广东省珠海市第二中学高中数学必修四课件：142三角函数的性质——定义域、值域、周期性(共18张PPT)

（1）y=cosx+1,x∈R
(2)y=sin2x,x ∈R
例2. 写出下列函数的定义域、值域：
⑴y 1 ；⑵y 2 cos x 1 sin x
解：⑴.当x 2k 3 (k Z )时，函数有意义.
2
原函数的定义域为{x|x R,x 2k 3 (k Z )}.
2
值域为[
1 2
,
).
kb2 k 3
解：当k>0时 k b 4 b 1
当k<0时
k b 2 k 3
k
b
4
b
1
（矛盾舍去）
∴k=3 b=-1
一、设情景，引课题
1.物理中的单摆运动，圆周运动有何规律？
2.若今天是星期四，则过了7天是星期几？
3.观察函数y=sinx,x∈R的图象，有何规律？
1
6
4
期是什么？ f(x)=2，x[-2,2]是否为周期函数？
1 4. f (x) 0
x为有理数；，是否为周期函数？ x为无理数；
以上问题说明了什么？
三、例题分析
例3.求下列函数的周期：
(1) y 3cos x, x R.(2) y sin 2x
(3) y 2sin( 1 x )
26
思考1要。增解加题到中x+“T自(T变=量2πx，只π要，并4且π）至，少
定义域
y=sinx
R
y=cosx
R
值域
[1,1].(有界性)
当且仅当x 2k
2 时有最大值1
当且仅当x 2k
2 时有最小值－1(k z)
[1,1].(有界性)
当且仅当x 2k
时有最大值1
当且仅当x (2k 1)
时有最小值－1.(k z)
例1.求使下列函数取得最大值得自变量 x 的集合，并说出最大值是什么。
⑵定义域为{x|2k ≤x≤2k 3 (k Z )}.
2
2
值域为[0, 2].
例3.求下列函数的最值和取得最值时x的集合： ⑴.y=sin(3x+1)-1； ⑵. y=sin2x-4sinx+5
⑶.y 3 cos x 3 cos x
例4、求下列函数的定义域：
⑴.y 3cos x 1 2cos2 x ⑵.y lg(2sin x 1) 2cos x 1 ⑶.y cos(sin x)
注：（１）T必须是常数，且不等于０; （２）f(x+T)=f(x)对定义域的所有x都成立; （３）若Ｔ是f(x)的周期，则nT也是f(x)的一
个周期; （４）周期函数的定义域必是无界集； （５）并非所有的函数都有最小正周期。
二、函数的周期性
周期函数的定义也可叙述为： 如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少 一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就 叫做周期函数。
2.最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果 在它所有的周期中存在一个最小的正数，这个 正数就叫做f(x)的最小正周期。
观察思考：正弦函数是不是周期函数？如果是， 周期是多少？
1
6
4
2
o
-1
2
4
6
∵sin(x+2kπ)＝sinx，∴T=2kπ(k∈Z)
正弦函数是周期函数，周期是2kπ，最小正周 期是2π.
(A) a>2 (B) a<-2 (C)a>1 (D)a<-1
2、设f(x)为R上的奇函数, 且f(x+2)= f(x), 则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2005)的值是 ( )
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2005
3、y
sin
x 2
函数的最小正周期是
(A) π/2 (B) π (C) 2π (D) 4π
2
o
-1
2
4
6
4.从诱导公式sin(x+2kπ)＝sinx中可以看出
什么规律？
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重 复出现 即：正弦函数值具有周期性
一、周期函数的定义：
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个常数 T≠0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常 数T叫做这个函数的周期。
五、课堂总结
1.定义了周期函数，函数的周期，最小正 周期。 2.明确了y=sinx,y=cosx,x∈R的周期性. 3.基本三角函数的周期求法。
课本第52页 第2、3题
类似的：余弦函数是不是周期函数？如果是，周 期是多少？
1
6
4
2
o
-1
2
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6
思考题
1.对于函数f(x)=sinx，等式 sin(1200+300)=sin300是 否成立？如果成立，能否说 1200是函数f(x)=sinx的一 个周期？
2.函数f(x)=x2 是周期函数吗？为什么？
3.常数函数f(x)=2是否为周期函数？如果是，周
的周期都是2 . z 2 (x ) 2 (x 2 )
T 2 .
2.用上述方法求下列函数的周期：
(1) y 3cos x, x R.(2) y sin 2x
(3) y 2 sin( 1 x )
26
3.练习：P40
1、设函数f(x) (x∈R)是以3为周期的奇函数, 且f(1)>1, f(2)= a, 则 ( )
解：⑵.scinosxx1212
2k
6
x
2k
7
6
2k
3
x
2k
3
(k
Z
)
原函数的定义域为：(2k , 2k ](k Z )
6
3
⑶. cos(sinx)≥0，2k - ≤x≤2k (k Z ).
2
2
又 1≤x≤1,x R.(值域：cos1≤x≤1)
例5、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域、最值、周期性
一、复习
1.用“五点法”作出y=2sinx,y=cos2x,x∈R的 图象.
2. y=sinx,y=cosx,x∈R,有无最值，如有，请写 出取最大值、最小值时的自变量的集合，并说出 最大值、最小值分别是什么？
二、正弦函数，余弦函数的性质
函数 性质
函数值才能重复出现。”如何理解？
2。函数的周期仅与什么有关？
四、研究性学习
1.函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周 期如何求？其中，A ，ω ，φ是常数，A≠0， ω ＞0
令z x ，那么x R必须并且只需z R，
且函数y Asin z，z R及函数y Acos z，z R