复数的三种表示形式
大学物理与数学方法总结
n z不同，Sin z=1 =ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v yu y v x u这是复变函数可导的必要条件。
函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数yvx v yux u ¶¶¶¶¶¶¶¶,,,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。
在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶r jr jr r v u v u11四 解析函数若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。
又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。
上的解析函数。
解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。
2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。
由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。
这个解析函数。
dy y v dx x v dv ¶¶+¶¶=根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+¶¶-=于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。
英语名词变复数的几种形式
英语名词复数1.名词复数的构成方法(1)在一般情况下，加词尾 -s ：book / books pen / pens face / faces清辅音后读/s/map-maps浊辅音和元音后读/z/bag-bags car-cars(2)以s, x,sh, ch等结尾的名词，通常加词尾-es读/iz/：bus/buses watch/watches box / boxes dish / dishes 注：有些以ch结尾的名词，由于其发音不是[k]而是[tF]，那么其复数形式应加词尾–s，如stomach / stomachs胃。
(3)以 y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况：以“辅音字母 +y”结尾的名词，将 y 改为 ies ；读 /z/baby / babies city / cities以“元音字母＋y”结尾的名词，直接加词尾y”s：boy / boys key / keys注：以y 结尾的专有名词，若在某些特殊情况下需要复数，通常加s 构成：Mary / Marys玛丽Germany / Germanys德国(4)以o结尾的名词，有些加词尾-s ，有些加-es，有些加-es -s或-es 均可：在中学英语范围内，加词尾es的主要有以下 4 个：tomato西红柿， potato土豆， hero英雄， Negro黑人Negro这样记“黑人英雄他妈偷土豆”，(5)以f或fe结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s ，有些则把f / fe改为ves ：chief / chiefs首领roof / roofs屋顶knife / knives小刀注：在中学英语范围内，要改thief 小偷wife妻子f / feleaf为树叶ves的只有以下knife小刀10 个词：half一半wolf狼shelf架子self自己life生命loaf面包“ 小偷的妻子用树叶当刀杀死了半只狼，挂在架子上当面包烤自己又活了”wife -wives, life -lives thief-thieves, leaf-leaves2.单数与复数同形式的名词中学英语中主要的有：sheep绵羊fish鱼deer鹿Chinese 中国人Japanese日本人Portuguese葡萄牙人aircraft 飞行器 means方法series系列head ( 牛等的 ) 头数 works工厂注： fish有时也用fishes这样的复数形式，尤其表示种类时；head若不是牲口的“头数”，而是表示“人的头”或“人数”，则要用” heads 这样的复数形式。
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
复数的三角形式（一）
复数的三角形式（一）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：化复数为三角形式 难点：复数辐角主值的探求 教学内容： 一、知识回顾：1、复数的三种形式：代数形式z=a+bi ⇔点的形式Z(a,b) ⇔2、复数的模：|z|=|a+bi|=22b a +=|OZ |二、复数的三角形式：1、复数的辐角： *复数的辐角有无穷多，其一般形式是： *特别规定：复数0的辐角是任意的.2、复数的辐角主值： ，记为argz *注意与反三角符号的区别3、几个特殊结论：如果a ∈R +，那么arga= ,arg(-a)= ,arg(ai)= ,arg(-ai)= 4、两个复数相等⇔r 1=r 2且argz 1=argz 2.5、复数的三角形式：设θ是复数的辐角，其模为r ，则： a= ,b=)s i n (c o s θ+θ=i r z 叫复数的三角形式*三角形式的具体要求：①r ≥0 ②前余后正 ③“+”号连接 ④θ不一定是主值三、典型例题分析：1、化下列复数为三角形式：①z=3+i②z=1-i③z=-1④z=3-4i2、（91全国）复数z=1+i，求复数163 2++-z zz的模和辐角主值3、求复数z1=1+cosθ+isinθ(0≤θ<2π)的模和辐角主值。
四、课堂练习：1、下列那一个是复数的三角形式(A)21[cos4π-isin4π] (B) -21(cos3π+isin3π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π2、把下列复数化为三角形式：4= ；-3= ；-i= ;-2+2i=-1-i 3= ;=-i 2123 ;-4+3i= 五、能力测试：1、（90广东）复数)2(1π<θ<πθ+ictg 的三角形式是…………………（ ）(A))]2sin()2[cos(sin 1θ-π+θ-πθi (B))cos (sin sin 1θ+θθ(C) )]2sin()2[cos(sin 1θ+π+θ+πθ-i (D) )]23sin()23[cos(sin 1θ-π+θ-πθ-i 2、（91三南）复数Z=-3(cos34π-isin 34π)的幅角主值为…………………（ ） (A)34π (B) 35π (C) 611π(D)6π3、（92三南）设复数Z=i i 32+，那么复数Z 的幅角主值为…………（ ）(A)65π (B) 3π(C)32π (D) -34π4、（2000上海）复数z=-3(cos 5π-isin 5π)的三角形式是……………………（ ）(A) 3[cos(-5π)-isin(-5π)] (B) 3(cos5π+isin5π)(C) 3(cos54π+isin 54π) (D) 3(cos 56π+isin 56π) 5、（93上海）设Z= cos57π+isin 57π，则z 的幅角主值为 6、把下列复数化为三角形式：3-= ；-3= ；5i= ; 2+2i=1-i 3= ;=--2123i ;5+12i= 7、先把下列复数化为代数形式然后在化为三角形式：-3(cos23π+isin 2π)= = ；2[cos(-4π)-isin(-4π)]= =8、化复数z 1=1+cos θ+isin θ,z 2=1-cos θ+isin θ(π＜θ<2π＝为三角形式，并且求argz 1+argz 2.复数的三角形式（二）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：复数的三角形的应用 难点：复数辐角的研究 教学内容： 一、知识回顾： 1、复数的模及幅角： 2、复数的三角形式：3、小练习：①arg(3-i)= ;②arg(m+i)2=π23,则m= ;③-5(cos45º-isin45º)化为三角形式是④argz=π65,复数z 的实部为-23，那么z= 二、典型例题：1、化下列复数为三角形式：①z=ii3251+-②z=1+itg )23(π<α≤πα③z=3sin α+cosα-2icos(α+6π)2、|z z 1-|=21，argz z 1-=3π,求复数z3、arg(z+1)=6π,arg(z-1)=3π,求复数z.4、|z|≤21，求复数w=z-1的辐角主值及模的取值范围5、如果z=21+i sin θ并且|z|≤1，求α=argz 的取值范围三、课堂练习：1、复数z=2-a+(2a-1)i ，如果0＜argz ≤4π，求a 的取值范围2、复数z 满足：|z-2i|≤1，那么|z|max = ,|z|min = ,如果复数z 的辐角主值为α，那么αmax =,αmin =三、能力测试：1、集合M={z|1≤|z|≤2,z ∈C},N={z|4π<argz<43π, z ∈C }，则M ∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是………………………………………………………………（ ）(A)4π (B)2π (C)43π(D) π 2、设a ∈(-1,0),复数cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为…………………（ ） (A) arcsina (B)2π+ arcsina (C)π-arcsina (D) π+ arcsina3、复数1+cos200º+isin200º的辐角主值为…………………………（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º4、复数-1-2i 的辐角主值为5、如果z 1、z 2∈C ，|z 1|≤21，并且z 2=i+z 1，那么argz 2∈6、arg(z+2)=3π,arg(z-2)=65π,求复数z.7、|z|=1且argz=θ,求w=z 2+z 的模及幅角主值8、复数z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2并且π<<π2arg 23z ,求实数a 的取值范围复数的三角形式（三）知识目标：掌握复数的三角形式的乘法运算.能力目标：培养学生能从知识的演变过程中发现新的问题、勇于提出问题、积极探讨解决问题方法的能力，掌握化归思想的具体应用思想目标：培养学生积极思考、勇于创新、求真务实的科学态度 教学重点：复数乘法运算教学难点：复数乘法运算的几何意义的理解 教学方法：发现式教学法 辅助手段：多媒体电脑 活动过程： 一、知识回顾：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），argz=α，那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3π-isin3π) (B) -21(cos4π+isin4π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π⑵把下列复数化为三角形式：-3= ；=-i 2123 ;4、预备工具： cosαcos β-sin αsin β=cos(α+β); sinαcos β+cos αsin β=sin(α+β)二、复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isinα)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0那么：z 1〃z 2=此定理用语言叙述为： 〘例题1〙1、求下列复数的积：①2(cos12π+isin12π)∙3(cos 6π+isin6π)②3(cos75°+isin75°) ∙3(cos15°+isin15°)③(cos3A+isin3A) ∙ (cos2A-isin2A)定理的推广：设z n =r n (cos αn +isinαn ),其中r n ≥于是：z 1z 2z 3…z n =r 1r 2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn ) +isin(α1+α2+α3+…+αn )]〘反馈练习1〙1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)= ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos150º-isin150º)=⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙5 (cos108º+isin108º)=⑷|3(cos12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22º+icos22º)|=2、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z 1、z 2相乘时，可以先画出分别与z 1、z 2对应的向量1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ再把模变为原来的r 1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2. *特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.〘例题2〙试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)：⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙ (cos108º+isin108º)：〘例题3〙1、OZ 对应复数-1+i,将OZ 按逆时针方向旋转120º后得到Z O '， 求Z O '对应复数z2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π31，所得向量对应复数为(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求Z C 与Z D .O xyZZ '120〘反馈练习2〙如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是3、知识小结：⑴积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和⑵复数的乘法⇔向量的旋转与伸缩⑶做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.三、能力测试：1、如果向量OZ 对应复数-23+4i ，OZ 顺时针旋转60º得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是………………………………………………………………………………（ ） (A) -33-i (B) 3+5i (C) -23-4i (D) 23+4i2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么…………………………………………………………（ ）(A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º)3、如果α∈(2π,π),z=(1+i) ∙ (cos α+sinα)的辐角主值为…………（ ）(A)49π- α (B)4π+α(C)43π+α (D) 2π-α4、如果A 、B 对应复数3-2i ，-1+4i ，把AB 按顺时针方向旋转90º后再把模变为原来的2倍得到向量AC ，那么向量．．AC 的复数是 ，C 点的坐标为5、2(cos176º+isin176º) ∙3 (cos26º-isin26º) =6、3(cos3π+isin3π)∙2 (cos6π+isin6π)=7、10(cos2π+isin2π)∙2 (cos4π+isin4π)=8、如果正⊿ABC 的两个顶点A 、B 对应复数z 1=i,z 2=-3四、板书计划：1、乘法公式2、几何意义3、知识小结五、信息反馈：Cx复数的三角形式（四）目的：掌握复数的三角形式的乘法运算重点：De moiver theorem (棣美弗定理)难点：复数辐角的研究教学内容：四、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ那么：z1z2 =2、复数乘法的几何意义：3、乘法运算定理的推广：二、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]证明：（用数学归纳法证明）三、典型例题分析：1、如果z=cos52π+isin 52π,求： 1+z 4+z 8+z 12+z 16之值2、如果z=cos3π+isin3π，求|z+2z 2+3z 3+…+12z 12|之值3、求(3-i)6的值.4、如果(3+i)m =(1+i)n ,m 、n ∈N ，求自然数m 、n 的最小值5、化复数z=1+(23i +)7为三角式6、设复数z 满足：|z|=1且z 5+z=1,求复数z 的值.四、课堂练习：1、化间：[3(cos18º+isin18º)]5= ,(-1-i)6= ,(1-i)(21--23)7=2、（90上海）复数W= cos52π+isin 52π，则W+W 2+W 3+W 4+W 5=五、能力测试：1、（93全国）当21i z --=时，z 100+z 50+1的值为(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i2、（94上海）设复数Z=-21+23i ，则满足z n =z 并且大于1的自然数n 中最小的是 (A)3 (B)4 (C)6 (D)73、[-3(cos10º-isin10º)]6=4、如果z=cos52π+isin 52π,求：(1+z)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8) 的值5、n （n ∈N ）是什么值时，(1+i 3)n ∈R6、（97全国）已知复数z=i 2321+,w=i 2222+，求复数zw+zw 3的模及幅角主值7、（97全国）已知复数z=i 2123-，w=i 2222+,复数zw,z 2w 3在复平面上对应点分别为P 、Q ，证明⊿OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）复数的三角形式（五）目的：熟练掌握复数三角形式的运算重点：乘法定理和De moiver theorem (棣美弗定理)的使用难点：积的辐角与辐角之和的关系教学内容：五、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ)那么：z1z2 =2、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]六、典型例题分析：1、De moiver theorem (棣美弗定理)的推论：[r(cosθ-isinθ)]n=r n[cosnθ-isinnθ]试证明之。
名词的单复数与形容词的比较级
名词的单复数与形容词的比较级名词的单复数和形容词的比较级是英语中比较基础和常见的语法知识点之一。
掌握好名词的单复数和形容词的比较级用法，对于提高英语的听、说、读、写的能力都是非常重要的。
本文将分为两个部分，分别介绍名词的单复数和形容词的比较级。
一、名词的单复数名词的单复数主要有三种情况：1. 一般名词的变化规则：大部分情况下，将名词的词尾加上“-s”或“-es”来表示复数形式。
例如：book（书）→books（书籍）；bus（公交车）→buses（公交车）。
2. 以“-y”结尾的名词：当名词的词尾是“-y”，并且前面的字母是辅音字母时，将“-y”变为“-i”，再加“-es”来表示复数形式。
例如：city（城市）→cities（城市）；story（故事）→stories（故事）。
当名词的词尾是“-y”，并且前面的字母是元音字母时，直接加“-s”来表示复数形式。
例如：toy（玩具）→toys（玩具）；key（钥匙）→keys（钥匙）。
3. 不规则名词的复数形式：一些英语名词的复数形式与单数形式完全不同，需要记忆。
例如：child（孩子）→children（孩子们）；man （男人）→men（男人们）；woman（女人）→women（女人们）。
二、形容词的比较级形容词的比较级有三种形式：原级、比较级和最高级，用于对事物进行比较或表示程度的差异。
1. 原级：表示事物的基本状况，没有比较的意味。
例如：hot（热的）→hot（热的）；big（大的）→big（大的）。
2. 比较级：表示两个事物之间的比较，常在形容词后面加上“-er”来表示。
例如：hot（热的）→hotter（更热的）；big（大的）→bigger（更大的）。
3. 最高级：表示三个或以上事物之间的比较，常在形容词前面加上“the”并在后面加上“-est”来表示。
例如：hot（热的）→the hottest（最热的）；big（大的）→the biggest（最大的）。
数学问题中的复数方法
当 1 2 时， xn xn 1 n 2 ( x2 1 x1 ) xn ( n 1)n 2 x2 ( n 2)n 1 x1 。
例 4．求递推数列 xn 1
axn b 的通项k 0 n 1 n 1
设 i
n 1 2mi ， mi 是整数。对任意 m1 , m2 ， sin( k1 ) cos( k 2 ) 0 。 n k 0 n 1 n 1
当n | ( m1 m2 ) 且 n | (m1 m2 ) 时， sin( k1 )sin( k 2 ) cos( k1 ) cos( k 2 ) 0 。
r sin r n 1 sin( n 1) r n 2 sin n 。 r 2 2r cos 1
例 7．求第一类 Chebyshev 多项式 Tn ( x ) ， cos n Tn (cos ) 。
2k k (cos ) nk (i sin ) k Cn (cos ) n2 k (cos 2 1) k 解：cos n Re(cos i sin ) n Re Cn k 0 k 0 n/2 n/2
3
3 k 1 3 k 1 n 1 此时， Cn ci 3 。 i k x k 0 i 1
n
4
（2）当 x 3
27 4 4(1 2i) 4(1 2i) 时， 1 2 x，3 x，4 x， 256 3 3 3
2 3 d1 d2 d3 d4 1 λ3 21 ，其中 ， ， d d 1 3 1 y 3 xy 4 (1 1 y ) 2 1 2 y 1 3 y 1 4 y f (1 ) f ( λ3 ) 4 n 3 n 1 3 k 1 3 k 1 3 n 1 4 ， d 2 1 d1 d3 d 4 。此时， Cn x ( 3 n 2 ) d di 3 。 1 1 k i f (4 ) k 0 i2
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
复数的三种表示形式
复数的三种表示形式《复数的三种表示形式》嘿，同学们！你们知道复数吗？这玩意儿可有趣啦！今天我就来给大家讲讲复数的三种表示形式。
先来说说第一种形式，代数形式。
这就好比我们平常写数字一样，复数的代数形式就是a + bi 。
这里的a 和b 可都是有大作用的哟！a 叫做实部，b 叫做虚部。
就像我们身体的胳膊和腿，都很重要！比如说3 + 2i ，这里的 3 就是实部，2 就是虚部。
那你们说，要是实部是0 会怎么样呢？那不就变成纯虚数啦！这难道不神奇吗？再讲讲几何形式。
复数的几何形式就像在地图上找位置一样！我们把复数用平面直角坐标系中的点来表示。
实部是横坐标，虚部是纵坐标。
这多像我们在地图上找宝藏呀！比如说2 + 3i ，就在横坐标是2，纵坐标是3 的那个点上。
那要是这个点在坐标轴上呢？比如说0 + 5i ，不就在y 轴上了嘛！这难道不是很有意思吗？最后说一说三角形式。
哇，这个可有点难理解啦！复数的三角形式是r(cosθ + isinθ) 。
r 是复数的模，θ 是辐角。
这就好像一个箭头的长度和方向！r 就是箭头的长度，θ 就是箭头的方向。
比如说4(cosπ/3 + isinπ/3) ，这得多难想象呀！老师在课堂上讲这些的时候，我一开始真是一头雾水，我就问同桌：“这也太难懂了，你能明白吗？”同桌皱着眉头说：“我也不太懂呢！”后来老师又耐心地给我们举了好多例子，还让我们自己动手画一画，慢慢地，我好像有点明白了。
我觉得呀，学习复数就像爬山，一开始觉得山好高好难爬，但是只要我们坚持，一步一步往上走，总能爬到山顶，看到美丽的风景！复数的这三种表示形式虽然有点复杂，但是只要我们认真学，多练习，就一定能掌握！同学们，你们说是不是呀？所以，我觉得复数虽然难，但只要我们不怕困难，努力去学，就一定能学好！。
复函数知识点总结
复函数知识点总结定义：复数是由一个实部和一个虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i² = -1。
其中a、b为实数，可以为任意实数，即a、b ∈ R。
复数的表示：通常来说，复数可以用三种形式表示：代数形式、图解形式和三角形式。
（1）代数形式：复数a+bi可以用代数形式表示为z=a+bi，其中z为复数。
（2）图解形式：复数a+bi可以在复平面上表示为点(x,y)，其中x=a，y=b，与实轴的交点为a，与虚轴的交点为b。
（3）三角形式：对于复数a+bi，假设它的极坐标形式为r(cosθ+isinθ)，则r为复数的模，θ为复数的幅角。
复数运算：（1）加减法：复数a+bi和c+di的加减法操作为：a+bi±c+di = (a±c) + (b±d)i（2）乘法：复数a+bi和c+di的乘法操作为：(a+bi)×(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i（3）除法：复数a+bi和c+di的除法操作为：(a+bi)÷(c+di) = (a+bi)×(c-di)÷(c²+d²) = (ac+bd)÷(c²+d²) + (bc-ad)÷(c²+d²)i复数性质：（1）共轭：对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
（2）模：对于复数a+bi，它的模为|a+bi| = √(a²+b²)。
（3）幅角：对于复数a+bi，它的幅角为θ = arctan(b/a)。
（4）欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ对于复数z = a+bi，它可以表示为z = r(e^(iθ))，其中r为模，θ为幅角。
（5）复数的运算：复数满足加、减、乘、除的封闭性，即两个复数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个复数。
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况
英语名词变复数通常可以分为以下几种情况(不可数名词除外):1, 直接在名词后加字母s.如:chair--chairs;apple--apples.2,以辅音字母加y结尾的名词,把y变成i,再加es.如:city-->cities;story--stories;study--studies.3,以字母x,s,ch,sh等结尾的名词,加es.如:class--classes;fish--fishes;box--boxes;match--matches.4,以元音字母加o结尾的词,直接加s,如boy--boys;zoo--zoos以辅音字母加o结尾的词,加es.如:radio--radios;patato--patatoes;但是有例外,如:piano--pianos;5,一些不规则名词,有其特殊的形式,要特别记忆.如:child--children;man--men;woman--women;foot--feet6,与man 和woman两个词组成的复合词,名词本身和这两个词都要变成复数.如:woman doctor-->women doctors; man driver-->men drivers;7,还有一些名词的单数与复数是一样的,不需要变化.如:sheep;chinese;beer;ect. 8.以f或fe结尾的名词,改f或fe为v加es.如knife--knives;wife--wives;leaf--leaves..1 名词复数的规则变化情况构成方法读音例词一般情况加-s 清辅音后读/s/ map-maps浊辅音和元音后读/z/ bag-bags /car-cars以s, sh, ch, x等结尾加-es 读/iz/ bus-buses/ watch-watches以ce, se, ze,等结尾加-s 读/iz/ license-licenses以辅音字母+y结尾变y 为i再加es 读/z/ baby---babies1.2 其它名词复数的规则变化1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式,三角式,指数式;坐标形式：z=a+bi;这个就非常简单了,它是复数的定义;自从i这个数产生以后,我们就规定了a+bi是复数,并且b=0时就是我们以前的实数;a,b对应复数在复平面上的坐标;三角形式：z=rcosθ+isinθ这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r,幅角为θ,显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z 1z2=r1r2cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+isinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2=r1r2cosθ1+θ2+isinθ1+θ2通过三角形式我们不难发现,两个复数积的模等于两个复数的模的积,而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数,在旋转一个角度这个角是另一个复数的幅角,特别地,如果乘以的复数的模为1,则该复数只起到旋转的效果,例如：在旋转的几何背景下,我们还容易发现：Z n=r n cosnθ+isinnθ特别地,令r=1,可以得到着名的王陆杰公式：cosθ+isinθn=cosnθ+isinnθ这个公式很有用,我们下一次再谈;指数形式：z=re iθ因此有e iθ=cosθ+isinθ从而有z=rcosθ+isinθ=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质,以及刚才的王陆杰公式e inθ=cosnθ+isinnθ=e iθn=cosθ+isinθn这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地,令θ=π,则e iπ=-1;我们不得不惊叹复数的形式看似简朴,但真正是藏龙卧虎,以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了,关于复数这些形式的进一步研究,我们以后再说;。
复数的三角形式汇总.
4
课堂小结
想一想？
作业布置
一点通：174页、175页
2
arg (-a)=π
3 arg (-ai)= 2
每一个不等于零的复数有唯一的模和辐角主值， 并且可由模与辐角主值唯一确定。
（三）复数的三角形式
根据三角函数的定义，终边上任意一点Z（a,b )， Y Z(a,b) z到原点的距离为r ，则
b sin b r sin r a r cos O cos a r
代 数 形 式 z=a+bi =rcosθ +irsinθ
r
b
θ
a
X
=r(cosθ +isinθ)
三 角 形 式
复数的三角形式条件：
Z= r （ Cosθ + i Sin θ）
①r≥0。 ②加号连接。
③Cos在前，Sin在后。
④θ前后一致，可任意值。
“模非负，角相同，余正弦，加号连”
例题分析
例1：把下列复数代数式化成三角式：
(1) 3 (4)2i
(2)1 i
(3) 3 3i
(5) 2 2i (6) 1 3i
小结：代数式化三角式的步骤
（1）先求复数的模 （2）决定辐角所在的象限 （3）根据正切值，象限求出辐角 （4）求出复数三角式。
小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使 表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。
·
b
r
θ
O
a
X
注：1)、非零复数的辐角有无限多个值，它们相差2kπ（k∈Z) 2)、若z=0，则r=0, 辐角任意。
(二)复数的辐角主值
复数的三角形式与指数形式
其次，幅角θ应该占据
y a 中指数x的位置, x
对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？
由于
(i ra x )2 r 2a2x
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
3、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到
zn r n (cos n i sin n )
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
4.1、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
zn r n (cos n • i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
•
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
axa y axy
loga ( xy) loga x loga y
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和 。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z rai
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
z1z2 (r1ai1 )(r2ai2 ) (r1r2 )a i(12 ) z1 z2 (r1ai1 ) (r2ai2 )• (r1 r2 )ai(12 )
zn (rai )n r nai(n )
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
复数域
x j ≥0
∑ xj + i∑ yj ≥
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj ≥
1 1 > . 4 6
• 1.3.复数的单位根
2kπ 2kπ + i sin (k = 0,1,⋯ , n − 1)称为 的n 1 n n 次单位根.由棣莫弗定理, 全部n次单位根可表示为 , ε 1 , ε 12 ,⋯ , ε 1n −1.并有如下性质 : 1 方程x n − 1 = 0( n ≥ 2)的n个根ε k = cos
复数域
1.复数知识
• 1.1.复数的表示形式与运算
代数形式z = x + iy, x, y ∈ R, i 2 = −1, x称为z的实部, 记x = Re( z ); y为虚部, 记y = Im( z ).
三角形式z = r (cos θ + i sin θ )(r ≥ 0, θ ∈ R ), r称为z的模, θ为辐角, 记辐角主值θ = arg z.
1 + ε 1 + ε 12 + ⋯ + ε 1n −1 = 0(n ≥ 2)
任意两单位根之积仍为一个n次单位根, 且ε i ⋅ ε j = ε i + j (当i + j ≥ n时, ε i + j = ε k , 其中k为i + j除以n的余数).
设m为整数, n ≠ 1, 则 + ε + ε + ⋯ + ε 1
3 2
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 − 4 x) 2 5 − 4 x = (2 + 2 x) 2 (5 − 4 x) ≤ [ ] = 3 3.当且仅 3 1 3 1 当z = ± i时, 取最大值3 3 当2 x + 2 = 5 − 4 x,即x = 时, 等号成立.此时 . 2 2 2 当z = −1时, 取最小值0
复变函数复习提纲 (1)
1
1
i
2 k
n
， ，
i
k 0,1,
, n 1
如： z e
1 4
i 2 k
i
2 k
4
k 0,1, 2,3
2 k
2
二次根式：
z ei e
ln z
i 2 k
e
k 0,1
m z zk
1 d m1 m 计算： Re sf zk lim z zk f z z zk m 1 ! dz m 1
（3）本性奇点处的留数： 判断： f z 的洛朗级数展开中有无穷多负幂项，则 z =zk 为本性奇点。 计算：写出 f z 的洛朗级数，其 Resf zk a1 二、留数定理的应用 1、类型一：
2 2
2u 2u x 2 y 2 0 2 2 v v 0 2 2 x y
u x, y 为调和函数 v x, y 为调和函数
5、 给定实部（或虚部） ，求解析函数 f z 。 最常用的方法： （不定积分法，又叫偏微分法） ，大致步骤： 若已知实部 u u x, y ，利用 C R 条件，得
z 2 k 1 2k 1! z 2k 2k !
z z
cos z 1
k 0
k
收敛半径：由展开中心到最近奇点间的距离决定。 二、洛朗级数 1、 洛朗级数： 若 f z 在环形区域R2 z b R1内解析,
4
复变函数复习提纲
u 1 v 极坐标系下： 1 u v
复数的三角形式
2k
n
i sin
2k
n
),
(k 0,1, 2,L , n 1)
复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
4、复数的开方
k
n
r (cos
2k
n
i sin
2k
n
),
(k 0,1, 2,L , n 1)
从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差 n
所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，
)]
∴ r=-2cos
< <π ∴ π<π+ <2π， ∴argZ=π+
例 4．设 =z+ai(a∈R), z (1 4i)(1 i) 2 4i 且
3 4i
| | 2 ，求 的辐角主值的取值范围.
分析与解答：
z (1 4i)(1 i) 2 4i 3 4i
5 3i 2 4i 3 4i
复数的指数形式
由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的
两个公式： cos i sin ei
cos
i sin
e i
cos ei ei , sin ei ei
2
2i
这两个公式被统称为欧拉公式
在复数的指数形式中，令r=1,θ=π，就得到下面的等式
ei 1 或 ei 1 0
即 z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加 这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时 针旋转角θ2，就得到z1z2。
复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
2、复数的除法
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。