高三数学学业水平考试试题 文

揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A. A B ⊂≠B. B A ⊂≠C. A B B =D. A B =∅2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为A. 3B. 4C. 6D. －64．若(,3),(,2)a xb x ==-，则“x =a b ⊥”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++的值为A. 18B. 27C. 36D. 54 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //7．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A. 711 B. 117- C. 113- D. 1138．已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3，则点M 到双曲线左焦点的距离是A.4B.1)C. 1)D.89．在ABC ∆中,若1c =，a =23A π∠=，则b 为.俯视图左视图主视图A.1B.210．已知(){},|8,0,0,x y x y x y Ω=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投1个点P ，则点P 落入区域A 的概率为 A.14 B. 716 C. 34 D. 316二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为： 、P ⌝的真假为 .12．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数S= .第13题图第12题图13. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如上图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 上的点到直线220x y -+=的距离的最大值为 .15．(几何证明选讲选做题) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631频率F E乙DBA(2)求函数()f x 的单调增区间． 17．（本题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起， 使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积.18. （本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频图乙率分布直方图；（2）估计该校学生身高在165180cm 的概率；（3）从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。

19．（本题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>倍，1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且210PF PF ⋅=，12||||4PF PF ⋅=，求1F 、2F 的坐标； （2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF =，求动点Q 的轨迹方程．20.（本题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且131,()2n n S S n N *+=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ,求满足不等式3n n T S >的n 值. 21．（本题满分14分）已知函数()ln f x ax x =-.(a 为常数) （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 在[1,)+∞上的最值；（3）试证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<．揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)参考答案及评分说明一. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．一．选择题：BACBC BCDAD解析：2．22(1)112i z i i +===+-，选A. 3．由幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--得3111()()3282n n -=-=-⇒=，则目322log (4)log 46f ==,故选C.5．由35712a a a ++=得553124a a =⇒=，129a a a +++=1959()9362a a a +==，选C.7．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C.8．依题意可求得点M的坐标为(3,，左焦点1(4,0)F -,根据对称性只需求点到1(4,0)F -的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8，选D.9．由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-220b b ⇒+-=1b ⇒=，选A.10．由右图易得，满足条件A 的区域面积()6S A =,满足条件Ω的区域面积()32S Ω=,故所求的概率633216P ==,故选D. 二．填空题：11. 2,12x R x x ∀∈+≥、真；12．45；13.4；14.15. 15.12．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-= 13．有PA 与BC;PA 与DB;PA 与CD;PB 与AD;PD 与AB;PC 与DB 共6对互相垂直异面直线.F E乙DBA14．将曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=化为直角坐标方程得22(1)1x y -+=，易得所求最515+=. 15．解析：依题意，BC =，∴AC =5，2AD=.AB AC =15，∴AD =15三．解答题：16．解：（1）∵()cos f x x x ππ=+=1cos )2x x ππ+ =2sin()6x ππ+------------------------------------------------------------------------3分∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==--------------------------------------------------------4分又∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴22sin()26x ππ-≤+≤---------------------------------------------------------------------------6分∴函数()f x 的值域为{|22}y y -≤≤.----------------------------------------------------------7分 （2）由22262k x k ππππππ-≤+≤+，k Z ∈----------------------------------------------------9分得212233k x k -≤≤+，k Z ∈----------------------------------------------------------------11分∴函数()f x 的单调增区间为21[2,2]()33k k k Z -+∈------------------------------------12分17．解：（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即AB BD ⊥----------------------------------------------------------------------------------------2分 在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD .------------------------------------------4分 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC . -----------------------------------------------------6分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，--------------------------------------------------------7分∴13A BFE F AEB AEB V V S FE --∆==⋅-------------------------8分在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 由CD a =得2,BD a BC == ,1122EF CD a ==--------------------------10分男生样本频率分布直方图频率/cm65456345623456654321∴211222ABC S AB BC a ∆=⋅=⋅=∴22AEB S a ∆=∴231132212A BFE V a a a -=⋅⋅=-------------------------------------------12分18．解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.----2分频率分布直方图如右图示：--------------------------------------------------6分（2）由表1、表2知，样本中身高在165180cm 的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在165180cm的频率423705==f -------------------------------------------------------8分故由f 估计该校学生身高在165180cm的概率35=p .----------------------------9分（3）样本中身高在180185cm 之间的男生有4人， 设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥ 从上述6人中任取2人的树状图为：--12分故从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率93155p ==.---------------14分[或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、 （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6） 共15种，其中至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果有9种，故所求概率93155p ==]19．解：（1）依题意知a =-----------------①----------------------------------------------------------1分 ∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥， ∴()22222212248PF PF c (a b )b +==-=---------3分又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a +=，()22212884PF PF b a +=+=------②-----5分由①②得2262a ,b ==⇒2c =． ∴()120F -，、()220F ，---------------------------------------7分 （2）由已知1QF =，即2212QF QM =------9分∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1QM QF =-∴()221221QF QF =-------------------------------------------11分 设(,)Q x y ，则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=（或221220x y x +-+=）------------------------------------------------13分综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()22634x y -+=-------------------------------------14分 20．解：（1）解法1：由1312n n S S +=+得 当2n ≥时1312n n S S -=+ ∴113()2n n n n S S S S +--=- 即132n n a a += ∴132n n a a +=------------------4分又11a =，得2112312S a a a =+=+ ∴232a = ∴2132a a =----------------------------6分∴数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列∴13()2n n a -=--------------------------------------------------------------7分解法2：由1312n n S S +=+得132(2)2n n S S ++=+--------------------------------3分即12322n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为32的等比数列----4分∴1323()2n n S -+=⋅ 即133()22n n S -=⋅----------------------------------5分当2n ≥时∴1n n n a S S -=-＝12333()2[3()2]22n n --⋅--⋅-＝13()2n ----------------------6分显然当1n =时上式也成立 ∴13()2n n a -=.----------------------------------------------------------7分（2）∵z 数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列， ∴数列1{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，------------------------------8分∴21()233[1()]2313nn n T -==--，---------------------------------------------9分 又∵32()22nn S =⋅-∴不等式3n n T S > 即239[1()]2()232n n->⋅------------------------------10分令2()3n m =并整理得291120m m -+<，解得219m <<---------------------11分即22()193n <<，将1,2,3n =代入都符合，又42162()3819=< 且函数2()3x y =在R 上为减函数，故当4n ≥时都有22()39n <-----------------13分∴满足不等式3n n T S >的n 值为：1，2，3.----------------------------------14分21．解：（1）当1a =时，函数()f x =ln x x -，(0,)x ∈+∞∵1'()1f x x=-，令'()0f x =得1x =---------------------------------------2分 ∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值----------------------------------4分 （2）∵1'()f x a x=-若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值；------------6分若0a >，令'()0f x =得1x a=当01a <<时，11a >，当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1(1,)a上为减函数当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a +∞上为增函数∴当1x a =时，函数()f x 有最小值，11()()1ln f x f a a==-最小值-----------------------8分当1a ≥时，11a≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值.----------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值； 当01a <<时，函数()f x 有最小值，1()1ln f x a=-最小值； 当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值．-----------------------------------10分(3)证法1：由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥，---------------------------------------12分 当且仅当1x =时“＝”成立∵n N *∈ ∴10n n +>且11n n+≠∴11111ln ln n n n n n n n +++->⇔>111ln(1)1ln(1)n n n n⇔>+⇔>+∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<．---------------------------------------------------------------14分证法2：要证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n +<，只须证明11ln(1)n n+<，-----------11分设函数()ln(1)g x x x =+-，(1,)x ∈-+∞∵1'()111xg x x x=-=-++，令'()0g x =得0x =-------------------------------12分 ∵当(1,0)x ∈-时'()0g x <，当(0,)x ∈+∞时'()0g x >∴函数()g x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增 ∴当0x =时，函数()g x 取得最小值，()(0)0g x g ==最小值即对任意的(1,)x ∈-+∞，都有ln(1)x x +≥，当且仅当0x =时“＝”成立∵n N *∈ ∴10n > ∴1111ln(1)ln(1)1ln(1)1nn n n n n +>⇔+>⇔+>即对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n+<．--------------------------------------------------------------14分。