考研《数学三》真题解析导数的经济应用

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考研数学(三)真题解析经济应用考点

2xx5年考研数学（三）真题解析：经济应用考点来源：文都教育考研数学三主要是针对经济和管理类的考生，对这类考生而言，数学在经济中的应用是一个常考点，尤其是微分学在经济中的应用考题，在近些年频频出现在试卷中，有时还以一个大题的形式出现，占xx 分之多，在刚刚结束的2xx5年考研数学（三）的考题中就有这么一道解答题（第xx 题）。

下面文都老师对今年的经济应用考题做些分析，供已经考过和准备2xx6年考数学（三）的同学参考。

在分析之前，我们先简单回顾一下微分学在经济应用中的主要知识点。

边际函数：边际函数是指一个经济变量对另一个经济变量的变化率。

若Q 代表某产品的需求量，P 代表商品的价格，C 代表生产成本，R 代表收入，L 代表利润，则边际需求dQ MQ dP=，边际成本dC MC dQ =、边际收入dR MR dQ =，边际利润dL ML MR MC dQ ==-. 弹性函数：弹性函数是指一个经济变量对另一个经济变量的相对变化率。

变量y 对变量x 的弹性为//Ey dy y x dy Ex dx x y dx ==⋅，如收益对需求的弹性ER Q dR EQ R dQ=⋅，而R QP =，故有1()1ER dP Q dP P Q EQ P dQ P dQ=+=+⋅；需求对价格的弹性EQ P dQ EP Q dP =⋅，通常在表示上弹性取正值，而Q 一般是P 的单调减函数，0dQ dP<，所以一般表示EQ P dQ EP Q dP =-⋅. 2xx5年考研数学（三）第（xx ）题：（本题满分xx 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）.（Ⅰ）证明定价模型为11MC p η=-；（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。

考研数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01tA A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)rnt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]nrrt rt r e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rtt A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。

现值与将来值的关系为：0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)tt A A r -=+例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款例2（08）设银行存款的年利率为0.05A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数；供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =;利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量, Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解需要在产出量12212x x αβ=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩ 由(1)和(2), 得 1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小.三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量.1、定义：设()y f x =或(),y f x t =，则称dy dx 或y x∂∂为y 关于x 的边际函数。

2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析

2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析戴又发(1)设函数y f(x)在(,)连续，其导函数的图象如图所示，则(C)函数f (x)有3个极值点，曲线y f (x)有1个拐点(D)函数f(x)有3个极值点，曲线y f(x)有2个拐点解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数f ( x)的极值点，所以函数f (x)有2个极值点；又因为导函数有2个极值点，当然是曲线y f(x)的拐点；另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线y f (x)的1个拐点.故选(B)xe(2)已知函数 f (x,y) -------- ,则x y(A)函数f x f y 0(B)函数f x f y 0(C)函数f x f y f(D)函数f x f y fx x x x0 / 、e . (x y)e e 正e解析：由f(x,y) ------- 得f x 一；----------- &一，f y -------------------x y (x y) (x y)x x x(x y)e e e f是 f x f y--2~72f ，故选 (D)(x y) (x y)(3)设 J i 3/xTydxdy(ii,2,3)，其中 D i (x, y)0 xD iD 2 (x, y)0 x i,0 y Vx , D 3(x, y)|o x(A) JiJ2 J3(B)J3 J i J2(C) J 2 J 3 J i(D) J 2 J i解析：在平面坐标系中， D 2, D i , D 3所表示的区域分别为:(k 为常数)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与k 有关i)sin(n k)、n isin(n k) 1 1因为而Jn 1(Jn &__1)<n /n1«n nn 1) njni,x 2----- O在区域D i y x,于在区域D i D 3上, y x,于0,即 J i所以J 3Ji J2 ,故选(B)i ni (nsin(n k)DiD 2上, D20,即 J i O., 是3x y J3 ；解析：由n i所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛.故选( A)(5)设A, B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(A)A T与B T相似.1 1 I(B)A与B相似(C) A A T与B B T相似1 1(D) A A与B B相似1 .解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵P ,使得P AP B .对于(A),因为(P 1AP)T B T得P T A T(P T)1 B T ,所以A T与B T相似;1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 对于(B),因为(P AP) B得PAP B,所以A与B相似；对于(D),因为P1(A A1)P P 1AP P1A1P B B 1 , 1 1所以A A与B B相似.故选(C)(6)设二次型f(x1，X2,X3) a(x2 x2 x2) 2x1X2 2x2X3 2x1X3的正负惯性指数分另IJ为1,2,则(A) a 1(B) a 2(C) 2 a 1(D)a 1 或a 2解析：考虑用特殊值法.当a 0时，f(x1,X2,X3) 2x1X2 2x2X3 24％,0 1 1其矩阵为1 0 1,由此求得特征值为2, 1, 1,满足正惯性指数为1,负惯性指数1 1 0为2,即a 0成立.故选(C)⑺ 设A,B为两个随机事件，且0 P(A) 1,0 P(B) 1 ,如果P(AB)(A)P(B|A) 1(B)P(AB) 0(C)P(A B) 1(D)P(B|A) 1解析：由P(AB) 1 知，P(AB) P(B), P(A B) P(A).PZOM P(AB) P(A~-B) 1 P(A B)P( B A) 1P(A) 1 P(A) 1 P(A)故选(A)(8)设随机变量X与Y互相独立，且X ~ N(1,2) , Y ~ N(1,4),则D(XY)(A) 6(B)8(C)14(D)15解析：由随机变量X与Y互相独立，则D(XY) E(XY)2 [E(XY)]2 EX2 EY2 (EX EY)2[DX (EX)2] [DY (EY)2] (EX EY)2(2 12) (4 12) (1 1)2 14.故选(C)\1 f(x)sin2x 1f(x)满足lim -------- 3^- ---------------- 2,则limf(x)(9)已知函数x 0 e 1 x 0 ----- J f (x)sin 2x 1解析：因为hm-------- 3^- ------- 2,用等价的无穷小替换，x 0 e 131 •,、一当 x 0时，e 1~3x, %：1 f(x)sin2x 1~ - f (x)sin2x1，，、「5f (x)sin2xf(x)于是有 lim - ------------ 2,即lim ------ 2x 03xx 03所以lim f (x) 6 ,答案6 x 0..1 , . 1 (10)极限 lim -r (sin - nn n ..1 , . 12 解析：由 lim 2 (sin 2sinnn n n1 1 12 2 n nlim -(-sin- -sin- -sin —) nn n n n nn n11x sin xdx xd cosx x cosx 0cos1 sin 1 sin1 cos1,答案 sin 1 cos122(11)设函数f(u,v)可微，z z(x)由方程(x 1)z y x f(x z,y)确定，则dz(0,1)22解析：由(x 1)z y x f(x z, y)有 x 0, y 1时 z 1, 222(x 1)dz zdx 2ydy 2xf (x z, y) x f u (x z, y)(dx dz) x f v (x z,y)dy将 x 0,y 1, z 1 代入，得 dz dx 2dy . 答案 dx 2dy2sin 2n.n 、nsin —) n -- n 、 nsin )n1 1cosxdx0 022(12)设 D (x, y)|x| y 1, 1 x 1,则 x e ydxdy11 y2 1 11112 1 2、丁 7ec 丁丁二二二-•答案：二(1一) 3e 3 0 3e 3e 3 3 3e 3 e1 00 1(13)行列式° °4 3 2 1 0 01 0 解析：00 1 432 1120 1 4 223212 . 2432(2) 342 3 4..43 一 2一答案：432 23 4(14)设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4的概率为解析：若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有.2 y 2x e dxdy120dy2e y 2dx1 0y 3 y 2e dydey 213y2e y 2 e y 2d( y 2)0 0 113次取球，无论2红1白还是2白1红，概率都是3 1 27 9于是最后一次取到黑球后停止的概率为2 1 2 一——,9 3 27同理最后一次取到红球或白球后停止的概率都为27，……… ……2 Q 2…2所以取球次数恰好为 4的概率为—3W •答案：- 2 79 91(15)(本题满分10分)求极限lim(cos2x 2xsinxtx 01e 3.(16)(本题满分10分)设某商品最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q Q(p),... p需求弹性 ------------ (0), p 为单元价(万元)120 p(I)求需求函数的表达式；(n)求p 100万元时的边际收益，并说明其经济意义.p dQ pdQ dp解析：(i)由弹性公式，可得 — —— ------ ,分离变量，得 — ----------- -Q dp 120 p Q p 120两边积分，得 lnQ ln( p 120) ln C ,即 Q C( p 120) 因为最大需求量为1200件，所以Q(0) 1200,解得C 10 故 Q 10( p 120) 1200 10P.2(n)收益R Qp 1200p 10p ，边际收益为d R dR d p _ (1200 20p)( —) 2p 120dQ dp dQ 10'dR i一一一p 100万元时的边际收益为 -p 100200 12080.dQ其经济意义是：需求量每提高1件，能增加收益8 0万元.(17)(本题满分10分)设函数f(x)j t 2 x 2dt(x 0),求f (x)并求f(x)的最小值.解析:14lim (cos2 x 2 xsinx)xlim ecos2x 2xsin x4 xX"e4x 2 24Y4 x 3 1 --- ---- 2x( x — ) 1 o( x )2 4! 3!4 x一、.2 2 ..解析：对于f(x) 0 t x dt , x| 2 2 1 2 2 当1 x 1 时，f(x) 0 (x t )dt |x|(t x )dt,4 j3 2 13x x 3, 一12 2 2 1当|x| 1 时，f(x) 0 (x t )dt x - 32 1 1x -, x 13f(x)为偶函数，f(x)4 3 1-x x2—，x 13 32x,x 14x2 2x, 1 x 04x2 2x,0 x 12x,x 1f(x)为偶函数，在［0,)上，0 x 1, f(x) 0； x 1, f(x) 0；所以f(x)的最小值为f(1)(18)(本题满分10分)设函数f (x)连续，且满足x x0 f (x t)dt 0(x t)f(t)dt e x 1,求f(x).x 0 x 解析：令u x t,则0 f(x t)dt x f (u)d( u) 0 f (u)du所以 f (x)2n 2x(19)(本题满分10分)求哥级数 -------- --- —~2 ---- n 的收敛域及和函数.n 0(n 1)(2n 1)再两边积分 S(x) (1 x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x)1,且方程组2a 2Ax 无解.(i)求a 的值；(n)求方程组 A T Ax A T 的通解.解析：(i)由方程组Ax 无解，知IA 0,解析：令S(x)2n 2x(n 1)(2n 1)'两边求导S(x) 2n 0 2n 1x2n 1 '两边再求导S (x)2n xn 0两边积分，得S (x)in 1，且 S(0) 0,易知，S(x)2n 2xn 0 (n 1)(2n 1) 的收敛半径为1,又 x 1,x 1时级数收敛,即其收敛域为［ 1,1],所以S(x) (1x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x),x [1,1].(20)(本题满分 11分)设矩阵由a 0时, r(A) r(A,)而2 2时，r(A) r(A,),于是(A T A,A T )1所以，方程组A T Ax A T 的通解为x k 12, k 为任意实数.1 01 1（21）（本题满分11分）已知矩阵 A23 00 0 02100 .、(n)设3 阶矩阵 B ( 1, 2, 3)满足 B BA,记 B ( 1, 2, 3),将 1, 2, 3分别表示为 1, 2, 3的线性组合.解析：（I ）由| E A 0求得矩阵A 的特征值为10, 2 1, 3 2,所以A~121、32 ,求得矩阵A 属于1、 2、 3特征向量分别为:3 1 1设P 2 1 2 ,可知A2 0 0所以 a 0.(n)当 a 0时，A T A3 2 22 2 2 A T2 2 2分别就1 0、29999 1P P 1,于是 A P P .399 991 c所以A P P 222(n)因为B ( 1, 2, 3),由 BBA ,可得 B 3 B 2A BAA BA 2, B 4 B 2A 2 BA 3, 所以，B100( 1, 2, 3) BA 99( 1, 2, 3)A 993(2 298) 1 (2 299) 2.（22）（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y ）在区域（I ）写出（X,Y ）的概率密度;（n ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由;1求矩阵P 的逆矩阵P122 122 2992 2100299 2100298 299D (x,y)0 x 1,x2y «x 上服从均匀分布，令 U1,X Y0,X Y2991 2 2 1 2B 100BA 99,2 2993) 2 2100299 2100298 299(2 299) 1 2 2100) (1 299) 1(1 2100) 2；（出）求Z U X 的分布函数F （z ）.解析：（i ）先计算二维随机变量（X,Y ）所在区域的面积,__31V x 3f- 2 2 3 13s(D)0dx x 2 dy«x x )dx (-x 4-x ) 3 3而（X,Y ）在D 上服从均匀分布，所以（X,Y ）的概率密度为3, x y xf(x ，y)〜L0淇他 11(n)因为 PU2,X2所以U 与X 不相互独立.1 111事实上 P U ,X P U 0,X P X Y,X 2 2 2 2(出)由 F(z) P{U X z}P{U X zU 0}P{U 0} P{U X zU 1}P{U 1} P{X z,X Y} P{1 X z,X Y}.3,z4其中 P{Xz ,XY}|z 20,z z 3,0z1;131 120,z 0 3 2 3z z ,0 z 12133 oc 2(z 1)2 3 1)2,1 z 2221,z 23X 2 n .3,0 X,,,(23)(本题满分11分)设总体 X 的概率密度为f(x，)3，其中0,其他(0,)为未知参数，X 1，X 2,X 3为来自总体X 的简单随机样本，令 T maXX 1,X 2,X 3). (I)求T 的概率密度； (n)确定 a ,使 E(aT) .解析：(I)因为X1，X2, X3为来自总体 X 的简单随机样本，显然互相独立, 于是T 的分布函数为F T。

2023年考研数学三第3题详解

2023年考研数学三第3题详解摘要：一、引言二、考研数学三第3题的题目描述三、解题思路及步骤四、答案与解析五、总结正文：一、引言随着2023年考研数学三的结束，考生们对于试题的解答成为了关注的焦点。

本文将针对2023年考研数学三第3题进行详解。

二、考研数学三第3题的题目描述2023年考研数学三第3题的题目描述如下：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求解$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。

三、解题思路及步骤1.求导数：首先求出函数$f(x)$的导数$f"(x)$，有$f"(x)=3x^2-6x+2$。

2.求极值点：令$f"(x)=0$，解得$x=1$或$x=frac{1}{3}$。

3.判断单调性：通过导数$f"(x)$的符号判断函数$f(x)$在区间$[0,1]$上的单调性。

当$xin(0,frac{1}{3})$时，$f"(x)>0$，即$f(x)$单调递增；当$xin(frac{1}{3},1)$时，$f"(x)<0$，即$f(x)$单调递减。

4.求最值：根据函数的单调性和极值点，可以得出$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为$f(1)=0$，最小值为$f(frac{1}{3})=-frac{5}{27}$。

四、答案与解析2023年考研数学三第3题的答案为：最大值为0，最小值为$-frac{5}{27}$。

五、总结通过对2023年考研数学三第3题的解答，我们复习了函数的导数、极值点和最值求解等知识点，这些知识点在考研数学中占有重要地位。

浅谈导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的一个概念，是描述函数变化率的工具。

在经济学中，导数具有重要的应用，可以帮助我们更好地理解经济现象和分析经济问题。

一、边际分析导数在经济中最常用的应用是边际分析。

边际分析是指对某一经济变量进行微小变动所引起的其他变量的变动。

例如，对于商家来说，每卖出一件商品会带来一定的收入，而每增加一件商品的销售量，总收入也会相应地增加。

但是，随着销售量的增加，利润增加的速度会越来越慢，或者甚至开始降低。

这个问题可以用边际分析来解决。

我们可以通过求导数计算出每增加一件商品所带来的额外收入和利润，以及这些收入和利润的增长率。

这使得商家能够最大化其利润，以便取得最佳的经济效益。

二、预测模型导数也可以用于经济预测模型中。

例如，我们可以利用导数计算出某个指标的预期变化率，以指引我们对经济变化的预测。

例如，对于一家公司，我们可以了解一种产品的每增加一个单位，销售量或利润的增长率是多少。

这可以预测未来公司的趋势是否应该生产更多的这样的产品。

三、市场分析导数还可以用于市场分析。

在市场价格波动中，我们可以使用导数计算出价格变化率。

例如，利用导特定数可以计算出某个产品在不同市场中的价格弹性。

这个指标可以帮助生产商预测消费者的反应和市场需求，以提供最优质的产品服务和价格策略。

四、生产分析导数还可用于生产分析，这包括分析劳动生产率和投入产出比率。

例如，我们可以利用导数计算工人的性能、生产效率和成本效率的变化率。

这可以帮助我们优化生产过程并最大化生产效率。

总之，导数是经济学中的重要工具，能够帮助我们更好地理解经济现象和解决经济问题。

它可应用于各个领域，如市场、生产和预测模型分析，与其他经济指标一起使用，以揭示经济发展趋势并优化业务运营。

考研数学三大纲解析之导数的经济应用

考研数学三大纲解析之导数的经济意义
来源：文都教育
考研数三考试大纲对导数的经济意义的要求是了解，但是经济应用中边际与弹性以及最大利润等仍是考研数三常考的内容。

边际与弹性经常以客观题的形式来考查，最大利润经常以应用题的形式考查，这两个知识点出题的难度不大。

但是由于大学时很多同学没学过，学过的也学的比较浅很多都忘记了，所以在复习时存在抵触情绪，考试的得分率并不高。

下面文都考研数学辅导老师对这部分内容帮助大家总结一下。

一、边际函数与弹性函数
1边际函数
设()f x 可导，经济学上称()f x '为边际函数，并称()0f x '为()f x 在0x x =处的边际值.
2 弹性函数
设()f x 可导，称()()()
0/lim /x y y x x f x f x x x y f x η→''===为()f x 的弹性函数，其主要反映x 变化所致()f x 变化的强弱程度或者叫灵敏度.
二、五个研究对象
1需求函数：设需求量为Q ，价格为P ，称()Q Q P =为需求函数，且一般为单减函数.
2供给函数：设供给量为q,价格为p ，称()q q p =为供给函数，且一般为单增函数.
3成本函数-总成本=固定成本+可变成本，即()()01C x C C x =+,边际成本为()C x '.
4收益函数()R x ，边际收益为()R x '.
5 利润函数()()()L x R x C x =-，边际利润为()L x '.。

3.3 导数在经济中的简单应用

需求弹性：
EQ p Q/ ( p) Ep Q( p)
【作业】习题3 9~17
解：（1）边际成本函数为C(q) 4 0.1q ，又 C(200) 4 20 24 。即当产量达到200个单位时，再多生产一个单位产品，总成本将增加
24元。（2）因国家对该厂征收的固定税收与产量 q 无关，这种固定税收
可列入固定成本，因此对边际成本没有影响。例如，国家征收的固定税收为100元，则总成本为 C(q) (200 100 ) 4q 0.05q2 300 4q 0.05q2 ，因而边际成本仍为 C(q) 4 0.1q 。
每天的成本为 C 40 1.5q 40 1.5(700100p) 1090150p
所以，每天的利润为 L R C 100 p2 850 p 1090
因为
L 200 p 850
令 L 0 ，得唯一驻点 p 4.25。又 L 200 0 ，所以唯一的驻点
p 4.25 是利润函数 L 的最大值点。故小明将面包的价格确定为4.25元/只，
R(12) 9600 ( p 8)3
p12 1.2 0
，所以唯一的驻点就是极值点。即
要使销售额最大，商品单价 p 应取12元。
例3.3.3
设某商店以每件100元的进价购进一批衬衫，据统计此种商品
的需求函数 Q 800 2 p（ Q 为需求量，单位：件；p 为销售价格，
单位：元），问该商店应将售价定为多少元卖出，才能获得最大利润？最大利润是多少？
如果函数 f (x) 在区间 (a, b) 内只有一个驻点 x0 ，而从该
实际问题本身又可以判定在区间 (a, b) 内函数的最大（或最小）值确实
存在，那么唯一的驻点就是最值点，f (x0 ) 就是所要求的最大

3.6导数在经济学中的简单应用

需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
1 p 1400(ln 4) p( ) p 4 p ln 4 E p q( p) 1 p q 1400( ) 4
p 10
Ep
10 ln 4 20 ln 2
【3-6-11】
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是减少？解：
若提价，则有：若降价，则有：
1 Ep
0
p 0, q 0, 此时R 0, 收益上升
p 0, q 0, 此时R 0, 收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
【3-6-10】
5 弹性举例
1 p 例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400( ) , 求该商品的 4
C (q 1) C (q) C (q)
【3-6-1】
（4）举例
x2 设生产某商品x个单位的成本函数为C ( x ) 100 6 x , 4
求当x 10时的总成本, 平均成本和边际成本
解：总成本为C (10) 185,
C (10) 平均成本为C (10) 18.5, 10
试求当p 4时的边际需求及需求价格弹性
结束
【3-6-13】
含义为 : 当收入增加一个百分点时,需求量将上升EM 个百分点
【3-6-8】
4 边际与弹性的关系（1）关系：
R pq( p), dR pdq qdp,
p dq pdq 而E p ,q Ep
dR 1 1 边际收益MR (1 ) p (1 )P dq Ep Ep

数学3 考研经济应用题(导数和微分在经济学中的简单运用)

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。

而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。

用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。

不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。

平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。

而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。

例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。

类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。

导数在经济分析中的应用

将会增加5% ~ 25% .
经济数学
经济数学
导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析
边际概念是经济学中的一个重要的概念，一般是指经济函数的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为边际分析.
1. 边际成本
在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品产量为q单
位时所需的总成本为C C q.由于 C q 1 C q C q dC q Cqq Cq,
Rq 1 100 qq.
5
Rq 1 100 2q.
5 所以，当q 20 、50和70时的边际收入分别为
R20 12，R50 0，R70 8.
导数在经济分析中的应用
1.2 弹性分析
引例
甲产品单价为10元，提价1元；乙产品单价为200元，提价1元 .
两种产品的相对改变量都为1元，但各与其原价相比，两者的涨价幅度相差很大，甲提价
10%，乙提价0.5%. 因此，非常有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.
导数在经济分析中的应用
定义1
设函数y f x在x处可导，函数的相对改变量 y 与自变量的改变量 x 之比
y
x
y
y x
称为函数y
f
x从x到x
x两点间的弹性.令x
0，极限值y
x y
称为函数y
f
x
x
y
在点x处的弹性，记作E. 函数E
C
10
000
5
5 q q10 000
5.0（5 元）.
这个结论的经济含义是：当产量为10 000件时，再多生产一个单位的该产品所增加的成
本为5.05元 .
导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用导数作为微积分中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，包括经济学。

在经济分析中，导数可以帮助我们理解和分析各种经济现象，优化经济决策，提高经济效率。

本文将从需求曲线、生产函数、成本函数和利润函数等方面，探讨导数在经济分析中的具体应用。

1. 需求曲线中的导数应用需求曲线描述了商品价格和商品需求之间的关系。

在微观经济学中，我们经常需要分析需求曲线的弹性，即需求量对价格变化的敏感程度。

需求曲线的导数可以帮助我们计算出需求弹性，从而更好地理解消费者的购买行为和市场的变化。

假设市场上某种商品的需求曲线为Q = f(P)，其中Q表示需求量，P表示价格，f(P)表示需求曲线函数。

那么需求曲线的导数f'(P)就是需求曲线的斜率，即价格对需求量的变化率。

需求曲线的弹性可以通过导数来计算：需求弹性 = （P/Q）* f'(P)。

需要指出的是，需求曲线的导数还可以帮助我们确定价格的变动对需求量的影响，对市场定价和营销策略提供重要参考。

2. 生产函数和边际产品函数中的导数应用在生产理论中，生产函数描述了生产要素与产出之间的关系，而边际产品函数则表示了生产要素的边际产出。

在生产函数中，导数可以帮助我们研究生产要素的投入与产出之间的关系，优化生产要素的配置，提高生产效率。

生产函数通常表示为Q = f(K, L)，其中Q表示产出，K表示资本投入，L表示劳动投入，f(K, L)表示生产函数。

假设边际产品函数为MP = f'(L) ，其中MP表示劳动的边际产品。

那么边际产品函数的导数f''(L) 就表示了劳动的边际变化率，可以帮助我们确定劳动投入的边际效益。

“劳动的边际产品递减”是生产理论中的重要观点，它可以通过边际产品函数的导数来解释。

利用生产函数和边际产品函数的导数，我们还可以计算生产要素的边际产出与其价格之比，即边际产出-成本比，对生产决策和生产成本进行优化。

浅谈导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分的重要概念之一，它能够描述函数变化的速率。

导数的概念在经济学中有广泛的应用，可以帮助经济学家分析各种经济现象和问题。

本文将从需求曲线、生产函数和效用函数等方面，浅谈导数在经济分析中的应用。

导数在需求曲线的分析中起着重要的作用。

需求曲线表示了市场上消费者对商品的需求情况。

通过求导可以得到需求曲线的斜率，即价格对数量的弹性。

当需求曲线变化的方向和速度都不一样时，导数可以告诉我们变化的幅度，从而帮助我们预测市场上商品的需求状况。

导数在生产函数的分析中也有着重要的应用。

生产函数描述了生产者在不同投入条件下如何转换成输出。

通过对生产函数求导，可以得到产量对各种输入要素的弹性，从而帮助生产者选择最佳的投入组合。

通过导数还可以判断生产函数的边际产出是否递增或递减，从而确定产能和规模经济的变化规律。

导数还可以应用在效用函数的分析中。

效用函数描述了消费者对不同商品的效用满足程度。

通过对效用函数求导，可以得到边际效用的变化情况。

边际效用指的是在消费一单位商品时所带来的额外满足程度。

通过求导可以判断消费者对商品的边际效用是递增还是递减的，从而帮助生产者和消费者做出最优的决策。

导数还可以应用于价格弹性和收入弹性的分析中。

价格弹性和收入弹性是经济学中常用的两个衡量商品需求变化敏感度的指标。

通过对需求函数求导，可以得到价格弹性和收入弹性的具体数值。

这些数值可以帮助企业制定定价策略和产品开发策略，从而更好地满足市场需求。

导数在经济分析中有着广泛的应用。

通过求导可以得到变化的速率和方向，从而帮助我们预测市场上商品的需求情况，确定最佳投入组合和决策方案，评估市场需求的变化敏感度等。

掌握导数的概念和运用方法对于经济学家来说是非常重要的。

浅谈导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用
导数是微积分中的重要概念，经济学中也广泛应用导数来进行经济分析。

导数可以理解为函数在某一点的变化率，它的应用使得经济分析更加精确和高效。

导数在经济学中的一大应用是边际分析。

边际分析是经济学中的一个重要原理，用来研究一种经济决策在单位变化下的影响。

导数的定义正好可以用来计算边际效应。

在消费理论中，导数可以用来计算消费者对某种产品的边际效用，也可以用来计算市场需求曲线的斜率。

导数在生产理论中的应用也非常重要。

生产函数描述了生产输入和输出之间的关系，导数可以用来分析生产要素的增量效应。

在微观经济学中，生产函数的边际产出是工资和利润决策的基础。

导数可以帮助我们计算边际产出，并根据边际产出来确定最优的生产要素组合。

导数也可以用来研究市场均衡。

在市场均衡分析中，通过计算供给曲线和需求曲线的交点，我们可以确定市场的均衡价格和数量。

为了确定市场需求和供给的弹性，导数的概念可以帮助我们计算价格和数量的变化率。

导数还可以用来计算需求曲线和供给曲线的斜率，进一步帮助我们分析市场均衡的稳定性。

导数在经济学中还有许多其他的应用。

导数可以帮助我们计算效用函数的替代率，从而揭示经济主体如何在不同产品之间进行选择。

导数还可以用来计算经济增长率，研究经济发展的速度和趋势。

导数还在金融学中有广泛的应用，比如计算股票价格的波动率，帮助投资者进行风险管理。

考研数学三极限与导数专题重点解析

考研数学三极限与导数专题重点解析极限与导数专题重点解析1，极限：（1）极限计算的常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

（2）四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度。

（3）遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效。

（4）利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限。

（5）如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算。

（6）单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

2，导数：（1）常考题型：a,利用定义计算导数或讨论函数可导性;b,导数与微分的计算(包括高阶导数);c,切线与法线;d,对单调性与凹凸性的考查;e,求函数极值与拐点;f,对函数及其导数相关性质的考查。

（2）对于导数与微分，对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导中是特别重要的。

（3）要熟练掌握可导、可微与连续性的关系。

（4）求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则。

（5）一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性。

（6）利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。

（7）幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。

3，导数计算中需要掌握的常见类型：（1）基本函数类型的求导。

（2）复合函数求导。

（3）隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则。

（4）由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可。

浅谈导数在经济分析中的应用

浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的重要概念，它在经济分析中具有广泛的应用。

经济学家经常使用导数来分析经济变量的变化，并根据这些变化来做出决策。

本文将从几个不同的角度探讨导数在经济分析中的应用。

导数在经济学中用于分析市场需求和供给的变化。

市场需求和供给曲线描述了商品和服务的市场行为。

通过对这些曲线进行微分，我们可以获得需求和供给的弹性。

需求和供给的弹性是描述价格变化对需求和供给数量变化的敏感度的重要指标。

高度弹性的需求和供给意味着价格变化对数量的影响较大，而低弹性则意味着对价格变化的反应较小。

通过对需求和供给曲线进行微分，我们可以更好地了解市场对价格变化的反应，帮助企业和政府做出更好的决策。

导数在成本分析中也有着重要的应用。

企业需要了解其生产成本随着产量增加的变化情况，以便制定最佳的生产计划和定价策略。

通过对成本函数进行微分，企业可以获得边际成本的信息。

边际成本是指生产一个额外单位的产品所需的额外成本。

了解边际成本的变化情况有助于企业决定最优的产量水平，并帮助其在市场上获得竞争优势。

导数在经济增长和发展的研究中也发挥着重要的作用。

经济学家可以使用导数来分析生产函数和经济增长模型，以了解各种生产要素对经济增长的贡献。

通过对生产函数进行微分，我们可以得到生产要素的边际产量，从而了解不同生产要素对产出的贡献大小。

这有助于政府和企业制定合适的政策和投资决策，促进经济的持续增长和发展。

导数在市场竞争和定价策略中也有着重要作用。

企业需要了解市场竞争对其定价策略的影响，以制定最优的定价策略。

通过对市场需求函数和成本函数进行微分，企业可以获得最大化利润的条件，从而决定最优的定价策略。

了解市场需求曲线的斜率和交叉价格弹性的变化情况，有助于企业在竞争激烈的市场上制定灵活的定价策略，提高市场竞争力。

导数在经济分析中具有广泛的应用，可以帮助经济学家和企业决策者更好地理解经济现象，并做出更准确的决策。

通过对市场需求和供给、成本分析、经济增长和竞争定价等方面进行微分分析，我们可以更深入地了解经济变量之间的关系和变化规律，为经济的健康发展提供有力的支持。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x+→=，0lim 1x x x-→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1f y∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

14224考研数学三经济学应用考点分析190402

考研数学三经济学应用考点分析对于全国硕士研究生数学三的考试来说，经济学应用是一个高频考点，在历年的数学三真题中经常出现，如：2001年第一（1）题，2004年第18题，2007年第5题，2009年第12题，2010年第11题，2013年第18题，2014年第9题，2015年第17题，这些经济学应用问题主要涉及到两个重要概念，一个是边际概念，一个是弹性概念，下面文都网校的数学蔡老师对这两个概念及2016年的相关真题做些分析说明，供各位考研的同学和朋友参考。

一、边际概念和弹性概念1、边际概念：边际指经济变量的变化率（导数）。

若经济变量()y f x =，则称()f x '为边际函数；如：边际成本()C x '、边际收入()R x '和边际利润()L x '（x 为产量），分别表示增加一个单位产量时所增加的成本、收入和利润，其中(),(),()C x R x L x 分别为企业生产某种产品的成本、收入和利润。

2、弹性概念：弹性指一个经济变量变动1%时会使另一个经济变量变动百分之几。

变量y 对x 的弹性为y x yx y y E x y x x∧∆∆==⋅∆∆，令0x ∆→，得()y x x dy x E y x y dx y'=⋅=.需求弹性：Q p p dQ E Q dp=-⋅，p 为产品价格，()Q p 为市场需求量。

收入弹性：R p p dR E R dp=⋅，()R p 为收入（()R pQ p =）.二、真题分析设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数()Q Q p =,需求弹性为(0)120p pηη=>-，p 为单价(万元)。

（Ⅰ）求需求函数的表达式；（Ⅱ）求100p =万元时的边际收益，并说明其经济意义.注：这是2016年考研数学（三）第（16）题（本题满分10分）解：(I)需求弹性为p dQ Q dp -，根据题意得120p dQ p Q dp p -=-，分离变量得11120dQ dp Q p -=-，两边积分得()120Q C p =-（0C >），由于Q 是p 的单调减函数，所以当0p =时，Q 取最大值，因此()01200Q =，10C =，所以需求函数为()()10120Q p p =-；(II)收益函数为()()210120101200R p pQ p p p p ==-=-+，边际收益函数为()'201200R p p =-+，当100p =时，边际收益为(100)800R '=-万元，经济意义为：当价格为100万元时，若再提高价格1万元，则收益会减少约800万元。

导数在经济分析中的应用举例

边际价格反映了商品价格的微小变化对供给或需求的影响程度，是确定市场均衡的关键因素之一。
利用导数分析供需关系可以帮助我们更好地理解市场均衡的形成机制以及市场失衡的原因，为经济学分析提供了有力的工具。
在实际经济分析中，导数的应用非常广泛，例如在劳动力市场分析、货币供应和需求分析、国际贸易分析等领域都可以利用导数进行深入的研究。
03 边际成本与总成本的关系反映在生产过程中增加一个单位产量的成本变化情况。
导数在成本函数中的应用实例
01 假设某企业的生产函数为：C(x)=x^2+2x+1,其中C(x)表示总成本，x表示产量。
02 通过求导数，可以得出边际成本函数为： MC(x)=2x+2。
03 根据边际成本与总成本的关系，当MC(x)=C(x)时，企业达到最优产量。
导数在供需关系中的应用实例
实例1
假设某种商品的市场需求函数为D(p)=1000(p+1)，市场供给函数为S(p)=2000e^(−p)。利用导数可以求解该商品的均衡价格。根据市场均衡条件D(p)=S(p)，可以求得均衡价格p=1.5。此时，该商品的均衡数量为 D(1.5)=S(1.5)=500。
总收入
表示在一定时间内，销售或生产一定数量的产品所获得的全部收入。
关系
边际收入与总收入之间存在一定的关系。当销售量或产量增加时，边际收入逐渐上升，但当销售量或产量达到一定水平后，边际收入会逐渐下降。这是因为随着销售量或产量的增加，单位产品的收益逐渐降低，导致边际收益下降。
导数在收入函数中的应用实例
利用导数可以推导出Black-Scholes定价公式，为期权定价提供理论依据。
导数在投资决策中的经济学意义

经济数学导数的应用

经济数学导数的应用
《经济数学导数的应用》
导数是经济数学中的重要工具，它在经济学的各个领域中有着广泛的应用。

经济学家通过运用导数来解决经济问题、优化经济决策，并且能够帮助他们对经济现象进行分析和预测。

首先，导数在微观经济学中的应用非常广泛。

微观经济学研究个体经济行为和市场机制，其中涉及到决策问题，如消费者的最优消费和生产者的最优生产。

通过对相关变量的导数进行分析，经济学家可以计算边际收益、边际成本和边际效用等，并通过比较边际量的大小来做出最优决策。

其次，导数在宏观经济学中也起着重要的作用。

宏观经济学研究国家、地区或全球整体经济的运行和调控，涉及到经济增长、通货膨胀、失业率等宏观变量的分析。

导数可以帮助经济学家计算出产量、物价和就业水平的变化率，进而观察宏观经济现象的发展趋势和影响因素。

导数在经济数据分析中也扮演着重要的角色。

通过对经济数据进行回归分析，经济学家可以利用导数计算出变量之间的弹性和敏感度，从而解释不同因素对经济现象的影响程度，并为决策者提供政策建议。

此外，导数还在经济学中的优化问题中有着广泛的应用。

经济学家经常需要解决最大化或最小化的问题，如企业的利润最大化和社会福利的最大化。

通过对相关变量的导数进行求解，可以找到最优解，并确定在给定约束条件下的最优决策。

综上所述，导数在经济数学中具有重要的应用。

它在微观经济学和宏观经济学中帮助我们理解和解决各种经济问题，促进经济决策的优化，并为经济现象的分析和预测提供了有力的工具。

经济学家利用导数来引导经济发展，为经济社会的繁荣做出贡献。

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