西安备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y ＝12

x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258

）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（

32，﹣54）． 【解析】

【分析】 （1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32

=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32

=

交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-

，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （3

2528

，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，

21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB

＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）∵顶点D的坐标为（325

28

，-），

∴抛物线的对称轴为x

3

2

=．

∵抛物线y1

2

=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x

3

2

=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2

13

22

x

=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x

3

2

=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：

2

40

b

k b

=-

⎧

⎨

+=

⎩

，解得：

1

2

2

k

b

⎧

=

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，∴y

1

2

=x﹣2．

当x

3

2

=时，y

135

2

224

=⨯-=-，∴点M的坐标为（

35

24

-，）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

2．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.

（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；

（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.

【答案】（1）－1，3；（2）0

9

8

【解析】

【分析】

（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【详解】

解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；

（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，

因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0

（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-

A ，

B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a

-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，

又∵A ，B 在直线y=x 上，

∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a

-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=

34 时，b 有最小值－98

【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.

3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．

①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．