统计学家高尔顿与回归分析的起源
概率论发展简史
一、概率论发展简史1(20世纪以前的概率论概率论起源于博弈问题。
15-16世纪，意大利数学家帕乔利（L。
Pacioli,1445—1517）、塔塔利亚（N.Tartaglia,1499-1557）和卡尔丹（G.cardano，1501—1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。
1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695）发表了《论赌博中的计算》,这是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
而概率论最为一门独立的数学分支,真正的奠基人是雅格布•伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）。
他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理,在概率论发展史上占有重要地位.伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A。
de Moivre,1667—1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则,正态分布和正态分布率的概念,并给出了概率论的一些重要结果。
之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707—1788）提出了著名的“普丰问题",引进了几何概率。
另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S。
D。
Poisson,1781-1840）等对概率论做出了进一步奠基性工作。
特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者,在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡,使以往零散的结果系统化,开辟了概率论发展的新时期。
泊松则推广了大数定理,提出了著名的泊松分布.19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。
他建立了关于独立随机变量序列的大数定律,推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。
切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要,另一方面,科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
关于身高的回归分析
相关系数r就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量。相关系数 相关系数 就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量。相关系数r 就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量 的计算公式为： 的计算公式为：
Cov ( X , Y ) E ( X − µ X )(Y − µ Y r = = σ X ⋅σ Y σ X ⋅σ Y
ˆ Q = ∑ei2 = 最小= ∑ Yi − Yi = ∑(Yi − bXi − a)
i=1 i=i i=1
n
n
(
)
2
n
2
要对上式求最小， 要对上式求最小，微积分的知识告诉我们要求其偏导数并令其 为零。 为零。即：
∂Q ∂a = −2
∑ (Y
i
− bX
i
− a
)=
= 0
0
∂Q = − 2 ∑ (Y i − bX ∂b
)
式中分子部分为X和 两具变量的协方差 分母部分是X和 两个变量标 两具变量的协方差， 式中分子部分为 和Y两具变量的协方差，分母部分是 和Y两个变量标 准差的乘积。由于协方差是X和 两个变量与其均值离差乘积的数学 准差的乘积。由于协方差是 和Y两个变量与其均值离差乘积的数学 期望，它受X和 两个变量度量单位大小的影响 两个变量度量单位大小的影响， 期望，它受 和Y两个变量度量单位大小的影响，因而在分母上除以 X和Y两个变量的标准差，就将相关系数r转化成从 到1之间的相对 和 两个变量的标准差，就将相关系数 转化成从-1到 之间的相对 两个变量的标准差 转化成从 数值。实际数据计算的结果为r=0.501，表明高个子的父亲会有较高 数值。实际数据计算的结果为 ， 的儿子，矮身材的父亲其儿子身体也不会很高， 的儿子，矮身材的父亲其儿子身体也不会很高，但这一正相关的关 系并不十分明显。 系并不十分明显。 那么，父子身高之间有什么规律呢？经过对1078对父子身高数据的计 那么，父子身高之间有什么规律呢？经过对 对父子身高数据的计 得到： 算，得到： 父亲的平均身高=67.6英寸 英寸≈68英寸，标准差 英寸， 父亲的平均身高 英寸 英寸 标准差SX=2.74≈2.7英寸 英寸 儿子的平均身高=68.7英寸 英寸≈69英寸，标准差 英寸， 儿子的平均身高 英寸 英寸 标准差SY=2.81≈2.8英寸 英寸 英寸=2.54厘米）我们看到，儿子的平均身高比父亲高一英寸，表明 厘米） （1英寸 英寸 厘米 我们看到，儿子的平均身高比父亲高一英寸， 下一代的平均身高比上一代要高。这样，我们会自然地猜测72英寸 下一代的平均身高比上一代要高。这样，我们会自然地猜测 英寸 的父亲平均会有73英寸的儿子 英寸的儿子； 英寸的父亲平均会有 英寸的父亲平均会有65英寸的儿 的父亲平均会有 英寸的儿子；64英寸的父亲平均会有 英寸的儿 等等。那我们看一看图2中的情况 中的情况： 子，等等。那我们看一看图 中的情况：
关于身高的回归分析
相关系数r就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量。相关系数r 的计算公式为：
r CovX ,Y EX X Y Y
X Y
X Y
式中分子部分为X和Y两具变量的协方差，分母部分是X和Y两个变量标 准差的乘积。由于协方差是X和Y两个变量与其均值离差乘积的数学 期望，它受X和Y两个变量度量单位大小的影响，因而在分母上除以 X和Y两个变量的标准差，就将相关系数r转化成从-1到1之间的相对 数值。实际数据计算的结果为r=0.501，表明高个子的父亲会有较高 的儿子，矮身材的父亲其儿子身体也不会很高，但这一正相关的关 系并不十分明显。
对于每一身高父亲所对应的虚线柱内若干儿子身
高点子的分布，回归直线是从这些点子中间穿过 的。换句话说，回归直线上的点是当给定某一Xi 值时（即父亲身高值），对应的若干Yi值（即儿 子身高值）与之（直线上点Y值记为值）离差平 方和最小的直线，即我们的回归直线是求
n
n
2n
2
Q ei2 最小 Yi Yˆi Yi bXi a
S
2 x
,Y
a Y bX
由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，则
Cov(X Y) =r×SX×SY=0.501×2.74×2.81 =3.86
b 3.86 0.51
2.74 2
a 68.7- 0.51 67.6 34.22
父子身高的回归方程为
Yˆi 34.22 0.51Xi 该回归方程就是图2中的回归线（实线）。 当X1=58时，=63.8；当X2=64时，=66.86。 当X3=72时，=70.94。这些回归方程上的值实际上是 当Xi确定后，若干Yi的平均值。这一回归直线和回归 方程表明，矮个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低 一些，高个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低一 些，即儿子们的身高会向平均值回归。 我们的读者必然会问，现代人一代比一代高，为什 么高个子父亲的儿子们平均身高要比父辈低呢？细心 的读者不难发现，当时高尔顿和皮尔逊做研究时只观 察了父亲和儿子的身高，并没有考虑母亲的身高。实 际上，高个子父亲的太太可能是较高的女性，也可能 是较低的女性。反之，矮个子父亲的太太可能是矮个 子，也可能是较高的身材。而儿子的身高既受父亲传 传的影响，也受母亲遗传的影响，这就是为什么儿子 们身高会发生“回归”的原因。 类似的回归现象还有很多，比如我们连续观察一群 学生春秋两季的考试成绩，会发现春季考试得高分的 学生在秋季考试中虽然平均分还比较高，但平均分会 有所降低。反之，春季考试分数最低的学生们秋季的 平均分会有所提高。因为在考试中除了学生水平的高 低这一主要因素影响之外，临场发挥等偶然因素也会 起到一定的作用。我们在应用回归方程时若能注意回 归效应的特点，会帮助我们更好地分析和解决问题。
回归分析的基本思想及初步应用
回归分析的基本思想及初步应用回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
其基本思想是通过建立一个数学模型来描述自变量（独立变量）和因变量（依赖变量）之间的关系，并根据已有数据对模型进行拟合和估计，以了解两个变量之间的关系程度。
回归分析最早是由英国统计学家弗朗西斯·高尔顿在19世纪中叶提出的。
他注意到，人口增长与时间之间似乎存在其中一种关系，于是使用统计方法将时间作为自变量，人口数量作为因变量，建立了一个数学模型。
这个数学模型称为“回归方程”，后来成为了回归分析的基础。
在建模阶段，我们首先要确定自变量和因变量，并根据问题目标和已有数据选取适当的变量。
然后，我们需要选择一个适当的回归模型来描述自变量和因变量之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等。
模型的选择通常基于对自变量和因变量之间关系的推测和理论的支持。
同时，还需要根据数据特点和拟合效果选择回归模型的阶数和形式。
在推断阶段，我们需要对模型进行估计和检验。
首先，我们使用已有数据对回归模型进行拟合，根据最小二乘法估计出回归系数的值，并计算出模型预测的因变量值。
然后，通过各种统计方法对模型的拟合程度进行评估。
常用的评估指标有残差分析、R平方和调整R平方等。
此外，还可以进行t检验和F检验来检验回归系数和模型整体的显著性。
这些检验能够帮助我们判断回归模型是否能够很好地描述自变量和因变量之间的关系，并对未来值进行预测和推断。
回归分析的应用非常广泛。
它在社会科学、经济学、医学、生态学等领域都有着重要的应用。
在经济学中，回归分析可以用于预测和解释宏观经济变量之间的关系，如GDP与就业率之间的关系。
在医学中，回归分析可以用于研究因素对疾病发生的影响，如吸烟与肺癌之间的关系。
此外，回归分析还可以用于分析市场需求、产品定价、销售预测等问题，为决策提供科学依据。
总而言之，回归分析是一种用于研究变量关系的重要统计方法。
通过建立数学模型，估计和检验回归系数，可以帮助我们了解变量之间的关系程度，并利用这种关系进行预测和推断。
线性回归模型的研究毕业论文
线性回归模型的研究毕业论文1 引言回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。
1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。
他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。
但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。
高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。
于是“线形回归”的术语被沿用下来了。
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。
一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。
模型的各个参数可以根据实测数据解。
接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。
回归分析是重要的统计推断方法。
在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。
从而推动了回归分析的快速发展。
2 回归分析的概述2.1 回归分析的定义回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
2.2 回归分析的主要容（1）从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。
估计参数的常用方法是最小二乘法。
高尔顿(Galton)
高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2
a1，1=（ ）2= C 2 )0（ ）2—0 2 (
显然成立。 2．假设 n=k（k≥2）成立（即假设第 n 行每一个数据都成立） 。 即 ak，i= C ik （ ）k—i( )i 当 n=k+1 时，ak+1，0=
1 2 1 2 1 2
ak，0=
1 2
1 2
C0 ）k—0 ( )0 k（
ak+1，i= =
1 2
ak，i-1+
1 2
ak，i
1 2 1 2
1 2
C ik-1 （ ）k-(i-1)( )i-1+
1 2
1 2
C ik （ ）k-i( )i
1 2
1 2
=（ C ik-1 + C ik ） （ ）k+1 = C ik 1 （ ）(k+1)-i（ ）i ∴在 n=k 成立的条件下，n=k+1 也成立。 3．由 1，2 得，原命题成立。 由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第 i 个空的概率正好满足二项分布。 由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有 人发布了试验的动画在此就不做说明） 。
统计学中回归一词的由来
统计学中回归一词的由来
“回归”一词的由来
我们不必在“回归”一词上费太多脑筋。
英国著名统计学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton,1822—1911）是最先应用统计方法研究两个变量之间关系问题的人。
“回归”一词就是由他引入的。
他对父母身高与儿女身高之间的关系很感兴趣，并致力于此方面的研究。
高尔顿发现，虽然有一个趋势：父母高，儿女也高；父母矮，儿女也矮，但从平均意义上说，给定父母的身高，儿女的身高却趋同于或者说回归于总人口的平均身高。
换句话说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，儿女身高并非也普遍地异常高或异常矮，而是具有回归于人口总平均高的趋势。
更直观地解释，父辈高的群体，儿辈的平均身高低于父辈的身高；父辈矮的群体，儿辈的平均身高高于其父辈的身高。
用高尔顿的话说，儿辈身高的“回归”到中等身高。
这就是回归一词的最初由来。
回归一词的现代解释是非常简洁的：回归时研究因变量对自变量的依赖关系的一种统计分析方法，目的是通过自变量的给定值来估计或预测因变量的均值。
它可用于预测、时间序列建模以及发现各种变量之间的因果关系。
使用回归分析的益处良多，具体如下：
（1）指示自变量和因变量之间的显著关系；
（2）指示多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析还可以用于比较那些通过不同计量测得的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间的联系。
这些益处有利于市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除和衡量出一组最佳的变量，用以构建预测模型。
高尔顿(Galton)
“回归”名称的由来-――高尔顿的父子身高试验 引自汪荣伟主编的《经济应用数学》高尔顿（Frramcia Galton,1882-1911）早年在剑桥大学学习医学， 但医生的职业对他并无吸引力， 后来他接受了一笔遗产， 这使他可以放弃医生的生涯， 并与 1850－1852
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高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
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1 2
1 2
1 2
= C0 ）(k+1)－0 ( )0 k 1 （ ak+1，k+1=
第7章-回归分析
则有：
X Y
其对应的最小二乘估计为：
X X X TY
T 1
7.3 多元线性回归分析
土地问题是当今世界令人瞩目的重大经济问题，人口和经济 发展都和土地之间存在着密不可分的联系。人口数（X1）、 粮食总产量（X2）和粮食作物面积（X3）是影响土地面积 （Y）的重要因素。因变量土地面积与三个自变量之间呈线 形相关，因此用三元线形回归方程来分析
Q
2
y y
i
2
注意：1、r与Q成反比例关系； 2、以上为多元回归分析的相关系数的通用形式。 当r大于某一给定的临界值时，通过相关性检验，否则不通过。
7.2.3 相关性检验
1.
2.
r 的取值范围是 [0,1]
|r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
其中：x , y 是样本均值；
Sxy xi x yi y
7.2.2 结果及解释
最后得到我国技术贸易额与GDP的关系（亿元）：
y 69.8587 0.0073x
技术贸易（Technology Transactions） 是我国市场体 系的重要部分,是链接科研和生产的桥梁和纽带,属 于市场体系中的生产要素市场.涉及与技术开发、技 术转让、技术咨询、技术服务相关的技术交易活动 及相关主体。
解释：1、技术贸易只有在GDP=69.8587/0.0073 =9452.1之后才能产生； 2、每单位GDP可带动0.0073个单位的技术贸 易交易。
7.2.3 相关性检验
对回归模型描述实际数据的近似程度，也即对所得的 回归模型的可信程度进行检验，称为相关性检验。
r 1
ˆ yi yi
多元线性回归预测【文献综述】
文献综述信息与计算科学多元线性回归预测回归分析最早是19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）所发展. 高尔顿是生物统计学派的奠基人, 他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后, 触动他用统计方法研究智力进化问题, 统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的.在1877-1889的十多年里, 高尔顿得出了一个数学公式. 这个公式用来度量孩子们的身高与父母平均身高之间的关系.根据统计测定, 假如父母的身高是在人类平均身高上下y英寸, 则他们的子女的平均身高是在人类平均身高2y英寸. 他发现了一个规律即子女的平均3高度有回归到人类总平均高度的倾向, 这就是著名的“回归法则”[1].回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法. 运用十分广泛, 回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析; 按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析. 如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析. 如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量, 且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析[24] .回归分析的主要内容是:（1）从一组数据出发,确定这些变量之间的定量关系式;（2）对这些关系式的可信程度进行统计检验;（3）从影响着某一个量的许多变量中, 判断哪些变量的影响是显著的,哪些是不显著的;（4）利用所求得的关系式对生产过程进行预报和控制;（5）近代有出现,根据回归的分析方法特别是进行预报和控制所提出的要求,选择试验点,对试验点进行某种设计;（6）寻求点数较少,且具有较好统计性质的回归设计方法.回归分析是研究随机现象中变量之间关系的一种数理统计方法. 近年来, 回归分析方法广泛的应用生物学, 心理学, 教育学, 经济学, 医学等各个方面. 尤其是应用多元回归进行经济预测, 已在生产实践, 科学管理和科学研究中取得了一定成效. 例如, 产量与成本可以用线性回归方程式表示他们之间的关系, 按照计划成本的要求达到控制一定数量的产量. 铁路运输量的多少与工农业产值有密切关系, 应用多元回归分析, 可以根据一定时期的工农业总产值预测运输量, 作为运输部门进行计划调度的依据. 回归分析不仅在工农业预测方面有着重要的作用,在其他各个方面也有很大作用, 比如在医学发面.复旦大学用Logistic 回归分析评价简易无创模型预测乙型肝炎相关肝硬化.还有在地质土木方面的.上海大学的粉质粘土图像纹理参数的多元线性回归分析及其工程应用: 由二维小波技术分析粉质粘土图像的纹理特征, 获得小波能量参数与粉质粘土工程性质指标的多元线性回归方程.在考虑拍摄条件下(光照,拍摄距离等),现场勘查并拍摄粉质粘土照片.将这些彩色照片转化为灰度图,在二尺度小波分解水平下得到反映粉质粘土图像纹理特征的9个能量参数,并将这些参数与对应土样的11个工程性质指标进行多元线性回归.在此基础上对2个土样的工程性质指标进行了预测.结果表明,文中提出的粉质粘土的小波能量参数与传统工程性质指标具有较好的对应关系,可以为现场快速确定粉质粘土的工程性质指标提供一个新的途径[5].另外在经济方面,中南大学数学科学与计算技术学院的“固定资产投资与经济增长关系的回归分析”一文也是回归分析的一个很好的应用.该文讲述了以下理论: 根据经济增长理论,资乘数理论表明,投资增加可以引致国内生产总值的成倍增加.固定资产投资对经济增长不仅具有直接的拉动作用,而且扩大投资会拉动对原材料、生产设备、劳动力等的需求,从而拉动与投资活动相关行业的产出和消费需求的增长.文中选取1985年到2005年的数据,通过建立回归模型,对固定资产投资与GDP的关系进行实证分析[6].今天, 回归设计的内容已相当丰富, 有回归的正交设计, 回归的旋转设计, 回归的D-最优设计等. 在这些设计的基础上, 人们还进一步研究各种“最优设计”的标准, 从而可以评-.定各种设计的好坏, 以利于探索新的设计方案[710]参考文献[1]郑德如.回归分析和相关分析[M].上海: 上海人民出版社, 1983: 2-96[2]杨巍,张莉莉.多元线性回归分析在经济林产品需求预测中的应用[D].河北林国研究.2009, 1(24): 1-6.[3]上海师范大学数学系.回归分析及其实验设计[M].上海:上海教育出版社, 1978: 1-5.[4]翟文信,徐金明,张学明,谢建强.粉质粘土图像纹理参数的多元线性回归分析及其工程应用[D].水文地质工程地质,2009, 1(1): 1-6.[5]张占卿,曹婕,陆伟,史连国. Logistic回归分析评价简易无创模型预测乙型肝炎相关肝硬化[D].武汉大学学报(医学版),2009, 1(30): 1-4.[6]孟露露.固定资产投资与经济增长关系的回归分析[D]. 社科论坛, 2009, 1(21): 1-4.[7]Panov V.G., Varaksin A.N. Relation between the coefficient of simple and multipleregression models[D]. Mathematical Journal, V ol.51, No.1: 162–167.[8]王淑芝,纪跃芝.经济预测方法及应用[D].现代情报,2004, 6(12): 3-6.[9]周丹.中国各地区房地产业发展影响因素的逐步回归分析[D].商场现代化, 2009,1(22): 1-4.[10]申振东,佘重阳.旅游业对我国社会经济贡献的回归分析[D].商场现代化, 2009,1(27): 1-6.。
定量分析方法之回归分析
一、一元线性回归模型的基本概念 • 若有两个变量x和y，其中x为非随机变量（即可控变 若有两个变量x 其中x为非随机变量（ 量），y为随机变量。且x和y有相关关系，则可用数 ），y为随机变量。 有相关关系， 学模型 y=f(x)+e 近似地表示它们之间的关系。式 近似地表示它们之间的关系。 中e是随机变量。 是随机变量。 • 回归方程（回归模型） 回归方程（回归模型）
i
∑
−
n
2
i = 1
i
i = 1
=
∑
Y
i n
Y Y n
) )
2
i = 1
=
n
∑
2
− X n
i
∑
2
i = 1
i
i = 1
X
=
∑
n
i = 1
Y
=
∑
Y n
i = 1
i
8
总离差的分解
9
Y
SST = =
n
n
∑
i =1
(Y i − Y ) = ∑
2 n
n
i =1
) ) [ ( Y i − Y ) + ( Y − Y )] 2
L o g a r ith m ic : Y = b 0 + b1 ln ( X )
− ( b 0 + b1 X )
19
曲线估计案例
• SARS在2002年11月初在中国广东省的佛山市最早出现。由于 病者出现肺炎病征，所以当时将之归入非典型肺炎类别，中 国媒体普遍简称其为“非典”。其后，此病经由旅游、商贸、 移民人群迅速扩散到了香港，并由香港再扩散至越南、新加 坡、台湾及加拿大的多伦多。2003年5月间，北京和香港的 疫情最为严重。2003年夏季，染病人数日减，病情得以控制。
回归性原理
回归性原理回归性原理（Regression to the mean）是指在一系列数据中，极端高或低的值倾向于向平均水平回归。
其实是一个统计现象，它描述的是一种规律，即如果某个指标最初极端高或低，那么在下一次测量中，这个指标将更接近于平均值。
回归性原理最早是在19世纪末由英国数学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）提出。
当时，他在调查英国一些家庭的身高时，发现子女的身高不全是父母身高的简单平均值，而有一定偏差。
然而，当他继续对下一代进行测量时，发现这些偏差值的平均数趋向于零，即围绕着父母的平均身高，这就成为回归性原理的一种表现。
此后，回归性原理被广泛应用于各种领域，包括医学、心理学、生态学、经济学等等。
在这些领域中，许多研究结果发现，极端高或低的结果通常是因为随机误差或其他不可控制的因素造成的，而不是真实情况所反映的全貌。
回归性原理的实用价值主要体现在以下几个方面：一、避免过度解释随机事件的影响回归性原理告诉我们，当某个指标出现极端值时，不需要立即做出重大决策或调整，因为这些值有可能只是随机误差造成的，并不代表真实情况。
只有在多次测量后，才能判断某种变化是真实、稳定的趋势，还是暂时的随机波动。
举个例子，假设某个班级最近的一次期末考试中，有几个学生成绩突然提高了很多。
如果只看这一次考试，有可能以为这些学生有什么特别的变化或努力，因此会采取措施强化这些变化，如更多地鼓励、奖励或重点培养。
但如果将这些学生的表现与他们之前的成绩进行对比，就很可能发现这些提高只是暂时的波动，或者是考试难度的变化等随机因素的影响。
如果过于重视这些随机变化，可能会浪费资源、疲劳学生或产生误导。
二、矫正测量工具的不准确性回归性原理还可以帮助我们识别和矫正测量工具的不准确性。
由于任何测量工具都存在误差或误差范围，而且这些误差有时不可避免地与样本的极端值有关，造成数据的偏差。
回归性原理提醒我们，当我们测量某个指标时，一组极端值出现并不意味着测量工具本身失灵，也不意味着被测量物质真的发生了极端的变化。
回归分析
年份
1998年 年
1999年 2000年 2001年 2002年 2003年 年 年 年 年 年
销售额 （x）
380
460
400
480
520
560
资金需 求量 （y）
200
240
220
250
280
290
年 年份 1998年 x 380
1999 年 460
2000 年 400
2001 年 480
2002 年 520
参数b的经济意义：b 参数b的经济意义：b为回归系数，它 表示当产量每增加1000件时，单位成 表示当产量每增加1000件时，单位成 本平均降低2.45元／件。 本平均降低2.45元／件。 当产量为6000件，即，单位成本为： 当产量为6000件，即，单位成本为： 65.06元。 65.06元。
某企业1998－2003年六年的销售额及资 某企业1998－2003年六年的销售额及资 金需求量如下表所示（单位：万元），该 企业的生产较稳定。若2004年企业计划销 企业的生产较稳定。若2004年企业计划销 售额为500万元，利用回归分析法预测企 售额为500万元，利用回归分析法预测企 业2004年的资金需求量。 2004年的资金需求量。
1870年，为了研究父代与子代身高的关系，高尔 1870年，为了研究父代与子代身高的关系，高尔 顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据。他发 顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据。他发 现这些数据的散点图大致呈直线状态，也就是说， 总的趋势是父亲的身高增加时，儿子的身高也倾 向于增加。 但是，高尔顿对试验数据进行了深入的分析，发 现了一个很有趣的现象—回归效应。因为当父亲 现了一个很有趣的现象—回归效应。因为当父亲 高于平均身高时，他们的儿子身高比他更高的概 率要小于比他更矮的概率；父亲矮于平均身高时， 他们的儿子身高比他更矮的概率要小于比他更高 的概率。它反映了一个规律，即当父亲身高很高 时，他的儿子的身高一般不会比父亲身高更高。 同样如果父亲很矮，他的儿子也一般不会比父亲 矮，而会向一般人的均值靠拢。当时这位英国遗 传学家将这种现象称为回归。
线性回归分析
01-03 回归分析的应用
• 多元线性回归 如果在回归分析中包括一个因变量和多个自变量，且因变量和自变量
的关系可用函数y=k1x1+k2x2+…+knxn+b来模拟，这种回归分析称为多元线 性回归分析。
事实上，一种现象常常与多个因素相关，所以，由多个自变量的最优 组合来估计和预测因变量，比只用一个自变量进行估计和预测更有效、更 有实际意义。
例1：李明想开一家社区超市， 前期去了很多小区做实地调查 。经调研得到小区超市的年销 售额（百万元）与小区常住人 口数（万人）的数据资料如表 所示，请对超市的年销售额与 小区常住人口数进行回归分析 ，帮助李明进行选址决策。
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01-03 回归分析的应用
案例分析：
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
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01-03 回归分析的应用
想一想 做一做：
已 知 2009 — 2015 年 淘 宝 “ 双 11 ” 当天销量统计如图所示，请利用散 点图进行回归分析，模拟淘宝“双 11 ” 的 销 量 变 化 规 律 ， 并 预 测 2016年的销量。
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01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。
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01-03 回归分析的应用
案例分析：李明应该怎么做？（下）
例2：用多元回归分析法分析上一案 例中超市的销量与超市的面积大小 、促销费用、所在地理位置的关系 ，并根据回归方程预测一家在二类 地段、面积为1000平方米、月促销 费5万元的超市月销售额将会是多少 。
一元回归分析(第1讲)
x )( y i y )
i
x
i 1
n
i
y i nx y
ˆ 3、 1
(x
i 1
x ) yi
( xi x ) 2
OLSE的性质
1、线性：
ˆ 就是指估计量 ˆ0，1为随机变量y i 线性函数即： ˆ 0 ˆ 1 n n ( xi x ) y i
决定系数(coefficient of determination)
r2 SSR SSE 1 SST SST
取值范围：[0，1]，越接近1，说明实际观测点离样本线越 近，拟合优度越高。
r2高并不表示模型选择正确。
决定系数的含义
• 可决系数定义为： S S R S S E 1
r2 SST SST SSR SSE 1 SST SST
回归分析的变量
因变量
因变量必须是间距测度等级以上的变量（连续变量）
自变量
自变量可以是间距测度等级以上的变量（连续变 量）、也可以是名义测度等级的变量（分类变量）。 ▲注意： 回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量 （被解释变量）和自变量（解释变量）。
一元线性回归模型
回归模型建立的步骤
回归分析的参数估计（OLSE）
由此得回归方程：
ˆ ˆ ˆ y i 0 1 xi ˆ y i 称为拟合值或回归值 回归残差： ˆ ei y i y i 残差平方和： e
2
ˆ （ y i y i）
2 i 1
n
ˆ ˆ （y i 0 1 xi ) 2
H1 : 1 0 回归方程显著
2）、构造统计量： SSR F SSE /(n 2)
回归概念的起源
“回归”概念的起源“回归”的概念是英国科学家 F.高尔顿爵士（Sir.Francis Galton，1822～1911）提出来的。
高尔顿是达尔文的表弟1，最初因读《物种起源》而深受震动，遂研究起人的特质遗传问题，后来又接受达尔文的建议，繁育甜豌豆（sweat bean）来继续遗传研究。
经过一轮精心繁育，在对收获的豆子作了精心研究后，高尔顿写了“遗传的典型法则”（Typical Laws of Heredity）一文，文中一组关键数据如下表。
表：亲代与子代各组豆粒的直径（1/100英寸）亲代的15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0子代的15.4 15.7 16.0 16.3 16.6 17.0 17.3表中列有7组豆。
亲代各组豆粒的直径极有规则地变化，反映了高尔顿挑选豆种的精心程度。
更重要的是，虽然子代各组豆粒的直径不同也有规则，但是组间极差（17.3-15.4=1.9）小于亲代的（21.0-15.0=6.0），好像“收缩”了，这是亲代豆粒的直径每增加1.0单位时，子代豆粒的直径仅增加1/3单位的表现。
高尔顿把这种现象称作向平均化的亲代“回复”（revertiny）。
不过高尔顿真正关心的是人的特质的遗传问题，因此颇怀疑豌豆的资料能否对此有所说明。
由于当时得不到一家两代人的测量数据样本，高尔顿只好等待，等了8年；最后，他还是通过悬赏才征集到关于家庭成员特征的一批数据。
基于这些数据，他写了几篇论文，在其中一篇代表性的论文中，高尔顿以“回归”（regression）一词取代了“回复”，并图示了子女身高向父-母身高的平均数回归的趋势如下图：1具体地说，两人是同一个祖父而不同的祖母。
1图：子女身高向父-母身高平均数回归的高尔顿图上图的表现方式比较老，解读不方便，我们把它简约成下面的图。
图中的横坐标X表示父-母1的身高，纵坐标Y表示成年子女的身高，具体的测量值经过“标准化”（standardized）而转换成标准分数Z，平均数⎺X和⎺Y都为0，单位是标准差（Standard Deviation，S）2。
不可不知的回归分析与相关分析
不可不知的回归分析与相关分析本文主要对回归分析、相关分析进行了简单的介绍。
“回归”(regression)一词最初是由英国生物学家兼统计学家f.galton(f·高尔顿)在一篇著名的遗传学论文中引入的(1877年)。
他在研究中发现，具有较高身躯的双亲，或具有较矮身躯的双亲尔，其子女的身高表现为退回(即回归)到人的平均身高趋势。
这一回归定律后来被统计学家k·pearson通过上千个家庭成员身高的实际调查数据进一步得到证实，从而产生了“回归”这一名称。
然而，现代意义上的“重回”比其完整含义必须甚广得多。
一般来说，现代意义上的重回分析就是研究一个变量（也称作explainedvariable或因变量dependentvariable）对另一个或多个变量（也称作表述变量explanatoryvariable或自变量independentvariable ）的倚赖关系，其目的是通过表述变量的取值值预测被表述变量的平均值或某个特定值。
具体而言，回归分析所要解决的问题主要有：（1）确认因变量与自变量之间的重回模型，并依据样本观测值对重回模型中的参数展开估算，得出回归方程。
（2）对回归方程中的参数和方程本身进行显著性检验。
（3）评价自变量对因变量的贡献并对其重要性展开辨别。
（4）利用所求得的回归方程，并根据自变量的给定值对因变量进行预测，对自变量进行控制。
现象之间的相互联系通常可以分成两种相同的类型：一类为变量间的关系就是确认的，称作函数关系；而另一类变量之间的关系就是不确认的，称作统计数据关系。
变量之间的函数关系表达的是变量之间在数量上的确定性关系，即一个或几个变量在数量上的变动就会引起另一个变量在数量上的确定性变动，它们之间的关系可以用函数关系y=f（x）准确地加以描述，这里x可以是一个向量。
当知道了变量x的值，就可以计算出一个确切的y值来。
变量之间统计数据关系，就是指一个或几个变量在数量上的变动可以引发另一个变量数量上出现变动，但变动的结果不是惟一确认的，亦即为变量之间的关系不是一一对应的，因而无法用函数关系展开抒发。
概率论发展历史的探讨
概率论发展历史的探讨
17世纪晚期，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）发表了著名的《大数定律》，该书证明了随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋近于概率。
这个定理可以用
来解决很多现实生活中的问题，例如在进行品质检测时，如何判断在一定数量的产品中存
在的缺陷数。
18世纪，概率论开始发展起来。
法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在他的著作《关于表达偶然事件的总体规律》中，提出了一个重要的概念——拉普拉斯概率。
他认为，如果一件事件有n种可能的结果，而事件发生的可能性是相等的，那么每种结果
发生的概率就是1/n。
19世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段。
这个时期，统计学的发展促进了概率论的发展。
英国统计学家弗兰西斯·高尔顿（Francis Galton）和卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）分别创建了相关和回归分析方法，以分析数据的随机变异性。
20世纪初，概率论得到了进一步的发展。
美国数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）创造了随机过程的理论，这对现代通信系统的发展至关重要。
20世纪60年代，统计学家
阿德里安·马克斯（Adrian Raftery）发展了贝叶斯统计学，这种统计学方法不断受到新
的应用。
总的来说，概率论的发展为我们提供了一套重要的数学工具，用于解决各种现实生活
中的问题。
随着人类认知的提升和科技的进步，概率论的应用将会不断拓展和深入。
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“回归”是由英国著名生物学家兼统计学家高尔顿(Galton)在研究人类遗传问题时提 出来的。
为了研究父代与子代身高的关系，高尔顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据。
他发现这些数据的散点图大致呈直线状态，也就是说，总的趋势是父亲的身高增加时，儿子 的身高也倾向于增加。
但是，高尔顿对试验数据进行了深入的分析，发现了一个很有趣的现 象—回归效应。
因为当父亲高于平均身高时，他们的儿子身高比他更高的概率要小于比他更 矮的概率；父亲矮于平均身高时，他们的儿子身高比他更矮的概率要小于比他更高的概率。
它反映了一个规律，即这两种身高父亲的儿子的身高，有向他们父辈的平均身高回归的趋势。
对于这个一般结论的解释是:大自然具有一种约束力，使人类身高的分布相对稳定而不产生 两极分化，这就是所谓的回归效应。
1855年， 高尔顿发表《遗传的身高向平均数方向的回归》一文，他和他的学生卡尔• 皮尔逊Karl·Pearson通过观察1078对夫妇的身高数据，以每对夫妇的平均身高作为自变 量，取他们的一个成年儿子的身高作为因变量，分析儿子身高与父母身高之间的关系，发现 父母的身高可以预测子女的身高，两者近乎一条直线。
当父母越高或越矮时，子女的身高会 比一般儿童高或矮，他将儿子与父母身高的这种现象拟合出一种线形关系，分析出儿子的身 高y与父亲的身高x大致可归结为一下关系：
y=33.73+0.516*x (单位为英寸)
根据换算公式1英寸=0.0254米， 1米=39.37英寸。
所以：Y= 0.8567+0.516*X (单位为米);
这种趋势及回归方程表明父母身高每增加一个单位时，其成年儿子的身高平均增加
0.516个单位。
这就是回归一词最初在遗传学上的含义。
有趣的是，通过观察，高尔顿还注意到，尽管这是一种拟合较好的线形关系，但仍然存 在例外现象:矮个父母所生的儿子比其父要高，身材较高的父母所生子女的身高却回降到多 数人的平均身高。
换句话说，当父母身高走向极端，子女的身高不会象父母身高那样极端化， 其身高要比父母们的身高更接近平均身高，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学 上最初出现“回归”时的涵义，高尔顿把这一现象叫做“向平均数方向的回
归”(regression toward mediocrity)。
虽然这是一种特殊情况，与线形关系拟合的一般规 则无关，但“线形回归”的术语却因此沿用下来，作为根据一种变量(父母身高)预测另一种 变量(子女身高)或多种变量关系的描述方法。
它要比其原始意义广泛的多。
具体地说，回归分析的内容包括：
• 确定响应变量与预报变量间的回归模型,即变量间相关关系的数学表达式(通常称为 经验公式);
• 根据样本估计并检验回归模型及未知参数；
• 从众多的预报变量中，判断哪些变量对响应变量的影响是显著的，哪些是不显著的；
• 根据预报变量的已知值或给定值来估计或预测响应变量的平均值并给出预测精度或 根据响应变量的给定值来估计预报变量的值，即所谓的预报与控制问题。
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