同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方
六升七暑假(4、同底数幂的乘,幂的乘方,积的乘方)
辅导讲义）同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如【注意】底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．②不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）． ③此性质可以逆用：()()nmmnm n a a a ==．如：()()533155222==知识点4.积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方.如()3ab 、()2nab 等. 知识点5.积的乘方的法则积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.【注意】①公式中的n 可以是正整数，也可以是代表正整数的式子. a 与b 可以是数字，也可以是单项式或多项式.如()()()111,22mm mm m mab a b a b a b +++=+=+⎡⎤⎣⎦②注意积的乘方法则的结构：左边是幂的形式，而幂的底数是两个因数的积；右边是积，而积的因式时2个幂.③积中的每一个因数都应该乘方，不能遗漏.④注意法则的准确应用，不能随便模仿.如，()222ab a b =是正确的，但()222a b a b +=+是错误的.⑤此性质可以逆用，即()nn na b ab =，在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，在去求积的同次幂.有时候性质的逆向适用，会使一些数的计算简化.如，2006200620061122122⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭知识点6.关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下【典型例题讲解】x x = 23111010⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎭⎝⎭()n m n -=； B. ()n m n ⎤-=⎥⎦；)()23298mn m n -=-； D. ()3299mn m n -=.-；+；a a ax x x-.++；（x x xa a a a a)()()--；)()()a a--；x x)()b a-；a b-；()()++；n m m n2b a-；()()()()m n m n --； )()()()a b b a a b ----.。
同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题
幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例1： 计算列下列各题 （1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
2、 b 2·b ·b 7=________。
3、103·_______=10104、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。
5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方：底数不变，指数相乘
(a^n)^m=a^(m·n)，m个a^n相乘
(a^n)^(1/m)=a^(n/m)，1/m个a^n相乘
2、积的乘方：
(a·b)^n=a^n·b^n
(m^a·n^b)^c=m^(a·c)·n^(b·c)
2、同底数幂的乘法：既然底数相同，指数就可以相加
a^m·a^n=a^(m+n)
扩展资料
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。
幂不符合结合律和交换律。
因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
同底数幂的乘法： 1、表示的意义是a5‗‗‗‗‗‗ ;a n的意义是n 个a ‗‗‗‗‗‗，我们把这种运算叫做‗‗‗‗‗‗,乘方的结果叫‗‗‗‗，a 叫做‗‗‗‗‗‗‗‗，n 是‗‗‗‗‗‗‗.)(2a -底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；a2底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(3y x -底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(y x n-底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗.2、根据乘方的意义可知：1010315⨯=(10×…×10)×（10×10×10）=10×10×…×10=10 一般的，对于任意底数a 与任意正整数m ，n,.)()(nm +=⋅⋯⋅⋅=⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a anm因此，我们有.(都是正整数），n m aa anm nm+=⋅即同底数幂相乘，底数‗‗‗‗‗，指数‗‗‗‗‗. 3、计算=⋅22n m‗‗‗‗‗‗‗；=⋅-22510‗‗‗‗‗‗；=⋅⋅x x x nm ‗‗‗‗‗‗；=⨯⨯-）（）（2-2-)2(34‗‗‗‗‗；=⋅-xx n n223‗‗‗‗‗‗‗；)(2)(y x y x -⋅--=‗‗‗‗‗‗同底数相乘，底数不变，指数相加，当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则也适用. 同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式.在幂的运算中，经常用到以下变形：⎪⎩⎪⎨⎧=--为奇数）为偶数）n a a a nn n(n ()( ⎪⎩⎪⎨⎧=----为奇数）为偶数）n n a b a b b a nnn (()()()( 4、计算：（1）=⋅⋅----)()()(32x y x y y x ‗‗‗‗‗‗‗‗；（2）===+333ba 8,6，则ba（3）===+aa annm ,7,6则吗‗‗‗‗‗‗‗‗；（4）若==+2233x x 则‗‗‗‗‗‗‗‗；（5）若==+aa m m13，则‗‗‗‗‗‗‗‗；5、已知xn 1-（ ）=xmn +，则在括号内应填上（ ）.A 、xmB 、xm 1-C 、xm 1+ D 、xm 2+6、若的值是则a a a nnm m,15,3==+（ ）.A 、2 B 、3 C 、4 D 、57、若等于则x x ,3222=+（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、若,2738112+=⨯x 则x 2的值是（ ）A 、4 B 、7 C 、9 D 、19、若b b ba aan n n m 8225121,=⋅=⋅+-+，则m+n 的值是‗‗‗‗‗‗‗.10、计算下列各题。
(完整版)同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题,推荐文档
D.ａ2n 与ｂ2n
(2) –ａ·(-ａ)2·ａ3
(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3
(4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3
(5) x n x x n1
(7) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3
(6)x4－m ·x4+m·(-x) (8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)5
A. x5 ；
B. x5 ；
C. x6 ；
D. x6 .
7.下列四个算式中： ①（a3）3=a3+3=a6；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（－x）3]4=（－x）12=x12； ④（－y2）5=y10，正确的算式有（ ）
A．0 个；
B．1 个；
C．2 个；
D．3 个.
8.下列各式：① a5
幂的运算
1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
公式表示为： am an amn m、n为正整数
同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
am an a p amm p (m、n、为p 正整数 )
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相 加，所得的和作为积的指数.
中等：
1、 (-10)3·10+100·(-102)的运算结果是( )
A.108
B.-2×104
2、(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5=_______。
C.0
D.-104
3、10m·10m-1·100=______________。
4、a 与 b 互为相反数且都不为 0，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( )
5．计算
x3
y2
同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方PPT课件
解：因为 又 所以 故
（am）2 =25, 25=52， （am）2 =52 , am=5 ．
拓展
1.am=2,a2m=__4__
逆用公式： amn=(am)n=(an)m
创设情境，导入新知
问题3 一个边长为a 的正方体铁盒，现将它的边 长变为原来的b 倍，所得的铁盒的容积是多少？
探索 同底数幂的乘法 的性质
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什 么规律？ （1）25 22 2( )； （2）a3 a2 a( )； （3）5m 5n 5( )．
探索并推导同底数幂的乘法的性质
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什 么规律？ （1）25 22 27； （2）a3 a2 a5； （3）5m 5n 5m n ．
多重乘方可以重复运用上述法则吗？ （ am）n p =amnp （p是正整数）．
动脑思考，变式训练
练习 计算下列各题：
（1）（103）3；
（2）（x3）2；
（3） （- xm）5； （5）（ -x2）3 7 ；
（4）（a2）3 a5； （6） （2 x2）n -（xn）2.
动脑思考，例题解析
• 学习重点：
同底数幂的乘法的运算性质．
课件说明
• 学习目标： 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的 乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归 纳的思想方法．
• 学习重点： 幂的乘方与积的乘方的性质．
上述三个乘法运算的乘数有什么共同的特征？
它们的积都是什么形式？积的各个部分与乘数有什么关系
同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。
=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问题
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问
题
背景
在数学中，幂是一种常见的运算方式。
幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中的相关问题。
本文将探讨这些问题的定义、性质和解决方法。
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法是指将底数相同的幂进行相乘的运算。
如果我们有两个同底数幂，即a^m和a^n，那么它们的乘积可以表示为
a^(m+n)。
简单说，就是将它们的指数相加，而底数不变。
例如，我们有2^3和2^4，它们的底数都是2。
根据同底数幂的乘法规则，它们的乘积为2^(3+4)，即2^7。
幂的乘方
幂的乘方是指将幂的结果再次进行幂运算的操作。
如果我们有
一个幂a^m，再对其进行幂运算，即(a^m)^n，那么它可以简化为
a^(m*n)。
换句话说，就是将它们的指数相乘。
举个例子，我们有2^3，如果我们对其进行幂的乘方，即
(2^3)^2，根据幂的乘方规则，它可以简化为2^(3*2)，即2^6。
积的乘方
积的乘方是指求积的幂的运算。
如果我们有一个积a*b，对其
进行乘方运算，即(a*b)^n，那么它可以展开为a^n * b^n。
简单说，就是将积的每个因子都进行乘方。
举个例子，我们有积2*3，我们对其进行乘方运算，即(2*3)^3，根据积的乘方规则，它可以展开为2^3 * 3^3。
结论
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中常见的问题。
通过了解它们的定义和规则，我们可以更好地进行幂运算的简化和
求解。
使用这些规则，我们可以轻松计算出任何同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的结果。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例１计算
⑴(5４)３⑵－(a2)３⑶⑷［(a+b)2］４
随堂练习
(1)(ａ4)3+ｍ; (2)[(－)3］2;⑶[－(ａ+b)4］3
类型二幂得乘方公式得逆用
例1已知ａｘ＝2,ａy=3,求a2x＋y;ax+3y
随堂练习
(１)已知ax=２,ay＝3,求ax＋3y
(2)如果,求x得值
随堂练习
3。积得乘方得推广(abc)ｎ=(n就是正整数).
例题精讲
类型一积得乘方得计算
例１计算
(1)(2b２)５;(2)(-4xｙ２)２(3)-(-ab)2(4)［－2(a—b)3]5.
随堂练习
(１)(2)(3)(-xy2)2(4)［－3(n－m)2］3、
类型二幂得乘方、积得乘方、同底数幂相乘、整式得加减混合运算
(2)[—(－x)5］2·(—x2)3=____＿_＿_;(ｘm)３·(—x3)2=＿______＿。
(３)(—ａ)３·(ａn)５·(ａ1—n)5=_＿___＿__;-(ｘ－y)2·(y—x)３＝_＿＿_____.
(4)x12=(x3)(__＿____)=(x６)(____＿＿_)、
(5)x2ｍ(ｍ+1)＝()m+１。若x2m=3,则ｘ6m＝____＿___、
２、解题时要注意ａ得指数就是１.
3、解题时,就是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂得乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
４、-a2得底数a,不就是—ａ.计算—a2·ａ2得结果就是—(a２·a2)＝—a４,而不就是(—a)2+2=a4。
5.若底数就是多项式时,要把底数瞧成一个整体进行计算
2、若(x２)n=x8,则m=_＿＿＿________＿。
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方(解析版)
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【知识点拨】考点1：同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.考点2：幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 考点3：积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点4：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【考点精讲】考点1：同底数幂的乘法【例1】（2021秋•西湖区校级月考）下列四个算式：①a6•a6＝a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①a6•a6＝a6，底数不变指数相加，故①错误；②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；③x2•x•x8＝x11，底数不变指数相加，故③错误；④y2+y2＝y4，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故④错误；故选：A．【例2】（2021春•青羊区期末）已知a m＝4，a n＝5，则a m+n的值是20．【解答】解：a m+n＝a m•a n＝4×5＝20，故答案为：20．【变式训练1】（2021秋•邓州市期中）若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6 B．7 C．8 D．18【解答】解：∵a x＝3，a y＝2，∴a2x+y＝（a x）2×a y＝32×2＝18．故选：D．【变式训练2】（2021秋•松江区校级月考）已知10a＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式10α+β+γ．【解答】解：105＝3×5×7，而3＝10a，5＝10β，7＝10γ，∴105＝10γ•10β•10α＝10α+β+γ；故应填10α+β+γ．【变式训练3】（2021春•建平县期末）若23n+1•22n﹣1＝，则n＝﹣1．【解答】解：23n+1•22n﹣1＝，25n＝2﹣5，则5n＝﹣5，故n＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练4】（2021秋•浦东新区月考）已知x a+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3．【解答】解：∵x a+b•x2b﹣a＝x9，∴a+b+2b﹣a＝9，解得：b＝3，（﹣3）b+（﹣3）3＝（﹣3）3+（﹣3）3＝﹣27﹣27＝﹣54．【变式训练5】已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值7．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），∴a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．【变式训练6】（2021秋•南安市期中）已知两个单项式a m+2n b与﹣2a4b k是同类项，求2m•4n•8k的值．【解答】解：∵由已知可得：，∴2m•4n•8k＝2m•22n•8k＝2m+2n•8k＝24×8＝128．【变式训练7】（2021春•丹阳市校级月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m ＝n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x＝27；②2x+2+2x+1＝24．【解答】解：①原方程可化为，2×23x＝27，∴23x+1＝27，3x+1＝7，解得x＝2；②原方程可化为，2×2x+1+2x+1＝24，∴2x+1（2+1）＝24，∴2x+1＝8，∴x+1＝3，解得x＝2．考点2：幂的乘方与积的乘方【例1】（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【例2】（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．【变式训练1】（2021秋•原州区期末）若x m＝3，x n＝2，则x2m+3n＝72•【解答】解：∵x m＝3，x n＝2，∴x2m+3n＝（x m）2×（x n）3＝32×23＝72．故答案为：72．【变式训练2】（2021春•东台市期中）314×（﹣）7＝﹣1．【解答】解：314×（﹣）7＝（32）7×（﹣）7＝（﹣×9）7＝（﹣1）7＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练3】（2021春•邗江区期中）x3•（x n）5＝x13，则n＝2．【解答】解：∵x3•（x n）5＝x13，∴3+5n＝13，解得：n＝2．故答案为：2．【变式训练4】（2021秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．【解答】解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，4444＝44×111＝（44）111＝256111，5333＝53×111＝（53）111＝125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333．【变式训练5】（2021春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【变式训练6】（2021秋•静安区月考）35×84×．【解答】解：原式＝﹣35×212×＝﹣．【课后巩固】一．选择题1．（2021春•锦江区期末）如果x m＝2，x n＝，那么x m+n的值为（）A．2 B．8 C．D．2【解答】解：如果x m＝2，x n＝，那么x m+n＝x m×x n＝2×＝．故选：C．2．（2021•成都模拟）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．3．（2021春•西湖区校级月考）已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；②当2x•2y＝16时，a＝18；③当不存在一个实数a，使得x＝y．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（①②③）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；解得：∵x，y的值互为相反数，∴x+y＝0∴25﹣a+15﹣a＝0解得：a＝20故①正确；②当2x•2y＝16时，a＝18；∵2x•2y＝2 x+y＝24∴x+y＝25﹣a+15﹣a＝4解得：a＝18故②正确；③当不存在一个实数a，使得x＝y．若x＝y，得25﹣a＝15﹣a此方程无解．∴不存在一个实数a，使得x＝y．故③正确．故选：D．4．（2021秋•海珠区校级期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（）A．x2与a2B．（﹣a）5与a3C．（x﹣y）2与（y﹣x）2D．﹣x2与x2【解答】解：对于A：x2的底数是x，a2的底数是a；对于B：（﹣a）5的底数是﹣a，a3的底数是a；对于C：（x﹣y）2的底数是（x﹣y），（y﹣x）2的底数是（y﹣x）；对于D：﹣x2的底数是x，x2的底数也是x．故选：D．5．（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．7．（2021秋•辛集市期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．8．（2021秋•泉港区期中）若a＝（99×99×99）9，b＝999，则下列结论正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1【解答】解：∵a＝（99×99×99）9，b＝999，两个数均大于1∴D选项：ab＝1错误；∵＝＝＝＝•∵1＜＜227＜945∴0＜•＜1∴0＜＜1∴a＜b∴选项B，C不正确．故选：A．二．填空题9．（2021秋•洮北区期末）如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝36．【解答】解：10m+n＝10m•10n＝12×3＝36．故答案为：36．10．（2021秋•岳麓区校级期中）已知a m＝3，a n＝5，则a m+n的值为15．【解答】解：∵a m×a n＝a m+n，∴a m+n＝a m×a n＝3×5＝15．故答案为：15．11．（2021春•顺德区校级期末）计算：﹣b3•b2＝﹣b5．【解答】解：原式＝﹣b3+2＝﹣b5，故答案为：﹣b512．（2021•博兴县模拟）若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为18．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+2n＝x m x2n＝x m（x n）2＝2×32＝2×9＝18；故答案为：18．13．（2021秋•丛台区校级期末）用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝ 1.6×10﹣1．【解答】解：（2.5）8（0.4）10＝＝＝＝18×0.16＝1.6×10﹣1．故答案为：1.6×10﹣1．14．（2021秋•延边州期末）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝．【解答】解：由于（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，根据新规定的运算可得，3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，∴m＝32a﹣b＝＝＝，故答案为：．15．（2021秋•浦东新区校级月考）若a n＝2，a m＝5，则a m+n＝10．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝675．【解答】解：∵a n＝2，a m＝5，∴a m+n＝a m•a n＝5×2＝10；∵2m＝3，23n＝5，∴8m+2n＝（23）m+2n＝23m+6n＝23m×26n＝（2m）3×（23n）2＝33×52＝27×25＝675．故答案为：10；675．16．（2021春•薛城区期末）若3×9m＝311，则m的值为5．【解答】解：已知等式整理得：3×32m＝32m+1＝311，可得2m+1＝11，解得：m＝5，故答案为：5三．解答题17．（2021春•镇江期末）已知关于x、y的方程组．（1）求代数式2x+y的值；（2）若x＜3，y≤﹣2，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足x y＝1，则符合条件的k的值为1或3．【解答】解：（1）∵，∴①+②得：3x＝3k﹣6，∴x＝k﹣2，将x＝k﹣2代入②得：y＝﹣k﹣1，∴x+y＝k﹣2﹣k﹣1＝﹣3，∴2x+y＝2﹣3＝．（2）由（1）可知：，解得：1≤k＜5．（3）由于x＜3，y≤﹣2，x y＝1，当x＝1时，此时k＝3，y＝﹣4，满足x y＝1，当x＝﹣1时，此时k＝1，y＝﹣2，满足x y＝1，所以k＝3或1，故答案为：3或1．18．（2021秋•虹口区校级月考）我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；（2）a3•a4═a7；（3）计算：a m•a n；（4）若x m＝4，x n＝5，则求x m+n的值．【解答】解：（1）（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；故答案为：5；（2）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝a7；故答案为：7；（3）a m•a n＝a m+n；（4）x m+n＝x m•x n＝4×5＝20．19．（2021春•张家港市校级月考）若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．【解答】解：（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a m+1×a2n﹣1×b n+2×b2n＝a m+1+2n﹣1×b n+2+2n＝a m+2n b3n+2＝a5b3．∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，m+n＝．20．（2021秋•涧西区校级期中）已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．【解答】解：∵27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，∴（33）b＝32×3a+3，24＝22×22b﹣2，∴33b＝3a+5，24＝22b，∴，解得，，∴a+b＝1+2＝3．21．（2021秋•东莞市校级期中）①若a m＝2，a n＝3，求a2m+n的值．②已知x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【解答】解：①∵a m＝2，a n＝3，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝22×3＝4×3＝12；②∵x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．22．（2021秋•大石桥市期中）完成下列各题．（1）已知（9a）2＝38，求a的值；（2）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+n的值为多少．【解答】解：（1）∵（9a）2＝38，∴（32a）2＝38，∴4a＝8，a＝2；（2）∵a m＝3，a n＝4，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝32•4＝36．23．（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，24．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知x2n＝4，求（x3n）2﹣x n的值．（其中x为正数，n为正整数）【解答】解：∵x2n＝4，x为正数，n为正整数，∴x n＝2，∴（x3n）2﹣x n＝（x n）6﹣x n＝26﹣2＝62．25．（2021春•泉山区校级期中）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，∴1+7x＝22，∴x＝3；②∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2．26．（2021春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝2，（5，1）＝0，（3，）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），（3）小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；故答案为2，0，﹣2；（3）①（8，1000）﹣（32，100000）＝（23，103）﹣（25，105）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，∴（3，20）﹣（3，4）＝x+y﹣x＝y＝（3，5），即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）27．（2021春•相城区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0（2，0.25）＝﹣2；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．28．（2021春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝2；log216＝4；log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵＝m，＝n，＝m+n，∴+＝，∴+＝log a MN．。
幂的运算 整式的乘法
幂的运算整式的乘法1、幂的运算（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即： a m·a n=a m＋n（ m 、 n 都是正整数）（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘即： (a m)n=a mn（ m 、 n 都是正整数）（3）积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即： (ab)n=a n b n（4）同底数幂的除法：同底数幂相除、底数不变、指数相减。
即： a m÷a n=a m-n（a≠0 ， m 、 n 都是正整数且 m>n）2、整式的乘法（1）单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)=am＋bm＋an＋bn3、幂的运算法则的逆向应用（m,n为正整数）a m＋n=a m·a na mn=(a m)na nb n=(ab)n例1、以下计算是否准确，错的请指出错因，并加以改正．（1）x5·x5=2x5(2)x3·x3=x9(3)(-2a3)2=－2a6(4)(a n+1)3=a3n+1例2、（1）比较：355，444，533；（2）已知a m=2，a n=3，求a3m＋2n的值；（3）已知2a=3，2b=6，2c=12，求a、b、c之间的关系.例3、计算：（4）(x m＋1x2n)3÷x m+n（5）(a＋b)5÷(－a－b)3·(－a－b)2例4、已知求代数式例6、计算：（1）(－3ab)(2a2b＋ab－1)(2)a n b2[3b n－1－2ab n＋1＋(－1)2005]例7、计算：（1）(a－2b)(5a＋3b)（2）(x＋y)(x2－xy＋y2)（3）（3x＋1）(x＋1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x) 例8、若(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的乘积中不含x2和x3项，求p、q的值. 12、解方程（1）2x(5－4x)＋5x(7－2x)=9x(8－2x)－108（2）(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)=3(x2－7x＋15) 11、计算（1） (－x)2·x3·(－2y)3－(－2xy)2·(2x)3·y （2） [(－x2y)3]3·(－x3y3)2·(－xy2)5（3）（4） (x m＋2·x n)3÷x2m＋n。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 一，基础知识
1. 同底数幂的意义 几个相同因式a相乘，即
，记作
，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。 同底数幂是指底数相同的幂，如：
5. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如 等。 （积的乘方的意义）
（乘法交换律，结合律）
6. 积的乘方的性质 （n为正整数）
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘。
此性质可以逆用：
二 ，知识总结： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：Ⅰ.在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数 式. Ⅱ.此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为 同底数，才可用公式.
7.
，当
时，m等于（ ）
A. 29
B. 3
C. 2
D. 5
8. 若
，则
D. n是负数
等于（ ） A. 12
二. 填空题。 1.
B. 16
C. 18
（） 2.
3.
（） 4.
（） 5.
（） 6. 若
，（n，y是正整数），则
（） 7.
（ ），
（） 8. 若
，则
（） 9. 一个正方体的边长是
，则它的表面积是（ ） 三. 计算： （1）
（2）
D. 216
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
幂的运算性质公式
幂的运算性质公式
幂的运算性质：
（1）同底数幂相乘,底数不变,指数相加,
（2）幂的乘方,底数不变,指数相乘,
（3）积的乘方,等于每个因式分别乘方,即
（4）同底数幂相除,底数不变,指数相减, （a≠0）
（5）零指数和负指数：规定 , （其中a≠0,p为正整数）
计算方法：
一、同底同指数幂的加减法公式，字母和指数均不变，系数相加减；
二、同底数幂乘法公式，底数不变，指数相加；
三、同底数幂除法公式：底数不变，指数相减；
四、不同底同指数幂的乘法公式，底数相乘，指数不变；
五、不同底同指数幂除法公式，底数相除，指数不变。
六、幂的乘方公式，底数不变，指数相乘。
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同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方
知识要点
一、同底数幂的乘法
2. 幂的运算法则(重点) ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m·a n=a m+n（都是正整数）
二、幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方
2、积的乘方
（a m）n=a m n (m、n都是正整数)
幂的乘方，底数a，指数mn。
（ab）n=a n b n（N是正整数）。
积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。
例题1、计算：
(1)7410
10⨯； (2) -25x x •
(3)3()()x x ⋅－－ (4) 1m m y
y ⋅＋
例2、
例3、
例4、
例5、已知a m =2,a n =3,求a m+n 的值。
例6、已知x ＋y ＝a ，求（x ＋y ）3（2x ＋2y ）3（3x ＋3y ）3的值．
练习一、
二、填空题：
1. 111010m n ＋－=________,456(6)－=______.
2. 234x x xx －=________,25()()x y x y －－=_________________.
3. =___________.
4. 若34m a a a ,则m=________;若416a x x x ,则a=__________;
若2345
y xx x x x x ,则y=______;若25()x a a a ,则x=_______. 5. 若2,5m n a a ,则m n a =________.
三、解答题:(每题8分,共40分)
1、计算下列各题:
31010010100100100100001010
⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＋
(1)x ·x ·x 3 (2) (a+b)(a+b)2(a+b)3
(3)2x 3(-x)-x(-x)4 (4)x ·x m-1+x ·x m-2
（5）(x-y)2(x-y)3(y-x)2(y-x)3； 6）(a-b-c)(b-a-c)2(c-a+b)3；
（7）(-x)2(-x)3+2x(-x)4-(-x)x 4； （8）x ·x m-1·x 2·x m-2。
2、已知21km 的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧81.310kg ⨯煤所产生的能量,那么我国629.610km ⨯的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克？
3、 (1) 计算并把结果写成一个底数幂的形式:
①43981；②66251255。
(2)求下列各式中的x:
①321(0,1)x
x a a a a ；②62(0,1)x x p p p p p 。
4．计算234551(
)22x y x y 。
5. 若15(3)59n n x x x ，求x 的值.
练习二、
三、解答题
2.计算题：
（1）43)10( （2）4)(p p -⋅- （3） （-32)a
（4）
436 （5） 432
3 （6）[（x 2）3]7 ；
（7）（x 2）n －（x n ）2 ； (8)（-a
2）3·a 3+（-4a ）2·a 7-5（a 3）3
4、若22=⋅m m x x ，求m x
9的值。
5. 已知5544332,3,4a
b
c ,则a 、b 、c 的大小关系是 6.计算题：4
43223255-2--p p p p
7.①若 2·8n ·16n =2
22，求正整数m 的值. ②若（91m ）2=316，求正整数m 的值.
8.已知x ＋y ＝a ，求（x ＋y ）3（2x ＋2y ）3（3x ＋3y ）3的值．。