容斥原理及其简单应用_崔军
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i= 1 i= 1 j >i n n n i= 1 n-1
已知 n =2时有 : | A1 ∪ A2 | =| A1 | +| A2 | -| A1 ∉ A2 | 设: | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An - 1 | =∑ | Ai | -∑ ∑ | Ai∉ Aj | +
i= 1 i= 1 j>i n-1 n-1
第 10卷总 34期 V o l. 10 Sum N o . 34
新疆广播电视大学学报 JOURNA L OF X I N JI ANG RTVU
2006年第 4期 N o . 4 . 2006
容斥原理及其简单应用
崔 军 ( 新疆广播电视大学 , 新疆 乌鲁木齐 830001) 摘 要 : 对容斥原理进行了简要介绍并推广到了 一般情形 , 给出了 一般情况 下的结 论及其证 明 , 同时 从计数 的角度给出了简单应用 , 对深入理解容斥原理并掌握其应用是有帮助的 。 关键词 : 容斥原理 ; 简单应用 在计数时 , 为了使重叠部分不被重复 计算 , 人们研 究出一种新的计数方法 , 这种方法的基本 思想是 : 先不 考虑 重叠的 情况 , 把 具有某种 特征的 所有对象 的数目 先计 算出来 , 然后再 把计数时 重复计 算的数目 排斥出 去 , 使得计算的结果既无遗漏又无重复 , 简化 了计数方 法 , 这种计数的 方法 称为容 斥原理 。 下面对 容斥 原理 做简 单介绍 并推广到 一般情 形给出结 论并证 明 , 同时 从计 数的角 度给出了 简单应 用 , 对深 入理解容 斥原理 并掌握其应用是有帮助的 。 一 、容斥原理 1.最简单的情形 最简单的计数 问题 是求 有 限集 合 A 和 B 的 并的 元素数目 , 显然有以下两个等式成立 : 等式 1: | A∪ B | =| A| +| B| -| A∉ B | 等式 2: | A ∪ B∪ C | =| A| +| B| +| C| -| A∉ B | -| A∉ C | -| B∉ C | +| A ∉ B∉ C | 2.一般情况下 在一般情况下 , 有如下结论 : 设 A 1 , A 2 , … , A n 是有 限集合 , 则 | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑ | Ai | -∑ ∑ | Ai ∉ A j | +∑
i= 1 i= 1 j >i i= 1 j> i K >j n n n
假设对于 k = N - 1 等式 (1 - 3) 成立 , 即 : qk = ∑ ( - 1) C (k +i, i)pk+i 。
i
i= 0 n-k
对于 N , 设相对应 的数 为 q′ k , p′ j , 新增元 素为 a N , a A′ =| A1 | +1, | A′ N 有 m 种性质 , m ≤n。 不妨设 | 1 | 2 | =| A2 | +1, … , | A′ =| Am | +1, | A′ =| Am +1 | , m | m+ 1 | …, | A′ | =| An | 。 即 an 有 第 1, 2 … , m 种 性质 。 显然 n p′ pj + C (m , j)。 根据定义 , j = 等式左端 : q′ k = 等式右端 :
∑ ∑∑ | Ai ∉ A j ∉ Ak | - … +( - 1 ) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉
n
i= 1 j >i k >j
An - 1 | 所以 : | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An - 1 ∪ An | =| (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∪ A n | =| A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A n - 1 | +| An | - | (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n | 但是 : (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n =(A 1 ∉ A n )∪ (A 2 ∉ A n )∪ … ∪ (A n - 1 ∉ A n ) 所以 : | (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n | =| (A 1 ∉ A n )∪ (A 2 ∉ A n )∪ … ∪ (A n - 1 ∉ A n ) | =| A1 ∉ An | +| A2 ∉ A n | + … +| An - 1 ∉ An | -| A1 ∉ A2 ∉ An | -| A1 ∉ A3 ∉ An | … -| An - 2 ∉ An - 1 ∉ An | +… +( - 1) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉
等式 (1 - 3) 的右端 :
n-k i= 0
∑ ( - 1) C (k +i, i)pk +i =∑ ( - 1 )C (k +i, k )C
i i
i= 0 n-k i= 0
n-k
(m , k +i) =∑ ( - 1) C (m , k )C (m - k, i) = C (m , k)
i
n-k i= 0
i= 1 i= 1 j> i n n n i= 1
∑∑ | A i ∉ Aj ∉ Ak | -… + ( - 1)
j> i k >j
n-1
| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n | (1 - 1)
j> i k >i
∑∑ | A i ∉ Aj ∉ Ak ∉ | - … +( - 1) An |
n-1
| A1 ∉ A2 ∉ … ∉
n-k i= 0
+ ( - 1) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n |
n
(1 - 2)
所谓容斥原理指的 就是 (1 - 1)和 (1 - 2 ) 这 两个 公式 。 3.推广到一般情形 推广到一般情形 , 可以得到如下结论 : 关于性质 A 1 , A 2 , …A n 的 N 个元素 , 令 : p1 =| A1 | +| A2 | +… +| An | , p2 =| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A3 | + …| A n- 1 ∉ A n | , …… pn =| A 1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n | ; q1 =| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | +| A1 ∉ A2 ∉ A3 … ∉ An | + … +| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An - 1 ∉ A n | , q2 =| A1 ∉ A2 ∉ A3 ∉ … ∉ A n | +| A1 ∉ A2 ∉ A3 ∉ A4 … ∉ An | +… +| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n - 2 ∉ An - 1 ∉ A n | …… qn =| A 1 ∉ A2 ∉ +… ∉ A n | 显然 qk 表示 正 好具 有 k 种性 质 的 元素 的 个数 。 则有如下计算 qk 的公式 : qk = pk -C (k +l, l)pk +1 + C(k + 2, 2)pk +2 - … ± C (n, n - k)pn , k = 0, 1, 2… n。 4.证明 (1 - 3) 证明 : 对 N 用数学归纳法 。 设 C (n, k) 表示 { 1, 2, …, n} 的 k元子集的集合 。 N =1 时 , 设此 元素为 a1 , a1 有 m 种性 质 , 不 妨设 A1 = A 2 =… = Am ={ a1 } , Am +1 =Am +2 =… =A n = 。 显然有 m ≤n, P j = C (m , j)。 根据 qk 的定义 , 等式 (1 3) 的左端 : qk = 1, k = m 0, k≠m (1 - 3)
∑ ( - 1)C (m - k, i) =
i
1, k = m 0, k≠m
根据以上图形示例 , 显然有 : | A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | =| A| -| A∉ B | -| A∉ C | +| A∉ B ∉ C | +| B| -| A ∉ B| -| B∉
证明 (1 - 1): 用数学归纳法 。
收稿日期 : 2006 - 10 - 10 作者简介 : 崔军 (1968 - ), 男 , 汉族 , 新疆库尔勒市人 , 新疆广播电视大学教务处副处长 , 讲师 。
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新疆广播电视大学学报 JOURNA L OF X I N JI ANG RTVU
n-k i= 0
( - 1) C (k +i, k)C (m , k +i) =qk +∑ ( - 1) C (m , k)
i
C(m - k, i) =
qk +1, k = m qk , k≠m
等式成立 。 二 、简单应用 对于等式 (1 - 3), 显然 , p0 =n, 就是元素的个数 令 k =0, n =3, 则有 : q0 =p0 - p1 +p2 - p3 (2 - 1) 令 k =0, n =4, 则有 : q0 =p0 - p1 +p2 - p3 +p4 (2 - 2) 令 k =1, n =3, 则有 : q1 =p1 - 2p2 +3p3 令 k =2, n =3, 则有 : q2 =p2 - 3p3 图例说明 : (2 - 3) 和 (2 - 4) (2 - 3) (2 - 4)
n
n- 1 i= 1 n- 1
An | =∑ | A i ∉ An | -∑∑ | A i ∉ A j ∉ An | +… +( - 1) |
n
i= 1 j> i
A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | 由此有 : | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑| Ai | -∑∑ | Ai ∉ A j | +∑
两端相等 。
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新疆广播电视大学学报 JOURNA L OF X I N JI ANG RTVU 目为 :
2006年第 4期 N o . 4 . 2006
C| +| A ∉ B∉ C | +| C| -| A∉ C | -| B∉ C | +| A ∉ B∉ C| = (| A| +| B| +| C| ) - 2(| A∉ B | +| A∉ C | +| B∉ C| )+ 3| A ∉ B∉ C | 所以 : q1 =p1 - 2p2 + 3 p2 , 正好是 (1 - 3) 中 k =1, n = 3 的结果 , 也即 (2 - 3)。 同时还可以得到 : q2 =| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | =| B ∉ C| +| A∉ C | +| A ∉ B| - 3| A ∉ B∉ C | =p2 - 3p3 正好是 (1 - 3) 中令 k =2, n = 3 所得 的结 果 , 也即 (2 - 4)。 例 1: 某学校有 12位教师 , 已知教 数学的教师 有 8 位 , 教物理的教 师有 6位 , 教化 学的 教师 有 5位 , 其中 有 5位既教数学又教物理 , 有 4 位兼教数 学和化学 , 兼 教物理和化学的有 3 位 ; 有 3 位教师 教 3 门课 , 试问 : 教数学 、物理 、化学以 外的课程 的教师 有几位 只 教 1 门课程的教师有几位 正好教 2门课的教师有几位 解: 令 12 位 教师 中 凡 是教 数 学 的教 师 属 于集 合 A 1 , 教物理的教师属于 A 2 , 教化学的教师属于 A 3 。 ∴| A1 | =8, | A2 | =6, | A3 | =5, | A1 ∉ A2 | =5, | A1 ∉ A3 | =4, | A2 ∉ A3 | =3, | A1 ∉ A2 ∉ A3 | = 3 由 ( 2 - 1) 得不教数学 、物理和化学的教师数目为 : q0 = p0 - p1 +p2 - p3 =| A1 ∉ A2 ∉ A3 | =12 - ( | A1 | +| A2 | +| A3 | +(| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A3 | +| A2 ∉ A3 | ) -| A1 ∉ A2 ∉ A3 | = 12 - (8 +6 + 5) +(5 +4 +3) - 3 = 12 - 19 +12 - 3 = 2. 由 (2 - 3 )得 只 教 数 、理 、化 中 一 门 课 的 教 师 数 目为 : q1 = p1 - 2p2 +3p3 =(| A1 | +| A2 | +| A3 | ) - 2(| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A2 | +| A2 ∉ A3 | ) +3 | A 1 ∉ A 2 ∉ A3 | = (8 +6 +5) - 2(5 + 4+ 3) +3 ×3 =4 由 (2 - 4)得 正好 教数 、理 、化中 两门 课 的教 师数
qk + 1, k = m qk , k≠m
n- k i= 0
Baidu Nhomakorabea
∑ ( - 1) C (k +i, i)p′ k +i =∑ ( - 1) C (k +i, i)
i i
n-k i= 0
[ pk +i + C (m , k +i)] =∑ ( - 1 ) C (k +i, k )pk +i +∑
i i
n- k i= 0
2006年第 4期 N o . 4 . 2006
又有 | A| = N -| A| , 其 中 N 是集 合 U 的 元 素个 数 , 即不属于 A 的元素个 数等于集 合的全 体去掉 属于 A 的元素个数 。 一般有 : | A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | = N -| A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = N -∑ | Ai | + ∑∑ | Ai∉ Aj | -∑∑ ∑ | A i ∉ A j ∉ Ak | +…
已知 n =2时有 : | A1 ∪ A2 | =| A1 | +| A2 | -| A1 ∉ A2 | 设: | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An - 1 | =∑ | Ai | -∑ ∑ | Ai∉ Aj | +
i= 1 i= 1 j>i n-1 n-1
第 10卷总 34期 V o l. 10 Sum N o . 34
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2006年第 4期 N o . 4 . 2006
容斥原理及其简单应用
崔 军 ( 新疆广播电视大学 , 新疆 乌鲁木齐 830001) 摘 要 : 对容斥原理进行了简要介绍并推广到了 一般情形 , 给出了 一般情况 下的结 论及其证 明 , 同时 从计数 的角度给出了简单应用 , 对深入理解容斥原理并掌握其应用是有帮助的 。 关键词 : 容斥原理 ; 简单应用 在计数时 , 为了使重叠部分不被重复 计算 , 人们研 究出一种新的计数方法 , 这种方法的基本 思想是 : 先不 考虑 重叠的 情况 , 把 具有某种 特征的 所有对象 的数目 先计 算出来 , 然后再 把计数时 重复计 算的数目 排斥出 去 , 使得计算的结果既无遗漏又无重复 , 简化 了计数方 法 , 这种计数的 方法 称为容 斥原理 。 下面对 容斥 原理 做简 单介绍 并推广到 一般情 形给出结 论并证 明 , 同时 从计 数的角 度给出了 简单应 用 , 对深 入理解容 斥原理 并掌握其应用是有帮助的 。 一 、容斥原理 1.最简单的情形 最简单的计数 问题 是求 有 限集 合 A 和 B 的 并的 元素数目 , 显然有以下两个等式成立 : 等式 1: | A∪ B | =| A| +| B| -| A∉ B | 等式 2: | A ∪ B∪ C | =| A| +| B| +| C| -| A∉ B | -| A∉ C | -| B∉ C | +| A ∉ B∉ C | 2.一般情况下 在一般情况下 , 有如下结论 : 设 A 1 , A 2 , … , A n 是有 限集合 , 则 | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑ | Ai | -∑ ∑ | Ai ∉ A j | +∑
i= 1 i= 1 j >i i= 1 j> i K >j n n n
假设对于 k = N - 1 等式 (1 - 3) 成立 , 即 : qk = ∑ ( - 1) C (k +i, i)pk+i 。
i
i= 0 n-k
对于 N , 设相对应 的数 为 q′ k , p′ j , 新增元 素为 a N , a A′ =| A1 | +1, | A′ N 有 m 种性质 , m ≤n。 不妨设 | 1 | 2 | =| A2 | +1, … , | A′ =| Am | +1, | A′ =| Am +1 | , m | m+ 1 | …, | A′ | =| An | 。 即 an 有 第 1, 2 … , m 种 性质 。 显然 n p′ pj + C (m , j)。 根据定义 , j = 等式左端 : q′ k = 等式右端 :
∑ ∑∑ | Ai ∉ A j ∉ Ak | - … +( - 1 ) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉
n
i= 1 j >i k >j
An - 1 | 所以 : | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An - 1 ∪ An | =| (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∪ A n | =| A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A n - 1 | +| An | - | (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n | 但是 : (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n =(A 1 ∉ A n )∪ (A 2 ∉ A n )∪ … ∪ (A n - 1 ∉ A n ) 所以 : | (A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n - 1 )∉ A n | =| (A 1 ∉ A n )∪ (A 2 ∉ A n )∪ … ∪ (A n - 1 ∉ A n ) | =| A1 ∉ An | +| A2 ∉ A n | + … +| An - 1 ∉ An | -| A1 ∉ A2 ∉ An | -| A1 ∉ A3 ∉ An | … -| An - 2 ∉ An - 1 ∉ An | +… +( - 1) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉
等式 (1 - 3) 的右端 :
n-k i= 0
∑ ( - 1) C (k +i, i)pk +i =∑ ( - 1 )C (k +i, k )C
i i
i= 0 n-k i= 0
n-k
(m , k +i) =∑ ( - 1) C (m , k )C (m - k, i) = C (m , k)
i
n-k i= 0
i= 1 i= 1 j> i n n n i= 1
∑∑ | A i ∉ Aj ∉ Ak | -… + ( - 1)
j> i k >j
n-1
| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n | (1 - 1)
j> i k >i
∑∑ | A i ∉ Aj ∉ Ak ∉ | - … +( - 1) An |
n-1
| A1 ∉ A2 ∉ … ∉
n-k i= 0
+ ( - 1) | A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n |
n
(1 - 2)
所谓容斥原理指的 就是 (1 - 1)和 (1 - 2 ) 这 两个 公式 。 3.推广到一般情形 推广到一般情形 , 可以得到如下结论 : 关于性质 A 1 , A 2 , …A n 的 N 个元素 , 令 : p1 =| A1 | +| A2 | +… +| An | , p2 =| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A3 | + …| A n- 1 ∉ A n | , …… pn =| A 1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n | ; q1 =| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | +| A1 ∉ A2 ∉ A3 … ∉ An | + … +| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An - 1 ∉ A n | , q2 =| A1 ∉ A2 ∉ A3 ∉ … ∉ A n | +| A1 ∉ A2 ∉ A3 ∉ A4 … ∉ An | +… +| A1 ∉ A2 ∉ … ∉ A n - 2 ∉ An - 1 ∉ A n | …… qn =| A 1 ∉ A2 ∉ +… ∉ A n | 显然 qk 表示 正 好具 有 k 种性 质 的 元素 的 个数 。 则有如下计算 qk 的公式 : qk = pk -C (k +l, l)pk +1 + C(k + 2, 2)pk +2 - … ± C (n, n - k)pn , k = 0, 1, 2… n。 4.证明 (1 - 3) 证明 : 对 N 用数学归纳法 。 设 C (n, k) 表示 { 1, 2, …, n} 的 k元子集的集合 。 N =1 时 , 设此 元素为 a1 , a1 有 m 种性 质 , 不 妨设 A1 = A 2 =… = Am ={ a1 } , Am +1 =Am +2 =… =A n = 。 显然有 m ≤n, P j = C (m , j)。 根据 qk 的定义 , 等式 (1 3) 的左端 : qk = 1, k = m 0, k≠m (1 - 3)
∑ ( - 1)C (m - k, i) =
i
1, k = m 0, k≠m
根据以上图形示例 , 显然有 : | A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | =| A| -| A∉ B | -| A∉ C | +| A∉ B ∉ C | +| B| -| A ∉ B| -| B∉
证明 (1 - 1): 用数学归纳法 。
收稿日期 : 2006 - 10 - 10 作者简介 : 崔军 (1968 - ), 男 , 汉族 , 新疆库尔勒市人 , 新疆广播电视大学教务处副处长 , 讲师 。
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n-k i= 0
( - 1) C (k +i, k)C (m , k +i) =qk +∑ ( - 1) C (m , k)
i
C(m - k, i) =
qk +1, k = m qk , k≠m
等式成立 。 二 、简单应用 对于等式 (1 - 3), 显然 , p0 =n, 就是元素的个数 令 k =0, n =3, 则有 : q0 =p0 - p1 +p2 - p3 (2 - 1) 令 k =0, n =4, 则有 : q0 =p0 - p1 +p2 - p3 +p4 (2 - 2) 令 k =1, n =3, 则有 : q1 =p1 - 2p2 +3p3 令 k =2, n =3, 则有 : q2 =p2 - 3p3 图例说明 : (2 - 3) 和 (2 - 4) (2 - 3) (2 - 4)
n
n- 1 i= 1 n- 1
An | =∑ | A i ∉ An | -∑∑ | A i ∉ A j ∉ An | +… +( - 1) |
n
i= 1 j> i
A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | 由此有 : | A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑| Ai | -∑∑ | Ai ∉ A j | +∑
两端相等 。
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2006年第 4期 N o . 4 . 2006
C| +| A ∉ B∉ C | +| C| -| A∉ C | -| B∉ C | +| A ∉ B∉ C| = (| A| +| B| +| C| ) - 2(| A∉ B | +| A∉ C | +| B∉ C| )+ 3| A ∉ B∉ C | 所以 : q1 =p1 - 2p2 + 3 p2 , 正好是 (1 - 3) 中 k =1, n = 3 的结果 , 也即 (2 - 3)。 同时还可以得到 : q2 =| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | +| A ∉ B∉ C | =| B ∉ C| +| A∉ C | +| A ∉ B| - 3| A ∉ B∉ C | =p2 - 3p3 正好是 (1 - 3) 中令 k =2, n = 3 所得 的结 果 , 也即 (2 - 4)。 例 1: 某学校有 12位教师 , 已知教 数学的教师 有 8 位 , 教物理的教 师有 6位 , 教化 学的 教师 有 5位 , 其中 有 5位既教数学又教物理 , 有 4 位兼教数 学和化学 , 兼 教物理和化学的有 3 位 ; 有 3 位教师 教 3 门课 , 试问 : 教数学 、物理 、化学以 外的课程 的教师 有几位 只 教 1 门课程的教师有几位 正好教 2门课的教师有几位 解: 令 12 位 教师 中 凡 是教 数 学 的教 师 属 于集 合 A 1 , 教物理的教师属于 A 2 , 教化学的教师属于 A 3 。 ∴| A1 | =8, | A2 | =6, | A3 | =5, | A1 ∉ A2 | =5, | A1 ∉ A3 | =4, | A2 ∉ A3 | =3, | A1 ∉ A2 ∉ A3 | = 3 由 ( 2 - 1) 得不教数学 、物理和化学的教师数目为 : q0 = p0 - p1 +p2 - p3 =| A1 ∉ A2 ∉ A3 | =12 - ( | A1 | +| A2 | +| A3 | +(| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A3 | +| A2 ∉ A3 | ) -| A1 ∉ A2 ∉ A3 | = 12 - (8 +6 + 5) +(5 +4 +3) - 3 = 12 - 19 +12 - 3 = 2. 由 (2 - 3 )得 只 教 数 、理 、化 中 一 门 课 的 教 师 数 目为 : q1 = p1 - 2p2 +3p3 =(| A1 | +| A2 | +| A3 | ) - 2(| A1 ∉ A2 | +| A1 ∉ A2 | +| A2 ∉ A3 | ) +3 | A 1 ∉ A 2 ∉ A3 | = (8 +6 +5) - 2(5 + 4+ 3) +3 ×3 =4 由 (2 - 4)得 正好 教数 、理 、化中 两门 课 的教 师数
qk + 1, k = m qk , k≠m
n- k i= 0
Baidu Nhomakorabea
∑ ( - 1) C (k +i, i)p′ k +i =∑ ( - 1) C (k +i, i)
i i
n-k i= 0
[ pk +i + C (m , k +i)] =∑ ( - 1 ) C (k +i, k )pk +i +∑
i i
n- k i= 0
2006年第 4期 N o . 4 . 2006
又有 | A| = N -| A| , 其 中 N 是集 合 U 的 元 素个 数 , 即不属于 A 的元素个 数等于集 合的全 体去掉 属于 A 的元素个数 。 一般有 : | A1 ∉ A2 ∉ … ∉ An | = N -| A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = N -∑ | Ai | + ∑∑ | Ai∉ Aj | -∑∑ ∑ | A i ∉ A j ∉ Ak | +…