2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—广东卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东B 卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M =（ ）A ．{}5,3B ．{}4,3C ． {}3,2D ． {}2,0 2．已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A ．i 43+B ． i 43-C ． i 43+-D ． i 43--3．已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A ．)3,4(B ． )0,2(C ． )1,2(-D ． )1,2(-4．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A ． 11B ．10C ． 8D ． 7 5．下列函数为奇函数的是（ ）A ．x x 22+B ． 1cos 2+xC ． x x sin 3D ．x x212-6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A ．20B ．25C ．40D ．507．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件8．若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．虚半轴长相等 D ． 实半轴长相等9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定10．对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*； 则真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11—13题）11．曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________．12．从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________．13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为________15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三．解答题：本大题共6小题，满分80分 16．（本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17．（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：.（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差．18．（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1） 证明：CF ⊥平面MDF ； （2） 求三棱锥M-CDE 的体积．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20．（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 21． (本小题满分14分) 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =参考答案一、选择题1．C 解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. {}3,2=N M ，故选C.[解析2]绝对送分题。

答案为B 。

因为集合为高中教材的第一个内容。

也基本上是各省市的必考内容，放在第一小题给人信心。

虽然为送分题，但仍然会有个别同学拿不到分，原因主要是粗心引起。

2．A 解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题.()i i i i i z 43)43(43)43(254325+=+-+=-=.故选A. [解析2]同样的送分题。

一般解法是将左边Z 的复数除到右边。

秒杀方法是两边同时乘以，口算得到结果D 。

3．C 解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.)1,2()21,13(-=--=-.故选C.[解析2]又一送分题，由向量减法法则秒杀。

答案为B 。

4．B 解析：本题考查线性规划问题。

在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。

由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y 取得最大值10。

本题也可以通过平移直线x y 2-=，当直线z x y +-=2经过（4，2）时，截距达到最大，即z 取得最大值10.故选答案B.[解析2]基础题，一般做法画出可行区域。

求出交点（2，3），（4，2）。

得最大值为C 。

此题容易错选成D ，即将（4，3）代入，要注意（4，3）在区域之外。

5．D 解析：本题考察函数的奇偶性.对于A ，()()x x x x x x 222222+±≠+=+---，非奇非偶，对于B ，1cos 21)cos(2+=+-x x ，为偶函数；对于C,x x x x x x sin )sin ()sin()(333=-⋅-=--， 为偶函数； D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且xx---212=-=-x x 22=-x x 221 )212(x x --=为奇函数. 故答案为D 。

[解析2]选B 。

又一送分题。

一种做法是用奇函数的性质。

容易得出结果。

另一秒杀方法是用0代入，只有B 的结果为0.6．B 解析：本题考查系统抽样的特点。

分段的间隔为25401000=，故答案为B. [解析2]由系统抽样的概念，先进行分组，每组为1000除以40即每组25名学生，故分段时隔为25.选C 。

7．A 解析：本题考查正弦定理的应用。

由于,2sin sin R BbA a ==所以,sin 2,sin 2B R b A R a == 所以B A B R A R b a sin sin sin 2sin 2≤⇔≤⇔≤，故“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的充要条件，故选答案为A.[解析2]由大边对大角，或由正弦定理都可以秒杀。

答案为A 。

8．A 解析：本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令4=k ，则这两个曲线方程分别为111622=-y x 和151222=-y x ，它们分别对应的17512,171162221=+==+=c c ，故21c c =。

所以它们的焦距相等，故答案为A.[解析2]由已知可得两曲线均为双曲线，在又曲线中C 是最长的。

故选D 。

9．D 解析:本题考查空间中线线的位置关系。

以正方体为模型，易知1l 和4l 的位置关系可能有14l l ⊥ 或41//l l ，故1l 与4l 的位置关系不确定.故答案为D.[解析2]线与线的位置关系，放在选择的倒数第二题，相对来说有一定难度。

可以想象一下以笔为直线，将L1和L4放在课桌面上，第二条和第三条与课桌面垂直，问题得到解决。

此题需要一定的空间想象能力。

10．C 解析：对于①，()=*+321z z z ()32313231321z z z z z z z z z z z *+*=+=+ 对于②，()()321321z z z z z z +=+*.令bi a z +=2，di c z +=3，则()()i d b c a z z +++=+32，则()()i d b c a z z +-+=+3232z z di c bi a +=-+-=，所以()()31213121321321321)(z z z z z z z z z z z z z z z z z *+*=+=+=+=+*③()()()321321321321z z z z z z z z z z z z ==*=**()231321321321)(z z z z z z z z z z z z ==*=**故()()321321z z z z z z **≠**④12122121,z z z z z z z z =*=*，故1221z z z z *≠* 故答案为C.[解析2]此题为创新题，另一种说法是定义新运算。

解法较多。

基本解法可以用特殊值法，如取三个已知复数分别代入。

另一个秒杀的方法是，前9个题的结果是1A ，3B ，2C ，3D ，按照历年广东文科的分布规律最后一题应选A 。