求一元二次方程的整数根的方法
求一元二次方程的整数根的方法
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
第五讲一元二次方程的整数整数解
第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有__________ 个.注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论.【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是()a b127 A. -22125B.22C.12322121D.——22【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由.注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x • (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程.学历训练1已知关于X的方程(a_1)x2• 2x_a _1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_____ .2.已知方程x2 -1999x • m =0有两个质数解，则m = _____________ .3 .给出四个命题：①整系数方程ax2 bx ^0(a^ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2 bx ^0(a^0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2 bx・c =0(a z0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2 bx 0没有有理数根，其中真命题是_____________________________________ .4. 已知关于x的一元二次方程x2(2a-1)x a2=0 (a为整数)的两个实数根是为、x?,则肿1 -肿2 = __________ .5. 设rn为整数，且4<m<40 ,方程x2-2(2m—3)x ■ 4m2-14m ・8=0有两个整数根，求m的值及方程的根.(山西省竞赛题)6. 已知方程ax2 -(3a2 -8a)x 2a2 -13a 1^0 (a丰0)至少有一个整数根，求a的值.7. 求使关于x的方程kx2 (k 1)x k-^0的根都是整数的k直&当n为正整数时，关于x的方程2x2 -8nx，10x-n2• 35n-76=0的两根均为质数，试解此方程.9.设关于x的二次方程(k2 -6k，8)x2 (k2 -6k-4)x，k2 =4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值.10•试求所有这样的正整数a，使得方程ax2 2(2a -1)x 4(a _3) =0至少有一个整数解.11 •已知p为质数，使二次方程x2 -2px p2 _5p-1 =0的两根都是整数，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2，bx，c=0及x2cx 0分别各有两个整数根X i、X2及x；、X2，且X i x2>0, x1 x2>0.(1)求证：X1<0, X2<0, x；<0, X2< 0; (2)求证：b-1_c_b，1 ; (3)求b、c所有可能的值.13.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2 -2x-m V=0的根(m为整数),这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由.4 =】+参考答案 E]一元二次方程的整数解 【例题求解】 5 当A = G 时，褐工=触当4=9时，得J--3,当内工6且世H9时•辉得耳《» 吕，斗=諾亍当&一人=±]*±氛工9 时‘比足整数*这时i = 7,5t 3 +15.-3t 当9一*=士1・土2*士3, ±6时.去是整数"这时居■ 10*8,11,7,12*15*3.编上所 述丄=3飞，7,415时酿方程的解为整忆 B a + b=\3.则 口/为 2T inc-a&=22. 门】当r=0时，得a 三寺不見整数； 怡〉当『工0时*设方程的两根为釘•业〈药£比)•则小+立=一宁，4片=弓于 , 2J -|^7Z —（X ）JJ ）=烈〒)+千 =3,有(2乃一1〉(2忌一】)= 7 丫百凤 为整数•且寸冬工“解得或 r=l f故所求一切有理数$为一专或】.若心・”2伽为l)I +^=n J (n + 2?M —l>(n —2m+ 1) — 4'n+ (2m — 1)=2 f n+ (2wI, n — (2m —1) = 2 i n~ ( Zm~'7 n + (2rn — 1)与n — (2m — 1 )奇偶性相同"故只可能有此与榊为整数矛盾•故心不可惟为完全平方数，方程不可能有有理报.a == ,；+ ；；；尹】①*解得：一2云才疼B 且 —l f j=— 2,0.1,2,3»4T 5»€ 分别代入①*得a=l+13・《的分数值已舍去》 【学力训练】-l-~y z. 3994 3.①②④ 4. ±1 5. A=4(2m +I)为完全平方数.又m 为4<m<40的整数.则m=12或24.当讯=讣时"劝=lh 业=2餉当« = 24时*$ = L 5 当<1=1时+z=l*当口工1时，工1 = 1*壮 38. Xj ="52. 6-显然 a^0t JT\ —2— ,JT E = 1 ——,从而可得 q « a T.当* = 0时山="当AH1时.设两个整数帳为有 1,3 或 5” ①①—②，得 X1 — JTi j r ==2②化(JL -DC JJ —1) = 3=1X3= ( — 1)X(-3),解得曲+壮=6 或巧 + 壮= -2. 即一 1_* = 6或_ 1_+ = _氛解得A=-y 或&="故稠足要或的点值为o>-y*i. 8-设陶顶数根为站申，.则及+找=4“一5为奇數皿曲必一避一偶+不妨设TI =2,代人原方程得M r -19H^18=O,W 得眄 =16 •检=日■当n = 16时.x? = 57$当丹=3时*斗―5. jTTg •消去氏得盘】找+3刁+2 = 0.即.Tn (令+3) = — 2. fjj -21 + 3I E + 3 — 1lw- 4#；廟:!鼻1.解得一4£工翟2,讨论得d=l*3,e 」0.11・6=4, 一4(p'-5p-l〉= 4(5p+l)为完全平方数•从而5/>+1为完全平方散・令5p+l«/i\注意到p>2.故n>4.且n 为赧数•于是5p-<n*l)(n-l).则”+1“一1中至少有一个是5的倍数・刃” =5&土1"为轅数) A5#>+l«25^±10*+l,p=*(5*±2)・由P为质».5*±2>1知*=】"■ 3或7•当p = 3时•原方程变为x:-6x-7 = 0.得小=一1•比=7$当p=7时•原方程变为^-Ux+B-O,得xi-=bx t-13.所以“一3 或7・12・假设Jj>0. lf| xjx：>0 知x,>0.Xi +x：" —6= i•还与已知Xi jfz>O.x\x\>0 矛馬•故Xi <0#x：<0.ffl)理/V0*V0・(2)<~(6-1) = ^^：+^|4-^ + 1 = (^ + 1)(^ + 1)>0»故对于方程”+工+6一0 进行同样讨论■得综上有6-l<c<6+l.(3)①当 *・6+1 时才<・一4 一亠 + 1・从而(T)+ l)(j-r + 1)=2=( —1) K(—2) = 1 X2."+1・一1 fxi +1 = —2故 - 。
求一元二次方程的整数根八法
１ １ ．．
已知其 中两名选 手共得 ８分 ， 其他人 的平均分 为整数． 求参加此次 比赛 的选手共有多少人 ？ 分析 ： 注意到 每 比赛一 盘 ． 比赛 双方共 得
１ ， 分 于是 可知 ， 不论 比赛 的胜 负情况如何 ， 总 得分应 当等 于 比赛 场数 ． 样就排 除 了“ 一 这 胜 盘得 １ ， 分 和一盘各得 ０５ ， ． 分 负一盘得 ０ ” 分
解： 原方 程可 变形 为 ｚ ６ 、 一 ＝ ／３（— ） ｎ．
因为 ｎ 为整数 ， 欲使 为整数 ， 有 — ＝ ， 则 ｎ Ｏ 即 ＝ ． ｘ＿ ６ ０ ｘ ３， ＝ ２ ｎ ３或 ／ 一 ． ｎ由 ２ 一 ＝ 得 １ 一 ． ＝ ． ｘ ＝ ２ 故 ｔ ＇ ２ －
六、 利用主元法转化为一次方程
一
盘得 １ ， 分 和一盘各得 ０ 分 ， ． ５ 负一盘得 ０分．
２若 ０ ｂ为 整 数 ， 证 明 方 程 ｚ１ 似＋ ． 、 试 ＋０ ５一＝ ｂ ３ ０没有整数根 ． ３若关 于 的方 程 似 ２ ０ ３ （一 ）０ ． ＋ （— ）＋ 口 ２ ＝ 至少有一个整数根 ， 求整数 口的值．
其判别式 △为完全平方式 ， 可据此来探求 。的
值．
解： 由题设可 知方程 ｚ（ ） ５ １ （＋ － 叶５卅 ：
ｂ （＋ ）０有两 个整 数根 一 ，ｃ 故设其判别 ） ｃ ＝ ｂ一 ，
式Ａｎ ＝ ：ｎ为非 负整 数 ） 即 （＋ ） ４ ５ — ） ， 口 ５ （０ １ ＝ ＿ （ ５ ＝ 由此可知 口为整数 ， 口 ５ ｍ， ） ． 记 一 ＝ 则 ｍ也是整 数 ， 于是 ｎ－ Ｚ４ 即（ ＋ （ 一 － ． ２ｍ ＝ ， ｎ ｍ）凡 ｍ） ４ ＿ 因为（ ＋ 与 （— 同为奇 数或 同为偶数 ， ， ｍ） ｎ ｍ） ｔ 故
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
求一元二次方程整数根方法举隅_9
求一元二次方程整数根方法举隅对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。
本文对这一问题作一探讨。
1 直接求解例1．m 是什么整数时方程（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛） 解：显然m ≠±1,原方程可分解为[（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0x 1=16-m x 2=112+m ∵x 1 , x 2是正整数∴m-1=1或2或3或6m+1=1或2或3或4或6或12解得m=2或3.但m=3时x 1=x 2不合题意，舍去。
当m=2时x 1=6 ,x 2=4符合题意。
故m=2。
2.利用判别式Δ≥0例2 已知方程ax 2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a 的值解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a ≠0∵Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0∴3a 2-2a-9≤03)721(3)721(+≤≤-a 满足上式的整数a 的值有-1，1，2，检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ；当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ；当a=1时x 2+2x-1=0无整数解。
故a= -1或2例3 求满足方程y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对（x,y ）(1995江苏省初中数学竞赛)解：将原方程变形为2x 4-4yx 2+(y4+1)=0有△≥0即（-4y ）2-8(y 4+1)≥0即-8(y 2-1)2≥0 即（y 2-1）2≤0故y=1或-1当y= -1时原方程无解；当y=1时（x 2-1）2=0,x=1或-1∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。
3．利用判别式Δ是完全平方式例4 设m 为整数且4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4<m<40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38 例5． x 为何有理数时代数式9x 2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛）解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x 2+23x-2=k(k+2)即9x 2+23x-(k 2+2k+2)=0 ∵x 是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设232+4·9（k 2+2k+2）=565+[6(k+1)]2=p2 (p ≥0)p 2-[6(k+1)]2=565=113•5=565•1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113•5=565•1∴ p+6(k+1)=113p-6(k+1)=5或 p+6(k+1)=565p-6(k+1)=1分别解得k=8或k=46。
一元二次方程求根方法
一元二次方程求根方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的问题之一。
在解一元二次方程时，我们可以运用不同的方法来求根，本文将介绍几种常见的求根方法，并通过具体例子进行说明。
首先，我们来讨论一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知实数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根，可以运用以下几种方法。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来求解。
例如，考虑方程x² - 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
由此可知，方程的两个根分别为x = 2和x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以运用配方法来求解。
例如，考虑方程x² - 6x + 8 = 0。
我们可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，即(x - 3)² - 1 = 0。
进一步化简，得到(x - 3)² = 1。
通过开平方运算，我们可以得到方程的两个根分别为x = 2和x = 4。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的常用方法之一。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来得到。
例如，考虑方程x² - 4x - 5 = 0。
我们可以根据求根公式计算出方程的两个根分别为x = 5和x = -1。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的求解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制一元二次方程的图像，来观察方程的根。
例如，考虑方程x² - 2x - 3 = 0。
我们可以绘制出该方程的图像，发现方程的两个根分别为x = 3和x = -1。
五、因子法当一元二次方程的系数为整数时，我们可以通过因子法来求解。
例如，考虑方程x² - 7x + 10 = 0。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名__________1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
二次函数与整数根的问题
整数根问题把传统的方程知识与古老的整数理论相结合; 不但涉及解方程、根的判别式等知识，而且又关联着整 除、奇数与偶数的性质等整数知识. 整数根也是研究初中数学中的“数”与“形”关联问题 的一个非常奇妙的“桥梁”； 通过对整数根的探索，能提高学生利用方程建立数学模 型来解决问题的能力和综合运用知识的能力.
a 1 2 x2 1 a 1 a 1
利用整除性求解
①从求根入手：若根可用有理式表示， 则求出根，结合整除求解；
a 1 = 1, 2
例2
当 m 是什么整数时，关于 x 的
2
一元二次方程 mx 4 x 4 0 与
x2 4mx 4m2 4m 5 0
④巧选主元：当方程中参数次数较低时，选择参 数为主元求解;
例 1 已 知 关 于 x 的 二 次方 程
2 a 1 x 2x a 1 0
的根都是整
数，求符合条件的整数 a.
a 1
4a
2
判别式为完全 平方，可求根
a 1 x1 1, x2 a 1
转化为分解分式
方程整数根
小专题---有理根、整数根问题（不深入）
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本方法有： ①从求根入手：若根可用有理式表示， 则求出根，结合整除求解； ②运用判别式：在二次方程有解的前提下 运用判别式求出参数或根的取值范围， 通过枚举讨论、不等分析求解；或利用奇偶性求解 ③ 利用韦达定理的关系：有韦达定理得到含参数的关 系式，消元参数，利用因数分解、因式分解解含两根 的不定方程
整数，求 m.
4 2m 1
判别式非完全平方式，不求 根．结合已知列不等式
9 2 m 1 81.
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。
以下是店铺整理的关于一元二次方程求根公式，希望大家认真阅读!对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。
我们能解任何一个一元二次方程(包括判定一个一元二次方程没有实数根)，原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。
我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。
一元二次方程的出现，有很久的历史。
最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。
这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。
据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q(p、q为正数)的根为x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。
二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。
由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式子x=√](4ac-b)-b]/2a。
我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。
公元三世纪数学家赵君卿注《周髀算经》时，不仅提出二次方程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。
赵君卿在《周髀算经》的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。
一元二次方程求根公式
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程(de)求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方,当b2－4ac≥0时(de)根为．该式称为一元二次方程(de)求根公式,用求根公式解一元二次方程(de)方法称为求根公式法,简称公式法．说明：(1)一元二次方程(de)公式(de)推导过程,就是用配方法解一般形式(de)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知,一元二次方程(de)根是由系数a、b、c(de)值决定(de)；(3)应用求根公式可解任何一个有解(de)一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程(de)根(de)判别式（1）当b2－4ac＞0时,方程有两个不相等(de)实数根；（2）当b2－4ac=0时,方程有两个相等(de)实数根；（3）当b2－4ac＜0时,方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程(de)各种解法是重点,难点是对各种方法(de)选择,突破这一难点(de)关键是在对四种方法都会使用(de)基础上,熟悉各种方法(de)优缺点.(1) “开平方法”一般解形如“”类型(de)题目,如果用“公式法”就显得多余(de)了.(2)“因式分解法”是一种常用(de)方法,一般是首先考虑(de)方法.(3) “配方法”是一种非常重要(de)方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前.如方程；用因式分解,则6391这个数太大,不易分解；用公式法,也太繁；若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用.(4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了.2、在运用b2－4ac(de)符号判断方程(de)根(de)情况时,应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程(de)判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c；（3）根(de)判别式是指b2－4ac,而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程(de)关键是找出a、b、c(de)值,再代入公式计算,解：(1)因为a=1,,c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1,,c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1,,c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数,通常将其化为正数；如果方程(de)系数含有分母,通常先将其化为整数,求出(de)根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当(de)方法解一元二次方程,就必须熟悉各种方法(de)优缺点,处理好特殊方法和一般方法(de)关系.就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言,配方法、公式法是一般方法,而开平方法、因式分解法是特殊方法.⑴ 公式法是最一般(de)方法,只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入一元二次方程(de)求根公式求值,所以对某些方程,解法又显得复杂了.如①,可以直接开平方,就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了.⑵ 配方法是一种非常重要(de)方法,在解一元二次方程时,一般不使用,但并不是一定不用,若能合理地使用,也能起到简便(de)作用.若方程中(de)一次项系数有因数是偶数,则可使用,计算量也不大.如②,因为224比较大,分解时较繁,此题中一次项系数是-2.可以利用用配方法来解,经过配方之后得到,显得很简单.⑶ 直接开平方法一般解符合型(de)方程,如第①小题.⑷ 因式分解法是一种常用(de)方法,它(de)特点是解法简单,故它是解题中首先考虑(de)方法,若一元二次方程(de)一般式(de)左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时,应考虑变换方法.解：①两边开平方,得所以②配方,得所以所以③配方,得所以所以④因为所以 =4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理,得所以⑦移项,提公因式,得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做,再比较各种方法(de)优缺点,体会如何选用合适(de)方法,下面给出常规思考方法,仅作参考.例3、已知关于x(de)方程ax2－3x＋1=0有实根,求a(de)取值范围.解：当a=0时,原方程有实根为若a≠0时,当原方程有两个实根.故,综上所述a(de)取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论,即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等(de)实数根.(1)求k(de)取值范围；(2)如果k是符合条件(de)最大整数,且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同(de)根,求此时m(de)值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等(de)实数根,所以b2－4ac=16－4k>0,得k<4.(2)满足k<4(de)最大整数,即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0,解得x1=1,x2=3.①当相同(de)根为x=1时,则1＋m－1=0,得m=0；②当相同(de)根为x=3时,则9＋3m－1=0,得所以m(de)值为0或例5、设m为自然数,且3<m<40,方程有两个整数根求m(de)值及方程(de)根.解：,∵方程有整数根,∴4（2m＋1）是完全平方数.∵3<m<40∴7<2m＋1<81∴2m＋1值可以为9,25,49∴m(de)值可以为4,12,24.当m=4时方程为解得x=2或x=8当m=12时方程为解得x=26或x=16当m=24时方程为解得x=52或x=38总结：本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数,再由3<m<40中m为整数确定m(de)值,再分别试验求x,是本题特点.。
一元二次方程的公共根与整数根(讲义)
一元二次方程的公共根与整数根（讲义）知识点睛一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程a某2b某c0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程a某2b某c0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴b24ac为完全平方数；⑵bb24ac2ak或bb24ac2ak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题精讲一、一元二次方程的公共根【例1】求k的值，使得一元二次方程某2k某10，某2某(k2)0有相同的根，并求两个方程的根．ABC【例2】设a,b,c为ABC的三边，且二次三项式某22a某b2与某22c某b2有一次公因式，证明：一定是直角三角形．【例3】三个二次方程a某2b某c0，b某2c某a0，c某2a某b0有公共根．⑴求证：abc0；a3b3c3⑵求的值．abc【例4】试求满足方程某2k某70与某26某(k1)0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a1)某2(a22)某(a22a)0和abba的值．(b1)某(b2)某(b2b)0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求baab222二、一元二次方程的整数根【例6】k为什么实数时，关于某的方程(6k)(9k)某2(11715k)某540的解都是整数？【例7】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例8】已知a是正整数，如果关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例9】若k为正整数，且关于k的方程(k21)某26(3k1)某720有两个相异正整数根，求k的值．【例10】关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【例11】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例12】已知关于某的方程4某28n某3n2和某2(n3)某2n220，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例13】求所有有理数r，使得方程r某2(r1)某(r1)0的所有根是整数．【例14】已知关于某的方程某2(a6)某a0的两根都是整数，求a的值．【例15】已知k为常数，关于某的一元二次方程(k22k)某2(46k)某80的解都是整数，求k的值．【例16】已知p为质数，二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．【例17】已知12m40，且关于某的二次方程某22(m1)某m20有两个整数根，求整数m．abm2【例18】若一直角三角形两直角边的长，a、b(ab)均为整数，且满足．试求这个直角三ab4m角形的三边长．【例19】关于某的方程a某22(a3)某(a2)0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．【例20】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例21】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例22】设m为整数，且4m40，方程某222m3某4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根．【例23】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例24】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例25】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例26】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】已知a是正整数，且使得关于某的一元二次方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根，求a的值．【例28】已知关于某的方程a2某2(3a28a)某2a213a150(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例29】已知b，c为整数，方程5某2b某c0的两根都大于1且小于0，求b和c的值．【例30】已知a，b都是正整数，试问关于某的方程某2ab某求出来；如果没有，请给出证明．，且某1某20，【例31】已知方程某2b某c0及某2c某b0分别各有两个整数根某1,某2及某1,某20．某1某20；⑴求证：某10，某20，某10，某2⑵求证：b1≤c≤b1；⑶求b,c所有可能的值．1(ab)0是否有两个整数解？如果有，请2【例32】设p、q是两个奇整数，试证方程某22p某2q0不可能有有理根．【例33】试证不论n是什么整数，方程某216n某70没有整数解，方程中的是任何正的奇数．【例34】求方程a3bab32a22b240的所有整数解．某y(a2)某【例35】已知a为整数，关于某,y的方程组的所有解均为整数解，求a的值．23某y(a1)某2a2【例36】求方程【例37】求所有的整数对(某,y)，使某3某2y某y2y34某24某y4y247．【例38】设m是不为零的整数，关于某的二次方程m某2(m1)某10有有理根，求m的值．【例39】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例40】a是正整数，关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例41】已知a,b是实数，关于某,y的方程组y某3a某2b某有整数解(某,y)，求a,b满足的关系式．ya某b某y3的所有正整数解．某2某yy27【例42】已知p为质数，使二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，求出所有可能的p的值．【例43】设关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．b为何值时，方程某2b某20和某22某b(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整数【例44】根？【例45】已知关于某的方程(a1)某22某a10的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．【例46】求所有正实数a，使得方程某2a某4a0仅有整数根．【例47】方程(某a)(某8)10有两个整数根，求a的值．【例48】求所有的正整数a，b，c使得关于某的方程某23a某2b0,某23b某2c0,某23c某2a0的所有的根都是正整数．【例49】n为正整数，方程某2(31)某3n60有一个整数根，则n__________．【例50】求出所有正整数a，使方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根．【例51】已知方程(a21)某22(5a1)某240有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．【例52】不解方程，证明方程某21997某19970无整数根【例53】已知方程某21999某a0有两个质数根，则常数a________．【例54】已知方程某2m某m10有两个不相等的正整数根，求m的值．【例55】当m是什么整数时，关于某的方程某2(m1)某m10的两根都是整数？【例56】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】已知a是正整数，如果关于某的方程某3a17某238a某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例58】若k为正整数，且关于k的方程k21某263k1某720有两个相异正整数根，求k的值．【例59】设a为质数，b，c为正整数，且满足292a2bc5094a1022b511cbc2求abc的值．。
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。
关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。
分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。
说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。
二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。
分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。
说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
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2x－x mm＝－－1 2或
x－m －2 2x m＝－1
所以m＝0.
设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0 只有整数根，求m的值.
一学生解：原方程可化为（x－m）（2x m) 2
由已知得：
x－m 1时，2x m＝2；x－m 2时，2x m＝1；
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
x－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
解：原方程可以变形为（x－1）[(m+1)x+2]=0
解得x1＝1，x
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1，ห้องสมุดไป่ตู้ 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
关于韦达定理法的总结整理
• 1、有分式的找约数； • 2、是整式的分解因式； • 3、注意消元.
厚重
• 以上各题目可否采用其 他方法解决？
练习
• 1、求所有正实数a使得x2-ax+4a=0仅 有整数根;( 法)
• 2、设关于x的二次方程：(k26k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是 整数，求满足条件的所有实数k的 值;(因式分解)
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
mm＋ －kk－ －22＝ ＝42，或
m＋k－2＝m－k－2＝-
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
由已知得：m＝1， 2.
当m＝1时，x＝1或8；
当m＝－1时，方程无整根；
当m＝2时， 0,方程无实根；
当m＝－2时，方程无整根.
所以m＝1.
【可否用因式分解法或判别式法？】
2.设关于x的方程x2－(m＋3)x－m 0有两个负整数根， 求m的值.
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
求一元二次方程的整 数根的方法
一、因式分解法 二、求根公式法 三、韦达定理法 四、求根代入法 五、待定系数法
总论
• 一元二次方程，在有实数根的前提下 （），要使方程有整数解，首先应该 使其有有理根，所以它的判别式必须 是一个完全平方式。求出方程的根， 再利用整数性质解之。注意关键词， 比如说：“关于x的方程”，此方程可 以是一元一次方程或一元二次方程。
2 4
所以 km＝＝15
或
k＝1 m＝－1
因为m 0,所以m＝5【. 可否用因式分解法？】
关于求根公式法的总结整理
• 注意根的判别式必须是完 全平方数；
• 若判别式无法令为平方的 形式，则可利用不等式来 解。
三、韦达定理法
1.设关于x的一元二次方程 mx2 +(m-10)x+2m+6=0 只有整数根，求整数m的值. 【问题中m为整数的条件 可否去掉？】
解：设方程的两个负整数根分别为x1, x2 则由韦达定理得x1 x2 m 3，x1x2 －m. 于是m必为小于-3的整数，x1 x2 x1x2 3, 所以(x1＋1)(x2 1) 4. x1＋1 1, -4, 2, -2对应的 x2＋1 4, 1, 2, -2. 解得m＝－9或－10. 【可否用因式分解法或判别式法？】
x－m －1时，2x m＝－2；x－m －2时，2x m＝－1.
所以m＝0或－1或1.当m＝0时，x＝ 1；
当m＝1时，x＝－1或 3；当m＝－1时，x＝1或－ 3 .
2
2
综上所述m 0
灵动、思辨
•注意挖掘隐含条件
2.如果方程（m＋1）x2－（m－1）x－2＝0的两个根都是整数， 求整数m的值.