条件概率
条件概率与全概率
条件概率与全概率
条件概率是指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
用数学表示为P(B|A) = P(A∩B)/P(A) ，其中P(A∩B)表示事件A和
事件B同时发生的概率，P(A)则表示事件A发生的概率。
全概率公式是指如果将一个样本空间分成若干个互不相交的事件，并已知每个事件发生的概率，在此基础上求其他事件的概率。
这个公
式通常用于解决一个事件很难直接计算，但是能够在几个已知事件的
基础上计算的情况。
用数学表示为P(B) = ∑ P(Ai) P(B|Ai)，其中
P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的情况下，事件B发生的概率。
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
条件概率公式
条件概率公式条件概率是指在给定一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率公式可以帮助我们计算这种概率。
首先，我们需要明确以下两个概念：1. 事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率，称为事件 A 在事件 B 的条件下的概率，记为 P(A|B)。
2. 事件 A 与事件 B 同时发生的概率，称为事件 A 与事件 B 的交集的概率，记为 P(A∩B)。
那么，条件概率公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B) 表示事件 A 与事件 B 的交集的概率，而 P(B) 表示事件 B发生的概率。
这个公式可以解释为：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率等于事件 A 与事件 B 同时发生的概率除以事件 B 发生的概率。
例如，假设我们想要计算在一批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率。
假设这个批次的总人数为 N，其中男生的人数为 M，喜欢足球的人数为K。
那么，我们可以使用条件概率公式计算：P(男生且喜欢足球) = P(喜欢足球|男生) * P(男生)其中，P(喜欢足球|男生) 表示在已知这些学生是男生的情况下，喜欢足球的学生所占的比例。
而这个比例可以通过在这批学生中数一数同时满足这两个条件的学生数目，并将它除以男生的人数 M 来计算。
即：P(喜欢足球|男生) = K / MP(男生) 表示这些学生中男生所占的比例，即 M / N。
那么，根据条件概率公式，我们得到：P(男生且喜欢足球) = (K / M) * (M / N) = K / N这个结果表示，在这批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率等于喜欢足球的学生所占的比例（K / N）。
另外，条件概率公式还可以进一步推广到多个事件的情况。
例如，如果我们想要计算在事件 B 和事件 C 同时发生的条件下，事件 A 发生的概率，可以使用以下公式：P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)其中，P(A∩B∩C) 表示事件 A、事件 B 和事件 C 的交集的概率，P(B∩C) 表示事件 B 和事件 C 同时发生的概率。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
条件概率
全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n
i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
条件概率发生率
条件概率发生率
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
它是概率论中的一个重要概念，有着广泛的应用。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB)/P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(AB)表示A和B同时发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
条件概率的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，医生可以根据病人的症状和临床表现来判断其是否患有某种疾病；在金融风险管理中，可以根据历史数据和市场情况来预测某些事件的发生概率；在自然语言处理中，可以根据语境和上下文来识别词语的含义。
但是，条件概率的计算需要满足一定的前提条件，例如独立性假设。
如果两个事件不是独立的，则条件概率的计算结果可能会产生误差。
因此，在使用条件概率进行推断和预测时，需要仔细考虑其适用范围和限制条件。
- 1 -。
条件概率
§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
解读条件概率
解读条件概率
条件概率是统计学中一种重要的概念，表示在某些条件下某事件发生的概率。它可以用来表示事件之间的相关性，帮助我们分析和预测不同事件之间的关系。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示在条件B下A事件发生的概率，P(A∩B)表示A事件和B事件同时发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率。
2.条件概率的计算依赖于全概率公式，因此需要先确定事件的总概率。
3.条件概率的计算结果只是一种概率估计，并不能百分之百准确。
4.条件概率的计算结果可能会受到假设和数据的影响，因此需要谨慎使用。
条件概率的计算可能会涉及多个事件，因此需要考虑事件之间的关系。
在使用条件概率时，需要综合考虑多种因素，以便得出准确的结论。
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')
这样，我们就可以通过计算条件概率来估计下周五会不会下雨的概率了。
总的来说，条件概率是一之间的关系，为决策提供依据。使用条件概率时，需要注意以下几点：
1.条件概率是在某些条件下事件发生的概率，因此需要明确所给出的条件。
条件概率及条件分布知识点整理
条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。
条件分布可以通过条件概率来计算。
给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。
条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。
3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。
- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。
- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。
- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。
以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率
0.25
3
0.04
0.25
(1)设这家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且
无区别的标记，在仓库中随机地取一只晶体管，
求它是次品的概率,(2)在仓库中随机地取－只元 件,若巳知取到的是次品,问它来自哪个厂的可能 性最大?
例9 根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验 具有以下的效果:若以A表示事件“试验反应为 阳性”,以C表示事件“被ห้องสมุดไป่ตู้断者患有癌症”,则 有:
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
上式称为全概率公式
证明： 因为B1,…Bn为Ω的一个划分
n
n
所以 A A S A ( Bi ) ABi
i 1
i 1
且 AB1, AB2 , , ABn 互不相容
故由概率的有限可加性和乘法公式得
n
P( A) P( ABi )
P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B发生的条件下，事件A的条 件概率.
条件概率的性质
设B是一事件，且P(B)>0，则P(.|B)满足概率的 三条公理，即
(1). 非负性：对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
(2). 规范性： P (Ω | B) =1 ；
(3). 可列可加性：设 A1,…,An…互不相容，则
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
—— 将复杂事件A分解成若干互不相容的较简 单事件之和，然后求相应的概率.
—— 做题时，注意将复杂事件表述出来，再来 寻找导致该事件发生的各种可能的原因（或途
径，或前提条件），由此找到Ω的划分。
请思考以下问题： 条件概率P(A|B)与P(A)的区别 条件概率P(A|B)与P(A)数值的大小关系 有没有P(A)=P(A |B)的情形，若有请举出例子
条件概率
0.7
A
3.甲 3.甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放 人参加面试抽签， 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是 10个试题签中有 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1） 甲抽到难题签， 甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到 甲和乙都抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签 的概率。 的概率。 分别表示“ 丙抽到难签” 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” ， ， 分别表示
条件概率(1) 条件概率
我们知道求事件的概率有加法公式： 我们知道求事件的概率有加法公式： 若事件A 互斥， 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 那么怎么求A 积事件AB的概率呢? AB的概率呢 那么怎么求A与B的积事件AB的概率呢? 注: 1.事件 事件A 至少有一个发生的事件叫做A 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B 和事件,记为A∪B A∪B( A+B); 的和事件,记为A∪B(或A+B); 2.事件 事件A 都发生的事件叫做A 积事件, 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, A∩B( AB); 记为A∩B 记为A∩B(或AB); 3.若AB为不可能事件,则说事件A与B互斥. 3.若AB为不可能事件,则说事件A 互斥. 为不可能事件
表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56 所求概率为
P( AB) P( B ) P ( B A) = = = 0.8 P( A) P( A)
条件概率的三种求解方法
条件概率的三种求解方法：
在概率论中，条件概率表示一个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
常见的三种求解条件概率的方法如下:
1.通过贝叶斯公式求解: 贝叶斯公式是P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B) 表示
条件概率，P(B|A) 表示B 在A 发生的条件下发生的概率，P(A) 表示A 发生的概率，P(B) 表示B 发生的概率。
2.通过乘法公式求解: 乘法公式是P(A and B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)，其中P(A
and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
3.通过联合概率公式求解: 联合概率公式是P(A and B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)，
其中P(A and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
这三种方法都可以求解条件概率，但是要根据具体情况选择使用哪一种方法。
条件概率公式
条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。
条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
联合概率：表示两个事件共同发生的概率。
A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。
边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。
边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。
这称为边缘化（marginalization）。
A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。
需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。
A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。
A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。
条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。
定理1设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
一般地，，且它满足以下三条件：（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。
定理2设E 为随机试验，Ω 为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。
上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1)设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω 的一个完备事件组。
条件概率
§ 1.4 条件概率一、条件概率条件概率的直观定义：设有事件A ，B ，P （A ）>0，在事件A 发生的条件下，B 发生的概率称为条件概率。
记为P （B|A ）条件概率的性质i i j i i i 1i 11P(|A)12P(|)13i=12,i j,P(|)P(|)B S A B B A B A φ∞∞==≤≤=≠=∑（） 非负性：0；（） 规范性： =；（） 可列可加性；若B ，，，....，且B 则有；以上是三条基本性质，象前面一般概率一样也可推出以下性质：(1)P(|)0A φ=i i j nn i i i 1i 1i=12,i j,P(|)P(|)B B A B A φ===≠=∑（2）有限可加性；若B ，，，....，且B 则有；(3)P(|A)1P(|)()B B A =-重要公式(4)A B P{(B-A)|C}P(B|C)P(A|C)⊂=-（减法公式）若，则(5)P{(A+B)|C}P(A|C)P(B|C)P(AB|C)=+-（一般加法公式）n ni i i j i=1i 11i j n n 1i j k 12n 1i j k n (6)(P(A |B)P(A |B)P(A A |B)P(A A A |B)...........(1)P(A A .......A |B)=≤<≤-≤<<≤=-+-+-∑∑∑∑多除少补原理）二、 乘法公式将条件概率公式 P (A B )P (A |B )P (B )= 改写 P(AB)P(B)P(A|B)=称为乘法公式 利用结合律推出多个事件的乘法公式：三个事件积的乘法公式 123P (A A A )12312P (A A )P (A |A A )= 312=P()P()P(A |A A )１２１ＡＡ｜Ａn 个事件积的乘法公式123n 1213123123n 123n-1P(A A A .........A )(A )(A |A )(A |A A )(A |A A A )......(A |A A A .........A )P P P P P =⋅三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
条件概率(公开课)课件
在决策理论中的应用
决策树
决策树是一种表示决策过 程的方法，其中条件概率 用于计算每个决策节点的 收益和损失。
贝叶斯决策理论
贝叶斯决策理论利用条件 概率来计算期望值和风险， 从而选择最优的决策。
强化学习
强化学习中，条件概率用 于描述状态转移和奖励函 数，帮助智能体在环境中 做出最优决策。
在机器学习中的应用
条件概率(公开课)课 件
目录
• 条件概率的定义与性质 • 条件概率的计算 • 条件概率的应用 • 条件概率的扩展 • 条件概率的注意事项
01
条件概率的定义与性质
定义
条件概率的定义
在某个事件B已经发生的情况下，另 一个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的数学表达式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B) 表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
01
分类器
分类器利用条件概率来计算给定输入属于某个类别的概率，常用的分类
器有朴素贝叶斯分类器和逻辑回归分类器。
02
聚类分析
聚类分析中，条件概率可以用于相似性度量和距离计算，常用的聚类算
法有K-means和层次聚类。
03
自然语言处理
在自然语言处理中，条件概率被广泛用于词向量表示、语言模型、情感
分析等任务中，例如使用循环神经网络（RNN）或长短期记忆网络
在实际应用中，有时候很难获取到足 够的数据来进行准确的条件概率计算。
THANKS
感谢观看
如果两个事件是独立的，那么它们的 条件概率等于它们各自的概率。
如果两个事件不是独立的，那么它们 的条件概率会受到其他事件的影响， 不能简单地使用各自的概率来计算。
条件概率和贝叶斯公式
条件概率和贝叶斯公式一、条件概率的概念和原理条件概率是指在一些条件下事件发生的概率。
在概率论中，事件A在事件B发生的条件下的概率被称为条件概率，记作P(A，B)，读作“在B 条件下A的概率”。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过总体概率的思想进行推导。
总体概率的思想是指将事件的发生分解为不同条件下的发生，然后将这些条件下的发生概率加总得到整体的发生概率。
条件概率在实际中具有广泛的应用。
例如，在疾病诊断中，医生经过观察和检测后，在患者出现一些症状的条件下，判断该患者是否患有其中一种疾病。
这时，医生利用条件概率进行判断，计算患者在出现症状的条件下患病的概率，从而得出最终的诊断。
二、贝叶斯公式的概念和原理贝叶斯公式是由英国统计学家贝叶斯（Thomas Bayes）在18世纪提出的一种计算条件概率的公式，被广泛应用于概率推断和统计学中。
贝叶斯公式的表达式为：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率。
贝叶斯公式的推导基于条件概率的计算公式和乘法法则。
通过将条件概率的计算公式改写成两个事件发生同时的概率，然后利用乘法法则进行概率计算，最终得到贝叶斯公式的表达式。
贝叶斯公式在实际中具有广泛的应用。
例如，在信息检索中，利用贝叶斯公式可以计算一些关键词出现的条件下文档属于一些类别的概率，从而进行文档的分类和检索。
此外，在机器学习中，贝叶斯公式也被用于构建和更新模型的参数。
三、条件概率和贝叶斯公式的应用案例1.疾病诊断：如前文所述，医生可以利用条件概率和贝叶斯公式计算患者在出现一些症状的条件下患病的概率，从而进行疾病的诊断和治疗。
条件概率及应用
条件概率及应用条件概率及应用什么是条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
用数学表示为P(A|B)，表示事件B发生的条件下事件A发生的概率。
应用场景1. 疾病诊断医学领域经常使用条件概率来进行疾病的诊断。
假设有一个罕见的疾病A，已知能够引起疾病A的基因突变是B。
如果已知某个患者有基因突变B，那么根据条件概率，我们可以计算出该患者患病A的概率P(A|B)。
2. 垃圾邮件过滤在垃圾邮件过滤中，条件概率被广泛应用。
假设我们已经有了一些已知为垃圾邮件的样本B，以及一些已知为非垃圾邮件的样本C。
我们可以通过条件概率来计算某个新邮件A是垃圾邮件的概率P(B|A)，进而判断是否将该邮件放入垃圾箱。
3. 自然语言处理在自然语言处理中，条件概率可以用于语言模型的建立。
以机器翻译为例，我们可以通过条件概率计算出给定目标语言的情况下，某个句子在源语言中出现的概率P(源语言句子|目标语言句子)。
这样可以帮助机器翻译模型选择最合适的翻译。
4. 金融风险评估金融领域中，条件概率也被用于风险评估和投资决策。
例如，我们想要根据一些已知的市场数据B，预测某只股票A在未来涨跌的概率P(A|B)。
这样的预测可以帮助投资者作出更明智的决策。
5. 物体识别在计算机视觉领域，条件概率也被广泛应用于物体识别任务。
假设我们已经有了一些已知为某种物体的样本B，以及一些已知为其他物体的样本C。
通过条件概率的计算，我们可以判断给定一张图片A，它是某种物体的概率P(B|A)，从而实现物体的自动识别。
结论条件概率在多个领域的应用十分广泛。
通过计算已知条件下某个事件发生的概率，我们可以进行疾病诊断、垃圾邮件过滤、金融风险评估、自然语言处理和物体识别等任务。
条件概率的运用帮助我们进行决策和预测，使我们的工作更加高效和准确。
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条件概率
1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.
解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.
则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,
∴P(A|B)=9/14.
,
2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.
解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.
则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式
∴P(A|B)=1/2.
,
,
3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.
解.设事件A i表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,
由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,
P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .
由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).
4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.
解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,
事件B表示“最后取到的是白球”.
根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2.
∴
5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率
解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .
事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.
显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意
P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;
P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;
由全概率公式
P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.
6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.
解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;
事件B表示“最后取到的是2号球”.
显然P(A)=1/N,
且P(B|A)=1/(N-1),;
,
∴=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N =(N2-N+1)/N2(N-1).
7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球.
解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,事件A2表示“第二次取到的是红球”.
(1)要求的是事件A1A2的概率.
根据题意P(A1)=4/5, , P(A2|A1)=7/9,
∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.
(2)要求的是事件的概率.
根据题意: ,,
∴.
(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.
,,
,
,
∴.
(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.
由全概率公式:
=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.
8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,
设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)
显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且
P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;
P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.
由全概率公式得到
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)
=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.
9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?
解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,
设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,
设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,
用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,
且A1、A2、A3构成一完备事件组.
又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1.
由全概率公式得到:
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.
10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少?
解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4
因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.
P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,
只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.
为了运算简便,我们求其对立事件的概率
=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.
∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.
11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求
(1)射击三次皆中目标的概率;
(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;
(3)射击三次至少有二次命中目标的概率.
解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3
根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3
某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.
(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).
由独立性:
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.
(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.
显然,
又根据独立性得到:
.
(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.
至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3
P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.
12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率. 解.设事件A i表示“第i人能译出密码”, i=1,2,3.
由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P(A1+A2+A3). 已知P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,
而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.
∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.
13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率.
解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3.
设事件B i表示“目标被命中i弹”, i=0,1,2,3.
设事件C表示“目标被摧毁”.
由已知P (A1)=0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.7;
P(C|B0)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|B3)=0.8.
又由于三次射击是相互独立的,所以
,
=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36,
=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41,
.由全概率公式得到
P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)
=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.。