2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷
浙江省宁波市2016-2017学年高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案
浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=04．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．抛物线C ：y 2=2x 的准线方程是 ，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则= ．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ﹣ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S ﹣ABC 的体积为 ，其外接球的表面积为 ．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为 ．14．己知点O为坐标原点，△ABC为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为．15．已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，Z的最小值是．三、解答题（共39分）16．已知命题P：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17．圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB 的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．2．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵0＜x＜，分别画出y=xtanx（红色曲线），和y=xsinx（绿色曲线），如图所示，由图象可知，∴tanx＞sinx＞0，∴xtanx＜1⇒xsinx＜1，反之不成立，因此xtanx＜1是xsinx＜1的充分不必要条件．故选：A．3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标，根据直径和直线的位置关系进行求解即可．【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+1）2=16，得圆心坐标为（2，﹣1），∵圆的一条直径过直线x﹣2y﹣3=0被圆截得的弦的中点，∴直径和直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直径对应直线的斜率为﹣2，则直径所在的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0，故选：C．4．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△VAC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，===．∴S侧视图故选B ．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确． 故选：D ．6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性，可得MF 1=F 1F 2=2c ，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，得到x 的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，再由a ，b ，c 的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F 2（c ，0），由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上，由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ，则MO==c ，∠MF 1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2，即c ＞a ，则有e=＞． 故选A ．7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，由此能求出t 的值．【解答】解：由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，∴MF 2=QF 2=（AF 1+AF 2）﹣（AF 1+AQ ）=2a ﹣AF 1﹣AP=2a ﹣F 1P=2a ﹣F 1M∴MF 1+MF 2=2a ，∴t=a=2．故选A ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}【考点】直线与平面所成的角．【分析】设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，可证出平面A 1MN∥平面D 1AE ，从而得到A 1F 是平面A 1MN 内的直线．由此将点F 在线段MN 上运动并加以观察，即可得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，则∵A 1M∥D 1E ，A 1M ⊄平面D 1AE ，D 1E ⊂平面D 1AE ，∴A 1M∥平面D 1AE ．同理可得MN∥平面D 1AE ，∵A 1M 、MN 是平面A 1MN 内的相交直线∴平面A 1MN∥平面D 1AE ，由此结合A 1F∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ运动点F 并加以观察，可得当F 与M （或N ）重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ==2；当F 与MN 中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ==2∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 2 ，渐近线方程是 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求出双曲线的几何量，然后求解即可．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．10．抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则= 9 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥直线l，BN⊥直线l，PK⊥直线l，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1﹣××1×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴ +（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为．【考点】球内接多面体．【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a=2r ，进而可得答案．【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，设该小球的半径为r ，则r+1+=，解得：r=，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则： a=2r ，解得：a=，故答案为：．14．己知点O 为坐标原点，△ABC 为圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，由三角形的中心可得++=，则•（）=（+）•（2﹣），运用向量的数量积的性质和定义，化简可得7﹣2cos∠OC 1A ，再由向量共线可得最小值．【解答】解：圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的圆心为C 1（1，），半径为1，由C 1为正三角形ABC 的中心，可得++=，则•（）=（+）•（+++）=（+）•（2﹣）=22﹣2+•=2×（1+3）﹣1﹣2cos∠OC 1A=7﹣2cos∠OC 1A ，当，同向共线时，cos∠OC 1A 取得最大值1，即有•（）的最小值为7﹣2=5． 故答案为：5．15．已知动圆过定点F （0，﹣1），且与直线l ：y=1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A （0，2）在椭圆N 上．若过F 的动直线m 交椭圆于B ，C 点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z=S 1S 2，Z 的最小值是 9 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b ，进而得到椭圆方程；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程为：x 2=﹣4y ，依题意可设椭圆N 的标准方程为+=1，显然有c=1，a=2，b==，可得椭圆N 的标准方程为+=1；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1①联立椭圆N 的标准方程+=1，有（3k 2+4）x 2﹣6kx ﹣9=0，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则有|BC|=|x 1﹣x 2|=•=，又A （0，2）到直线m 的距离d 1=，∴S 1=|BC|d 1=，再将①式联立抛物线方程x 2=﹣4y 有x 2+4kx ﹣4=0，同理易得|DE|=4（1+k 2），d 2=，∴S 2=2，∴Z=S 1S 2==12（1﹣）≥12（1﹣）=9，∴当k=0时，Z min =9． 故答案为：9．三、解答题（共39分）16．已知命题P ：x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根，且不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，若命题p∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】化简命题p ，q ；由p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知p 与q 有且仅有一个为真．从而得出a 的取值范围．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根， ∴x 1+x 2=m ，x 1•x 2=﹣1，|x 1﹣x 2|=，∴当m ∈R 时，|x 1﹣x 2|min =2．由不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立， 得：a 2+4a ﹣5≤0， ∴﹣5≤a≤1；∴命题p 为真命题时﹣5≤a≤1． 命题p 为假命题时a ＞1或a ＜﹣5； 命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解， ①当a ＞0时，显然有解， ②当a=0时，2x ﹣1＞0有解，③当a ＜0时，∵ax 2+2x ﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a ＜0；从而命题p ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解时a ＞﹣1∴命题q 是真命题时a ＞﹣1，命题q 是假命题时a≤﹣1． ∵p∨q 真，p ∧q 假，∴p 与q 有且仅有一个为真．（1）当命题p 是真命题且命题q 是假命题时﹣5≤a≤﹣1； （2）当命题p 是假命题且命题q 是真命题时a ＞1； 综上所述：a 的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或a ＞1．17．圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C 1的焦点（±，0），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 代入可得，解得=3，因此椭圆C 2的方程为．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化为，∴，．∴x 1+x 2==，x 1x 2==．，，∵，∴，∴+，∴，解得m=或m=，因此直线l 的方程为：或．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB⊥平面DEF ？证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵ =（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB 上存在点F ，PF=，使得PB⊥平面DEF ．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B ，两点，△AOB 的面积为8，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点（不与Q 重合）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，求|PF|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）F 的坐标为，根据三角形的面积即可求出p 的值，问题得以解决；（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），根据韦达定理求出和向量的数量积的运算，即可求出x 1的值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：F 的坐标为，|AB|=2p ，∴，∴p=4，∴抛物线方程为y 2=8x ； （Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立方程得利用△=0化简可得：，又∵，可得∴直线l ：y 0y=4（x+x 0），∵，，∴，∵y 1y 0=4（x 0+x 1），∴x 1x 0+2（x 0+x 1）+4=（x 1+2）（x 0+2）=0， ∵x 0＞0， ∴x 1+2=0， ∴x 1=﹣2，即点P 是抛物线准线x=﹣2上的点 ∴PF 的最小值是4．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a ，c 的值，由隐含条件求得b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）分类求出直线AB 的斜率不存在、斜率为0时的四边形AMBN 面积，在设出斜率存在且不为0时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程利用弦长公式求得|AB|、|MN|的长度，代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得最值，同时得到边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，c=1，∴，又∵a2=b2+c2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，有，，∴；当直线AB的斜率为0时，，∴；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为，联立得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|===．同理|MN|=，∴|AB|•|MN|=，令t=k2+1（t≥1），，当．即k2+1=2，即k=±1时，．此时设直线AB的方程为y=±（x﹣1）．。
(完整word版)浙江省宁波市2017年高考模拟考试数学试卷(2)
, h 表示锥体的高
1 V 3 (S1
S1 S2 S2 )h
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积 ,
h 表示台体的高
球的体积公式
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
120 分钟。请考生按规
一、选择题：本大题共 目要求的。
10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
c sin C
2 ， c 2 2a ，
4
----------11 分
因为 S 1 ac sin B 1 a 2 2a 2 a2 9 ，
2
2
2
所以 a 3 .
19 ．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）取 BC 中点 M ，连结 EM ， FM ，
易知 EM / / AB ， FM / / PB ，
----------14 分 ----------2 分
21．（本小题满分 15 分） 已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 ，圆 C : ( x 1) 2
4
y 2 r2 ．
（Ⅰ）求椭圆上动点 P 与圆心 C 距离的最小值；
y
P
A
M
B
O
C
x
（Ⅱ） 如图， 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点， 且与圆 C 相切于
(第 21 题图 )
点 M ，若满足 M 为线段 AB 中点的直线 l 有 4 条，求半径 r 的取值范围．
A．i
B． i
C．1 i
3． 1
6
2x 展开式中含
x 2 项的系数为（ ▲）
D．1 i
A ． 15
B． 30
浙江省2017年高考数学二模试卷
浙江省2017年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．“ab＜0”是“|a﹣b|=|a|+|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ3．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到4．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．5．若a，b，c＞0，且a（a+b+c）+bc=16，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知向量，，满足||=2，||==3，若（﹣2）（﹣）=0，则|﹣|的最小值是（）A．2+B．2﹣C．1 D．27．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．（6分）（2016浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（2016浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=；=．11．（6分）（2016浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（2016浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（2016浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（2016浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（2016浙江二模）已知函数，若函数y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA ﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2017年浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
浙江省宁波市鄞州区2017-2018学年高三下学期模拟数学(文)试卷 Word版含解析
浙江省宁波市鄞州区2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1} 2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=__________，cos2α=__________．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=__________，S2015=__________．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=__________，t的取值范围是__________．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为__________．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是__________．15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合A={x|y=2x}={x|x∈R}，B={y|y=}={y|y≥0}，则A∩B={x|x≥0}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知可求，的坐标，根据在方向上的投影为：=（θ为向量的夹角），即可求解．解答：解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．点评：本题主要考查了向量投影定义的简单应用，属于基础试题．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若lna＜lnb，则0＜a＜b，推出＜，∴，“＜”是“lna＜lnb”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数不等式的性质是解决本题的关键．4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；故选D．点评：本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．解答：解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=，即可求得离心率．解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴k PA•k PB=•=，∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=，∵k PA•k PB=，∴=，∴=，即为c2=a2，则e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意画出不等式组表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，联立，解得A（1，2）．联立，解得B（﹣4，0）．联立，解得C（4，﹣4）．要使直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则或．（a，b）所在平面区域如图，联立，解得M（﹣1，﹣2），联立，解得N（2，1），令t=a+b，即b=﹣a+t，∴当直线b=﹣a+t过M时，t有最小值为﹣3；当直线b=﹣a+t过N时t有最大值为3．∴t=a+b的范围是（﹣3，3）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=，分类得出当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，当m＜0时，0＜f（x）＜1，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，分别运用图象判断根的个数．解答：解：∵函数f（x）=，∴图象为∵方程f（f（x）））=m，∴当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，运用图象判断有4个根，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，运用图象判断有5个根，当m＜0时，0＜f（x）＜1，运用图象判断有3个根，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，运用图象判断有3个根，故运用排除法得出方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为2个．故选：A点评：本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=，cos2α=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．解答：解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=2，S2015=2．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16cm3，表面积为34+6cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．点评：本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=1，t的取值范围是（，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4﹣t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．解答：解：函数f（x）=是一个奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2），化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1．即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．由f（2t+3）＜f（4﹣t），可得2t+3＞4﹣t，求得t＞，求得t∈（﹣7，），故答案为：1，（，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，两直线相较于圆心，且两直线互相垂直，把圆心坐标代入两直线方程，再根据两直线斜率之积等于﹣1，求得m、n、b的值，即可求得m+b﹣n的值．解答：解：由题意知，圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直，∴，解得，∴m+b﹣n=，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直是解题的关键，属于基础题．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知可得+==，分离之后结合基本不等式即可求解解答：解：∵x+y=3，x＞0，y＞0∴+====x+1+y+1+﹣8=﹣11+16（）=﹣11+（=﹣11（2））=当且仅当即x=y=时取等号故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC解答：解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=点评：本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：（1）由题意得sinC（cosB﹣sinB）=sinA，整理得：sinCcosB﹣sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即﹣sinBsinC=sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理得：=，则b==．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD…（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．∵E是PC中点，∴，∴EBGH为平行四边形，…∵PD⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD连接AH，…∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…∵AD=2DC，∴在Rt△ADH中，AH=DC …∴在Rt△AGH中，AG=CD，∴sin∠GHA==．…点评：本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过=及b n=••…••b1=可得结论．（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜恒成立．通过﹣=可得数列的单调性，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，当n≥3时，S n﹣1﹣2S n﹣2=1，∴a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0，即a n=2a n﹣1，又∵a2=2a1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n﹣1，n∈N*；当n≥2时，T n﹣1=（n﹣1）2b n﹣1，∴=，∴b n=••…••b1=，显然对n=1也成立．故b n=，n∈N*；（Ⅱ）由题意S n=2n﹣1，只需要对任意正整数λ＜恒成立．记C n=，当n≥2时，C n﹣C n﹣1=﹣=，当n≥3时数列{C n}递增；当n≤2时数列{C n}递减．易知n=3或2时有最小的项C2=C3=，综上：λ＜．点评：本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）设M（﹣a，t），通过计算2k MQ与k MA+k MB的值即得结论．解答：解：（1）设直线AB的方程为：my=x﹣a，联立方程组，消去x可得：y2﹣4my﹣4a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴S△AOB=•a•|y1﹣y2|=2a，所以当m=0时，S△AOB有最小值2a；（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．证明如下：设M（﹣a，t），∴k MQ=，而k MA+k MB=+=（*）因为x1x2==a2，x1+x2=m（y1+y2）+2a=4m2+2a，代入（*）式，可得k MA+k MB==﹣，∴k MA+k MB=2k MQ，所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得△=（k+4）（k﹣2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞），即可得出结论．解答：解：（1）由题意知△=（k+4）（k﹣2）…①当f（1）f（4）＜0时，．…②当f（1）f（4）=0时，k=或k=，经检验k=符合．…③当△=0时，k=2或k=﹣4，经检验k=2符合．…④当时，解得2＜k＜．…综上2≤k＜…（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞）…∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，≥0即k≥﹣1．∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞）…∴而k≥﹣1，∴这样的k不存在．…点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届浙江省宁波市2017级高三二模考试数学试卷及答案
2020届浙江省宁波市2017级高三二模考试数学试卷★祝考试顺利★说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共6页,满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式柱体的体积公式：V ＝Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高；台体的体积公式：121()3V S S h =,其中S 1、S 2分别表示台体的上､下底面积,h 表示台体的高；球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式：343V R π=,其中R 表示球的半径； 如果事件A,B 互斥,那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A,B 相互独立,那么P(A ·B)＝P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)。
第I 卷(选择题部分,共40分)一､选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{－2,－1,0,1,2,3},集合A ＝{－1,0,1},B ＝{－1,1,2},则(U ðA)∪(U ðB)＝A.{－1,1}B.{－2,3}C.{－1,0,1,2}D.{－2,0,2,3}2.已知复数z 是纯虚数,满足z(1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位),则实数a 的值是A.1B.－1C.2D.－23.已知实数x,y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z ＝3x ＋y 的最大值是。
浙江省宁波市数学高三理数第二次质量普查调研考试试卷
浙江省宁波市数学高三理数第二次质量普查调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·湖北期中) 设集合M={y|y=2sinx，x∈[﹣5，5]}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（）A . {x|1＜x＜5}B . {x|1＜x≤0}C . {x|﹣2≤x≤0}D . {x|1＜x≤2}2. （2分） (2016高三上·厦门期中) 锐角△ABC，则z=（sinA﹣cosB）+i（cosA﹣sinB）对应点位于复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高一下·新疆开学考) 已知f（x）= ，则f（3）为（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2 ，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A . 7个B . 8个C . 9个D . 10个5. （2分）下列曲线中，离心率为2的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P 恰好自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P （B|A）等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·乾安期末) 下表是考生甲（600分）、乙（605分）、丙（598分）填写的第一批段3个平行志愿，而且均服从调剂，如果3人之前批次均未被录取，且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先，遵循志愿”，即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿，按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图，则考生甲、乙、丙被录取院校分别是（）A . 天津大学、中山大学、中山大学B . 中山大学、天津大学、中山大学C . 天津大学、厦门大学、中山大学D . 中山大学、天津大学、厦门大学8. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知非零向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·合肥期末) 若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·惠州期末) 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b 有两个零点，则a的取值范围是（）A . a＜0B . a＞0且a≠1C . a＜1D . a＜1且a≠0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·长沙开学考) 若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为________．14. （1分）圆台的上、下底面面积分别为π和49π，过其轴的中点且平行两底的截面面积为________．15. （1分）在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．16. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高二上·兰州月考) 已知数列是等差数列，是等比数列，且，， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和 .18. （10分）炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：（1）据统计表明，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（，则认为y与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数参考数据：，.19. （10分） (2019高三上·通州期中) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD ，，点E ， F为PC ， PA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．20. （10分） (2017高二上·阳高月考) 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
2017届浙江省五校高三第二次联考理科数学试题及答案 精品
2017学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记; 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式24RS π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则ii 31+=A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123-2．设集合}20|{<≤∈=x Z x M ，}4|{2≤∈=x R x P ，则=P M A ．}1{ B. }1,0{ C ． M D ．P 3． 函数R x xx f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为A ．2π B ．π C ．π2 D ．π4 4． R c b a ∈,,.则“c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21B ．23C ．21-D ．23-6．在平面直角坐标系中，不等式2|2||2|≤++-x y 表示的平面区域的面积是A ．8B ．4C ．24D ．227．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为 A ．2 B ．21 C ．22D ．428．如图， ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，AD BE ⊥于E ，则CE 的最小值为 A ．1 B ．32- C ．13-D ．239．已知椭圆C:1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为A ．161-B ．321- C ．641D ．10241- 10．下列四个函数:①23)(x x x f +=;②x x x f +=4)(;③x x x f +=2sin )(; ④x x x f sin 2cos )(+=中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④（第8题）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共2811．二项式52)1(x -的展开式中6x 的系数为 ▲ ．12．若某程序框图如图所示，13．若非零向量,，满足||||=+，)(λ+⊥， 则=λ ▲ ．14．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1， 则=a ▲ ．15．对任意R x ∈，都有)()1(x f x f =+，)()1(x g x g -=+，且)()()(x g x f x h =在]1,0[上的值域]2,1[-．则)(x h 在]2,0[上 的值域为 ▲ ．16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 ▲ 种． 17．已知：长方体1111D C B A ABCD -，4,4,21===AA AD AB ，O 为对角线1AC 的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点N M ,，P 为长方体表面上的动点，则⋅的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，（第12题）记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知125)2(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且⎩⎨⎧≥==)2(2)1(2n a n S n n ．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设)log )(log (11212+++++=n n n n n n S S S S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是正方形，PD CD =，︒=∠︒=∠120,90CDP ADP ，G F E ,,分别为PB ,（Ⅰ）求证:平面//EFG 平面PCD ;（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的大小21．（本题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数=)(x f x x 4321+， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；FBP（Ⅱ）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求∙的最小值，并求此时的t 的值．22．（本题满分14分） 已知R ∈a ，函数1ln )(-+-=ax e xxx f （e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 的最小值为a ，求a 的最小值．2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．C ； 8．C ； 9．B ； 10．D ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10-； 12．60137； 13．2； 14． 0或3；15．]2,2[-； 16． 648； 17．]8,8[-．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则125)2(292===C C X P n ，即12589)1(=⨯-n n ，解得6=n ．（Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：3412522111210)(=⨯+⨯+⨯=X E ．19.解:（Ⅰ）2≥n 时,)(221--==n n n n S S a S2,211==-S S S n n 所以n n S 2=⎩⎨⎧=≥=-1)(n 22)(21n a n n（Ⅱ）12121)12)(2(1211++-+=++++=++n n n n b n n n n n n12131121213212212211211132221++-=++-++++-+++-+=+++=++n n n b b b T n n n nn20. 解：（Ⅰ）因为G E ,分别为AP BP ,中点,所以AB EG //, 又因为ABCD 是正方形,CD AB //,所以CD EG //,所以//EG 平面PCD . 因为F E ,分别为BC BP ,中点,所以PC EF //,所以//EF 平面PCD . 所以平面//EFG 平面PCD .（Ⅱ）法1.易知CD AD ⊥,又PD AD ⊥,故分别以DA DC ,为x 轴和z 轴,不妨设2===PD CD AD 则)1,0,2(),2,0,2(F B ,)0,3,1(-P所以)1,23,21(E)0,23,23(),1,0,0(-==设),,(111z y x =是平面BEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00m FB 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=023230111y x z 取⎪⎩⎪⎨⎧===031111z y x ,即)0,3,1(=m 设),,(222z y x n =是平面DEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02323022222y x z x 取⎪⎩⎪⎨⎧-===231222z y x 设二面角B EF D --的平面角的大小为θ2222231,cos =⨯+=>=< 所以22cos -=θ,二面角B EF D --的平面角的大小为π43.法 2. 取PC 中点,联结DM EM ,则BC EM //,又⊥AD 平面PCD,BC AD //,所以⊥BC 平面PCD ,所以⊥EM 平面PCD ,所以DMEM ⊥,PC EM ⊥.因为DP CD =,则PC DM ⊥,所以 ⊥DM 平面又因为PC EF //,所以EM EF ⊥所以DEM ∠就是二面角B EF D --不妨设2===PD CD AD ,则1=EM ,1=DM ,4π=∠DEM .所以二面角B EF D --的平面角的大小为π43.21. 解：（Ⅰ）1=c ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=122122b a a 得1,2==b a ,椭圆方程为1222=+y x（Ⅱ）若直线l 斜率不存在,则∙=2)4321(2-+t t FBP设直线)(:t x k y l -=,)0,(),,(),,(02211x Q y x B y x A ),(),,(202101y x x y x x -=-=222021022122120201210201))(()1())(())(())((t k x x x x t k x x k t x t x k x x x x y y x x x x ++++-+=--+--=+--=∙ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(1222t x k y y x 得0224)12(22222=-+-+t k tx k x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222122212122214k t k x x k t k x x 21)43212(22)4321(22220-=∙+-≥-+=-=∙t t t t x QB QA 故 故∙的最小值为21-,此时36±=t .22. 解:（Ⅰ）1=a 时,1ln )(-+-=x e x x x f ,12ln 1)('-+--=x e xx x f 当1>x 时,0ln 11ln 1)('222>+-=+-->x x x x x x f 当10<<x 时,0ln 11ln 1)('222<+-=+--<xx x x x x f 所以)(x f 的单调减区间为),1,0(单调增区间为),1(+∞. （Ⅱ）由题意可知:a e xx ax ≥+--1ln 恒成立,且等号可取. 即0ln 1≥---x ax xe ax 恒成立,且等号可取. 令x ax xe x g ax ln )(1--=- )1)(1()('1x e ax x g ax -+=- 由011=--x e ax 得到x x a ln 1-=,设x x x p ln 1)(-=,22ln )('x x x p -= 当2e x >时,0)('>x p ;当20e x <<时,0)('<x p .)(x p 在),0(2e 上递减,),(2+∞e 上递增.所以22min 1)()(ee p x p -== 当21e a -≤时, x x a ln 1-≤,即011≤--x e ax , 在)1,0(a-上,0)(',01≤>+x g ax ,)(x g 递减; 在),1(+∞-a上,0)(',01≥<+x g ax ,)(x g 递增. 所以)1()(min ag x g -= 设],0(12e a t ∈-=,)0(1ln )()1(22e t t et t h a g ≤<+-==- 011)('2≤-=t et h ,)(t h 在],0(2e 上递减,所以0)()(2=≥e h t h 故方程0)1()(min =-=a g x g 有唯一解21e a =-,即21ea -=. 综上所述,当21e a -≤时,仅有21ea -=满足)(x f 的最小值为a , 故a 的最小值为21e -.。
宁波市2017学年高考模拟考试高三数学测试卷及参考答案
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选择题 选择题两 规 笔将 试题
2017年浙江高考数学模拟卷参考答案
2017年浙江省普通高等学校招生考试模拟卷参考答案数学（一）一、选择题1.答案B 。
解：[][)2,2,0,M N =-=+∞，[]0,2M N ∴=。
2.答案C.解：由题意知点A 、B 的坐标为(6,5)A 、(2,3)B -，则点C 的坐标为(2,4)C ， 则24i z =+，从而220z z z ⋅==。
3.答案B 。
解：因为向量b 在向量a 方向上的投影为2，则有2a b a=，即有6a b =。
则2()963a a b a a b -=-=-=。
4.答案A 。
解：由3)4(log 21-=f ，得(2)3f -=-，又)(x f 是奇函数，则有(2)3f =，即23a =，而0a >，故a =5.答案D 解法1：从6名候选人中选出3人，担任团生活委员的有155A =种不同的选举结果；担任团支部书记、团组织委员的有2520A =种不同的选举结果；故总共有520100⨯=种不同的选举结果。
解法2：从6名候选人中选出3人，不含甲的有3560A =种不同的选举结果； 从6名候选人中选出3人，含有甲的有21252240C A A =种不同的选举结果；故总共有6040100+=种不同的选举结果。
6.答案D. 解：475628a a a a +=⎧⎨=-⎩，得474728a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩。
若474,2a a ==-，则有1108,1a a =-=，此时1107a a +=-。
若472,4a a =-=，则有1101,8a a ==-，此时1107a a +=-。
综合有1107a a +=-。
7.答案C 解：在ABC ∆中，220sin sin sin sin A B a b A B A B <⇔<⇔<<⇔<，2212sin 12sin cos 2cos 2A B A B ⇔->-⇔>，故选C 。
2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷
2017年浙江省宁波市⾼三⼆模数学试卷2017年浙江省宁波市⾼三⼆模数学试卷⼀、选择题（共10⼩题；共50分）1. 已知全集，，则A. B.C. D.2. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则A. B. C. D.3. 的展开式中含项的系数为A. B. C. D.4. 随机变量的取值为，，．若，，则A. B. C. D.5. 已知平⾯，和直线，，若，则“”是“，且”的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设，则函数的零点之和为A. B. C. D.7. 从，，，，这五个数字中选出三个不相同数组成⼀个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为A. B. C. D.8. 如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第⼆、四象限的公共点，若，且，则与离⼼率之和为A. B. C. D.9. 已知函数，则下列关于函数的结论中，错误的是A. 最⼤值为B. 图象关于直线对称C. 既是奇函数⼜是周期函数D. 图象关于点中⼼对称10. 如图，在⼆⾯⾓中，，均是以为斜边的等腰直⾓三⾓形，取中点，将沿翻折到，在的翻折过程中，下列不可能成⽴的是A. 与平⾯内某直线平⾏B. 平⾯C. 与平⾯内某直线垂直D.⼆、填空题（共7⼩题；共35分）11. 已知函数，则函数的最⼩正周期为，振幅的最⼩值为．12. 某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：），则该⼏何体的表⾯积是，体积是．13. 已知，是公差分别为，的等差数列，且，，若，，则；若为等差数列，则．14. 定义，已知函数，其中，，若，则实数的范围为；若的最⼩值为，则．15. 已知，，为坐标原点，若直线：与所围成区域（包含边界）没有公共点，则的取值范围为．16. 已知向量，满⾜，，若恒成⽴，则实数的取值范围为．17. 若，，则的最⼤值为．三、解答题（共5⼩题；共65分）18. 在中，内⾓，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，的⾯积为，求的值．19. 如图，在四棱锥中，为正三⾓形，四边形为直⾓梯形，，，平⾯平⾯，点，分别为，的中点，．（1）证明：直线平⾯；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值．20. 设函数，．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，记的极⼩值为，求的最⼤值．21. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意⼀点，过点的直线交于另⼀点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三⾓形．（1）求的⽅程；（2）若直线，且和有且只有⼀个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 已知数列中，，，，为的前项和．证明：时．（1）；（2）．答案第⼀部分1. C 【解析】因为且，则．2. A 【解析】由，故．3. C 【解析】⼆项展开式通项为，故含的系数为．4. B 【解析】设，，由分布列的性质得，⼜由，联⽴可得，，所以．5. B【解析】如图，由可得或，故由不⼀定能推出且，反之若且，由线⾯平⾏的性质定理和判定定理易得，故是且成⽴的必要不充分条件．6. C 【解析】画出函数的图象如图，则要使，只需或，由得，或，由得或，故所求零点之和为．7. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，⾸位与末位只能⽤奇数，中间位随意，故先排⾸位末位得．8. A 【解析】如图，连接，，由椭圆与双曲线的对称性知，⼜，所以，，⼜，故．9. D 【解析】选项正误原因当时故图象关于对称易得故为奇函数且由选项得即得故周期为不⼀定为故图象不关于点中⼼对称10. A【解析】选项正误原因因为直线与平⾯相交于点故平⾯内的直线与直线或相交或异⾯不可能平⾏因为与异⾯所以过可以作⼀平⾯与平⾏当点落在此平⾯时平⾯因为直线与平⾯相交于点故过点能作⼀条直线与垂直则在平⾯内与所作的那条直线平⾏的⽆数条直线均与垂直过点作因为所以当在平⾯上的阴影落在上时第⼆部分11. ，【解析】函数，故最⼩正周期为，振幅．12. ，【解析】⼏何体为两个相同长⽅体组合，长⽅体的长宽⾼分别为，，，所以体积为，由于两个长⽅体重叠部分为⼀个边长为的正⽅形，所以表⾯积为．13. ，【解析】易知数列是⾸项为，公差为的等差数列，则，由，，得，即得，化简得．14. ；【解析】做出函数的图象如图，要使需，要使的最⼩值为，需在第⼀象限的交点纵坐标为，从⽽得，故有．15.【解析】因为（含边界）与直线没有公共点，故得三个点，，在直线的同⼀侧，⼜代⼊，故有代⼊均⼩于．即有其表⽰的平⾯区域如图阴影部分，设则有，平移直线，易知经过点时最⼩，计算可得点的坐标为，故，⽆最⼤值，故的取值范围为．16.【解析】因为，且，如图，可得．⼜，故要使恒成⽴只需恒成⽴，即为或恒成⽴．由得，因为，所以没有使恒成⽴，由恒成⽴得恒成⽴，即只需或．⼀题多解设向量，夹⾓为，由两边平⽅得，，⼜，故要使恒成⽴，只需恒成⽴，即为或恒成⽴．由得，因为，所以没有使恒成⽴，由恒成⽴得恒成⽴，即只需或．17.【解析】当时，；当时，，令，则可化为．设，因为该⽅程⼀定有解，故得．综上的最⼤值为．第三部分18. （1）因为，所以由正弦定理得，⼜因为，所以，且为锐⾓，所以．（2）由（）知，，由正弦定理得，，，因为，所以．19. （1）取中点，连接，，如图，易知，．因为，平⾯，平⾯．得平⾯，同理平⾯，⼜，平⾯，平⾯，所以，平⾯平⾯．⼜平⾯，所以直线平⾯．（2）解法⼀：连接，．如图，因为平⾯平⾯，平⾯平⾯，且，所以平⾯，⼜平⾯，所以．⼜因为，，平⾯，平⾯，所以平⾯，平⾯平⾯．过点作于点，连接，由平⾯平⾯可知，平⾯．所以直线与平⾯所成⾓为．在直⾓三⾓形中，求得，在直⾓三⾓形中，求得，所以，．解法⼆：由，易得，⼜为中点．所以，因为为正三⾓形，。
数学卷·2017届浙江省宁波市高三上学期期末联考(2017.01)
浙江省宁波市2017届高三上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2M x x =≤，{}2|230N x x x =+-≤，则M N =I （ ） A ．{}|21x x -≤≤ B ．{}|12x x ≤< C ．{}|12x x -≤≤ D ．{}|32x x -≤≤ 2.复数2iz i-=（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --3.函数()22,12sin 1,112x x f x x x π⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦（ ） A ．-2 B ．-1 C．12- D ．04.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C.若//m α，//m β，则//αβ D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥5.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则E ξ=（ ）A ．0.45B ．0.5 C.0.55 D ．0.66.在平面直角坐标中，有不共线的三点,,A B C ，已知,AB AC 所在直线的斜率分别为12,k k ，则“121k k >-”是“BAC ∠为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.设实数,x y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2x y +的最小值为（ ）A ．1.5B ．2 C.5 D ．68.过双曲线2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于,B C ，且2AB BC =u u u r u u u r，则此双曲线的离心率是（ ）A ．10B ．10 C.5 D ．5 9.已知函数()()()2x f x x ax b e e =++-，,a b R ∈，当0x >时，()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20a -≤≤B ．10a -≤≤ C.1a ≥- D ．01a ≤≤ 10.如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别为边,BC AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3AB C.直线AB 与直线CD 可能垂直 D ．直线AF 与直线CE 可能垂直第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.若实数1a b >>，且5log log 2a b b a +=，则log a b = ；2ab= ． 12.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是 ，体积是 ．13.已知直线l ：10mx y m -+-=，m R ∈，若直线l 经过抛物线28y x =的焦点，则m = ；此时直线l 被圆()()22116x y -+-=截得的弦长AB = ．14.已知ABC ∆三边分别为,,a b c ，且222a cb ac +=+则边b 所对应的角B 大小为 ，此时，如果3AC =·AB AC u u u r u u u r的最大值为 ． 15.某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是 （用数字作答）. 16.若正实数,a b 满足()2216a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为 .17.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =-+，数列{}n b 的通项公式为33n n b -=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，()3n c c n N +≥∈，则实数t 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. （本小题满分12分）已知函数()()3cos sin 32f x x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数()()g x f x a =+为偶函数，求a 的最小值. 19. （本小题满分12分）如图，在三棱台ABC DEF -中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B --的大小为23π.（Ⅰ）证明：AC BN ⊥；（Ⅱ）求直线AD 与平面BEFC 所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：()221022x y n n+=<<.（Ⅰ）若椭圆C 的离心率为12，求n 的值； （Ⅱ）若过点()2,0N -任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180NMA NMB ∠+∠=o？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()121n n a S n n N ++=++∈，令1n n b a =+. （Ⅰ）求证：{}n b 是等比数列；（Ⅱ）记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；（Ⅲ）求证：1231111111122316n n a a a a -<++++<⨯…. 试卷答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:DACCD二、填空题11.12；1 12.16+ 6 13. -1； 14.60o；6+ 15.24 16.1617.[]3,6三、解答题18.（Ⅰ）()()cos sin 2f x x x x =+)2sin cos 2cos 12x x x =--1sin 222x x =- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意，得()()sin 223g x f x x παα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 为偶函数， 所以5232212k k ππππαπα-=+⇒=+，k Z ∈， 当1k =-时，α的最小值为12π. 19.（Ⅰ）证：取AC 中点M ，连结NM BM 、. 易知：AC NM ⊥，AC BM ⊥，BM NM M =I ， 所以AC ⊥平面NBM .又因为BN ⊂平面NBM ，所以AC BN ⊥.（Ⅱ）解：由三棱台结构特征可知，直线AD CF BE 、、的延长线交于一点，记为P ， 易知，PAC ∆为等边三角形. 连结AE EC 、.由（Ⅰ）可知PMB ∠为二面角D AC B --的平面角，即23PMB π∠=. 因为2AB AP BC CP ====，E 为PB 中点， 所以PB ⊥平面AEC ，平面AEC ⊥平面PBC . 过点A 作AH EC ⊥于点H ，连结HP .由平面AEC ⊥平面PBC ，可知AH ⊥平面PBC ， 所以直线AD 与平面BEFC 所成角为APH ∠. 易知72AE CE ==，在AEC ∆中求得217AH = 所以21sin 7AH APH AP ∠==. 20.解：（Ⅰ）()()2222x a a f x x x x+=+=′由()1220f a =+=′，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到最小值， 故1a =-.（Ⅱ）由()0f x >，即22ln 0x a x +>，对任意[)1,x ∈+∞恒成立.（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，22ln 0x a x +>，得22ln x a x>-.令()()212ln x g x x x =->，得()()22ln 12ln x x g x x-=-′；若1x <<()0g x >′；若x >()0g x <′.得()g x在(上递增，在)+∞上递减.故()()212ln x g x x x=->的最大值为ge =-.所以a e >-.综合（1）（2）得a e >-.21.解：（Ⅰ）因为22a =，2b n =，所以22c n =-.又12c e a ==有222124c n a -==，得32n =. （Ⅱ）若存在点(),0M m ，使得180NMA NMB ∠+∠=o，则直线AM 和BM 的斜率存在，分别设为12,k k ，且满足120k k +=. 依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()2y k x =+.由()22212y k x x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222228820k n x k x k n +++-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222842820kk n k n -+->，解得22nk <. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212282k x x k n +=-+，2122822k nx x k n-=+，()112y k x =+，()222y k x =+.令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210x m y x m y -+-=，()()()()1221220x m k x x m k x -++-+=，当0k ≠时，()()12122240x x m x x m --+-=，所以()2222828224022k n k m m k n k n-⨯+-⨯-=++， 化简得，()2102n m k n+=+，所以1m =-. 当0k =时，检验也成立.所以存在点()1,0M -，使得180NMA NMB ∠+∠=o.22.解：（Ⅰ）12a =，()22228a =+=()()121n n a S n n N *+=++∈()()122n n a S n n -=+≥两式相减，得()1322n n a a n +=+≥经检验，当1n =时上式也成立，即()1321n n a a n +=+≥. 有()1131n n a a ++=+即13n n b b +=，且13b = 故{}n b 是等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得3nn b =231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯… 234+131323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯…两式相减，得()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⨯=⨯-…化简得333·3244n n T n ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（Ⅲ）由111313k k k a =>- 得2123111111111111133·133322313n n n n a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++>+++==--…… 又()()()()1111111313311312313131313131k k k k k k k k k k a +++++-⎛⎫==<=- ⎪-------⎝⎭有1231111na a a a ++++… 233411311111122313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 2111311133111·22313121623116n n ++⎛⎫=+-=+-< ⎪---⎝⎭ 故1231111111122316n n a a a a -<++++<⨯….。
浙江省宁波市2017-2018学年高考数学二模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣12．已知a∈R，则a2＞3a是a＞3的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条4．已知等比数列{a n}满足a2=，a2•a8=4（a5﹣1），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A．20 B．31 C．62 D．635．已知函数f（x）=，并给出以下，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数6．已知函数y=f（x）=|x﹣1|﹣mx，若关于x的不等式f（x）＜0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A．2 B．4 C．2D．48．在△ABC中，点D满足=，P为△ABC内一点，且满足=+，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．下面几个数中：①30.4②③log23•log98④5﹣0.2⑤最大的是．最小的是．（请填写对应数的序号）10．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b=，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=．11．已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y．（Ⅰ）若z的最小值为0，则m=；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为．12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为．（单位：cm2）13．已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则•的最大值为．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围为．15．已知a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值是此时a=．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）（ω＞0）关于点（）对称（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面积的取值范围为[]，求角A的值及a的取值范围．17．已知数列{a n}满足a1=，a n=．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n}满足b1=1，b2=2，且b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1（n＞2），判断2016是否为数列{b n}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．18．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将△ADE折起到△A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值．19．在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x﹣4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y≥0，0≤x≤8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线．（Ⅰ）求p的值及线段l所在的直线方程；（Ⅱ）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．20．已知f（x）=．（Ⅰ）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意的实数a（﹣2≤a≤4）都有一个最大的正数M（a），使得当x∈[0，M（a）]时，|f（x）|≤3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a．2016年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={﹣1，0，1，2}，B⊆A知x=﹣1或x=0或x=2，从而分类讨论求得．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B⊆A，∴x=﹣1或x=0或x=2，若x=﹣1，则x2﹣x=2，故成立；若x=0，则x2﹣x=0，故不成立；若x=2，则x2﹣x=2，故不成立；故选：D．2．已知a∈R，则a2＞3a是a＞3的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a2＞3a，解得a＞3或a＜0．即可判断出结论．【解答】解：由a2＞3a，解得a＞3或a＜0．∴a2＞3a是a＞3的必要不充分条件．故选：B．3．下列中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据条件举出反例判断．【解答】解：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，b⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．对于D，∵直线a∥平面α，∴存在直线b⊂α，使得a∥b，过P作c∥b，则a∥c．故D正确．故选：D．4．已知等比数列{a n}满足a2=，a2•a8=4（a5﹣1），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A．20 B．31 C．62 D．63【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2=，a2•a8=4（a5﹣1），可得=，=4（a5﹣1），联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=，a2•a8=4（a5﹣1），∴=，=4（a5﹣1），解得a5=2，q3=8，解得q=2．，则a4+a5+a6+a7+a8=+2×2+2×22+2×23=31．故选：B．5．已知函数f（x）=，并给出以下，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（﹣x）]，判断f（sinx）与f[sin（﹣x）]的关系，利用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期．同理判断y=f（sin）的奇偶性和周期性．【解答】解：∵f（x）=，∴f（sinx）=．当sinx＞0时，﹣sinx＜0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1+sinx=f（sinx），当sinx＜0时，﹣sinx＞0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1﹣sinx=f（sinx），∴f（sinx）是偶函数，∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π为周期的函数．同理可得：y=f（sin）是偶函数，∵y=sin不是周期函数，∴y=f（sin）不是周期函数．故选：C．6．已知函数y=f（x）=|x﹣1|﹣mx，若关于x的不等式f（x）＜0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）＜0得|x﹣1|＜mx，构造函数，作出两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可．【解答】解：由f（x）＜0得|x﹣1|﹣mx＜0，即|x﹣1|＜mx，设g（x）=|x﹣1|，h（x）=mx．作出g（x）的图象如图：若|x﹣1|＜mx解集中的整数恰为3个，则x=1，2，3是解集中的三个整数，则满足，即，则，即，故选：A7．如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A．2 B．4 C．2D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得A，F的坐标，令x=c，求得P的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理可得D的坐标，由条件解方程可得a=2，进而得到椭圆的长轴长．【解答】解：由题意可得A（a，0），F（c，0），即有c=，令x=c，可得y=±=±，可得P（，），由AP⊥PD，可得k AP•k P D=﹣1，即•=﹣1，解得x D=﹣，由|DF|=，可得﹣x D==，即为a2[（a2﹣（a2﹣2）]=8，即a2=4，解得a=2．则椭圆C的长轴长为4．故选：B．8．在△ABC中，点D满足=，P为△ABC内一点，且满足=+，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可作出图形，并作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF，从而有，这样即可求出，而同理可以求得，从而便可求得的值．【解答】解：如图，作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF；∵E在AB上，，且PE∥AC；∴；又，∴，且，PE∥AC；∴；∴；∴．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．下面几个数中：①30.4②③log23•log98④5﹣0.2⑤最大的是②．最小的是⑤．（请填写对应数的序号）【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、和差化积公式即可得出．【解答】解：①30.4∈；②=tan60°=；③log23•log98==；④5﹣0.2∈（0，1）；⑤＜0．综上可得：最大的是②；最小的是⑤．故答案分别为：②；⑤．10．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b=2，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式计算可得b=2；再由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的a=1，c=，由题意可得e===，解得b=2；由双曲线x2﹣=1可得渐近线方程为y=±2x，由以（2，1）为圆心，r为半径的圆与渐近线y=2x相切，可得d=r，即r==．故答案为：2，．11．已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y．（Ⅰ）若z的最小值为0，则m=﹣1；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（﹣2，1）．【考点】简单线性规划．【分析】（Ⅰ）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求得m的值；（Ⅱ）由题意求得直线y=﹣mx+z的斜率的范围，得到m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（3，5），C（0，2），化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，由图可知，当m＜0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或B （3，5），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=﹣1．把B（3，5）代入z=mx+y=0，求得m=﹣，不合题意；当m＞0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或C（0，2），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=﹣1，不合题意．把B（0，2）代入z=mx+y=0，得2=0（舍）．∴若z的最小值为0，则m=﹣1；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则﹣1＜﹣m＜2，得﹣2＜m＜1．∴若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（﹣2，1）．故答案为：（Ⅰ）﹣1；（Ⅱ）（﹣2，1）．12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为64﹣．（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为V=43﹣×π•43=64﹣．故答案为：64﹣．13．已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则•的最大值为1+2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A，B，C，D的坐标，设M（m，n），运用数量积的坐标表示可得•=m（m﹣2）+n（n﹣2）=（m﹣1）2+（n﹣1）2﹣2，运用几何意义：距离的平方，即可得到所求最大值．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），设M（m，n），则•=（﹣m，﹣n）•（2﹣m，2﹣n）=m（m﹣2）+n（n ﹣2）=（m﹣1）2+（n﹣1）2﹣2，要求•的最大值，即求点（m，n）与点E（1，1）的距离的平方的最大值．由图象可得，当P在点A，B，C，D时，连接PE，延长交圆于M，即为所求．此时，|PM|=1+，即有•的最大值为（1+）2﹣2=1+2．故答案为：1+2．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围≤﹣．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（m﹣n）2≥1恒成立，转换成最值问题求解即可．【解答】解：设f（x）=x2+ax+b=0，有两根x1，x2，∴4b＜a2，x1+x2=﹣a，x1x2=b，∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，∴（x1﹣x2）2≥1恒成立，∴a2﹣1≥4b，∴b≤﹣．15．已知a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值是此时a=．【考点】基本不等式．【分析】变形a+b=（2+a+a+2b）﹣1=（2+a+a+2b）﹣1=﹣1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a+b=（2+a+a+2b）﹣1=（2+a+a+2b）﹣1=﹣1≥﹣1=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案分别为：；．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）（ω＞0）关于点（）对称（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面积的取值范围为[]，求角A的值及a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即m=2，从而可得f（x）的最小值；（Ⅱ）f（x）的图象关于点（）对称，有，求得ω=6k+，又A为f（x）的最小正周期，得．结合A为△ABC的最大内角，得，即．求解该不等式求得A=．由△ABC面积的取值范围求得c的范围．再由余弦定理用c表示a，则a的取值范围可求．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）=sin（2ωx）+=．∵f（x）的图象关于点（）对称，则m=2，∴f（x）的最小值为；（Ⅱ）f（x）的图象关于点（）对称，有，则ω=6k+，又A为f（x）的最小正周期，则．又A为△ABC的最大内角，则，即．得，故k=0时，此时A=．∵[]，∴1≤c≤2．又a2=c2+4+2c∈[7，12]，∴a∈[]．17．已知数列{a n }满足a 1=，a n =．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n }满足b 1=1，b 2=2，且b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1（n ＞2），判断2016是否为数列{b n }中的项？若是，求出相应的项数n ，若不是，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过对a n =两边同时取倒数，整理即得结论；（Ⅱ）通过（I ）可知b 3=b 1+b 2=2，当n ≥2时利用b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣2与b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1作差，进而利用累乘法计算即得结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵a n =，∴==1+（n ＞1），又∵==2，∴数列{}是首项为2、公差为1的等差数列，∴=2+n ﹣1=n+1，∴a n =；（Ⅱ）结论：2016为数列{b n }中的第3024项． 理由如下：由（I ）可知b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣1（n ＞2），又∵b 1=1，b 2=2，∴b 3=b 1+b 2=2，∵当n ≥2时，b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣2，∴b n ﹣b n ﹣1=b n ﹣1，即=，由累乘法可知b n=••…••b3=••…••2=n，当b n=n=2016时，解得：n=3024，∴2016为数列{b n}中的第3024项．18．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将△ADE折起到△A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）过A1作A1H⊥CD交CD于H，连结CE，则可证四边形ADCE 是矩形，得出CE⊥CD，由A1H⊥平面BCDE得出A1H⊥CE，于是CE⊥平面A1DC，故而平面A1EC⊥平面A1DC；（II）利用勾股定理计算A1H，BH，A1B，于是直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为．【解答】证明：（I）过A1作A1H⊥CD交CD于H，连结CE．∵点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上，∴A1H⊥平面EBCD．∵CE⊂平面EBCD，∴A1H⊥CE．∵AB∥CD，∠A=，CD=AE=，∴四边形AECD是矩形，∴CE⊥CD．又A1H⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，A1H∩CD=H，∴CE⊥平面A1DC，∵CE⊂平面A1CE，平面A1EC⊥平面A1DC．解：（II）连结BH，∵A1H⊥平面EBCD，∴∠A1BH为直线A1B与平面EBCD所成的角．连结HE，设A1H=x，则DH=，HE=，∴CH==．∴+=2，解得x=，∴A1H=，DH=，∴BH==，∴A1B==．∴sin∠A1BH==．∴直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为．19．在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x﹣4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y≥0，0≤x≤8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线．（Ⅰ）求p的值及线段l所在的直线方程；（Ⅱ）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得圆的圆心，以及抛物线的焦点坐标，可得p=8，进而得到抛物线的准线方程，即有直线l的方程；（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率，进而得到切线方程，联立抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，弦长公式，化简整理，求得P的坐标和A，B的纵坐标，即可判断不存在．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程为（x﹣4）2+y2=16的圆心为（4，0），抛物线y2=2px的焦点为（，0），由题意可得=4，解得p=8；抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得直线l：x=﹣4；（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率为k=﹣，且（x0﹣4）2+y02=16，则切线方程为（x0﹣4）（x﹣4）+y0y=16，联立抛物线的方程y2=16x，消去x，可得y2+y0y﹣4x0=0，即有y A+y B=﹣，y A y B=﹣，由|MN|=|y A﹣y B|===，解得x0=1，y0=，即P（1，），解得y A，或y B=（±2），抛物线弧右上端点坐标为（8，8），且（+2）＞8，故此时P不满足条件，这样的点P不存在．20．已知f（x）=．（Ⅰ）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意的实数a（﹣2≤a≤4）都有一个最大的正数M（a），使得当x∈[0，M（a）]时，|f（x）|≤3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）通过f（x）的解析式可知当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2使得f （x）=f（t），从而问题转化为求当0≤x≤5时|f（x）|的最大值即可，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过配方可知f（x）=+1﹣a﹣（0≤x≤t），分0≤﹣≤t、0＜t≤﹣、﹣＜0＜t三种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，当x≥0时，f（x）=x2﹣8x+9，∵当x＜0时，f（x）=f（x+2），∴当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2使得f（x）=f（t），从而只要求当0≤x≤5时|f（x）|的最大值即可，此时f（4）≤f（x）≤f（0），即﹣7≤f（x）≤9，∴当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值为9；（Ⅱ）f（x）=x2+ax+1﹣a=+1﹣a﹣，其中0≤x≤t，①当0≤﹣≤t时，f mi n（x）=f（﹣）=1﹣a﹣，f ma x（x）=max{f（0），f（t）}=max{1﹣a，t2+at+1﹣a}，|f（x）|≤3恒成立转化为：，则M（a）=t ma x=（﹣2≤a≤0），由=+1=+1，显然在[﹣2，0]上单调递减，故此时M ma x（a）=M[﹣2]=2；②当0＜t≤﹣时，f mi n（x）=f（t）=t2+at+1﹣a，f ma x（x）=f（0）=1﹣a，则有，有a≥﹣2，即0＜t＜﹣≤1，此时不可能比①中的值大；③当﹣＜0＜t时，f ma x（x）=f（t）=t2+at+1﹣a，f mi n（x）=f（0）=1﹣a，则有，则M（a）=t ma x=（0＜a≤4），与①同理，可得M ma x（a）＜M（0）＜M（﹣2）=2；综上所述，当a=﹣2时，M ma x（a）=2．2016年7月5日。
浙江省宁波市数学高考理数二模考试试卷
浙江省宁波市数学高考理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x∈Z||x|≤2}，B={x|x2﹣2x﹣8≥0}，则A∩（CRB）=（）A . {﹣2，﹣1，0，1，2}B . {﹣1，0，1，2}C . {2}D . {x|﹣2＜x≤2}2. （2分） (2015高二下·遵义期中) 复数z=1﹣i，则 =（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·西安期中) 已知向量 =（﹣1，1，﹣1）， =（2，0，﹣3），则• 等于（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣5D . 14. （2分）(2016·上海模拟) 已知点A（1，1），B（5，5），直线l1：x=0和l2：3x+2y﹣2=0，若点P1、P2分别是l1、l2上与A、B两点距离的平方和最小的点，则| |等于（）A . 1B . 2C .D .5. （2分） (2015高二上·石家庄期末) 若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A . 12B . 24C . 36D . 487. （2分）(2020·河南模拟) 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（）A . 30B .C . 33D .8. （2分）(2018·中原模拟) 运行该程序框图，若输出的的值为16，则判断框中不可能填（）A .B .C .D .9. （2分）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A .B .C .D . 310. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（）A . an=2n﹣1B . an=2n+1C . an=4n﹣1D . an=4n+111. （2分） (2016高三上·安徽期中) 已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆 +x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±3x12. （2分）设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕f（x）﹣20=01f（x）+10=01f（x）﹣10=03f（x）+20=01f（x）=03α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A . 0＜α＜10B . 10＜α＜20C . ﹣10＜α＜0D . ﹣20＜α＜﹣10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在区间[1，4]和[2，4]内分别取一个数记为a，b，则方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________14. （1分） (2016高一下·上海期中) 在下列命题中，真命题是________（写出所有真命题的序号）①互为反函数的两个函数的单调性相同；②y=f（x）图象与y=﹣f（﹣x）的图象关于原点对称；③奇函数f（x）必有反函数f﹣1（x）．15. （1分） (2017高二下·天津期末) 若（2x﹣1）6=a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 ，则=________．16. （1分） (2016高一下·宁波期中) 数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=（n+1）2（n∈N*），则数列{an}的前n项和为 Sn=________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2016高二上·宝安期中) 在△ABC中，已知AB= ，cosB= ，AC边上的中线BD= ，求sinA的值．18. （5分） (2015高二下·思南期中) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19. （10分）(2017·上海模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知A，B分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|= ．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21. （10分） (2019高三上·临沂期中) 已知函数 .（1）若曲线在点处的切线与y轴垂直，求的值；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求的取值范围．22. （5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（与平面直角坐标系的单位长度相同），当α=60°时，求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），直线l与椭圆 +y2=1相交于点A、B，求|PA|•|PB|的取值范围．23. （5分）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。
全国普通高等学校2017届浙江省高考数学二模试卷(理)有答案解析
2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥03．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．726．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或39．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．16011．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为（以各组区间的中点值代表改组的取值）14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上（Ⅰ）若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A1F=，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．19．（12分）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．20．（12分）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．21．（12分）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．[选修4-5;不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，∵a﹣z=a﹣+i为纯虚数，∴a﹣=0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥0【考点】21：四种命题．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是：∃∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】先将集合M化简，然后集合M∩N=N，则N⊂M，得实数a．【解答】解：集合M={x|y=lg（x﹣2）}={x|x＞2}，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则N⊂M，∴a＞2，即（2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查集合的包含关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题．4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出．由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=±，∴，∴e===；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=，∴，∴，∴e===．综上所述，该双曲线的离心率为或．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将2人看成一个整体进行分析；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，③、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，将2人看成一个整体，考虑其顺序有A22种顺序；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，有A33种情况；③、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选，有2种情况，则不同的排法有A22×A33×2=24种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．6．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x﹣=1，=1，即可【解答】解：∵y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x ﹣=1，=1，解得x=，y=，∴xy=故选：D【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸 【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【解答】解：如图，AB=10（寸），则AD=5（寸），CD=1（寸）， 设圆O 的半径为x （寸），则OD=（x ﹣1）（寸），在Rt △ADO 中，由勾股定理可得：52+（x ﹣1）2=x 2，解得：x=13（寸）．∴sin ∠AOD=，即∠AOD ≈22.5°，则∠AOB=45°．则弓形的面积S=≈6.33（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633（立方寸）． 故选：D ．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2，得φ的值【解答】解：将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g （x）=2sin（πx+φπ）的图象，故f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，g（x）的最大值为2，最小值为﹣2．若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=2．不妨假设f（x1）=2，g（x2）=﹣2，则πx1=2kπ+，πx2+πφ=2nπ﹣，k、n∈Z，即x1=2k+，x2=2n﹣﹣φ，此时，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ，或|x1﹣x2|min=2=|2k ﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ，∴φ=1 或φ=3，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题．9．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？【考点】EF：程序框图．【分析】模拟运行程序，可得结论．【解答】解：模拟运行程序，可得S=﹣，i=2；S=﹣+2cos=﹣，i=3；S=﹣+3cosπ=，i=4；S=+4cos=﹣，i=5，循环结束，故选A．【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．160【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意知，当其中一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，可得含x7y的项，由此求得结果．【解答】解：多项式（x2﹣x﹣y）5表示5个因式（x2﹣x﹣y）的乘积，当只有一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，才可得到含x7y的项；所以x7y的系数为••=20．故选：A．【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是基础题．11．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】67：定积分．【分析】先利用微积分基本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+的最大值即可．【解答】解：b=（2sin•cos）dt=sintdt=﹣cost|=﹣（cos﹣cos0）=1，∴f（x）=+x﹣2a，设g（x）=xf（x）=2lnx+a2+x2﹣2ax，∴g′（x）=+2x﹣2a，g′（x）=f′（x）•x+f（x），∵∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，∴∃x∈（1，2），使得+2x﹣2a＞0，∴∃x∈（1，2），使得a＜+x，又y=x+在（1，2）上单调递增，∴a＜（+x）max＜+2=，∴a＜，故选：C【点评】本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为82（以各组区间的中点值代表改组的取值）【考点】B8：频率分布直方图．【分析】先求出70～80分数段与90～100分数段的频率，再求平均分．【解答】解：根据频率分布直方图知，70～80分数段的频率为=0.3，∴90～100分数段的频率为1﹣（0.1+0.3+0.4）=0.2，∴平均分为=0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82，故答案为：82．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是基础题．14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是（x ﹣2）2+y2=4．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程．【解答】解：椭圆=1的右顶点（2，0），则圆心（2，0），设圆心到直线x+y+2=0的距离为d，则d==2，∴该圆的标准方程的方程（x﹣2）2+y2=4，故答案为：（x﹣2）2+y2=4．【点评】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于基础题．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为﹣5或2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=kx+y得y=﹣kx+z，则直线截距最大时，z最大，∵目标函数z=kx+y的最大值为9，∴y+kx=9，即y=﹣kx+9，则目标函数过定点（0，9），当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，由得，即A（2，5），此时最大值z=5不满足条件．当k＞0时，目标函数的斜率为﹣k＜0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点A（2，5）时，截距最大，此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，当k＜0时，目标函数的斜率为﹣k＞0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点C时，截距最大，由得，即C（﹣，）此时z=9=﹣k+，得﹣3k=15，得k=﹣5，满足条件．综上k=﹣5或k=2，故答案为：﹣5或2【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．注意本题要对k进行分类讨论．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD的最大值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据||=||=得出a2+b2=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范围，根据面积公式得出CD关于ab的表达式，从而得出CD的最值．【解答】解：=abcos=，∵||=||=，∴=3，即a2+b2=3+ab，又a2+b2≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3．∵•=0，∴CD⊥AB，∴S==×CD×c，即ab=CD，∴CD=ab≤，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，由已知条件a n=2﹣3S n得到a n﹣1=2﹣3S n﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{a n}的前n项和S n的定义易得数列{a n}的通项公式（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：b n=log2a n=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，∵a n=2﹣3S n…①∴a n﹣1=2﹣3S n﹣1…②①﹣②得：a n﹣a n﹣1=﹣3（S n﹣S n﹣1）=﹣3a n∴4a n=a n﹣1；即=，又a1=2﹣3S1=2﹣3a1；得：a1=，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列∴a n=×（）n﹣1=21﹣2n（n∈N*），即a n=21﹣2n（n∈N*），（Ⅱ）∵a n=21﹣2n（n∈N*），b n=log2a n，∴b n=log2a n=log221﹣2n=1﹣2n，∴==（﹣）．∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣），=（1﹣），=（n∈N*）．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．18．（12分）（2017•衡水金卷二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上（Ⅰ）若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A1F=，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC1⊥平面CMF．（Ⅱ）记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1B1B是边长为2的正方形，∴AA1⊥AB，又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，∴CM⊥AB，又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF．解：（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=，且CM=1，记线段A1B1的中点为N，连结MN，由（Ⅰ）知MC、MA、MN两两互相垂直，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），E（0，1，），F（0，，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），=（﹣1，1，），=（0，﹣，），=（1，﹣1，2），设平面CEF的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（5，4，2），设直线AC1与平面CEF所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）（2017•衡水金卷二模）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出平均数，比较即可；（Ⅱ）求出r，根据r的范围判断即可；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P（X=﹣200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．【解答】解：（Ⅰ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：≈293.43，北京市近一周空气污染指数的平均数为：≈262.71，∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，且石家庄市比北京市的污染更严重；（Ⅱ）r=≈≈≈0.31，∵r∈[0.30，0.75），∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700，P（X=﹣200）==，P（X=400）==，P（X=700）=，则X的分布列为：故E（X）=﹣200×+400×+700×=≈164（元），故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元．【点评】本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题．20．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t，则a=4t，由点P（t，2）在抛物线上，则at=4，∴a×=4，则a2=16，由a＞0，则a=4，∴抛物线的方程y2=4x；（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由韦达定理可知：y1•y2=﹣4，依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线ND的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线ω的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得Q的坐标为（﹣1，﹣）∴Q的坐标可化为（﹣1，），∴k MQ=，∴直线MQ的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=，∴直线MQ与x轴交于定点（，0）．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•衡水金卷二模）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1﹣2a=0，∴a=；a＞2，令f′（x）=0，则x1=，x2=，2＜a＜，x1=＜1，x2=∈（1，2），∴函数在（1，x1）内单调递减，在（x1，2）内单调递增，∴f（x）min=f（x1）＜f（1）=1﹣2a＜0．a≥，x1=，x2=≥2，∴函数在（1，2）内单调递减，∴f（x）min=f（2）=2ln2+4﹣4a=0．∴a=ln2+1＜（舍去）综上所述，a=；（Ⅱ）x1，x2是f′（x）=在（0，+∞）内的两个零点，是方程x2﹣ax+1=0的两个正根，∴x1+x2=a＞0，x1x2=1，△＞0，∴a＞2，∴x1＞1∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，∴g′（t）=﹣＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，∴m≤0．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•衡水金卷二模）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方2程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲线C2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，参数方程为（α为参数）；曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，参数方程为（t为参数）；（Ⅱ）设A（﹣1+cosα，1+sinα），A到曲线C2的距离d==，∴sin（α﹣45°）=﹣1时，|AB|的最小值为3﹣1．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5;不等式选讲]23．（2017•衡水金卷二模）已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可得|x﹣1|+|x|≤2，对x讨论，去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（II）由题意可证f（ax）﹣af（x）≥f（2a），运用绝对值不等式的性质，求得左边的最小值，即可得证．【解答】（I）解：由题意，得f（x）+f（x+1）=|x﹣1|+|x|，因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2，当x≤0时，原不等式等价于﹣2x+1≤2，即﹣≤x≤0；当0＜x≤1时，原不等式等价于1≤2，即0＜x≤1；当x＞1时，原不等式等价于2x﹣1≤2，即1＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|﹣≤x≤}．（II）证明：由题意得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a）．所以f（ax）﹣f（2a）≥af（x）成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
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2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知全集，，则
A. B.
C. D.
2. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 的展开式中含项的系数为
A. B. C. D.
4. 随机变量的取值为，，．若，，则
A. B. C. D.
5. 已知平面，和直线，，若，则“”是“，且”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 设，则函数的零点之和为
A. B. C. D.
7. 从，，，，这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三
位数个数为
A. B. C. D.
8. 如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，
若，且，则与离心率之和为
A. B. C. D.
9. 已知函数，则下列关于函数的结论中，错误的是
A. 最大值为
B. 图象关于直线对称
C. 既是奇函数又是周期函数
D. 图象关于点中心对称
10. 如图，在二面角中，，均是以为斜边的等腰直角三角形，取
中点，将沿翻折到，在的翻折过程中，下列不可能成立的是
A. 与平面内某直线平行
B. 平面
C. 与平面内某直线垂直
D.
二、填空题（共7小题；共35分）
11. 已知函数，则函数的最小正周期为，振幅的
最小值为．
12. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是，体积
是．
13. 已知，是公差分别为，的等差数列，且，，若，
，则；若为等差数列，则．
14. 定义，已知函数，其中，，
若，则实数的范围为；若的最小值为，则．
15. 已知，，为坐标原点，若直线：与所围成区域（包含边
界）没有公共点，则的取值范围为．
16. 已知向量，满足，，若恒成立，则实数的取值范围
为．
17. 若，，则的最大值为．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的值．
19. 如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，
，平面平面，点，分别为，的中点，．
（1）证明：直线 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 设函数，．
（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）当时，记的极小值为，求的最大值．
21. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交
于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，
为正三角形．
（1）求的方程；
（2）若直线，且和有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22. 已知数列中，，，，为的前项和．证明：时．
（1）；
（2）．
答案
第一部分
1. C 【解析】因为且，则
．
2. A 【解析】由，故．
3. C 【解析】二项展开式通项为，故含的系数为．
4. B 【解析】设，，
由分布列的性质得，
又由，
联立可得，，
所以．
5. B
【解析】如图，
由可得或，故由不一定能推出且，反之若且，由线面平行的性质定理和判定定理易得，故是且成立的必要不充分条件．
6. C 【解析】画出函数的图象如图，
则要使，只需或，由得，或，由得或，故所求零点之和为．
7. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，首位与末位只能用奇数，中间位随意，故先排首位末位得．
8. A 【解析】如图，连接，，
由椭圆与双曲线的对称性知，
又，
所以，，
又，
故．
9. D 【解析】
选项正误原因
当时
故图象关于对称
易得
故为奇函数且由选项
得即
得
故周期为
不一定为
故图象不关于点中心对称
10. A
【解析】
选项正误原因
因为直线与平面相交于
点故平面内的直线与直线
或相交或异面不可能平行
因为与异面所以过可以
作一平面与平行当点落在此
平面时 平面
因为直线与平面相交于
点故过点能作一条直线与垂
直则在平面内与所作的那条
直线平行的无数条直线均与垂直
过点作因为
所以当在平面上的阴影落在
上时
第二部分
11. ，
【解析】函数，故最小正周期为
，振幅．
12. ，
【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为，，，
所以体积为，
由于两个长方体重叠部分为一个边长为的正方形，
所以表面积为．
13. ，
【解析】易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，由，，得，即得
，化简得．
14. ；
【解析】做出函数的图象如图，
要使需，要使的最小值为，需在第一象限的交点纵坐标为，从而得，故有．
15.
【解析】因为（含边界）与直线没有公共点，故得三个点，，在直线的同一侧，又代入，故有代入均小于．
即有其表示的平面区域如图阴影部分，
设则有，平移直线，易知经过点时最小，计算可得点的坐标为，故，无最大值，故的取值范围为．
16.
【解析】因为，且，如图，
可得．
又，故要使恒成立只需恒成立，即为或恒成立．
由得，
因为，
所以没有使恒成立，由恒成立得恒成立，即只需
或．
一题多解
设向量，夹角为，由两边平方得
，，又，
故要使恒成立，只需恒成立，即为或恒成立．
由得，
因为，
所以没有使恒成立，由恒成立得恒成立，即只需
或．
17.
【解析】当时，；
当时，，
令，则可化为．
设，
因为该方程一定有解，故得．
综上的最大值为．
第三部分
18. （1）因为，
所以由正弦定理得，
又因为，
所以，且为锐角，
所以．
（2）由（）知，，
由正弦定理得，，，
因为，
所以．
19. （1）取中点，连接，，如图，
易知，．
因为，平面，平面．
得 平面，同理 平面，
又，平面，平面，
所以，平面 平面．
又平面，所以直线 平面．
（2）解法一：连接，．如图，
因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，
又平面，
所以．
又因为，，平面，平面，
所以平面，平面平面．
过点作于点，连接，
由平面平面可知，平面．
所以直线与平面所成角为．
在直角三角形中，求得，
在直角三角形中，求得，
所以，．
解法二：由，易得，又为中点．所以，
因为为正三角形，
所以，
又平面平面，易得平面，
故以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
由为中点得，，，．设平面的法向量为，
则
令，得，，则．
设直线与平面所成角为，
则．
20. （1），
由题知，，即，
解得．
（2）设，则，
有，．
可知在递减，在递增．
．
则
极小值
记，
当时，为增函数；
当，，此时为增函数．
所以．
易知，函数在上为减函数，，
综上，极小值的最大值为．
21. （1）由题意知，
设，
则的中点为，
因为，
由抛物线的定义知：，
解得或（舍去）．
由，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（Ⅰ）知，
设，，
因为，则，
由得，
故，
故直线的斜率为，
因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，
得．
设，
则，，
当时，
则，
可得直线的方程为，
由，整理可得，
所以直线恒过点，
当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．
22. （1）当时，
因为
所以与同号，
又因为，，，
所以当时，．
（2）因为，有，
有，
所以与同号，
又因为，，得．
有．得．由可得，
因此，，
即，
所以
综上可得，．。