级数的敛散性判别习题课

一般项级数
1. 2.
正项级数
任意项级数
若 Sn S , 则级数收敛; 当 n , un 0, 则级数发散 ;
3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
5.比较法
6.比值法 7.根值法
2、正项级数及其审敛法
定义
un , n1

un 0

(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法)
设
u
n 1

n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ) ,
n
则 1 时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.

( 1) n 1
n 1
un或 ( 1) un (其中un 0)
n n 1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: ( ⅰ ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;( ⅱ ) lim un 0, 则
n
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1 , 其 余 项 rn 的 绝 对 值
1 exp{lim } e 0 1; x x
lim un 1 0, n
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
n n cos 3; ( 2) n 2 n 1
2
解
n n cos n 3 un n, n 2 2
2
n 令 vn n , 2
v n 1 n 1 2n n1 1 lim lim n1 lim 1, n v n 2 n n 2n 2 n
二、典型例题
例1
判断级数敛散性 :
(1)

n1

n
n
1 n
1 n (n ) n
n
;
解
n n n un , 1 n 1 n (n ) (1 2 ) n n
1 n
1 n
1 1 n 1 n2 n lim(1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{lim ln x } n x x x

1 n ln(n 2) n n,
1 n lim un . 由于 n lim n 1 , lim ln( n 2 ) 1 , n n a
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法
若

u
n 1

n 收敛(发散)且 n
v un ( un v n ),
则
v n 收敛(发散). n 1
(2)

比较审敛法的极限形式

un 设 un 与 v n 都是正项级数,如果lim l, n v n 1 n 1 n
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l 0 时，若
v
n 1

n
收敛,则
u
n 1 n 1

n
收敛;
(3) 当l 时, 若
v
n 1
n
发散,则
u
n
发散;
(3)
设
un 为正项级数, n 1
n n

极限审敛法
如果 lim nun l 0 (或 lim nun ), 则级数
n n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛． n1 2

ln( n 2) ( 3) (a 0). 1 n n1 (a ) n n ln( n 2) 1 n n 解 lim u lim lim ln( n 2 ) , n n n n 1 a a n n n 2 时, n 2 e , 从而有
rn un1 .
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1 n 0


若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1
n
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件: lim un 0.
n
常数项级数审敛法



5、函数项级数
(1) 定义

设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是 定 义在 I R 上 的函数,则
u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) n 1
称为定义在区间I 上的( 函数项) 无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
u
n 1

n 发散;
如果有 p 1 , 使得 lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1

n 收敛.
(4) 比值审敛法( 达朗贝尔 D ’Alembert 判别法)
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
如果 x 0 I ,数项级数
un ( x0 ) 收敛, n 1

则称 x0 为级数

否则称为发散点. u ( x ) 的收敛点,
n1 n

பைடு நூலகம்
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
x 的函数s( x ) , 在收敛域上,函数项级数的和是 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
10[1].1_10.3级数的敛散性判 别习题课
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un n1 ui i 1
n

级数的部分和 sn u1 u2 un
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在( 不存在).