量子力学教学04
量子力学教案
量子力学教案一、教学目标1. 了解量子力学的基本概念和原理。
2. 掌握波粒二象性的概念及其实验表现。
3. 理解量子力学中的不确定性原理及其应用。
4. 熟悉量子力学的基本数学形式。
5. 能够应用基本量子力学理论解决简单问题。
二、教学重点1. 量子力学基本概念和实验表现。
2. 不确定性原理的理解和应用。
3. 基本数学形式的掌握和应用。
三、教学难点1. 不确定性原理的理解。
2. 量子力学基本数学形式的应用。
3. 量子力学在实际问题中的运用。
四、教学内容及方法1. 教学内容:(1)量子力学基本概念和实验表现- 波粒二象性的概念及实验验证(双缝干涉实验等)。
- 波函数的概念和物理意义。
- 波函数的归一化和量子态的正交性。
(2)不确定性原理的理解和应用- 不确定性原理的概念和表述。
- 不确定性原理在实际问题中的应用。
(3)量子力学基本数学形式的掌握和应用- 时间演化方程及薛定谔方程的引出。
- 算符及其期望值的计算。
- 可观测量与本征值问题。
2. 教学方法:(1)讲授法:通过讲述基本概念和理论原理,引导学生理解量子力学的基本思想和数学形式。
(2)实验演示法:通过展示双缝干涉实验等经典实验,直观呈现波粒二象性现象。
(3)示例分析法:通过解析具体问题,引导学生掌握量子力学基本数学形式的应用。
五、教学步骤1. 导入环节通过提问方式引出波粒二象性的概念,并展示双缝干涉实验等相关实验现象。
2. 理论阐述(1)量子力学基本概念和实验表现讲解波粒二象性概念及实验验证,并引出波函数的概念和物理意义,讲解波函数的归一化和量子态的正交性。
(2)不确定性原理的理解和应用介绍不确定性原理的概念和表述,并结合实际问题进行应用示例分析。
(3)量子力学基本数学形式的掌握和应用讲解薛定谔方程的引出和时间演化方程,引导学生掌握算符及其期望值的计算方法,并介绍可观测量与本征值问题。
3. 实例讲解通过解析实例问题,引导学生应用所学的基本量子力学理论解决实际问题。
周世勋量子力学教程第4章
3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 3.8 力学量随时间的变化 守恒律
The dynamical variable with respect to time The conservation laws
4
重点掌握内容
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
ˆˆ ( x) = I 2u( x) ≡ u( x) IIu
I =1
2
I = ±1
13
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
v ˆ = −ih∇ P
ˆ =− ih ∂ P x ∂x
ˆ =− ih ∂ Py ∂y
L
17
3.2 动量算符与角动量算符(续4)
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
这表明动量只能取分立值。换言之,加上周期性边 界条件后,连续谱变成了分立谱。
v ψ (r ) = Ae
v P i vv P ⋅r h
由归一化条件
归一化系数的确定 1)若粒子处在无限空间中,则按 δ 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ,即
v v v 2 e ∫ψ (r )ψ P (r )dτ = A ∫ v v dτv v 3 2 = (2π h) A δ (P′ − P) ≡ δ (P′ − P)
* v P
i v v v ( P′ − P )⋅ r h
3.4 氢原子
Hydrogen atom
3.5 厄米算符本征函数的正交性 3.6 力学量算符与力学量的关系
量子力学第四章-氢原子
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并, 代回上式得:
[( 1 s )( 1 s 1) l ( l 1)]b
0
1
s 1
[ s( s 1) l ( l 1)]b0 s 2 {[( s 1)( s ) l ( l 1)]b 1 ( s )b ]} s 1 0
(三)使用标准条件定解
二 (1)单值; 条 件 (2)连续。 满 足
(3)有限性条件
与谐振子问题类似,为讨论 2 f (ρ) 的收敛性现考察级 e 1 数后项系数与前项系数之比: 1! 2! !
b l 1 1 lim 1 lim b ( l )( 2l 2)
则径向波函数公式:
Rnl ( r ) N nl e
2 Z 2 l 1 2 Z a n r Ln l a n r 0 0
至此只剩 b0 需要 归一化条件确定
l
总波函 数 为:
nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
注意到
系数bν 的递推公式
s = +1
b 1
( s) b ( s 1)( s ) l ( l 1) l 1 b ( l 2)( l 1) l ( l 1) l 1 b ( l )( 2l 2)
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,)
注意到 L2 Ylm =(+1) 2 Ylm
2 2 r 2
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得:
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == (Fu n)u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t) + a2 t) + L + an t) + L ( ( (
2 2 2
例题3、 中运动的粒子, 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子,所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x)所描写 ( 的状态,求它在能量表象中的表示。 的状态,求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式, 已知一个状态在 x 表象中的表示式,就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是: 表象中的表示式(波函数) 具体做法是:把状态在状态在 x 表象中的表示式(波函数) r 按 P 的本征函数(在 x 表象中的表示式)展开, 的本征函数( 表象中的表示式)展开, Ψ ( x, t) 展开式的系数就是Ψ(x,t) 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t)、a2 t)、 L a(t)、a(t) ( ( L n q
Ψ
+ * * * * = a(t) a(t) L a(t) a(t) 1 2 n q
( a1 t) a(t) 2 Ψ = M a(t) n a(t) q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
量子力学4学习
玻尔对应原理
En
0
a
第22页/共44页
比较经典结果与量子结果
经典结果
量子结果
①粒子的速度,能量是连续取任意 值的
①能量是量子化的。
②粒子在阱内匀速运动,或静止
②粒子能量不为零,粒子无法静止。
③粒子在各处几率相等
④粒子在x1—x2之间的几率为
x2 x1 a
③粒子出现的几率为
n x 2
④粒子在x1—x2之间的几率为
按定理1,对应能量的某个本征值E,薛定谔方程的 解无简并(只有一个独立的解),则可取为实数解
假设: 是(能x)量为E的一个解,则
也是能量
的一个解,如果没有简并,两者描述的是同一
(x)
量子态
(x) c (x) (x) c (x)=|c |2 (x) |c |2 1
c ei , real
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讨论以下问题:
做笔记!
1. 一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子将如何运动? 2. 波函数求解步骤。 3. 波函数是如何描述粒子的状态的? 4. 量子化是如何得到的? 5. 根据计算结果说明微观粒子是如何在势阱中运动的? 6. 比较经典结果与量子结果。
第11页/共44页
势函数
同属于E,则
(x) (x) (x) 和
(x) i[ (x) (x)]
也是Schrodinger方程的解,同属于E,彼此独立,而且是实的
(x) 1 (x) i(x), (x) 1 (x) i(x)
2
第3页/共44页
2
定理3:设势能函数
V (x) 是关于原点对称的,即它满足
V (x) V (x) ,那么若 (x) 是该方程的解,则
量子力学教程第四章课件 CH4-2011
诸算符对易的定理
诸算符对易的定理-II
逆定理及推广到一组算符
共同本征态和力学量的同时确定
力学量完全集
量子体系的状态由一组力学量完全集的共同本征 函数完全描述
不确定关系(测不准关系)
量子态及其统计解释
量子力学的基本原理---II
力学量与算符
表
量子力学的基本原理---II
量子力学的基本原理---III
力学量的测量
量子力学的基本原理---IV
量子态的波动方程
2. 算符与力学量的表示
算符及其运算 算符的对易及对易式的计算 力学量算符是线性、厄密算符
线性算符 厄密算符
量子力学教程,Page 73
力学量
波函数的展开
( x ) cnn ( x ) 求展开式系数cn
n
分立谱展开系数满足
波函数的展开---II
当F 的本征值谱是连续的,或者部分本征值n组成分立 谱,部分本征值组成连续谱时(量子力学教程,Page 85)
4. 位置,动量、和角动量算符 及其本征函数
* x0
位置算符本征函数的归一化,连续谱本征函数归一为函数
ˆ x x0 ( x ) x0 x0 ( x ) x 0 ( x ) ( x x0 )
利用 f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) Homework:请用位置算符的本征函数将任意波函数(x)展 开,求展开式系数
5. 力学量的统计分布
力学量F 的测量问题(量子力学教程 Page 74-75)
第四讲 线性谐振子及应用及算符 ppt 量子力学教学课件
d 2
求渐证解:ξ→±∞时(4)变为 d 2 =ξ2Ψ 上式解
1 2
Ψ(ξ) e 2
e λ取负值 Ψ(ξ)=+
1 2
2 (要求 ξ→-∞时,Ψ(ξ)有限)
可把
Ψ
写成如下形式
Ψ(ξ)=
1 2
e2
H ( ) ,
要求 ξ→∞时,Ψ(ξ)有限,对 Ψ 求=阶微商
d
dH
e d =(-ξH+ d 2 )
1 2
H0=1→Ψ=A e 2 (ξ=ax)
H1=2ξ→Ψ=Aξ
e
1 2
2
H2=4ξ2—2→Ψ=A(4ξ2—2)
1 2
e2
H3=8ξ3—12ξ→Ψ=A(8ξ3—12ξ)
1 2
e2
ξ… Ψn 的通式 Ψn=Nne–ξ1/2Hn(ξ)
∫Ψ*nΨndξ=1,
(ξ=ax)
N=(
a
1
)2
1
2 2n n!
。
Ψn(x)=
(
a
1
1
)2
1 2
e2
Hn(ξ)
一维线性谐阵子波函数
2 2 n n!
四,经典方法处理
在经典力学中,在 ξ→ξ+dξ 之间找到的粒子几率
ω经典(ξ)dξ 与质点在此区域逗留的时间 dt 成比例。
dt
ω经典(ξ)dξ= T , T 振动周期。
ω经典(ξ)=
1
d
T
=
1 VT
几率密度与质点建度成反比。
dt
力学量与力学量算符的对应关系
力学量
算符
势能 V(r)→ V^ ( ^r)
P2
动能 T= 2
大学物理15量子力学基础4
?
l 0 ml 0 l 1
1 ms± 1个值 2 1 1 ml { 0 3个值 ms± 2 1
n=1 的电子,最多有 2 个 n=2 的电子,最多有 8 个
5个值 ms± 1 n=3 的电子,最多有 18 个 l 2 ml 0 2 1 2 n=n 的电子,最多有 ? 个 l n 1 ml { (2l+1)个值 ms± 1 2
―You are both young enough to allow yourselves some foolishness!‖
总结前面的讨论: 原子中电子的状态应由四个量子数来决定
me 4 1 En 2 2 2 8 0 h n
n
——主量子数
L l ( l 1)
LZ m
l 0, 1, 2, 3, 4, 5 s, p, d , f , g, h
44
3)电子的波函数和几率分布: 2 me r 2 d ( r 2 dR ) e2 )R R (E 2 dr dr 4 o r sin d (sin d ) sin2 m2 d d
1
LS
51 自旋角动量无经典对应,是一种相对论效应。
但是,经典物理学无法理解电子有内部结构。 自旋运动是一种内部“固有的”运动, 其本质目前还不清楚。
(用陀螺运动图象正象轨道运动图象一样 是借用了宏观图象,是很不确切的)
关于 乌伦贝克、哥德斯密特。 (泡利、洛仑兹 等的反对) (埃伦菲斯特的支持)
l l
电子自旋波函数 53
s
七、原子中电子壳层结构
在多电子的原子中四个量子数如何确定? 1.泡利不相容原理: 在原子系统内不可能有两个或两个以上的 电子具有相同的状态. 即:电子不可能有完全相同的四个量子数.
曾谨言量子力学第4章PPT优秀课件
r·p的平均值随时间的变化为
i d rˆ pˆ [rˆ pˆ, Hˆ ] 1 [rˆ pˆ, pˆ 2 ] [rˆ pˆ,Vˆ(r )]
dt
2m
对定态有
i
pˆ 2
rˆ
Vˆ
m
d rˆ pˆ 0 dt
则
1 pˆ 2 rˆ Vˆ
m
2Tˆ rˆ Vˆ
证明: [rˆ pˆ ,Vˆ(r )]
结论: 如果力学量A不含时间,若[A, H]=0(即为守恒量),则 无论体系处于什么状态,A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同,量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态,则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生,因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。
守恒的条件?
d dt
Aˆ (t)
t
,
Aˆ
,
Aˆ
t
,
Aˆ
t
Hˆ
i
,
Aˆ
,
Aˆ
H
i
,
Aˆ
t
Note
i Hˆ
t
1 i
, HˆAˆ
1 i
(
,
Aˆ Hˆ
)
,
Aˆ
t
1 i
(
,[
Aˆ ,
Hˆ ]
)
,
Aˆ
t
1 i
[ Aˆ,
Hˆ
]
Aˆ t
若力学量不显含时间,即
Aˆ 0
k
在Ψ态下,测力学量A的Ak的概率为 ak (t) 2 则该概率随时间的变化为
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式(本章对初学者来讲是难点)表象:量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容,我们先进行一下类比:矢量(欧几里德空间) 量子力学的态(希尔伯特空间) 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见,可以类似于矢量A,将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此,我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间; ② 给出态和力学量算符在该空间的表示; ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用(谐振子的粒子数表象)和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比:),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点:①运算简洁;②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义:希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间,并且一般是无限维的。
1、线性:①c b a =+;②a b λ=。
2、完备性:∑=nn n a a 。
3、内积空间:引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积:==*ab b a 复数,0≥a a 。
1=a a ~归一化;b a b a ,~0=正交;m n n m δ=~正交归一;)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
量子力学教程 第四章
§4. 1 算符的矩阵表示
(一)力学量算符的矩阵表示
(二)Q 表象中力学量算符F的性质
(三)Q 有连续本征值的情况
量子力学 12
(一)力学量算符的矩阵表示
坐标表象:
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i ) ( x , t ) F
在动量表象中,具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。 换言之,动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。 同样, x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x)。这可由本征值方程看出:
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
a1 (t ) *
a2 (t ) *
an (t ) *
aq (t ) *
归一化仍可表为:Ψ+Ψ= 1
9
(三)讨论
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程 Ψ p ' (x,t)=[1/(2 π )]
1/2
同一状态可以在不同表象用波函数描写,表象不同,
波函数的形式也不同,但是它们描写同一状态。
Ψ (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应,描述同一状态。 Ψ (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数; 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
量子力学 4
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p’ 的自由粒子态,即: 则相应动量表象中的波函数:
C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
Φ=FΨ
Fnm
量子力学课件-第4讲
ψ 入+ψ 反=eikx + Re −ikx , x < 0 其解为 ψ ( x) = ψ 外 ( x) = ψ 透=Te ikx , x > a.
r r ih j (r , t ) = − (ψ *∇ψ −ψ∇ψ * )以及p = hk = mv 粒子流密度 2m
j入 = hk / m = v
是薛定格方程 r 在 V (r , t )不显含t时的形式,是我们后 面讨论大多数问题的理论基础。通 r 常将略去ψ E (r ) 中的下标E,这样能 量本征方程为 2 h r r r 2 [− ∇ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) 2m
3
r r r ∂ h 2 ih ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V (r , t )]ψ (r , t ) ∂t 2m
能量En的概率
更加抽象地说,任何一个量子态都可按任意 一组正交、归一、完备态分解 ψ = ∑ cnψ n 。 n
12
量子力学的基本假设
1、量子态由波函数描写。 2、波函数的模方代表概率,即具有统计解释。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程。 5、态叠加原理:量子态可按任意一组正交、 归一、完备态分解。
8
二、束缚态 对一维无限深方势 阱中的粒子来说:
2 n πx sin( ), 0 < x < a; ψ n ( x) = a a 0, x < 0, x > a.
| ψ n ( x) |2 = 0, x < 0, x > a, | ψ n ( x) |2 ≠ 0 < x < a (除个别节点外)
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)
量子力学-four
t 时刻粒子出现在 → r d r 体积元内的几率; r r r 2 dW ( p , t ) = | c ( r , t ) | d p r t 时刻粒子出现在动量 p 点附近 → r d p 体积元内的几率。
r r 点附近
§3 力学量的平均值和算符的引进
• (一)力学量平均值 z (1)坐标平均值 z (2)动量平均值 z (二)力学量算符 z (1)动量算符 z (2)动能算符 z (3)角动量算符 z (4)Hamilton 算符
∗
其中使用了
r ∗r r r r r ∫ Φ ( r )Φ p ( r ' )dp = δ ( r − r ' ) 关系式
r p
由此我们也可以看出把 平面波归一化为 δ − 函数的目的。
r r c(r , t ) 与 Ψ (r , t )
具有类似的物理含义
r r r 2 dW ( r , t ) = | Ψ ( r , t ) | d r
实数,则 p x = 0 .
−α 2 x 2 / 2
( 2 )一维谐振子处于 ψ ( x ) = Ae 其中 α 为实常量,求:
状态中,
I 、归一化系数 A ; II 、动能平均值。
§4 Schrodinger 方程
(一) (二) (三) (四) (五) 引 引进方程的基本考虑 自由粒子满足的方程 势场 V (r) 中运动的粒子 多粒子体系的Schrodinger方程
• 3.第三方面,方程不能包含状态参量,如 p, E等,否则方程 只能被粒子特定的状态所满足,而不能为各种可能的状态所满 足。
(三)
自由粒子满足的方程
⎤ ⎡i r r Ψ = A exp ⎢ ( p • r − Et ) ⎥ ⎦ ⎣h
量子力学 第1章-2-3(第4讲)
(1)在各种情况下,找出描述系统的各种可能的波函数; (2)波函数如何随时间演化。
薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
(2) 2
1 e ikr r
从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波,
2
表示向内(即向原点)
传播的球面波。
解: J1和J 2只有r分量
(1)
在球坐标中
J1
i 2m
(
1
* 1
r0 r 1*
1)
e
1 r
e
1
r sin
i [1 2m r
eikr
r
(1 eikr ) r
1 eikr r
r
(1 r
e
ikr
)]r0
i 2m
[
1 r
(
1 r2
ik
1) r
1 ( r
1 r2
ik
1 r
)]r0
k mr 2
r0
k mr 3
r
J1与r 同向,表示向外传播的球面波
(2)
J2
i 2m
(
2
* 2
2* )
i [1 eikr 2m r
(1 eikr ) 1 eikr
r r
r
r
(1 r
第1章 波函数与薛定谔方程 §1 波函数的统计解释 §2 薛定谔方程 §3 量子态叠加原理
问题
是什么原因使物质结合在一起? 为什么会有化学键? 原子怎么会是稳定的? 虽然玻尔已经能够描述氢原子中电子的 内部运动,而且看起来可以解释观察到 的氢原子辐射出的光谱,但是电子为什 么以这种方式运动?
量子力学课件第四章
第4章三维空间中的量子力学4.1 球坐标系中的薛定谔方程向三维情况的推广是直截了当的。
薛定鄂方程为:;i H t∂ψ=ψ∂ [4.1] 由经典能量可以得出哈密顿算符H 1V p p p mV mv z y x +++=+)(21212222 通过标准方法(现在应用于y ,z 以及x ):,x p i x ∂→∂ ,y p i y∂→∂ ,z p i z ∂→∂ [4.2] 或者简洁地写为[4.3]这样[4.4]其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ [4.5]是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
势能V 和波函数ψ现在是(,,)x y z =r 和t 的函数。
在无穷小体元3d dxdydz =r 内发现粒子的几率为23(,)t d ψr r ,归一化条件是231,d ⎰ψ=r [4.6]其中积分是对整个空间进行。
如果势不显含时间,将有一组完备的定态/(,)(),n iE t n n t e ψ-ψ=r r [4.7]其中空间波函数n ψ满足定态薛定谔方程: [4.8]1当可能出现混淆时,我将在算符顶部放一个∧来区分它们与对应的经典力学量。
本章中不会有很多场合会出现这种混淆,用∧很麻烦,所以从现在起我不再用它。
(含时)薛定谔方程的一般解是/(,)(),n iE t n n t c e ψ-ψ=∑r r [4.9]其中常数n c 由初始波函数(,0)ψr 用通常的方法确定。
(假如势允许连续态,那么4.9式中的求和变为积分。
)*习题4.1(a ) 求出算符r 和p 的各分量之间的正则对易关系:[,]x y ,[,]y x p ,[,]x x p ,[,]y z p p 等等。
答案:[,][,]i j i j ij r p p r i δ=-= ,[,][,]0i j i j r r p p ==, [4.10]这里指标表示,,x y z , , , x y z r x r y r z ===。
(b ) 证明三维情况下的Ehrenfest 定理:1,d dt m =p 和 .d V dt=-∇p [4.11] (当然,上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。
量子力学教程课件
量子力学教程课件1. 简介量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支,描述了微观世界的基本原理和规律。
本教程课件旨在介绍量子力学的基本概念、数学描述和常见应用,帮助学生深入理解和应用量子力学知识。
2. 量子力学基础2.1 波粒二象性介绍波粒二象性的基本概念,包括波动性和粒子性的相互转化,以及双缝实验等经典实例。
2.2 不确定性原理解释不确定性原理的概念和意义,说明无法同时准确确定粒子的位置和动量的原理。
2.3 波函数和 Schrödinger 方程介绍波函数的概念,以及薛定谔方程的基本形式和求解方法,引导学生理解波函数描述微观粒子的性质和行为。
3. 定态量子力学3.1 定态和定态方程介绍定态的概念,以及定态方程的推导和求解方法,帮助学生理解波函数与能量之间的关系。
3.2 算符和本征值问题解释算符和本征值问题的基本概念,包括算符的作用和本征函数的定义,引导学生掌握本征值问题的求解方法。
3.3 动量和位置算符介绍动量和位置算符的定义和性质,解释它们对应的本征函数和本征值,讨论动量-位置不确定性关系。
4. 哈密顿力学和波函数演化4.1 哈密顿量和状态演化解释哈密顿量的概念和物理意义,讨论波函数演化的基本原理,引导学生理解时间演化和态矢量的变化关系。
4.2 边界条件和量子力学稳定态探讨边界条件对量子力学系统稳定态的影响,以及波函数在无穷深势阱等特定势场中的求解。
4.3 时间演化和量子力学测量介绍时间演化算符的定义和性质,讨论量子力学测量的基本原理和微扰态的提取方法。
5. 特殊系统和量子力学应用5.1 含时量子力学引入含时量子力学的概念,解释含时薛定谔方程的物理意义,介绍准确求解和近似求解的方法。
5.2 简谐振子讨论简谐振子的基本性质和量子化过程,引导学生理解能级和激发态的概念。
5.3 氢原子和多电子系统介绍氢原子的量子力学描述和能级结构,讨论多电子系统的波函数形式和近似求解方法。
5.4 量子力学与量子信息探索量子力学与量子信息科学的联系,简要介绍量子计算、量子通信和量子加密等前沿应用。
【精品】量子力学第4节1
【关键字】精品第四章:力学量用算符表示P186 15.设与为厄米算符,则和也是厄米算符。
由此证明,任何一个算符均可分解为,与均为厄米算符,且证:ⅰ)为厄米算符。
ⅱ)也为厄米算符。
ⅲ)令,则,且定义(1)由ⅰ),ⅱ)得,即和皆为厄米算符。
则由(1)式,不难解得4.1证(An是实数)是厄密算符证明:此算符不能简化,可以用多次运算证明,首先假定已经证明动量是厄密算符,则运用这个关系于下面的计算:满足厄密算符的定义。
4.2证明(实数)是厄密算符。
(证明)方法同前题,假定已经证明,都是厄密算符,即:又按题意得证算符是一维的这证明不是厄密算符,但满足同理可证明将前二式相加除2,得因此是厄密算符,因此也是。
又假定用作为厄密算符的定义,并设则本题可用较简方式来证明如下:因为所以有同理有相加除2,得:这证明右方一式是厄密算符。
4.3 设是的可微函数,证明下述各式:[一维算符](1)(证明)根据题给的对易式及(2)(证明)同前一论题(3)[证明]同前一题论据:(4) [证明]根据题给对易式外,另外应用对易式 (5) (证明)论据同(4): (6) (证明)论据同(4):4.4 设算符A ,B 与它们的对易式[A ,B]都对易。
证明(甲法)递推法,对第一公式左方,先将原来两项设法分裂成四项,分解出一个因式,再次分裂成六项,依次类推,可得待证式右方,步骤如下: 按题目假设重复运算n-1次以后,得(乙法)数学归纳法,待证一式当n=1时,是明显成立的,假设当m=k 时该式成立 现在计算有: 利用前述的假设 但又按题目假设用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明,不另列述。
但若第一式证实,则亦可从第一式推第二式,注意 将第一式对易式中两算符对易得 再将文字A ,B 对易得 4.5 证明(证明)本题的证法与题四的第一法完全相同,只是条件A ,B 与[A ,B]对易一点不能使用,即 从原来的对易式经过总数n-1次运算后,得取A=q ,B=p ,注意[q ,p]=ih 代入前一式后,有 4.6设),(p x F 是p x ,的整函数,证明 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
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态和力学量的表象
在前面, 在前面,我们基本是用坐标函数描述体系的状态 并讨论其性质的, 并讨论其性质的,但正如在经典力学中我们可以选择 不同的坐标来描述粒子的运动一样, 不同的坐标来描述粒子的运动一样,量子力学中我们 也可以选用其他变量的波函数来描述体系的状态。 也可以选用其他变量的波函数来描述体系的状态。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 态和力学量的具体表示方式称为表象。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。这一章我们讨论其他 表象,并介绍文献中常用的狄喇克符号。 表象,并介绍文献中常用的狄喇克符号。
n * a n ( t ) = ∫ u n ( x )ψ ( x , t ) dx * a q ′ (t ) = ∫ u q ( x )ψ ( x , t ) dx
F11 F12 F1n F21 F22 F2n F = Fn1 Fn2 Fnn
Fq′q′ Fq′′q′ Fqα q′
基谐振子基点: 基谐振子基点
i E ′t
( 4 . 1 5)
α ψ ( x) = ( ) π
c( p, t) = (
1
2
e
α 2x2
2
i ωt 2
1 2 π
)
1
2
e
i p2 ωt 2 2 2α
2
( 4 .1 6 )
Q 表象的波函数( 为任意力学量) 三、 表象的波函数( Q 为任意力学量)
三、算符在自身表象中为对角阵 Q 在其自身表象中的矩阵元
* Qmn = ∫ u m ( x )Q u n ( x ) dx * = Qn ∫ u m ( x )u n ( x ) dx = Qnδ mn
( 4.2 11)
0 Q1 Q2 = Q 0 为对角线的表象。 因此我们常说Q 表象为以 Q 为对角线的表象。在Q , 为对角 F F 的共同本征函数为基矢的表象。 的表象即以 Q , 的共同本征函数为基矢的表象。
(4.3 8)
三、本征方程 1. 本征方程
F ψ ( x , t ) = λψ ( x , t )
(4.3 9)
F11 F12 a1(t) a1(t) Q表象: F21 F22 a2 (t) = λ a2 (t)
2. 求解本征值和本征矢 式中等号右边部分移至左边, 将(4.3-9)式中等号右边部分移至左边,得: 式中等号右边部分移至左边
~* A = A
+
( 4 .2 7 )
A = A
+
( 4 .2 8 )
式和(4.2-8)式 时,称厄密自共轭矩阵,简称厄密矩阵。由(4.2-6)式和 称厄密自共轭矩阵,简称厄密矩阵。 式和 式 可知, 可知,厄密矩阵的矩阵元满足下述关系
a mn = a
* nm
( 4 .2 9 )
这一式子意味着,厄密矩阵的对角元( 为实数; 这一式子意味着,厄密矩阵的对角元(Ann)为实数;而其余的 各个非对角元素,对于主对角线是复数共厄反射对称的。 各个非对角元素,对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子 力学中要用厄密算符来描写力学量, 力学中要用厄密算符来描写力学量,所以同它们对应的矩阵必 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数, 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数,由此也可得到厄 密算符的本征值必定是实数的结论。 密算符的本征值必定是实数的结论。
Fq′q′′ Fq′′q′′ (4.2 14) Fqα q′′
F mn = F q ′q ′′
∫ = ∫u
* u m F u n dx * q′
( 4 . 2 15 ) ( 4 . 2 16 )
( x ) F u q ′′ ( x ) dx
在连续谱情况下,所有矩阵都是象征性的。 在连续谱情况下,所有矩阵都是象征性的。
c( p, t ) 可以称为动量
自由粒子: c( p, t ) = = 1 ( 2π ) 1 ( 2π )
3 2 3 2
∫ ∫
+∞
1 ( 2π )
3 2
∞
e
i i ( E ′t p r ) p r
e
dτ
i + ∞ E ′t ∞
e
e
i ( p ′ p )r
dτ
= δ ( p′ p ) e
∑ (F
n
mn
λδ
mn
) a n ( t ) = 0 , m = 1, 2 , .
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零, 这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零,即:
F12 F1n F11 λ F22 λ F2 n F21 Fn 2 Fnn λ Fn1
a1 (t ) a2 (t ) =0 an (t )
(4.3 10)
方程( 方程(4.3-10)是一个线形齐次代数方程组: )是一个线形齐次代数方程组:
必是一矩阵。 可见F 必是一矩阵。
一、算符的矩阵表示
∑b
n
n
( t ) u n ( x ) = F ∑ a n ( t )u n ( x )
n
( 4 . 2 1)
乘以上式并积分, 以 um* 乘以上式并积分,得
bn ∫ um ( x)un ( x)dx = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n bnδ mn = bm = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n
§4.1
Ψ ( r , t ) 是位置几率
2
态的表象
一、坐标表象的波函数—— Ψ ( r , t ) 坐标表象的波函数
x:
连续 x′, x′′, ,δ δ(x x′) ( x x′′),… x δ(x x′) x′δ ( x x′′) =
(4.1 1) (4.1 2)
∫ ( x) δ(x x′)dx = ( x′)
1 ( 2π )
3 2
p
(r )dp
i p r
∫ c ( p , t )e
dp
( 4 .1 4 )
可以互求,它们包含同样多的信息。 c ( p , t ) 和ψ ( x, t ) 可以互求,它们包含同样多的信息。 我们称这样做是变换到了动量表象 我们称这样做是变换到了动量表象, 动量表象 表象中的“波函数” 表象中的“波函数”
二、动量表象的波函数—— c ( p , t ) 动量表象的波函数
c( p,t)
2
=
p * ( r ) ( r , t )d τ 是动量几率 ∫
1
3 2
c( p, t) =
( 2π )
∫
+∞
∞
ψ ( r , t )e
i p r
dτ
( 4 .1 3)
ψ (r , t) =
=
∫ c ( p , t )
A*mn = ( m , A n )* = ( A n , m ) = ( n , A+ m ) = A+ mn
亦即
( A ) = ( ( A ) mn
( 4 .2 6 )
于是我们知道,一个矩阵取其厄密共轭, 于是我们知道,一个矩阵取其厄密共轭,相当于矩阵转置 后再取复共轭。 后再取复共轭。即 当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵, 当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵,即满足条件
厄密算符的矩阵是厄密矩阵: 厄密算符的矩阵是厄密矩阵
* Fmn = ∫ u m ( x ) F u n ( x ) dx = ∫ ( F u m ( x )) * u n ( x ) dx
u ( x ) dx * = F * = ∫ u ( x) F m nm
* n
{
}
( 4 .2 10 )
( 4 . 3 3)
F F a1(t) 11 12 * * F = (a1 (t),a2 (t), F21 F22 a2 (t) )
(4.3 4)
二、薛定谔方程
ψ ( x, t) i = H ψ ( x, t) t ( 4 .3 5 )
Q表象: ψ(x, t) ∑ an (t )un ( x) =
写成矩阵形式如下
b1 F11 b2 F21 b = F 3 31 b 4
F12 F22 F32
F13 F23 F33
a1 a2 a3
(4.2 5)
二、厄密算符的矩阵 1. 以二阶矩阵为例: 以二阶矩阵为例: a11* a12* a11 a12 复共轭: * = * A= A * a a 21 22 a21 a22 a11* a21* a11 a21 ~ 共轭: + = * A 转置: = A * a12 a22 a12 a22 2.厄密共轭矩阵和厄密矩阵 厄密共轭矩阵和厄密矩阵 厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符A得到 厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符 得到 下述矩阵元之间的关系
§4.3 量子力学公式的矩阵表示
一、平均值公式(F 不显含 ) 平均值公式( 不显含t)
x表象: F = ∫ ψ * ( x , t ) F ψ ( x , t ) dx
n
( 4.3 1) ( 4 .3 2 )
Q 表象: ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x )
* * F = ∑ ∑ a m (t ) a n (t ) ∫ u m ( x ) F u n ( x ) dx m n * = ∑ ∑ a m (t ) Fmn a n (t ) m n
: Q , Q 2 , Q 3 , Q n Q u1 , u 2 , u 3 , u n
ψ (r , t ) =
∑a
n *
n
(t )u ( r )
a n ( t ) = ∫ u n ( r )ψ ( r , t ) d τ 易证明: