组合数学鸽巢原理

4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
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3.12 鸽巢原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子在里面， 则至少有一个巢里的鸽子数不少于2。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽屉里， 则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
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3.13 鸽巢原理举例
3.13.1 任取11个数，求证其中至少有两个数 它们的差是10的倍数。
从A中任意取n+1个数，必有两个数相邻， 相邻数互素；
设这n+1个数为a1,a2,…,an+1，如果两两不 相邻；
构造序列a1,a1+1,a2,a2+1,…an,an+1,an+1， 是2n+1个不同的正整数；
与已知条件矛盾。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.4 设a1,a2,…,a100是由1和2组成的序列，已 知从其中任意一个数开始的连续10个数的和不超过 16，即对于1≤i≤91,恒有ai+ai+1+…+ai+9≤16
存在h和k，有
sk=sh+39,1≤h,k≤100
则：sk-sh=39
即：a1+a2+…+ak-(a1+a2+…+ah)=39也就是
ah+1+ah+2+…+ak=39
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.5 一间屋内有10个人,其中没有人超过 60岁(只能是整数),证明:总能够找出两组人(两组 不含相同的人)，各组中人的年龄和是相同的。题 中10是否能换成更小的数？
解：求X的非空真子集的数目： C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)=2102=1022
另一方面，X的非空真子集A，其元素之和有：
1 ai 91 92 ... 99 855 aiA
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3.13 鸽巢原理举例
非空真子集的数量有1022个，而非空真子 集的元素之和小于或等于855，因此至少有两 个非空真子集的元素之和相等，设这两个子集 分别为A和B，使得：
证明： 构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm
有两种可能：
(1)若有一个sh是m的倍数，那么上式成立。
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3.13 鸽巢原理举例
序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm (2)设在上面的序列中没有任何一个元素是 m的倍数，
-) sk=a1+a2+…+ak sL-sk= ak+1+…+aL sL-sk=0 (mod m) 也就是说：sL-sk= ak+1+…+aL是m倍数。
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3.13 鸽巢原理举例
3.13.3,A是{1,2,...,2n}中任意n+1个数，试 证至少存在一对a,b∈A使得a与b互素。
证明： 相邻数互素；
令sh≡rh(mod m),其中h=1,2,3,…,m。 假定上面的序列中所有的项都非m的倍数， 也就是r1,r2,…,rm无一为0，而且所有rh均小于 m。
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3.13 鸽巢原理举例
不超过m-1的正整数只有m-1个，其中至 少存在一对rL与rk,满足rL=rk。即sL和sk满 足 设L>k。 sk≡sL(mod m) sL=a1+a2+…+ak+ak+1+…+aL
各组的年龄值在什么范围？
1--600
有多少组？
C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)+C(10, =210-
10)
1=1023
必有两组年龄和相同
29-
ห้องสมุดไป่ตู้
1=511
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.6 A={1,2,…,99},X是A的子集，X=10， 试证：可以找到X的两个非空真子集Y和Z，Y∩Z=， 使得Y的元素之和和Z的元素之和相等。
根据条件：s100≤10×16=160
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3.13 鸽巢原理举例
作序列s1,s2 ,…,s100 ,s1+39, s2+39,…, s100+39,共 200项。
最后一项s100+39≤160+39=199。
但序列共200项。是从1到199的正整数。根据鸽巢 原理，其中必有两项相等。
但前100项严格单调递增，后100项也严格单调递增。
证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位数 是不是0，是0就是10的倍数；
一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数，任 取11个数，其中必有两个数个位数相同，
那么这两个数的差的个位数必然是0。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.2 设a1,a2,…,am。是正整数的序列，则至 少存在整数k和L, 1≤k≤L≤m,使得和ak+ak+1+…+aL 是m的倍数。
(a a A) (b b B)
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是X 的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素的 最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
3.2 容斥原理
3.3 容斥原理举例
3.4 棋盘多项式与有限制的排列
3.5 有禁区的排列
3.6 广义的容斥原理
3.7 广义容斥原理的应用
2.8 第二类Stirling数的展开式
2.9 欧拉函数(n)
2.10 n对夫妻问题
*2.11 Mobius反演定理
2.12 鸽巢原理
2.13 鸽巢原理举例
2.14 鸽巢原理的推广
*2.15 Ramsey数
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3.12 鸽巢原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)；
2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的；
3、某次会议有n位代表参加，则至少有 两个人认识的人数是一样的；
则至少存在h和k，k>h,使得
ah+1+…+ak=39 证明：
作序列s1=a1, s2=a1+a2,…, s100=a1+a2+…+a100。由于每 个ai都是正整数，因此：
s1< s2<…< s100
s100=(a1+a2+…+a10)+ (a11+a12+…+a20)+…
+(a91+a92+…+a100)