人教A版数学必修二同步作业：第3章 直线与方程 作业25
人教版高中数学必修2同步单元练习配套练习资料第三章直线与方程(内含详解)
第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．234．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a.3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或15．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________.6． 直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．答案1．A 2．A 3.B 4.D 5．52 6．2 －987．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t .∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， 故四边形OPQR 为矩形． 9．B 10．平行或重合 11．(－19，－62) 12．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知：A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.3.2.2 直线的两点式方程一、基础过关1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝05．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________________． 6．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是______________．7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程． 8．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程． 二、能力提升9．直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1在同一坐标系中的图象可能是( )10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是() A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝011．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．三、探究与拓展13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．答案1．D 2.B 3.B 4.B 5.x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 6.x 2＋y 6＝1 7．解 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b .∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b .令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6.因此直线l 的方程为y ＝6x ±6.8．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1， 即7x －y －11＝0，化为截距式方程为 x 117－y11＝1. 9．B 10．D 11．(0,1)12．解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1， ∴AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线的方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4).∴BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线的方程为2x ＋y ＋6＝0.13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0.当直线l 不过原点时，设其方程为x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b ＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0.故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.3.2.3 直线的一般式方程一、基础过关1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________． 7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．二、能力提升9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足() A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________．12．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．三、探究与拓展13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．答案1．D 2.D 3.A 4.A5．－4156．0或－17．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 8．解 设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C3.由三角形面积为6，得|C2AB|＝12，∴A ＝±C4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0，所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．C 10．D 11．x －y ＋1＝012．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 6．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.8．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程． 二、能力提升9．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.3.3.2 两点间的距离一、基础过关1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于 ( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．42C ．2 5D ．2103．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55． 已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______． 6．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 二、能力提升9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0 D.⎝⎛⎭⎫0，225 10．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝011．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．12．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形． 三、探究与拓展13．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．答案1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1， 当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0. 综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 8．证明 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ， 又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 9．B 10．A 11．2612．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)． 设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．13．解 设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0， 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋 转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程． 三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|. 解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0. 13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.章末检测一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为 ( )A ．－3B ．－6C ．－32 D.233．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A.52B.25 C ．10 D ．－10 4．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝05．实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．12 6．点M (1,2)与直线l ：2x －4y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．M ∈l B ．M ∉l C ．重合D ．不确定 7．直线mx ＋ny －1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )A ．mn >0B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <08．若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≤34或k ≥43B ．k ≤－43或k ≥－34C.34≤k ≤43D ．－43≤k ≤－349．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．2410．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 11．直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝112．过点A ⎝⎛⎭⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6二、填空题13．若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________. 14．甲船在某港口的东50 km ，北30 km 处，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________．15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，则yx 的最大值为________．三、解答题17．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．18．求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．19．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．20．如图，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．21．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．22．某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m 2)．答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B 13．－2或4或6 14．60 km15．－2316．217．解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18．解 设直线l 2上的动点P (x ，y )，直线l 1上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、Q 两点关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧|3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)． ∴直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.19．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5.∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)． ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.即5x －2y －5＝0.20．解 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.21．解 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.22．解 在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x 30＋y20＝1，设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x3，则长方形的面积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)． 化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)．当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2.。
高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案
例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
− − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −
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− −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − y = √[x − (−1)] 2 + [0 − (−1)] 2 + √(x − 3)2 + (0 − 2)2 ,
例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有
整合新课标人教A版必修二第三章 直线与方程 练习 精品
第三章 单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分， 共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线x ＝2015的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0° B ．等于180° C ．等于90° D ．不存在2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝03．已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (4，3)，若M 是BC 边的中点，则中线AM 的长为( )A ．4 2 B.13 C ．2 5 D ．2134．若光线从点P (－3，3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( )A ．10B ．5＋17C ．4 5D ．2175．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝06．直线5x －4y －20＝0在x 轴上的截距，在y 轴上的截距和斜率分别是( )A ．4，5，54B ．5，4，54C ．4，－5，54D ．4，－5，457．若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( )A ．(3，5)B ．(－3，5)C ．(－3，－5)D ．(3，－5)8．如图D31所示，直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像应该是( )图D319．若直线3x ＋y －3＝0与直线6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.213 13C.526 13D.72010 10．点P (7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5，6) B ．(2，3) C ．(－5，6) D ．(－2，3)11．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π2 12．已知△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( )A. 3 B ．1＋22C ．1＋33D. 2 请将选择题答案填入下表：二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________．14．已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点________． 15．过点(－2，－3)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________．16．已知点A(1，－1)，点B(3，5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．18．(12分)求过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程．(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．19．(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2，2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．20．(12分)已知△ABC中，A点坐标为(0，1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．21．(12分)若光线从点Q(2，0)发出，射到直线l：x＋y＝4上的点E，经l反射到y轴上的点F，再经y轴反射又回到点Q，求直线EF的方程．22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图D32所示)．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．图D32参考答案1．C2．A[解析] 设直线的方程为x－2y＋b＝0，将点(1，0)代入得b＝－1，所以直线方程为x－2y－1＝0.3．C [解析] 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，即点M 的坐标为(1，1)，故|AM|＝（1＋1）2＋（1－5）2＝2 5.4．C [解析] Q(－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42＋82＝4 5.5．B [解析] 本题可采用排除法，显然不能选择A ，C.又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为125，故不能选择D ，所以答案为B.6．C [解析] 直线5x －4y －20＝0可化为x 4－y 5＝1或y ＝54x －5，易得直线在x 轴，y轴上的截距分别为4，－5，斜率为54.7．C [解析] 方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理为m(2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.故P(－3，－5)．8．B [解析] ∵ab≠0，∴可把l 1和l 2的方程都化成斜截式， 得l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，∴l 1的斜率等于l 2在y 轴上的截距．∵C 中l 1的斜率小于0，l 2在y 轴上的截距大于0；D 中l 1的斜率大于0，l 2在y 轴上的截距小于0，∴可排除C ，D 两选项．又∵l 1在y 轴上的截距等于l 2的斜率的相反数，∴可排除A.9．D [解析] 因为直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，所以m ＝2，所以它们之间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－3－1232＋12＝720 10. 10．C [解析] 设Q 点坐标为(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4m －7×65＝－1，6×m ＋72－5×n －42－1＝0，解得m ＝－5，n ＝6，所以点P(7，－4)关于直线l ：Q 的坐标是(－5，6)．11．B [解析] 如图所示，直线2x ＋3y －6＝0过点A(3，0)，B(0，2)，直线l 必过点C(0，－3)，当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而可得直线l 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎫π6，π2.12．A [解析] 只有当直线x ＝a 与线段AC 相交时，x ＝a 才可将△ABC 分成面积相等的两部分．S △ABC ＝12×3×3＝92，设x ＝a 与AB ，AC 分别相交于D ，E ，则S △ADE ＝12×a ×32a ＝12×92，解得a ＝3(负值舍去)． 13．x ＝12或x －3y ＋1＝0 [解析] 易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，显然直线x＝12满足条件．当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0，因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k|4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.14.⎝⎛⎭⎫12，－16 [解析] 由a ＋2b ＝1得a ＝1－2b ，所以(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0， 即b(1－2x)＋x ＋3y ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16，故直线必过定点⎝⎛⎭⎫12，－16. 15．x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0 [解析] 当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0＝0.16．(2，2) [解析] 易知当点P 为直线AB 与直线y ＝x 的交点时，|PA|＋|PB|的值最小．直线AB 的方程为y －5＝5－（－1）3－1(x －3)，即3x －y －4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标为(2，2)．17．解：(1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°x ，即3x －y －2＝0.(2)设直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，令y ＝0得x ＝2 33；令x ＝0得y ＝－2.所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×2×2 33＝2 33，故所求三角形的面积为2 33.18．解：联立{x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点坐标为(0，2)．(1)因为直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行，所以k ＝34， 故直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.(2)因为直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直，所以k ＝35， 故直线l 的方程为3x －5y ＋10＝0.19．解：由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0，∵点Q(2，2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak|k 2＋1＝1，①又∵直线l 1的方程为y ＝－k(x －a)，且直线l 1过点P(－3，3)，∴ak ＝3－3k.②由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程 4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.20．解：由已知易得直线AB 的斜率为2，∵A 点坐标为(0，1)，∴AB 边所在的直线方程为2x －y ＋1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故直线AB 与AC 边上的中线的交点为B ⎝⎛⎭⎫12，2. 设AC 边中点D(x 1，3－2x 1)，C(4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，∴由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝4－2y 1，2（3－2x 1）＝1＋y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1， ∴C(2，1)，∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y －7＝0， AC 边所在的直线方程为y ＝1.21．解：设Q 关于y 轴的对称点为Q 1，则Q 1的坐标为(－2，0)．设Q 关于直线l 的对称点为Q 2(m ，n)，则QQ 2的中点G ⎝⎛⎫m ＋22，n 2在直线l 上． ∴m ＋22＋n2＝4，①又∵QQ 2⊥l ，∴nm －2＝1.②由①②得Q 2(4，2)．由物理学知识可知，点Q 1，Q 2在直线EF 上，∴k EF ＝kQ 1Q 2＝13.∴直线EF 的方程为y ＝13(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0.22．解：(1)①当k ＝0时，此时点A 与点D 重合，折痕所在的直线方程为y ＝12；②当k≠0时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为G(a ，1)， 所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，有k OG ·k ＝－1⇒1a ·k ＝－1⇒a ＝－k ， 故点G 的坐标为G(－k ，1)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标(线段OG 的中点)为P ⎝⎛⎭⎫－k 2，12， 折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12. 综上所述，折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12. (2)当k ＝0时，折痕的长为2；当－2＋3≤k<0时，折痕所在的直线交BC 于点M ⎝⎛⎭⎫2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ⎝⎛⎭⎫0，k 2＋12，∵|MN|2＝22＋⎣⎡⎦⎤k 2＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4×(7－4 3)＝32－16 3， ∴折痕长度的最大值为32－16 3＝2(6－2)．而2(6－2)>2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
2016-2017学年高一人教A版数学必修二：第三章 直线与方程 复习+练习 Word版含答案
第3章 直线与方程一、倾斜角与斜率 知识要点：1．当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．则直线l 的倾斜角α的范围是0≤＜απ．2．倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=．如果知道直线上两点1122()()P x y P x y ，，，，则有斜率公式2121y y k x x -=-．特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0．注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合．当α=0°时，斜率k =0；当090＜＜α︒︒时，斜率0＞k ，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180＜＜α︒︒时，斜率0＜k ，随着α的增大，斜率k 也增大．这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题．例1已知过两点22(23)A m m +-，，2(32)B m m m --，的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．解：∵202232tan 4512(3)m mm m m --==+---，∴2320m m ++=，解得1m =-或2-． 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去．∴2m =-．例2已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (－2，－9a )在一条直线上，求实数a 的值．解： 72533AB k a a-==--，7(9)793(2)5BC a a k --+==--．∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴AB BC k k =，即57935aa +=-，解得2a =或29a =．二、两条直线平行与垂直的判定 知识要点：1．对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =； （2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-．2．特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴．例1四边形ABCD的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状．解：AB 边所在直线的斜率AB k ==，CD 边所在直线的斜率CD k ==，BC 边所在直线的斜率BC k ==，DA 边所在直线的斜率DA k ==∵AB CD BC DA k k k k ==，，∴AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形．又∵2(1AB BC k k =⨯=-， ∴AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形．例2已知ABC ∆的顶点(2,1)(6,3)，B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵,AC BH AB CH ⊥⊥，∴11AC BHAB CHk k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，解之得：1962x y =-⎧⎨=-⎩．∴A 的坐标为(19,62)--．例3（1）已知直线1l 经过点M （－3，0）、N （－15，－6），2l 经过点R （－2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？ （2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （－2，－1）、Q （3，－6），问1l 与2l 是否垂直？解：（1）10(6)13(15)2l k --==---，235122202l k -==--，∴12l l k k =，∴1l ∥2l ． （2）1tan 451l k =︒=，11(6)123l k ---==---，∴121l l k k ⋅=-，∴1l ⊥2l ． 点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =⇒，12121k k l l ⋅=-⇒⊥．斜率不存在时，进行具体的分析．由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直．三、直线的点斜式方程 知识要点：1．点斜式：直线l 过点000()P x y ，，且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-． 2．斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+．3．点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线，若直线l 过点000()P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =． 4．注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000()P x y ，，后者才是整条直线． 例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30．解：（1）54(2)y x -=-； （2）tan3013)∵k y x =︒=+=-． 例2已知直线31y kx k =++．（1）求直线恒经过的定点；（2）当33≤≤x -时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-．（2）由题意得(3)3103310＞＞k k k k -++⎧⎨++⎩，解得16＞k -．例3光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k 2A B =6423+--=－2．故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0．点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称，光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题．注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透． 例4已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．∵直线l 经过点(5,4)P --，∴可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y kx +=+．则直线l 在x 轴上的截距为45k -，在y 轴上的截距为54k -．根据题意得14|5||54|52k k--=，即2(54)10||k k -=．当0＞k 时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得122855，k k ==；当0＜k 时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解．故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或84(5)5y x +=+．即25100x y --=或85200x y -+=． 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解．而直线在坐标轴上的截距，可正可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距．四、直线的两点式方程 知识要点：1．两点式：直线l 经过两点111222()()P x y P x y ，，，，其方程为112121y y x x y y x x --=--． 2．截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=．3．两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线．4．线段12P P 中点坐标公式1212()22x x y y ++，．例1已知△ABC 顶点为(28)(40)(60)A B C -，，，，，，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程．解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得044044y x -+=-+，即240x y -+=． 例2菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C （4，0），B （0，3），D （0，－3）． 由截距式，得直线AB 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y+＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程：43x y+--＝1， 即3x ＋4y ＋12＝0； 直线CD 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y －12＝0．五、直线的一般式方程 知识要点： 1．一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B不同时为0．直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线．2．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为0Ax By C '++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为0Bx Ay C '-+=．过点00()P x y ，的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=．经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=．3．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210AB A B ⇔-≠． 如果2220A BC ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠． 例1已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l ．解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0．（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--， 解得m ＝1．例2已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程．解：直线l ：3x +4y －12=0的斜率为34-，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），∴所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程．此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得．六、两条直线的交点坐标 知识要点：1．一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合． 2．方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点．例1判断下列直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．直线l 1：1nx y n -=-，l 2：2ny x n -=．解：解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合．当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-，l 1与l 2相交．∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21()11n n n n ---，． 例2求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程． 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=． ∵平行于直线4370x y --=，∴(2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=，则所求直线方程为4360x y --=．七、两点间的距离 知识要点：1．平面内两点111()P x y ，，222()P x y ，，则两点间的距离为：12||PP ．特别地，当12P P ，所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12P P ，所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12P P，在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x -． 2．坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．例1在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(58)M ，的距离为5，并求直线PM 的方程． 解：∵点P 在直线20x y -=上，∴可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得：22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即，解得3225a a ==或，∴3264(2,4)()55P 或，． ∴直线PM 的方程为858548258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或． 例2直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值． 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点， 设()A a b '，，则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段||A B '== 例3已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy ． 设点A(a ，b )、B (－c ，0)、C (c ，0)，由两点间距离公式得：|AB |AC |AO ，|OC |=c ． ∴|AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++，|AO |2＋|OC |2=222a b c ++． ∴|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．八、点到直线的距离及两平行线距离 知识要点：1．点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2．利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-．这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==． 例1求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=，整理得(31)(3)100x y λλ++--=．由点到直线的距离公式可知，1d ==，解得3λ=±． 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或．例2在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离．解：直线方程化为450x y --=， 设2(,4)P a a ，则点P 到直线的距离为 222d ==．当12a =时，点1(,1)2P例3求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3．解：由点线距离公式，得d =．假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=．∵248417361400＜∆=-⨯⨯=-，∴21748360m m ++=无实根．∴3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在反证法思路的运用， 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解．从而假设不成立，即距离不等于3．另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=． 由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-．所以直线L 恒过定点(2,2)Q -．点P 到直线L 取最大距离时，PQ ⊥L ，即最大距离是PQ 3，∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点，由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大．本章总结：。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
高中数学新课标人教A版必修二第三章 直线与方程同步经典习题
高中数学新课标人教A版必修二第三章直线与方程同步经典习题==本文档为word格式，下载后可随意编辑修改！==3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率基础达标1．直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()．A．0°≤α≤90°B．90°≤α＜180°C．90°≤α＜180°或α＝0°D．90°≤α≤135°2．(临沂一中期末)已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为()．A．60°B．120°C．30°D．150°3．斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()．A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝34．如果过点(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．5．(济南高一检测)若过P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为0°，则a＝________．6．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．7．(1)已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l2的斜率k2.(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．能力提升8．(温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()．A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．10．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．7．已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2)．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值．能力提升8．已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m 的值为()．A．1 B．0 C．0或2 D．0或19．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)、D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________．10．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？a．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1＞k2，b1 ()．)．绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为射到y轴上，反射后经过点B(4，－3)，则反射光线所在直线的方程为且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O在这样的直线满足下列条件：；(2)△AOB的面积为6.3．2．3直线的一般式方程基础达标1．若ac＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()．2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是()．4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0相互垂直，则实数m＝________．5．已知A(0，1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．6．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．7．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值． (1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．能力提升8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是 ( )． A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎨⎧m ＝1n ≠－1D.⎩⎨⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1，n ≠19．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．10．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．1)是此直线上的三点，5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，，无解． BC ＝2a －（－a ），，由题意得，A、Q、B′三点共线．AB′＝－13.设Q(0，y)，则k入＝为坐标原点，BC、BA所在直线分别为D(5，3)，A(0，3)．设点M直线的方程直线的点斜式方程a根据点斜式方程，得其斜率与在y轴上的截距同号．答案 B．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1＞k2，b1 ()．b1＞b2，不合题意；在选项D中，k1＜k2－1＝23(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________代入直线y－1＝23(x＋5)成立，即点(－5，1)在直线，1)与直线y－1＝23(x＋5)平行的直线不存在．不过第三象限，则斜率k的取值范围是________y＝2不过第三象限；当k＞0时，直线过第三象限；时，直线不过第三象限．答案(－∞，0](1)当a＞0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在yC，D都不成立；时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；两直线的方程分别化为斜截式：y＝nm x－n，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相射到y轴上，反射后经过点B(4，－3)，则反射光线所在直线的方程为轴的对称点A′(－1，2)，又A′在反射线上，由两点式方程得＜0，bc＜0，∴abc2＞0，∴ab＞0，∴斜率k＝－ab＜0，又纵截距－且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．，在y轴上截距b1＝b，直线l2的斜率＝－b＜0，b＞0，对C，k1＝a＜0，，均产生矛盾，故选B.答案 B2x＋my－6＝0相互垂直，则实数由题意知直线的斜率均存在，且12×⎝⎛⎭⎪⎫－2m＝－1.∴m＝1l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线又两直线垂直，得2a－4×5＝0，③由①②③得，a＝10，m＝－2，b＝－12.答案10－12－2，1）2＝5，5.且平行于AB的直线。
高中数学 第三章 直线与方程测试题 新人教A版必修2(2021年最新整理)
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x y O x y O x y O xyO第三章直线与方程一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若三点A (3，1），B （－2， b )，C (8,11）在同一直线上,则实数b 等于( ）A ．2B ．3C ．9D ．－92. 若直线l 1:y=k （x —4）与直线2l 关于点（2，1)对称,则直线2l 恒过定点（ ）A ．(0，2）B ．（0，4）C ．（－2,4)D ．（4，－2） 3.过点(2,0)P -,且斜率为3的直线的方程是（ ）A 。
32y x =- B. 32y x =+ C 。
36y x =- D 。
36y x =+ 4. 直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是 （ ) A ．相交B ．平行C ．重合D ．异面5。
直线01025=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A. a =2，b =5 B 。
a =2，b =—5 C 。
a =—2,b =5 D.a =-2,b =-56。
已知方程||x a y =和a x y +=)0(>a ，所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是 （ ）A ．1>aB ．10<<aC ．10<<a 或1>aD ．φ∈a 7。
人教A版数学必修二同步作业：第3章 直线与方程 作业
课时作业(二十)1．两条不重合直线，其平行的条件是( ) A ．斜率相等 B ．斜率乘积等于－1 C ．倾斜角相等 D ．倾斜角的绝对值等于90°答案 C解析 当直线垂直于x 轴时，倾斜角为90°，斜率不存在，所以只要倾斜角相等，两条直线平行．2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 l 1：经过两点(－1，2)，(－1，4)，倾斜角为90°， 又∵l 1∥l 2，∴l 2倾斜角也为90°，∴x ＝2.3．直线l 1，l 2的斜率分别为－1a ，－23，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32 答案 A解析 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，∴(－1a )·(－23)＝－1，∴a ＝－23，选A.4．若点P(a ，b)与Q(b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 B解析 由题意知k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，k l ·k PQ ＝－1，∴k l ＝1，即l 的倾斜角为45°.故选B.5．(2019·陕西榆林高一测试)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直 D ．垂直 答案 D解析 由韦达定理知，x 1x 2＝－1，∴l 1与l 2垂直．6．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－k 2，0)和点N(0，k4)的直线位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合答案 C解析 ∵k EF ＝1－01－（－1）＝12，k MN ＝k4－00－（－k 2）＝k 4k 2＝12，∴选C.7．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°答案 B8．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1，3)，(5，7)，(10，12) B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C ．(0，2)，(2，5)，(3，7) D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案 C解析 分别计算第一点与第二点连线及第二点与第三点连线的斜率．9．过点(0，73)与点(7，0)的直线l 1，过点(2，1)与点(3，k ＋1)的直线l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( ) A ．3 B ．－3 C ．－6 D ．6答案 A解析 由题意知kl 1＝0－737－0＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k ，l 1⊥l 2，即kl 1·kl 2＝－1，解得k ＝3.故选A.10．已知直线l 经过点(3，2)和(m ，n)．①若l 与x 轴平行，则m ，n 的取值情况是________； ②若l 与x 轴垂直，则m ，n 的取值情况是________． 答案 ①m ≠3，n ＝2 ②m ＝3，n ≠2.11．直线l 平行于经过点A(－4，1)，B(0，－3)的直线，则l 的倾斜角为________． 答案 135°解析 由题意知k AB ＝－3－10－（－4）＝－1，∴直线AB 的倾斜角为135°，又直线l 平行于直线AB ，∴直线l 的倾斜角为135°.12．在▱ABCD 中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，则点D 坐标为________． 答案 (3，6)13．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD. 答案 ①④ 解析 ∵k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k AC ＝6－212－（－4）＝14，k CD ＝12－62－12＝－35，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，故填①④.14．已知A(1，－a ＋13)，B(0，－13)，C(2－2a ，1)，D(－a ，0)四点．(1)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 平行？ (2)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？解析 k AB ＝－13－（－a ＋13）0－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －（2－2a ）＝12－a (a ≠2)．(1)直线AB 与直线CD 平行，则k AB ＝k CD ， ∴－a 3＝12－a ，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0－（－13）－3－0＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行不重合．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13＝k AB ，∴AB 与CD 重合．当a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在．∴AB 与CD 不平行．综上所述，当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行． (2)直线AB 与直线CD 垂直，则k AB k CD ＝－1， ∴－a 3·12－a ＝－1，解得a ＝32.当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．综上所述，当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．15．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t ，2＋t)，R(－2t ，2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状并给出证明． 解析 四边形OPQR 为矩形，证明如下： OP 边所在直线斜率k OP ＝t. QR 边所在直线的斜率k QR ＝t. OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t.PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝（2＋t ）－t （1－2t ）－1＝－1t .∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ. ∴四边形OPQR 为平行四边形．又∵k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR.∴四边形OPQR 为矩形．16．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值． 解析 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·(－m ＋13)＝－1，所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2，3.1．下列说法中不正确的是( )A ．若两条不重合直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等C ．若两条不重合直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案 B解析 不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行；两条直线平行，斜率不一定相等，当两条直线斜率不存在时，两条直线仍平行．2．(2019·广东肇庆期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形答案 C解析 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，则AB ⊥AC.故选C.3．不重合直线l 1和l 2的斜率分别是一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的两个根，那么l 1和l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．不平行 D ．无法判断 答案 A解析 ∵k 1＝k 2＝2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B解析 由于k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．5．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________． 答案 －326．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求顶点D 的坐标．解析 由题意可得矩形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，设D 的坐标为(x ，y)． ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC . ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴顶点D 的坐标为(2，3)．由Ruize收集整理。
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.2 Word版含答案
3.2.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案y －y 1＝y2－y1x2－x1(x －x 1)，即y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1.思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用x5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x5＋y7＝1. 思考2已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x1＋x22，y ＝y1＋y22.类型一直线的两点式方程例1已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解(1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M (52，－3)， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程． 解k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为(52，－3)，由点斜式方程可得y ＋3＝52(x －52)，即10x －4y －37＝0.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标． 跟踪训练1若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二直线的截距式方程命题角度1与三角形有关的直线方程例2过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是() A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0 答案A解析设所求的直线方程为xa ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为xa ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．跟踪训练2直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．解设直线l 的方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a2＋b2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，b1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a2＝125，b2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0. 命题角度2判断直线的条数例3过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条 答案B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为xa ＋yb＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a|＝|b|，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．跟踪训练3过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有() A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数多条 答案B解析设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为xa ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 类型三直线方程的应用例4设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．反思与感悟(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解． (2)根据斜率和截距的取值列式求解． 跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程． 解直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.1．直线x－2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为()A ．2,3B ．－2，－3C ．－2,3D ．2，－3 答案B2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2 答案A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2， 整理得y ＝x ＋3.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为() A ．x ＝2B ．y ＝2 C ．x ＝3D ．x ＝6 答案B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________． 答案2x －y ＋1＝0解析AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1， 即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为xa ＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限； 当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程xa ＋yb＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示 答案D解析斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则() A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限 答案B解析依题意知，直线l 的截距式方程为x－a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线xa2－yb2＝1在y 轴上的截距是()A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0 答案B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是() A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案B解析设直线方程为xa ＋y－a ＝1或y ＝kx ，将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32.所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB 的直观图如图所示，若O ′A ′＝O ′B ′＝1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为()A ．x ＋y ＝1B ．x －y ＝1C ．x ＋y2＝1D ．x －y2＝1答案D解析由斜二测画法可知在直角坐标系中，A (1,0)，B (0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x －y2＝1.7．两条直线l 1：xa －yb ＝1和l 2：xb －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y－b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．二、填空题8．已知直线xa ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．答案±2解析由xa ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2.9．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______． 答案x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.10．过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为________． 答案x ＝3y ＝－211．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是__________________________________________________________． 答案x2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)． 则l 的方程为x2＋y6＝1.三、解答题12．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 解设所求直线方程为xa ＋yb ＝1.∵直线过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b ＝1，①于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋52，y0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋72，y0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x0＋52＝0，得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y0＋32＝0， 所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1， 即5x －2y －5＝0.四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________． 答案x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0解析因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x0＋12－y0＋22＋3＝0，y0－2x0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
故点P的坐标为(0,-7).
答案:(0,-7)
10.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m=.
解析:直线方程可化为 - =1,
所以- ×4=3,所以m=- .
答案:-
11.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为.
所以l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
答案:2x-3y=0或x+y-5=0
13.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k= =2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
从而有点B在直线BD上,点E在直线CE上,
故可得方程组 解得
从而B(6,4).
设C(x2,y2),则D( , ),
同理可得方程组 解得 从而C(5,0).
故有直线BC的方程是4x-y-20=0.
16.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么b的取值范围是( C )
(A)[-2,2](B)(-∞,-2]∪[2,+∞)
高中数学人教A版必修2习题第3章 直线与方程3.2.3 Word版含解析
第三章一、选择题．(·南安一中高一检测)直线－＋＝的倾斜角是( )．°．°．°．[答案][解析]由－＋＝，得＝＋.其斜率为，倾斜角为°.．(·葫芦岛高一检测)已知直线：＋－＝与直线：－＝平行，则实数的值为( )．－．．．－[答案][解析]∵∥，∴×(－)－＝，∴＝－.．直线－－＝在轴、轴上的截距分别是( )．，－．，．，－．，－[答案][解析]将－－＝化成截距式为＋＝，故该直线在轴、轴上的截距分别是，－.．若直线＋＋＝与直线＋－＝互相垂直，则的值为( )．．－．－．－[答案][解析]由题意，得(－)×(－)＝－，＝－.．直线垂直于直线＝＋，且在轴上的截距为，则直线的方程是( )．＋－＝．＋＋＝．＋－＝．＋＋＝[答案][解析]解法一：因为直线与直线＝＋垂直，所以设直线的方程为＝－＋，又在轴上截距为，所以所求直线的方程为＝－＋，即＋－＝.解法二：将直线＝＋化为一般式－＋＝，因为直线垂直于直线＝＋，可以设直线的方程为＋＋＝，令＝，得＝－，又直线在轴上截距为，所以－＝，即＝－，所以直线的方程为＋－＝.．直线：(＋)－(－)－＝恒过定点( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()[答案][解析]由(＋)－(－)－＝，得(－－)＋＋＝，由(\\(－－＝＋＝))，得(\\(＝＝－)).∴直线过定点(，－)．二、填空题．若直线：＋(＋)＋＝与直线：＋－＝平行，则的值为[答案]或－[解析]若＝－，则的斜率不存在，的斜率为，此时与不平行；若≠－，则的斜率为＝－，的斜率为＝－.因为∥，所以＝，即－＝－，解得＝或－.经检验均符合题意．．若直线(－)＋＋＝不经过第一象限，则的取值范围是[答案][解析]直线方程可化为＝(－)－，∴－≤，∴≥.三、解答题．求与直线－＋＝平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程[解析]解法一：由题意知：可设的方程为－＋＝，则在轴、轴上的截距分别为－，.由－＋＝知，＝－.∴直线的方程为：－－＝.解法二：设直线方程为＋＝，由题意得(\\(＋＝，,－()＝().))解得(\\(＝＝－)).∴直线的方程为：＋＝.即－－＝.．设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别确定实数的值()在轴上的截距为－；()斜率为.[解析]()令＝，依题意得(\\(－－≠①,(－－－)＝－②))由①得≠且≠－；由②得－－＝，解得＝或＝－.。
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课知识点一两直线的交点坐标已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：知识点二两直线的位置关系知识点三(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22).(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.类型一直线恒过定点问题例1 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．方法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y －y0＝k(x －x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．跟踪训练1 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________________．答案 (9，－4)解析 方法一 取m ＝1，得直线y ＝－4.取m ＝，得直线x ＝9.故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4)．将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m－1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)．方法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，∵对任意m 该方程恒成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，故直线恒过定点(9，－4)． 类型二 对称问题例2 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a ，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 解 (1)根据题意可知点A(a ，b)为PP ′的中点， 设P′点的坐标为(x ，y)，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x0，y ＝2b －y0.所以点P′的坐标为(2a －x0，2b －y0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y)， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x ，－2－y)， 且M1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)， 点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)． 可得直线A1B1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P 对称，则：①l1上任意一点关于点P 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P 的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P 到直线l1，l2的距离相等；③过点P 作一直线与l1，l2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0 答案 D解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.例3 点P(－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)答案 B解析 设对称点坐标为(a ，b)，由题意，得⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得即Q(－2,5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求P(x0，y0)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P′(x，y)时，利用－\f(A,B)＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f(y0＋y,2)＋C ＝0))可以求P′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l 对称，①l1上任意一点关于直线l 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l 的对称点必在l1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l1，l2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练3 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b)， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ∴点A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又∵反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x≤)． 类型三 运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝b－02＋c－02)＝，|BD|＝a－b－a2＋c－02)＝.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．2 B．4C ．5 D.17答案 D解析 由题意知解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P(4,1)，则|OP|＝＝.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6 答案 B解析 将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.3．当a 取不同实数时，直线(2＋a)x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．答案 (－1，－2)解析 直线方程可写成a(x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．4．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 答案 x －y ＋1＝0解析 线段PQ 的垂直平分线就是直线l ， 则kl·kPQ＝kl·＝－1，得kl ＝1，PQ 的中点坐标为(2,3)， ∴直线l 的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.5．已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明 直线l 的方程可化为y －＝a(x －)，所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A(，)， 又点A 在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限． (2)解 令x ＝0，y ＝， 由题意，≤0，解得a≥3.所以a 的取值范围为[3，＋∞)．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．2．有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有－\f(A,B)＝－1，,A·\f(a ＋m,2)＋B·\f(b ＋n,2)＋C ＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．课时作业一、选择题1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B解析 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.2．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( )A．m≠－1且m≠3B．m≠－1且m≠－3C．m≠1且m≠3D．m≠1且m≠－1答案A解析两线相交，其系数关系为1×3－m(m－2)≠0，解得m≠3且m≠－1.3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A．5 B．25C．5 D．105答案C解析点A(－3,5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)．光线从A到B的距离是|A′B|＝－3]2＋[10－－5]2)＝5.4．已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是( )A．(－2，－3) B．(2,1)C．(2,3) B．(－2，－1)答案C解析设点N的坐标为(x，x＋1)，∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，∴kMN·(－)＝－1，∴kMN＝2，即x＋1－－1,x－0)＝2，解得x＝2，故点N的坐标为(2,3)．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB|的值为( )A. B.175 C. D.115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ，由两点间的距离公式，得|AB|＝.6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0答案 A解析 由已知得A(－1,0)，P(2,3)， 由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.7．点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 A解析 ∵点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P(a ，b)在直线l 上，∴a＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.二、填空题8．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 答案 (－4，－1)解析 设对称点坐标为(x0，y0)，则－1＝－1，,\f(x0＋2,2)＋\f(y0＋5,2)＝1，))解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－4，y0＝－1.9．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________．答案 (6，－8)解析 ∵3a－4b ＝1，∴b＝a －，则直线ax ＋by －2＝0，可化为ax ＋(a －)y －2＝0，即为y ＋8＝a(4x ＋3y)，由得∴直线过定点(6，－8)．10．设a ＋b ＝k(k≠0，k 为常数)，则直线ax ＋by ＝1恒过定点________． 答案 (，)解析 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a)y ＝1，即a(x －y)＋ky －1＝0，若其对于任何a∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k ，y ＝1k .11．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．答案 (－，)解析 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即a ＋22＋a ＋4＋42)＝a －42＋a ＋4－62)，解得a ＝－，故P 点的坐标是(－，)．三、解答题12．已知两条直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.解 (1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝，n ＝－.(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，∴解得或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ＝20.(3)由l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l1的方程为8y ＋n ＝0，l2的方程为2x －1＝0，∴－8＋n ＝0，解得n ＝8，∴m＝0，n ＝8.而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知，m ＝0，n ＝8.13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x －3y ＋10＝0和l2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．解 方法一 过点M 与x 轴垂直的直线显然不符合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，则解方程组和⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得xA ＝，xB ＝.由题意得＋＝0，∴k＝－，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t)－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即A(－4,2)，B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.四、探究与拓展14．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析当直线4x＋y＝4与直线mx＋y＝0平行时，m＝4；当直线4x＋y＝4与直线2x－3my＝4平行时，－4＝，即m＝－；当直线mx＋y＝0与直线2x－3my＝4平行时，－m＝，无解；当三条直线交于一点时，联立解得代入2x－3my＝4，解得m＝或m＝－1.综上所述，满足条件的m值有4个．15．已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．解(1)因为＝5，＝－2，所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝＝－，所以AB的中垂线的斜率为，故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)即3x－4y－23＝0.(2)由(1)知kAB＝－，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.(3)设B(2,2)关于直线l的对称点B′(m，n)，由⎩⎨⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B′(－，－)，kB′A＝＝－，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
人教A版高中必修二试题第三章直线与方程同步单元测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新课标数学必修2第三章直线与方程测试题一、选择题（每题3分，共36分）1．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 2．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直3．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）（A ）2x －3y ＝0; （B ）x ＋y ＋5＝0;（C ）2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0 （D ）x ＋y ＋5或x －y ＋5＝04．直线x=3的倾斜角是（ ） A.0 B.2π C.π D.不存在 5．圆x 2+y 2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（ ）A.(－2,0),2B.(－2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),46．点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是（A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2）（D ）（3，-2） 7．点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是（A ）54 （B ）45 （C ）254 （D ）425 8．直线x - y + 3 = 0的倾斜角是（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°9．与直线l ：3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为（A ）3x ＋4y －5＝0 （B ）3x ＋4y ＋5＝0（C ）－3x ＋4y －5＝0 （D ）－3x ＋4y ＋5＝010．设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系（ ）（A ）平行； （B ）重合； （C ）垂直；（D ）相交但不垂直11．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，C AB P 那么l 的斜率为（ ）（A ）－;31（B ）－3; （C ）;31 （D ）3 12．直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）（A ）（0，0） （B ）（0，1）（C ）（3，1） （D ）（2，1）一、填空题（每题4分，共16分）13．直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 14．直线mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为15．如果三条直线mx +y +3=0,x -y -2=0,2x -y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个．．值是_______. 16．已知两条直线l 1：y ＝x ；l 2：ax －y ＝0（a ∈R ），当两直线夹角在（0，12π）变动时，则a 的取值范围为三、解答题（共48分）17. ABC ∆中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4求边BC 的长（6分）18．若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，求a 的值（6分）19．已知直线3x+y —23=0和圆x 2+y 2=4，判断此直线与已知圆的位置关系（7分）20．若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，求a 的值（7分）21．已知圆过点A(1，4)，B(3，—2)，且圆心到直线AB 的距离为10，求这个圆的方程（10分）22．如图，在∆ABC 中，∠C=90O ，P 为三角形内的一点，且PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，求证：│PA │2+│PB │2=5│PC │2（12分）答案：一、1.B2.B3.C4.B5.A6.D7.A8.B9.B10.C11.A12.C二、13．x y 34±= 14．mn 21 15．−1 16．（33，1）⋃（1，3） 三、17．提示：由已知条件，求出B 、C 两点的坐标，再用两点距离公式18．提示：三点共线说明AC AB k k =，即可求出a19．提示：比较圆的半径和圆心到直线的距离d 的大小，从而可判断它们的位置关系20．提示：斜率互为负倒数，或一直线斜率为0，另一直线斜率不存在21．提示：通过已知条件求出圆心坐标，再求出半径，即可，所求圆的方程为： （x+1）2+y 2=20或（x —5）2+（y —2）2=2022．提示：以边CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，，设A （0,a ）、B （0，b ），P 点的坐标为（x ，y ），由条件可知PCA PBC PAB S S S ∆∆∆===31ABC S ∆，可求出x=31a ，y=31b ，再分别用两点距离公式即可。
数学：新人教A版必修2同步训练及答案--《直线与方程》
第三章 直线与方程 单元测试一、选择题1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x2．若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）Ａ．21 Ｂ．21- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线在轴上的截距是（ ）A ．B ．2b - C ．D ．4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B C D 7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤二、填空题1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。
2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。
3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。
５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
2．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
数学人教A版必修二通用版练习：第三章直线与方程3-3-1、2
第三章 3.3 3.3.1、2A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为导学号 09024804( C )A ．2B ．1C ．5D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝错误!＝错误!.故选C ．2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于导学号 09024805( C )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝错误!＝错误!由5＝b2－2b ＋10解得b ＝－3或b ＝5．3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是导学号 09024806( A )A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于导学号 09024807( B)A ．－2B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ． 5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为导学号 09024808( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7．6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于导学号 09024809( C )A ．5B ．42C ．25D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝错误!＝错误!＝25．二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.导学号 09024810 [解析] 错误!＝错误!解得a ＝12． 8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.导学号 09024811[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23． 9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.导学号 09024812[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0．解法2：设所求直线方程为x a ＋y b＝1． 变形得bx ＋ay －ab ＝0．。
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课时作业(二十五)1．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( ) A.2677B.265C.245D.275答案 B2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．1或53D ．－3或173答案 D解析 由4＝|5×2－12×k ＋6|52＋122，即|3k －4|＝13.∴k ＝173或k ＝－3.3．平行线3x －4y －3＝0和6x －8y ＋5＝0之间的距离是( ) A.1110 B.85 C.157 D.45 答案 A4．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程为( ) A ．3x －4y ＋4＝0 B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －12＝0 C ．3x －4y ＋16＝0 D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 答案 D解析 设所求的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，则|C －1|5＝3，∴|C －1|＝15，∴C ＝16或－14.故选D.5．△ABC 的顶点A 的坐标为(3，－1)，直线l ：x －2y ＋1＝0是过点B 的一条直线，则AB 的中点D 到直线l 的距离为( ) A.355B.255C. 5D.455答案 A解析 D 到l 的距离是A 到l 距离的一半．6．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 方法一：设满足条件的点的坐标为(a ，b)．由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋3b －21＝0，|a|＝|b|，解得⎩⎨⎧a ＝2110，b ＝2110，或⎩⎨⎧a ＝214，b ＝－214.故满足条件的点有两个．方法二：到两坐标轴距离相等的点必在直线y ＝x 与y ＝－x 上，这两条直线均与7x ＋3y －21＝0相交．故选B.7．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2 D ．16答案 A解析 x 2＋y 2＝(（x －0）2＋（y －0）2)2，它表示原点到(x ，y)距离的平方，d min 即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d min ＝|0＋0－4|2＝22，∴d min 2＝8. 8．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55的点的集合是( ) A ．直线2x ＋y －2＝0B ．直线2x ＋y ＝0C ．直线2x ＋y ＝0或直线2x ＋y －2＝0D ．直线2x ＋y ＝0或直线2x ＋y ＋2＝0答案 D解析 该集合为两条平行直线，且分别位于直线2x ＋y ＋1＝0的两侧． 设点的集合为2x ＋y ＋c ＝0. ∴|c －1|＝1，∴c ＝0或c ＝2.9．若点(4，a)到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．(0，10) B ．[3，4]C ．[13，313]D ．(－∞，0)∪[10，＋∞)答案 C 解析 由|16－3a|42＋32≤3，即|3a －16|≤15，∴13≤a ≤313.10．(2019·苍南一中质检)若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.11．已知两条直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们的距离等于________． 答案72613 解析 将直线2x ＋3y －3＝0改写成4x ＋6y －6＝0， 则d ＝|1－（－6）|42＋62＝72613.12．过点A(2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________． 答案 2x ＋y －5＝0解析 如图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2.∴方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.13．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕点P ，Q 旋转并互相保持平行，求d 的取值范围．解析 由右图可知，当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝|PQ| ＝（－2－1）2＋（－2－3）2＝34，∴0<d ≤34.14．某直线过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P(0，4)到该直线的距离为2，求该直线的方程．解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1，l 2的交点为(1，2)．设所求直线方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0，4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴所求直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 方法二：(利用直线系)设经过l 1，l 2交点的直线方程为(2x ＋3y －8)＋λ(x －2y ＋3)＝0. 即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.① 由题意得|（12－8λ）＋3λ－8|（2＋λ）2＋（3－2λ）2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0， 解得λ＝－2或λ＝185代入①，得所求直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.15．已知△ABC 中，A(1，1)，B(m ，m)(1<m<4)，C(4，2)，求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？解析 ∵A(1，1)，C(4，2)，∴|AC|＝（4－1）2＋（2－1）2＝10. 又直线AC 方程为x －3y ＋2＝0，根据点到直线的距离公式，可得点B(m ，m)到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10.∴S ＝12|AC|·d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪（m －32）2－14. ∵1<m<4，∴1<m<2，－12<m －32<12.∴0≤(m －32)2<14.∴S ＝12[14－(m －32)2]．∴当m －32＝0，即m ＝94时，S 最大．故当m ＝94时，△ABC 的面积最大．1．已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线l 可作4条，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．0<a<1 C ．0<a ≤1D ．0<a<2答案 B解析 由于A ，B 到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线l 可作4条，所以过A ，B 中点的直线必有两条，又|AB|＝2，所以a 的值必小于1.故选B.2．过点P(1，2)引直线，使点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( ) A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0答案 D解析 ∵k AB ＝－4，线段AB 中点C(3，－1)，∴过P(1，2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意．过P(1，2)与线段AB 中点C(3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，此直线也符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.故选D.3．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0平行且距离相等，则l 的方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠3，c ≠－1)，分别在l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x －y ＋c ＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋（－1）2＝|1＋c|22＋（－1）2，解得c ＝1，故直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.4．若直线m 被两条平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________． ①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 答案 ①⑤解析 如下图所示．∴m 的倾斜角可以是α＝75°或β＝15°.5．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P 使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________． ①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.答案 ②③解析 可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析．①d ＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝2032＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝115＝1155>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③. 6．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0，7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，直线l 与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．解析 由l 平行于l 1，设l ：7x ＋8y ＋m ＝0， ∴d 1＝|9－m|49＋64，d 2＝|m ＋3|49＋64. ∵d 1d 2＝12，∴|9－m||m ＋3|＝12，∴m ＝5或m ＝21. ∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋5＝0或7x ＋8y ＋21＝0.1．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x>0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P(x ，x ＋4x)，x>0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x ＋x ＋4x 2＝2x ＋4x 2≥22x·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.2．(2014·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k)＝0，化简得(k －3)(5－k)＝0，∴k ＝3或5. 3．(2014·课标全国)点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.4．(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1，的解的情况是( )A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2使之有无穷多解答案 B解析 由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P 1，P 2是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则直线OP 1与直线OP 2不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1，一定有唯一解．5．(2013·辽宁)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若三角形OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析 若 ∠OAB 为直角，则根据点A ，B 的纵坐标相等，可得b ＝a 3；若∠ABO 为直角，则由k OB k AB ＝－1，得b －a 3－1a＝0.所以选C.6.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( ) A ．2 B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，则△ABC 的重心的坐标为(43，43)．设AP ＝x ，x ∈(0，4)，则P(x ，0)．由光的几何性质可知点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与点(43，43)共线，所以43－043＋x ＝43－（4－x ）43－4，解得x ＝43或x ＝0(舍去)．7．(2013·课标全国)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13] D ．[－13，12)答案 B解析 由题可得直线BC 的方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a>0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－b a ，0)，结合图形(图略)，知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a＋b)2＝a(a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a>0，∴b 21－2b>0，解得b<12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22.故选B. 8．(2013·安徽)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}答案 B 解析f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n的几何意义是指f(x)的图象上存在n 个点与坐标原点连线的斜率相等，即n 为过原点的直线与f(x)的图象的交点个数，由图可得n 的取值为2，3，4.故选B.9．(2014·安徽)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________． 答案 1解析 直线x －2y ＋5＝0的斜率为12，根据题意知，当m ＝0时，两直线不垂直，故m ≠0，则直线2x ＋my －6＝0的斜率为－2m .由两直线垂直得12×(－2m)＝－1，故m ＝1.10．(2014·浙江)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a ＝________． 答案 1＋ 2解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式得k AB ＝a 2－（－a ）2－1＝a 2＋a ，k BC ＝a 3－a 23－2＝a 3－a 2.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a ＝a 3－a 2. 解得a ＝0，1＋2，1－ 2.∵a>0，∴a ＝1＋ 2.由Ruize收集整理。