求一元二次方程的整数根的方法

2x－x mm＝－－1 2或
x－m －2 2x m＝－1
所以m＝0.
设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0 只有整数根，求m的值.
一学生解：原方程可化为（x－m）（2x m) 2
由已知得：
x－m 1时，2x m＝2；x－m 2时，2x m＝1；
解：原方程可以变形为（x－1）[(m+1)x+2]=0
解得x1＝1，x
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
x－m －1时，2x m＝－2；x－m －2时，2x m＝－1.
所以m＝0或－1或1.当m＝0时，x＝ 1；
当m＝1时，x＝－1或 3；当m＝－1时，x＝1或－ 3 .
2
2
综上所述m 0
灵动、思辨
•注意挖掘隐含条件
2.如果方程（m＋1）x2－（m－1）x－2＝0的两个根都是整数， 求整数m的值.
求一元二次方程的整 数根的方法
一、因式分解法 二、求根公式法 三、韦达定理法 四、求根代入法 五、待定系数法
总论
• 一元二次方程，在有实数根的前提下 （），要使方程有整数解，首先应该 使其有有理根，所以它的判别式必须 是一个完全平方式。求出方程的根， 再利用整数性质解之。注意关键词， 比如说：“关于x的方程”，此方程可 以是一元一次方程或一元二次方程。
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
2 4
所以 km＝＝15
或
k＝1 m＝－1
因为m 0,所以m＝5【. 可否用因式分解法？】
关于求根公式法的总结整理
• 注意根的判别式必须是完 全平方数；
• 若判别式无法令为平方的 形式，则可利用不等式来 解。
三、韦达定理法
1.设关于x的一元二次方程 mx2 +(m-10)x+2m+6=0 只有整数根，求整数m的值. 【问题中m为整数的条件 可否去掉？】
关于韦达定理法的总结整理
• 1、有分式的找约数； • 2、是整式的分解因式； • 3、注意消元.
厚重
• 以上各题目可否采用其 他方法解决？
练习
• 1、求所有正实数a使得x2-ax+4a=0仅 有整数根;( 法)
• 2、设关于x的二次方程：(k26k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是 整数，求满足条件的所有实数k的 值;(因式分解)
解：设方程的两个负整数根分别为x1, x2 则由韦达定理得x1 x2 m 3，x1x2 －m. 于是m必为小于-3的整数，x1 x2 x1x2 3, 所以(x1＋1)(x2 1) 4. x1＋1 1, -4, 2, -2对应的 x2＋1 4, 1, 2, -2. 解得m＝－9或－10. 【可否用因式分解法或判别式法？】
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
Leabharlann Baidumm＋ －kk－ －22＝ ＝42，或
m＋k－2＝m－k－2＝-
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1

x2

m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
x－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
解：由韦达定理得 :
x1

x2

10 m m
,
x1x2

2m m
6
由已知得：m＝1， 2.
当m＝1时，x＝1或8；
当m＝－1时，方程无整根；
当m＝2时， 0,方程无实根；
当m＝－2时，方程无整根.
所以m＝1.
【可否用因式分解法或判别式法？】
2.设关于x的方程x2－(m＋3)x－m 0有两个负整数根， 求m的值.