泰勒公式(泰勒中值定理)教学提纲

可见
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2
( 在x0与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
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在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x)k
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
( x0
)(x
x0
)2
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
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2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为百度文库项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0
Rn (x)
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在x0与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2, )
ex 1 x x2 2!
x3 3!
xn n!
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
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f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
(1 x) 1 x ( 1) x2
Rn
(
x)
其中
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f
(k)
(x)
sin(x
k
π 2
)
f
(k
)
(0)
sin
k
π 2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2, )
k 2m 1
sin x x x3 x5
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
)
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) Rn(n1) ( ) (n 1) 2(n x0 ) 0 (n 1) !
2!
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(2估0) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
Rn
(x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
( 在 x0 与xn 之间)
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Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
3! 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2
m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1)π) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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类似可得
)
n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n+1 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
泰勒公式(泰勒中值定理)
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x)
pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn (x0 )
1 2!
f
(x0 ),
, an
1 n!
pn(n) (x0 )
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )