(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
北师大版七年级下等角三角形难题
___版七年级下等角三角形难题等角三角形是指三个角相等的三角形。
在___版七年级下的数学教材中，有一些关于等角三角形的难题。
以下是一些例题和解答：1.例题。
若三角形ABC中的角A、角B和角C都等于60°，则该三角形是等边三角形吗？1.例题。
若三角形ABC中的角A、角B和角C都等于60°，则该三角形是等边三角形吗？1.例题。
若三角形ABC中的角A、角B和角C都等于60°，则该三角形是等边三角形吗？解答。
是的，当三角形的三个角都等于60°时，该三角形一定是等边三角形。
因为等边三角形的每个角都等于60°。
解答。
是的，当三角形的三个角都等于60°时，该三角形一定是等边三角形。
因为等边三角形的每个角都等于60°。
2.例题。
已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm和4cm，求边PQ的长度。
2.例题。
已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm和4cm，求边PQ的长度。
2.例题。
已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm 和4cm，求边PQ的长度。
解答。
因为等角三角形的三个角相等，所以角P、角Q和角R 的度数都相等，可以推导出角P、角Q和角R都等于60°。
由三角形的正弦定理可得：解答。
因为等角三角形的三个角相等，所以角P、角Q和角R的度数都相等，可以推导出角P、角Q和角R都等于60°。
由三角形的正弦定理可得：PQ / sinP = PR / sinRPQ / sin60° = 3 / sin60°PQ = 3 * sin60° / sin60°PQ = 3所以边PQ的长度为3cm。
3.例题。
在等角三角形XYZ中，边XY的长度为5cm，边XZ 的长度为7cm，若角X的度数为60°，求边YZ的长度。
3.例题。
在等角三角形XYZ中，边XY的长度为5cm，边XZ的长度为7cm，若角X的度数为60°，求边YZ的长度。
北师大版七年级下册数学第四章 三角形含答案(综合题)
北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一定全等的两个三角形是（）A.①与②B.①与③C.②与③D.以上答案都不对2、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.垂线段最短．C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性3、如图，△ABC≌△AED，点 E 在线段 BC 上，∠1=48º，则∠AED 的度数是（）A.66°B.65°C.62°D.60°4、下列命题中，真命题是（）A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等5、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S△ABC +S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①③④D.①③⑤6、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=3：4：5B.∠A ∠B= ∠CC.∠B=50°，∠C=40°D.a=5，b=12，c=137、以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，8cmC.5cm，12cm，6cm D.4cm，6cm，9cm8、如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°10、如图，中，于D，下列条件中：① ；②；③ ；④ ；⑤，⑥ ，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°12、如图，在△ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）.A.140°B.210°C.220°D.320°13、已知m是整数，以4m＋5、2m－1、20－m这三个数作为同一个三角形三边的长，则满足条件的三角形个数有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.15、如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A.3B.4C.8D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是________．（填写序号）17、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．18、如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若，∠2＝30°，∠3＝55°则∠1＝________.19、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，则x的取值范围是________ ．20、如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对________21、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．22、已知，如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为________.23、若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为________ cm.24、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________ cm2.25、三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。
(完整word版)全等三角形难题(含答案),推荐文档
全等三角形难题（含答案）1.已知：AB=4, AC=2 D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD解：延长AD 至U E,使AD=DE •/ D 是BC 中点 ••• BD=DC在^ ACD^n ^ BDE 中AD=DE/ BDE=Z ADCBD=DC••• AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BEv AE< AB+BE •/ AB=4即 4-2 v 2AD< 4+2 1v ADV 3••• AD=2延长CD 与 P,使D 为CP 中点。
连接 AP,BP •••DP=DC,DA=DB •••ACBP 为平行四边形又/ ACB=90•••平行四边形ACBP 为矩形2.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90，求证: CD 1 -AB2••• AB=C P=1/2ABBC=DE / B=/ E ,/ C=/ D, F 是 CD 中点，求证：/ 仁/ 2证明：•/ BC=ED,CF=DF,/ BCF=/ EDF•••三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）••• BF=EF, / CBF=/ DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF••• / EBF=/ BEF•/ / ABC / AED••• / ABE=/ AEB •• AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF=/ ABE+/ EBF=/ AEB+Z BEF=/ AEF•••三角形ABF 和三角形AEF 全等。
••• / BAF=/ EAF （ / 1 = / 2）。
4.已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG/ EF 交AD 的延长线于点GCG/ EF ，可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE =/ GDC （对顶角）3.已知: 连接BF 和EFEF= CG/ CGD=/ EFD又，EF// AB•••/ CGD=/ 2 :.△ AGC为等腰三角形,AG= CG又EF = CG ••• EF= AC5.已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证：/ B=2/ C证明：延长AB取点E,使AE= AC连接DE•/ AD平分Z BAC• / EAD=/ CAD•AE= AC, AD= AD.△ A ED^A ACD (SAS• / E=/ C•AC= AB+BD• AE= AB+BD•AE= AB+BE• BD= BE• / BDE=/ E-/ ABC=/ E+Z BDE• / ABC= 2/ E• Z ABC= 2/ C6.已知：AC平分/ BAD CE丄AB, / B+Z D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF= EB,连接CF• CE 丄AB• / CEB=/ CEF= 90°•EB= EF, CE= CE,.△ CEB^A CEF• / B=/ CFE•/ B+/ »180°，/ CFE+/ CFA= 180• / CFAAC平分/ BAD./ DAC=/ FAC•AC= AC• △ ADC^A AFC( SAS• A» AF• AE= AF+ FE= AD+ BE12.如图，四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分/ ABC / BCD且点E在AD上。
5.7探索直角三角形全等的条件
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探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS， SAS。 判定两个三角形全等方法， 2、如图，Rt ∆ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。 如图， ABC中 A C
回 顾 与 思 考
B
A 如图， BE于 BE于 3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE于E， B C D，AB=DE， （1）若∠ A=∠ D，AB=DE， ABC与 全等” 则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”） ASA 根据 （用简写法） F E
下面让我们一起来验证这个结论。
已知线段a、 ﹤ 和一个直角 和一个直角α， 已知线段 、c(a﹤c)和一个直角 ， 利用尺规作一个 一个Rt△ 利用尺规作一个 △ABC,使 使 ∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. ，
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做： 按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° M 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 M B
C N 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧， 为圆心 为半径画弧， 交射线CN于点 于点A; 交射线CN于点A; M B
C 连接AB. ⑷ 连接 M B
N
C
A
N
C
A
N
就是所求作的三角形吗？ ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 它们能重合吗？ 它们能重合吗？
F C
E
Байду номын сангаас
北师大版七年级下册数学《全等三角形》难题(讲义)
例2在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13例3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上(1)求证：AB⊥ED(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明例5如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D ′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件)2．如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①②B。
②③C．①③D．①②③6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )．A：DC B．BC C．AB D．AE+AC7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对A．5 B．6 C．7 D．88.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )A．1 B.2 C．3 D．417．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且1()2AE AB AD=+,求∠ABC+∠ADC的度数。
(完整word版)北师大版数学七年级下三角形练习题含答案
全等三角形001（总分：171.0 考试时间：132分钟）一、判断题：1、如图, △ABC中AB＞AC, AD是角平分线, P为AD上任意一点. 则: AB-AC＞PB-PC. ( )2、角平分线上的点到角两边的距离相等 ( )3、如果△ABC≌△Ａ'B'C',D在BC上, D'在B'C'上,∠BAD＝∠B'A'D',那么一定有AD＝A'D' ( )4、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角形, △ABD、△BCE、△ACF,则CD＝AE＝BF. ( )5、如图, 已知: △ABC中, D是BC的中点, DE∥AB,且交AC于E, DF∥AC,且交AB于F,则DE＝BF, DF＝CE. ( )二、单选题：6、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为 1 , 则不正确的结论是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等7、若三角形中一角的平分线是它对边的中线 , 则这个三角形一定是______三角形．[ ]A.等腰B.直角C.等边D.等腰直角8、已知：如图 , △ABC是等边三角形 , D、E、F分别是三边上的中点 , 则和△ABD全等的三角形有_______个（除去△ABD）[ ]A.3 B.4 C.5 D.69、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和底边上的高, 能确定一个等腰三角形的是[ ]A.①和②B.③和④C.②和④D.①和④10、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是[ ]A.AC=EDB.AC⊥EDC.∠C+∠E=90°D.∠D+∠C=90°11、在△ABC和△A'B'C'中, 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'．12、如图等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同侧, 则下列式子中错误的式子是[ ]A.△ABD≌△EBCB.△NBC≌△MBDC.NBE≌△MBAD.△ABE≌△BCD13、已知：如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的组数是[ ]A.5 B.4 C.3 D.214、若△ABC中, 有AB∶BC∶CA=2∶3∶4 , △A'B'C'中必有A'B'∶B'C'∶C'A'=2∶3∶4且周长不同, 则下面结论成立的是[ ]A．AB=A'B' , AC=A'C' , BC=B'C'B．∠A=∠A' , AB=A'B' , AC=A'C'C．△ABC≌△A'B'C'D．△ABC不全等于△A'B'C'15、已知：如图, AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是[ ]A.∠Ａ与∠Ｄ互为余角B.∠A=∠２C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠２三、填空题：16、如图, 已知：AB=AC , D是BC边的中点, 则∠1＋∠C=_________度．17、已知：如图,AB=DE,AC=DF,要证△ABC≌△DEF,所缺一个条件是__________或__________．18、有一边相等的两个等边三角形_________________________．19、在括号里加注理由．已知：△ABC中, AB=AC , BD=DC , B、D、C在同一条直线上．求证：AD⊥BC．证：在△ABD和△ACD中20、三角形全等的四种判定方法是：①________②_______③________④_________．21、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,AD=_______．22、已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是______,另外两组对应角是_____．23、能够完全重合的两个图形叫做_________．24、完成下面的证明．已知：如图AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF证明：∵AF=DE(已知)∴AF-EF=DE-EF( ) 即AE=DF在△ABE和△DCF中∵AB=CD , BE=CF( )AE=DF( )∴△ABE≌△DCF( )25、被等腰直角三角形斜边上的高分成的两个等腰直角三角形___________．26、已知:如图,AB=BE,∠1=∠2,∠ADE=120°,AE、BD相交于F,求∠３的度数为______．27、已知：如图, AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________．29、30、等腰三角形两腰上的高_______________．四、证明题：31、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF32、求证：全等三角形的对应角平分线相等．33、已知:如图,AB⊥CD,垂足为D,AD=BD．求证:AC=BC．34、已知：四边形ABCD中, AC、BD交于O点, AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．求证：AD=BC35、已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C36、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE37、已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D38、已知：如图, A、E、F、B在一条直线上, AC=BD , AE=BF , CF=DE．求证：AD=BC．39、如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等,那么这两个三角形全等．40、已知：如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：OD＝OE．全等三角形001 试卷标准答案（总分：171 考试时间：132分钟）一、判断题：本大题共5小题，从第1小题到第5小题每题 2.0分小计10.0分；共计10.0分。
完整word版,北师大版七年级数学下册 第四章知识点汇总(全)
第四章 三角形三角形三边关系三角形 三角形内角和定理角平分线三条重要线段 中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。
a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1．如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则（）A．△1=12△BAC B．△1=12△ABC C．△1=△BAC D．△1=△ABC2．两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是（）A．13B．10C．7D．63．如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是（）A．13米B．13.3米C．14米D．15米5．利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是（）A．BC=2AD B．AB=2AF C．AD=CD D．BE=CF8．如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限）不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．9B．8C．7D．69．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10．如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12．已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个．13．已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形．14．同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15．用圆规和直尺作图：已知△AOB（如图）求作：△AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹不写作法和证明过程）．四解答题16．如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC＝80° △ECD＝25° 求△ACB的度数．17．已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围．18．如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19．如图所示图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．20．如图在△ABC中CE BF是两条高若△A＝70° △BCE＝30° 求△EBF与△FBC的度数．21．如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小．22．如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N．试求：（1）△P 的度数；（2）设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系（用α β表示△P ） 直接写出结论．参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为：A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为：B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图形可得：该三角形为锐角三角形.故答案为：B.【分析】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP ＞AB∴绳子AP 的长度不可能是：13米. 故答案为：A.【分析】直角三角形的性质：斜边大于直角边 据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：A 作法不符合题意 不符合题意；B 作法不符合题意 不符合题意；C 作法符合题意 符合题意；D 作法不符合题意 不符合题意； 故答案为：C ．【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
北师大版七年级下册数学[三角形及其性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形． 举一反三：【变式】判（2015•泉州）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边AC 的长可能是下列哪个值（ ） A ．11 B ．5 C ．2 D ．1 【答案】B ．解：根据三角形的三边关系， 6﹣4＜AC ＜6+4， 即2＜AC ＜10， 符合条件的只有5， 故选：B ．5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段6. （2016春•江苏月考）在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ；【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1。
(完整版)新北师大版七年级数学下册三角形知识点精讲
北师大版七年级下第五章三角形一、三角形三边关系和角关系Cb1、三角形任意两边之和大于第三边。
A结合右边图形用数学符号表示：a+b＞c2、三角形任意两边之差小于第三边。
ac结合右边图形用数学符号表示：a-b＜c3、三角形三个内角和等于180°结合右边图形用数学符号表示：∠A+∠B+∠C=180°B4、三角形按角分为三类：（1）锐角三角形（2）直角三角形（3）钝角三角形5、直角三角形的两个锐角互余。
6、巩固练习：1）、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）（1）1，3，3（2）3，4，7（3）5，9，13（4）11，12，22（5）14，15，302）、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是。
若X 是奇数，则X的值是。
这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值是，这样的三角形又有个。
3）、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（）4）、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B=度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C=度；（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A=度。
5）、如下图，在Rt△CDE,∠C和∠E的关系是，其中∠C=55°，则∠E=度。
AECCBD6）、如上图，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，则∠A=度，∠B=度。
二、三角形的角平分线、中线和高1、三角形的角平分线：三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。
简称三角形的角平分线。
如图：∵AD是三角形ABC的角平分线。
∴∠BAD＝∠CAD＝1∠BAC或∠BAC＝ 2∠BAD＝ 2∠CAD 22、三角形的中线：线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。
简称三角形的中线。
(完整版)解三角形题型总结(可编辑修改word版)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形a sin A= b sin B = c sin C = 2R(R 为三角形外接圆半径）（1）a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A =a , s in B =2Rb, sin C = c2R 2R(角化边公式） （3）a : b : c = sin A : sin B : sin C (4) a = sin A , a = sin A , b =sin Bb sin Bc sin C c sin C做题大法：a1） 边化角：遇到分式或等式如b考常考点）→sin Asin B, a = b → sin A = sin B （切记必须为齐次式，高思考：若a 2 = bc −是−否−可化−为→sin 2 A = sin B sin C 是否可行2） 角化边形如这样的分式或等式sin A sin B → a, sin A = sin B → a = b b思路总结：a = b=c= 2R ⇒ a = 2R sin Ab = 2R s in B sin A sin B sin Cc = 2R sin B此为以上转换依据2、正弦定理适用情况：（1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知 a ，b 和 A ，不解三角形，求 B 时的解的情况:如果sin A≥sin B，则 B 有唯一解；如果sin A<sin B<1，则 B 有两解；如果sin B=1，则 B 有唯一解；如果sin B>1，则B 无解.3、余弦定理及其推论a2=b2+c2- 2bc cos A 2 2 2 cos A =b2+c2-a22bca2+c2-b2b =a +c - 2ac cos B c2=a2+b2- 2ab cos Ccos B =cos C =2aca2+b2-c22ab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。
(word完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题
初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。
动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。
动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。
《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。
本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。
对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。
本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。
二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
（完整版）北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析
BAO DCE图8七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.①求证：AN=BM ②求∠AOB 的度数。
③若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。
（湘潭·中考题）同类变式：如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：CD BE ，△AMN 是等边三角形．CBO D图7AEABCM NOPQ（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC ，AD AE ，BACDAE ，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD，的中点．（1）求证：①BE CD ；②AN AM；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想BHD 的度数，并说明理由；图9 图10 图11CEND ABM图①CAE MBDN 图②（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DEDB ，连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGA EDBF二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ；（2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．CF GEDBAH2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。
北师大版七年级下全等三角形难题
北师大版七年级下全等三角形难题1.如图，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，点d是ac的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d重合，连结be、ec．试猜想线段be和ec的数量及位置关系，并证明你的猜想．2．例如图，未知△abc中，ab＝ac＝10厘米，bc＝8厘米，点d为ab的中点．(1)如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q在线段ca上由c点向a点运动．①若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，△bpd与△cqp是否全等，请说明理由；②若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使△bpd与△cqp全等．(2)若点q以②中的运动速度从点c启程，点p以原来的运动速度同时从点b启程，都逆时针沿△abc三边运动，谋经过多长时间点p与点q第一次在△abc的一条边上碰面？3.直线cd经过∠bca的顶点c，ca=cb．e、f分别是直线cd上两点，且∠bec=∠cfa=∠α．（1）若直线cd经过∠bca的内部，且e、f在射线cd上，恳请化解下面两个问题：①如图1，若∠bca=90,∠α=90-af（填上“>”，“②如图2，若0（2）例如图3，若直线cd经过∠bca的外部，∠α=∠bca，恳请探究ef、与be、af三条线段的数量关系，并给与证明．4.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△abc中，ab=ac，p就是△abc内任一一点，将ap绕点a顺时针转动至aq，并使∠qap=∠bac，联结bq，cp，则”bq=cp．小亮就是个快乐动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△abq≌△acp，从而成佛bq=cp．之后，他将点p移至等腰三角形abc之外，原题中其它条件维持不变，辨认出“bq=cp”仍然设立，恳请你就图②得出证明．5.如图，在等腰rt△abc中，∠acb=90°，d为bc的中点，de⊥ab，垂足为e，过点b作bf∥ac交de的延长线于点f，连接cf．(1)求证：ad⊥cf；(2)相连接af，先行推论△acf的形状，并表明理由．、cd为边向外作△bce和△dcf，使6.如图，在abcd中，∠bad=32°，分别以bcbe=bc，df=dc，∠eb=c∠c．缩短dfab交边ec于点h，点h在e、c两点之间，联结ae、af．（1）求证：△abe≌△fda．（2）当ae⊥af时，谋∠ebh的度数．7.已知：如图，af平分∠bac，bc⊥af，垂足为e，点d与点a关于点e对称，pb分别与线段cf，af平行于p，m．（1）求证：ab=cd；（2）若∠bac=2∠mpc，恳请你推论∠f与∠mcd的数量关系，并表明理由．8、如图，△acb和△ecd都是等腰直角三角形，a，c，d三点在同一直线上，连结bd，ae，并缩短ae交bd于f．（1）澄清：△ace≌△bcd．（2）直线ae与bd互相横向吗？证明你的9、如图，在四边形abcd中，ab=bc，bf是∠abc的平分线，af∥dc，连接ac、cf，澄清：ca就是∠dcf的平分线。
北师大版七年级下册数学《全等三角形》难题讲解
三角形全等难题讲解一．选择题（共25小题）1．（2015春•衡阳县期末）下列条件中能组成三角形的是（）A．7cm，7cm，12cm B．5cm，3cm，9cm C．6cm，9cm，16cm D．5cm，6cm，11cm 2．（2015春•大渡口区期末）已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的取值是（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=43．（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．14．（2016•大埔县一模）已知△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的中点，BD⊥CE于点F，CE=2，BD=4，则△ABC的面积为（）A．B．8 C．4 D．65．（2016春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE 与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70°B．75°C．80°D．85°6．（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a28．（2011•临川区模拟）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（）A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等9．（2005•广州）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A．2个B．4个C．6个D．7个10．（2015秋•河东区期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD 的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定11．（2015春•昌邑市期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°12．（2015秋•南开区期末）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′13．（2015春•禅城区校级期末）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF14．（2015秋•南陵县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB15．（2015秋•重庆校级期末）如图，AC平分∠DAB，AD=AC=AB，如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（2015秋•西宁校级期中）如图，已知AB、CD相交于O点，△AOC≌△BOD，E、F 分别在OA、OB上，要使△EOC≌△FOD，添加的一个条件不可以是（）A．CE=DF B．∠CEA=∠DFB C．∠OCE=∠ODF D．OE=OF17．（2015秋•海安县校级月考）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=30°，∠B=70°，∠C=80°D．∠A=60°，∠B=30°，AB=418．（2015秋•萧山区期中）已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（）A．60°B．45°C．75°D．70°19．（2015秋•北京校级期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如右图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是（）A．65°B．55°C．45°D．35°20．（2015秋•南宁校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°21．（2015秋•冠县月考）在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（）A．一定全等 B．一定不全等C．不一定全等D．以上都不对22．（2012•柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ23．（2011春•苏州期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块24．（2009秋•邹城市期末）长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B．两人都取6cm的木条C．两人都取8cm的木条D．C两种取法都可以25．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．二．填空题（共3小题）26．（2012•雅安）在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=DC；④∠ADB=∠ADC，BD=DC．能得出△ADB≌△ADC 的序号是．27．（2010•鞍山）如图，∠AEC=∠ACE，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC≌△ADE．28．（2007•十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C的值是．三．解答题（共1小题）29．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．初一三角形全等2016年04月22日王溢的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．（2015春•衡阳县期末）下列条件中能组成三角形的是（）A．7cm，7cm，12cm B．5cm，3cm，9cm C．6cm，9cm，16cm D．5cm，6cm，11cm 【解答】解：A、7+7＞12，7cm、7cm、12cm能组成三角形，故本选项正确；B、5+3＜9，∴5cm、3cm、9cm不能组成三角形，故本选项错误；C、9+6＜15，∴6cm、9cm、16cm，不能组成三角形，故本选项错误．D、5+6=11，∴5cm、6cm、11cm不能组成三角形，故本选项错误；故选：A．2．（2015春•大渡口区期末）已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的取值是（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4【解答】解：依题意有2﹣1＜x＜2+1，即1＜x＜3，只有选项B符合题意．故选：B．3．（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【解答】解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B．4．（2016•大埔县一模）已知△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的中点，BD⊥CE于点F，CE=2，BD=4，则△ABC的面积为（）A．B．8 C．4 D．6【解答】解：连接ED，∵BD⊥CE，∴四边形EBCD的面积=×BD×CE=4，设△ABC的面积为x，∵D，E分别是AC，AB边上的中点，∴BC=2DE，ED∥BC，∴△ADE∽△ABC，△ABC的面积=4×△ADE的面积，即x=4（x﹣4），解得x=．故选：A．5．（2016春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE 与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【解答】解：如图，，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵∠3+∠4=30°，∴∠5+∠6=30°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°．故选：C．6．（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．7．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．8．（2011•临川区模拟）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（）A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等【解答】解：在直角△DEF与直角△FMP中，∠E=∠M=90°，∠5=∠MFP，∴∠4=∠FPM，∴∠2=∠3；同理易证∠ANB=∠CAE，而∠CAE与∠4不一定相等．因而∠1与∠3不一定相等．故图中相等的角是∠2与∠3．故选B．9．（2005•广州）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A．2个B．4个C．6个D．7个【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．所以满足条件的点P共有6个．故选C．10．（2015秋•河东区期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD 的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．11．（2015春•昌邑市期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC=60°=30°，∠PCB=∠ACB=80°=40°．由三角形的内角和定理可知：∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=180°﹣30°﹣40°=110°．故选；B．12．（2015秋•南开区期末）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′【解答】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．13．（2015春•禅城区校级期末）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；故选D．14．（2015秋•南陵县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，∴AB=CD，当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，∴选项A正确；当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，∴选项B正确；当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，∴选项C不正确；当∠AED=∠CFB时，由AAS判定∠AED=∠CFB，∴选项D正确；故选：C．15．（2015秋•重庆校级期末）如图，AC平分∠DAB，AD=AC=AB，如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AB=AC，AC=AD，∴AB=AD∵AC平分∠DAB∴AC⊥BD，BE=DE，①正确；∴DC=CB，∵DC＞DE，∴BC＞DE，②错误；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正确；当△ABC是正三角形时，∠CAB=60°那么∠DAB=120°，故④是不一定成立的，所以错误．正确的有2个．故选：B．16．（2015秋•西宁校级期中）如图，已知AB、CD相交于O点，△AOC≌△BOD，E、F 分别在OA、OB上，要使△EOC≌△FOD，添加的一个条件不可以是（）A．CE=DF B．∠CEA=∠DFB C．∠OCE=∠ODF D．OE=OF【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴CO=OD，又∵∠COE=∠DOF（对顶角相等），∴要使△EOC≌△FOD，则添加的一个条件是∠CEA=∠DFB，即说明其补角是相等的，符合AAS；或∠OCE=∠ODF，符合ASA；或OE=OF，符合SAS．A选项不符合判定定理，故选A．17．（2015秋•海安县校级月考）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=30°，∠B=70°，∠C=80°D．∠A=60°，∠B=30°，AB=4【解答】解：A、∵3+4＜8，∴根据AB=3，BC=4，AB=8不能画出三角形，故本选项错误；B、根据AB=4，BC=3，∠A=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项错误；C、根据∠A=30°，∠B=70°，∠C=80°不能画出唯一三角形，故本选项错误；D、根据∠A=60°，∠B=30°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；故选D．18．（2015秋•萧山区期中）已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（）A．60°B．45°C．75°D．70°【解答】解：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF=∠ABD，∴∠AFD=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，故选：A．19．（2015秋•北京校级期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如右图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是（）A．65°B．55°C．45°D．35°【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为F．∵∠C=90°，∠CED=35°，∴∠CDE=55°．∵DE平分∠ADC，∴∠EDF=55°．∴∠CDA=110°．∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD．∴∠CDA+∠DAB=180°．∴∠DAB=70°．∵DE平分∠CDA，EF⊥AD，EC⊥DC，∴EF=EC．∵E是BC的中点，∴EF=BE．在Rt△AEF和Rt△AEB中，，∴Rt△AEF≌Rt△AEB．∴∠EAF=∠EAB．∴∠EAB=DAB==35°．故选：D．20．（2015秋•南宁校级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°【解答】解：如图所示：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠1+∠2+∠E+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠F=360°；故选：D．21．（2015秋•冠县月考）在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（）A．一定全等 B．一定不全等C．不一定全等D．以上都不对【解答】解：∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=70°，在△ABC和△NME中，，∴△ABC≌△NME（AAS），故选A．22．（2012•柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选：B．23．（2011春•苏州期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选B．24．（2009秋•邹城市期末）长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B．两人都取6cm的木条C．两人都取8cm的木条D．C两种取法都可以【解答】解：若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除A；若取8cm的木条，那么3+4＜8，不能构成三角形，所以只能取6cm的木条，故排除C、D；故选B．25．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．【解答】解：连接QR，过Q作QD⊥PR，∴∠AQD=45°，∵∠QAR=180°﹣75°﹣45°=60°，且AQ=AR，∴△AQR为等边三角形，即AQ=QR，∵∠AQD=45°∴∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，∴△DQR≌△PRA（ASA），∴QD=PR，即w=h．故选A．二．填空题（共3小题）26．（2012•雅安）在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=DC；④∠ADB=∠ADC，BD=DC．能得出△ADB≌△ADC 的序号是①②④．【解答】解：①在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件BD=DC，AB=AC，根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；②在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，根据全等三角形的判定定理AAS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；③在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠B=∠C，BD=DC，由SSA不可以证得△ADB≌△ADC；故本选项错误；④在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠ADB=∠ADC，BD=DC，根据全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；综上所述，符合题意的序号是①②④；故答案是：①②④．27．（2010•鞍山）如图，∠AEC=∠ACE，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：∠B=∠D，使△ABC≌△ADE．【解答】解：添加的条件是∠B=∠D．理由是：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，∵∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∵∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE．故答案为：∠B=∠D．28．（2007•十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C的值是2．【解答】解：在AC上截取AE=AB=X，于是AB=AE又∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠EAD又∵AD=AD∴△ABD≌△AED∴∠1=∠B，DE=BD=CE=X∴在等腰三角形DEC中，∠B=∠1=2∠C∴∠B：∠C=2：1或2．三．解答题（共1小题）29．（2013•朝阳）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．【解答】证明：如图，由做法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB=ED即他们的做法是正确的．第21页（共21页）。
三角形深入讲解北师大七年级数学下
1．数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n-1C的度数？问题探究：我们从较为简单的情形入手．探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O1，求∠BO1C 的度数？探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，求∠BO2C的度数．探究三：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，求∠BO3C的度数．问题解决：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n﹣1C的度数．2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C 重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．(1).当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变(填“大”或“小”)；(2).当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3).在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．3．问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC 的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．4．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与点B、点C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1).如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= ；(2).如图2，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=50°，请你求出∠BCE的度数．(写出求解过程)；(3).探索发现，设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：．②当点D在线段BC的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：．。
第4章三角形证明 题型解读4 三角形几何变换题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册
《三角形证明》题型解读4 三角形几何变换题型【知识梳理】1.若两个三角形全等，则它们对应的角均会相等、对应的边均会相等、对应的“三线”会相等、周长与面积会相等；2.几何符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∵△ABC≌△DEF，∴ (1)AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ； (2)∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ； (3)C ∆ABC =C ∆DEF ，S ∆ABC =S ∆DEF ； (4)①如图1，若AG 、BH 、CM 、DN 、EO 、FP 分别是△ABC 、△DEF 的高，则AG=DN ，BH=EO ，CM=FP ； ②如图2，若AG 、BH 、CM 、DN 、EO 、FP 分别是△ABC 、△DEF 的角平分线，则AG=DN ，BH=EO ，CM=FP ； ③如图3，若AG 、BH 、CM 、DN 、EO 、FP 分别是△ABC 、△DEF 的中线，则AG=DN ，BH=EO ，CM=FP ；一.折叠问题【折叠性质】：折叠前后的图形全等例1.将长方形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，若∠CED ′=50°，则∠EAB=________【解析】题中隐藏了两个已知条件：①因折叠，所以△A DE ≌△AD`E ；②因是长方形，所以存在平行线；利用全等概念及平行线的性质，即可求解。
【解题过程】 ∵∠CED ′=50°，G HMN O PGH MN O P G H M N O P A BC D E F图3A BC D E F图2图1FEDC BA∴∠DED ′=130°．∵△A DE ≌△AD`E ，∠DEA=∠D ′EA ． ∴∠DEA=∠DED ′÷2＝130°÷2＝65°． ∵ABCD 为长方形， ∴DC ∥AB ，∴∠EAB=∠DEA=65°．例2.如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠1、∠2+∠3之间的关系是_____.【解析】欲想找出∠1、∠2+∠3之间的关系，需先拉近∠1、∠2+∠3之间的图形位置关系，遇到此类题，我们一般的解题思路是：选固定某个角或某些角的图形位置，把其它角通过数学性质与定理，利用等量代换，逐渐把它们的位置与固定角的图形位置“拉近”。
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来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，O A BCDEF ∴∠AEB=∠EAD ．∴∠EAD=∠ECD ．在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE=∠CFD ，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE 为等边三角形．5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC 的值.6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC, D 是△ABC 内一点， 且求证：BD=BA 。
解：如图：以AD 为边，在△ADB 中作等边三角形ADE ，连接BE ．∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD ，且AB=AC ，AE=AD ，∴△EAB ≌△DAC （SAS ），∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED ；又∵AE=ED，BE=BE，∴△BEA≌△BED（SAS），∴BA=BD．7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC求证：延长CA至F，使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等，DF=BC,且<C=<F又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以<DEF=<DEA=<F=<C8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。
求的周长。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度那么三角形HDF和GDI全等。
证明：∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG∠HDF = ∠GDIDH=GD∠DHF = ∠DGI = 90度由此可知FD=ID那么三角形FDE和IDE全等。
证明：因为FD=IDED=ED∠FDE = ∠IDE = 60°由此可知FE=IE （蓝色线）那么三角形AFD和BID全等。
证明：∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI所以∠BDI = ∠FDA因为FD=ID，AD=BD那么，AE = BI (红色线)最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。
为固定值。
初一下册数学难题（全内容）1、解方程：() 18031902180⨯=---αα，则α= 60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？设需10%的盐水X 千克，则需要5%的盐水（10-X ）千克X*10%+（10-X ）*5%=10*8%5%X=0.3X=610-6=4（千克）所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是4、（2）若212(1)11x a x x-〈⎧⎨+〉-⎩的解为x ＞3，则a 的取值范围（3）若2123x a x b -〈⎧⎨-〉⎩的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a=（5）若204160x m x -≤⎧⎨+〉⎩有解，则m 的取值范围5、已知32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？7、已知24(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ；8、已知35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩（0z ≠），则:x z = ，:y z = ；9、当m= 时，方程262310x y x y m +=⎧⎨-=-⎩中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
11、⎩⎨⎧=-=+my x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12-。