等比数列求和公式学习教材PPT课件
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等比数列求和公式PPT教学课件
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
等比数列求和课件ppt
2、求等比数列 91，92，94，98，…的前十项和。
3、若等比数列 an满足a2 a4 20, a3 a5 40 ,则公比 q =__________;前 n 项和 Sn =_____.
小结 1.等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
2、在推导公式中运用的两种方法：错位相减 法、方程法。
3、等比数列前n项和公式运用。
作业：
1、思考：推导等比数列前n项和公式的其它方法。
2、书面作业:教材习题2.5A组（必做）；教材习题2.5B组 （选做）
等比数列前n项和
复习
等比数列：一个数列从第二项开始，每一项与它的前一向的
比为一个常数。这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比 数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0），即：
a n 1 an
nN
等比数列的通项公式：an a1qn1 (n N )
an am q m1 (a1 q 0)
∴
当q=1时， 当q=-1时，
2、等比数列中， 解： ∵
∴
，求 。 ，求 。
等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
对于a1, q, an , n, sn ,可知三求二。
练习：
1、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落 下，问当它第5次着地时，共经过了多少米？
方法一：
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
3、若等比数列 an满足a2 a4 20, a3 a5 40 ,则公比 q =__________;前 n 项和 Sn =_____.
小结 1.等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
2、在推导公式中运用的两种方法：错位相减 法、方程法。
3、等比数列前n项和公式运用。
作业：
1、思考：推导等比数列前n项和公式的其它方法。
2、书面作业:教材习题2.5A组（必做）；教材习题2.5B组 （选做）
等比数列前n项和
复习
等比数列：一个数列从第二项开始，每一项与它的前一向的
比为一个常数。这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比 数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0），即：
a n 1 an
nN
等比数列的通项公式：an a1qn1 (n N )
an am q m1 (a1 q 0)
∴
当q=1时， 当q=-1时，
2、等比数列中， 解： ∵
∴
，求 。 ，求 。
等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
对于a1, q, an , n, sn ,可知三求二。
练习：
1、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落 下，问当它第5次着地时，共经过了多少米？
方法一：
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
等比数列求和PPT课件
你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
等比数列求和(1)PPT课件
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
例题 分析
例3：求和： Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解： ①当a＝1时，Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时，
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点？
求和首先就是要消去… …，如何消呢？
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式，有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
例题 分析
例3：求和： Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解： ①当a＝1时，Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时，
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点？
求和首先就是要消去… …，如何消呢？
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式，有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
等比数列求和公式的推导与应用PPT
公比对等比数列求和有影响 当公比为1时，等比数列为常数列，其和等于首项与末项之差 等比数列求和公式推导 利用错位相减法，将等比数列的和表示为无穷级数，然后通过数学运算进 行化简得到 应用公比调整等比数列和 根据实际问题，适当调整公比，可以更准确地计算等比数列的和
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
等比数列的求和公式课件
+a99 ? 60
34
[例 4] 已知 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且 a1，a2， a3，…，an 成等差数列(n 为正偶数)．又 f(1)＝n2，f(－1) ＝n，试比较 f(12)与 3 的大小．
请同学们考虑如何求出这个和？
32814 73701 = 103 2
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 ? 2(1? 即2S64 ? 2 ? 22
2
?
? 22
23 ?
?
23
?
?
263
是?错26位3 )相.
? 2减64法. !
(2)
? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2那2如么?果这213些0?0麦02粒粒4麦的? 粒总重质?为量24就603是克? ，264)
根据统计资料显示全世界小麦的年产量约为6亿吨就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦国王无论如何是不能实现发明者的要求的
1
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an?1 an
?
q（常数）（ q ? 0, n ? N ? ）
2.通项公式：
a a q an ? a1 ?q n?1 ,
m? n
?g
m
n
3.等比数列的主要性质：
a1 1? q2n 1? q2
,
? S偶 ? a2 ? q. S奇 a1
等比数列前n项和的性质四：
如果?an ?为公比为q的等比数列，对? m、p ? N ?有：
Sm? p ? Sm ? qmSp
29
30
例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数 列的公比和项数.
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
等比数列的求和公式第一课时ppt
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 （ 2）
1 1 2n 1 2
×
a a （3）a
n个
例1、已知 a n 是等比数列，求出下列各量
1 1 （1）已知 a1 2 , q 2 , n 5 ，求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时， S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时，等比数列an an 0 为一个常数 列，前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
（ 1） 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中， 2 1
S 3 4 ，求 a 1 2
思考：
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中，a1 an 66 ， • a2 an1 128 且 sn 126 ，求项数 • n 和公比 q
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
等比数列求和公式课件
元？ • 10×36=360 • 公司还款多少元？
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
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2n
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {an }是递增数列
a1 n an 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80得： 3 1 q
a1 2, q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3 , S9 , S 6成等差数列， 求证：a , a , a 成等差数列。 2 8 5 证明： S3 , S9 , S 6成等差数列
1 2
S6=189
1 . 2
，an=
S5=31/2
Sn=3n
(3)等比数列{ an=3 }
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和 1 1 1 2 n （x ) ( x 2 ) ... ( x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)
n
1 1 1 例1：求等比数列 ， ， ．．．的前8项的和。 2 4 8
18 1 / 2(1 ) n a1(1 q ) 2 Sn 1 q 1 1/ 2
1 1 解： a1 , q , n 8 2 2
1 Sn 1 8 2
课堂练习 1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3，q=2，n=6. (2)a1=8，q =
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
1 1 1 2 n (x ) (x ) ... (x ) y y2 yn
1 1 1 2 n (x x ... x ) ( ... ) n y y2 y
1 1 (1 ) n y x(1 x ) yn 1 1 x 1 y
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 a n q =a1+q(Sn-an) sn 1 q
当公比q 1时，Sn na1
n
a1 (1 q ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1
n 1
解：根据题意，每年销售量比上一年增
加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中
S3 S 6 2 S9
当q 1时，S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 S3 S 6 2 S9 q 1
由S3 S6 2S9 得
a1 (1 q ） a1 (1 q ） a1 (1 q ） 2 1 q 1 q 1 q
①
② ①
②
S64=1+2+4+8+…+262+263
2S64=2+4+8+16…+263+264
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1qn
an1 q 1 等比数列的定义： an
2通项公式： an a1q
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
a, G, b成等比 G ab G ab
2
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2 得到： 2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较.
an a1q
n 1
a1 an q (q 1) Sn 1 q . na (q 1) 1
a1 (1 q ) a1 anq (q 1) (q 1) Sn 1 q 或S n 1 q . na (q 1) na (q 1) 1 1
a1 1 q n sn 1 q
…②
证法二：
an a2 a3 q a1 a2 a n 1
a2 a3 an q a1 a2 an1
S n a1 a1 a n q q sn S n an 1 q
证法三：
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000; y2 5000 5000 10%
y3 5000(1 10%) 5000(1 10%) 10% 5000(1 10%)2
y4 5000(1 10%) ; .....
3
yn 5000(1 10%)
解： Sn 80, S2 n 6560 q 1
a1 (1 qn) (1) Sn 80 1 q 2n a ( 1 q ) S 1 6560 (2) 2n 1 q
1 q ( 2) (1)得： n 82 1 q
2n
1 q n 82 1 q 82 n 1 q
n 1 xx 1 x
n y 1 n 1 5) ( 4 3 5 ) (6 3 5 ) ... ( 2n 3 5 )
2
例3：设正项等比数列前 n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项 a1 与公比q均为正数，求该数列的 首项a1与公比q .
3
6
9
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q 4 2q7 a1 (q q 4) 2 a1 q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 2 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加 10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {an }是递增数列
a1 n an 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80得： 3 1 q
a1 2, q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3 , S9 , S 6成等差数列， 求证：a , a , a 成等差数列。 2 8 5 证明： S3 , S9 , S 6成等差数列
1 2
S6=189
1 . 2
，an=
S5=31/2
Sn=3n
(3)等比数列{ an=3 }
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和 1 1 1 2 n （x ) ( x 2 ) ... ( x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)
n
1 1 1 例1：求等比数列 ， ， ．．．的前8项的和。 2 4 8
18 1 / 2(1 ) n a1(1 q ) 2 Sn 1 q 1 1/ 2
1 1 解： a1 , q , n 8 2 2
1 Sn 1 8 2
课堂练习 1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3，q=2，n=6. (2)a1=8，q =
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
1 1 1 2 n (x ) (x ) ... (x ) y y2 yn
1 1 1 2 n (x x ... x ) ( ... ) n y y2 y
1 1 (1 ) n y x(1 x ) yn 1 1 x 1 y
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 a n q =a1+q(Sn-an) sn 1 q
当公比q 1时，Sn na1
n
a1 (1 q ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1
n 1
解：根据题意，每年销售量比上一年增
加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中
S3 S 6 2 S9
当q 1时，S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 S3 S 6 2 S9 q 1
由S3 S6 2S9 得
a1 (1 q ） a1 (1 q ） a1 (1 q ） 2 1 q 1 q 1 q
①
② ①
②
S64=1+2+4+8+…+262+263
2S64=2+4+8+16…+263+264
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1qn
an1 q 1 等比数列的定义： an
2通项公式： an a1q
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
a, G, b成等比 G ab G ab
2
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2 得到： 2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较.
an a1q
n 1
a1 an q (q 1) Sn 1 q . na (q 1) 1
a1 (1 q ) a1 anq (q 1) (q 1) Sn 1 q 或S n 1 q . na (q 1) na (q 1) 1 1
a1 1 q n sn 1 q
…②
证法二：
an a2 a3 q a1 a2 a n 1
a2 a3 an q a1 a2 an1
S n a1 a1 a n q q sn S n an 1 q
证法三：
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000; y2 5000 5000 10%
y3 5000(1 10%) 5000(1 10%) 10% 5000(1 10%)2
y4 5000(1 10%) ; .....
3
yn 5000(1 10%)
解： Sn 80, S2 n 6560 q 1
a1 (1 qn) (1) Sn 80 1 q 2n a ( 1 q ) S 1 6560 (2) 2n 1 q
1 q ( 2) (1)得： n 82 1 q
2n
1 q n 82 1 q 82 n 1 q
n 1 xx 1 x
n y 1 n 1 5) ( 4 3 5 ) (6 3 5 ) ... ( 2n 3 5 )
2
例3：设正项等比数列前 n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项 a1 与公比q均为正数，求该数列的 首项a1与公比q .
3
6
9
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q 4 2q7 a1 (q q 4) 2 a1 q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 2 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加 10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）