33=ω，2arg πω<，求θ．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集{0,1,2I =，集合{0,1,2A =，集合{2,3,4}B =，则A BA .{0}B .{0,1}C .{0,1,4}D .{0,1,2,3,4}2.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A .()0,+∞B .()0,2C .()1,+∞D .()0,1 3.极坐标方程cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所表示的曲线是A .双曲线B .椭圆C .抛物线D .圆 4.设θ是第二象限的角，则必有 A .tgctg22θθ> B . 2ctg2tg θθ<C .2cos2sinθθ> D .2cos2sinθθ<5.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成A .511个B . 512个C .1023个D .1024个6.在下列函数中，以2π为周期的函数是 ( )A .sin 2cos 4y x x =+B .sin 2cos 4y x =C .sin 2cos 2y x x =+D .sin 2cos 2y x x =7.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为A .323B . 283C .243D . 2038.设F 1和F 2为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是A .1B .25C .2D .5 9.如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是A .1B . 2C .2D . 510.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有 A .1260种 B . 2025种 C . 2520种 D . 5040种 11.对于直线m ，n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是 A .m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B . m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α C . m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D .m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β12.设函数()110)f x x =-≤≤，则函数1()y f x -=的图像是A .B .C .D . 13.已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面面积是A .169π B . 83π C .4π D .649π14.函数2r c c o s (s i n )33y a x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是 A .⎪⎭⎫⎝⎛656ππ， B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π，C .⎪⎭⎫⎝⎛323ππ， D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡326ππ， 15.定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()()lg(101)(,)x f x x =+∈-∞+∞，那么A .(),()lg(10102)x x g x x h x -==++B .1()lg(101)2x g x x ⎡⎤=++⎣⎦, 1()lg(101)2x h x x ⎡⎤=+-⎣⎦ C .(),()lg(101)22xx x g x h x ==+-D .(),()lg(101)22xx x g x h x =-=++第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上)16.在()73x -的展开式中，5x 的系数是(用数字作答) .17.抛物线284y x =-的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是_____. 18.已知1sin cos ((0,))5θθθπ+=∈，则ctg θ的值是_____________.19.设圆锥底面圆周上两点A ，B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________.20.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a = ____.三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 21. (本小题满分11分)已知1z i =+．(1)设234z z ω=+-，求ω的三角形式； (2)如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值．22. (本小题满分12分) 已知函数()tan ,0,2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．若 12,0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12x x ≠，证明[]12121()()()22x x f x f x f ++>23. (本小题满分12分)如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点．(1)证明AB 1∥平面DBC 1； (2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数．24. (本小题满分12分)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点)0,1(-A 和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．25. (本小题满分14分)设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项．(1)写出数列{}n a 的前3项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)； (3)令()1112n n n n n a a b n a a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，求()12lim .n n b b b n →∞+++-1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若 M ∩N =N ，则A .N M ⊇B .N M ⊆C .N M ⊆D .N M ⊇ 2．函数11y x =-+的图像是A ．B ．C ．D ． 3．函数4sin(3)3cos(3)44y x x ππ=+++的最小正周期是 A .π6 B .π2 C .32π D .3π 4．正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 A .23a π B .22a π C .22aπD .23a π5．若图中的直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则A .321k k k <<B .213k k k <<C .123k k k <<D .231k k k <<6．在）（31x -10)1(x +的展开式中，5x 的系数是A ．－297B ．－252C .297D ．207 7．使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是A .⎥⎦⎤⎝⎛220，B .⎥⎦⎤ ⎝⎛122， C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-221， D .[)01，-8．双曲线3322=-y x 的渐近线方程是A .x y 3±=B .x y 31±=C .x y 3±=D .x y 33±=9．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么sin 2θ等于 A .322 B .322- C .32 D .32-10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是A .①与②B .③与④C .②与④D .①与③ 11．已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 A ．(0，1) B . (1，2) C . (0，2) D .[)∞+，2 12．等差数列}{n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若132+=n nT S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于 A .1 B .36C .32D .9413．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共 A .24个 B .30个 C .40个 D .60个 14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点)0,2(c ，离心率为e ，则它的极坐标方程是A .()θρcos 11e e c --=B ．()θρcos 112e e c --=C .()θρcos 11e e c --=D .()()θρcos 112e e e c --=15．如图，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是 A .1030B .21C .1530 D .1015第Ⅱ卷(非选择题，共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上) 16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是_____17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____ 18．函数x x y cos )6sin(π-=的最小值是____________19．直线l 过抛物线)0)(1(2>+=a x a y 的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 __________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 21．(本小题满分7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O (其中O是原点)，已知Z 2对应复数i Z 312+=．求Z 1和Z 3对应的复数． 22．(本小题满分10分)求50cos 20sin 50cos 20sin 22++的值．23．(本小题满分12分) 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB ；(2)如果圆柱与三棱锥D －ABE 的体积的比等于π3，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．24．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当148≤≤x 时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系： )08)(8(1000≥≥-+=t x t x P ，，)148()8(405002≤≤--=x x Q ． 当Q P =时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．(本小题满分12分)设}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和．(1)证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；(2)是否存在常数0>c ，使得 ()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立?并证明你的结论．26．(本小题满分12分)已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+y x l ．P 是l上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．1．已知全集N I =，集合 },2|{N n n x x A ∈==，{|4,}B x x n n N ==∈，则A ．B A I =B ．B A I =C ．B A I =D ．B A I =2． 当1>a 时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图像A ．B ．C ．D ． 3．若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--5．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：,//l l βγα=,m α⊂和γ⊥m ，那么必有A ．αγ⊥且m l ⊥B ．αγ⊥且β//mC ．β//m 且m l ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 6．当22ππ≤≤-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－21 C ．最大值是2，最小值是－2 D ．最大值是2，最小值是－1 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(1,1),(7,1)--- 8．若02πα<<，则ar c s i n [c o s ()]2πα++arccos[sin()]πα+=A ．2πB ．2π-C ．απ22-D ．απ22--9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得a BD =，则三棱锥D －ABC的体积为A ．63aB ．123aC ．3123a D ．3122a 10．等比数列{}n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．－32C ．2D ．－211．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 A ．(3，0)，(1，π) B ． (3，2π)，(3，23π)。
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1992年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 22．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）A ． 4B ． 2C ．D ．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）A ． 2B ．C ． 1D ．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ）A ． 10°B ． 20°C ． 50°D ． 70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ）A ． 6：5B ． 5：4C ． 4：3D ． 3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ）A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1 D ． b ＞a ＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）A．20°B．70°C．45°D．135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y ﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=011．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．80012．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]C．[π﹣arcsina，π]D．[arcsina，+arcsina]13．（3分）已知直线l1和l 2的夹角平分线为y=x，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C 1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．316．（3分）函数y=的反函数（）A．是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B．是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C．是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D．是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）B．f（1）＜f（2）C．f（2）＜f（4）D．f（4）＜f（2）＜f（4）＜f（4）＜f（1）＜f（1）18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是_________．20．（3分）sin15°sin75°的值是_________．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为_________．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是_________．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b 上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．1992年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．2考点：对数的运算性质．分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（）A．4B．2C．D．考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值解答：解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），∴T=2π÷2ω=4π∴ω=，故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A．2B．C．1D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，∴sin（4x+5x）=0，∴sin9x=0，∴9x=kπ，k∈Z，∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积，是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为（）A ． ﹣2，﹣，，2B ． 2，，﹣，﹣2C ． ﹣，﹣2，2，D ． 2，，﹣2，﹣考点：幂函数的图像． 专题：阅读型． 分析：由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．解答： 解：根据幂函数y=x n 的性质，在第一象限内的图象，n 越大，递增速度越快， 故曲线c 1的n=﹣2，曲线c 2的n=，c 3的n=，曲线c 4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A ． 点评： 幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ）A ． 0＜a ＜b ＜1B ． 0＜b ＜a ＜1C ． a ＞b ＞1D ． b ＞a ＞1考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 计算题．分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log a 2＜log b 2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可． 解答： 解：∵log a 2＜log b 2＜0，由对数换底公式得：∴∴0＞log 2a ＞log 2b ∴根据对数的性质得： ∴0＜b ＜a ＜1． 故选B ． 点评： 本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的综合运用．8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20°B ． 70°C ． 45°D ． 135°考点：直线的参数方程． 专题：计算题．分析： 已知直线（t 为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l 的倾斜角．解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，∴x+y﹣3=0，∴直线倾斜角是135°，故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0D．x2+y2﹣x﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．解答：解：圆心在抛物线y2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．11．（3分）在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．解答：解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0，arcsina]B．[arcsina，π﹣arcsina]D．[arcsina，+arcsina]C．[π﹣arcsina，π]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0，那么直线l2的方程为（）A．b x+ay+c=0 B．a x﹣by+c=0 C．b x+ay﹣c=0 D．b x﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程．解答：解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l1和l2关于直线y=x对称，故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x 和y交换位置，即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A ．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为2，则B1E=B1F=，EF=，∴cos∠EB1F=，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．解答：解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（）A．是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数B．是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数C．是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数D．是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数考点：反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；综合题．分析：先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后判定反函数的奇偶性，单调性，即可得到选项．解答：解：设e x=t（t＞0），则 2y=t ﹣，t 2﹣2yt ﹣1=0，解方程得 t=y+负跟已舍去， e x =y+， 对换 X ，Y 同取对数得函数y=的反函数： g （x ）= 由于g （﹣x ）===﹣g （x ），所以它是奇函数，并且它在（0，+∞）上是增函数． 故选C ． 点评：本题考查反函数的求法，函数的奇偶性，单调性的判定，是基础题．17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）A ． f （2）＜f （1）＜f （4）B ． f （1）＜f （2）＜f （4）C ． f （2）＜f （4）＜f （1）D ． f （4）＜f （2）＜f （1）考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．专题： 压轴题；数形结合．分析： 先从条件“对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答： 解：∵对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ）∴f （x ）的对称轴为x=2，而f （x ）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f （2）＜f （1）＜f （4），故选A ．点评： 本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）A ．B ．C ． 5D ． 6考点： 棱柱的结构特征．专题： 计算题；压轴题．分析： 设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故选C．点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x，令t=3x，然后移项、合并同类项，从而解出x．解答：解：∵，∴1+3﹣x=3（1+3x），令t=3x，则1+=3+3t，解得t=，∴x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简，利用换元法求解方程的根，是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义，求集合的子集及其个数，子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024，又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120．∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．22．（3分）焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2，∴2c=6﹣（﹣2）=8，c=4，，b2=16﹣4=12，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要注意函数的平移变换，合理地选取公式．23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题，满分51分）24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）．将z=x+yi代入原方程，得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i，整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义，得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=﹣1，z2=﹣1+3i．点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识，考查计算能力，是基础题．25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A1E=m，AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．解答：解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线，结合线面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂线的长；考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．27．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有，即由a3=12，得a1=12﹣2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜﹣3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n＞0，a n+1＜0，则S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．⇒，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．分析：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB 不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①∵A、B在椭圆上，∴，．将上式代入①，得2（x2﹣x1）x0=②∵x1≠x2，可得．③∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2，∴﹣2a＜x1+x2＜2a，∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．。