泰勒公式(泰勒中值定理)教学提纲
高数 泰勒公式(教学内容)
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o(
x
2
)
原式
lim
x0
1 2
196
x2 o(x2)
x2
优学课堂
9 32
42
1
例4
设
f
(x)
1
x
1 x
e1
x
，求
lim
x0
f (x).
解
ln
f
(x)
1 x
ln(1
1
x) x
1
ln(1 x) x2
x
ln 1 x x 1 x2 o x2 2
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
(0 1)
优学课堂
39
三、泰勒公式的应用 1. 利用泰勒公式求极限
例1 计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
Rn (n
(1) Rn (x0 ) 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
Rn(n1) ( )
(n 优学课堂 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
7
Rn (x) f (x) pn (x)
优学课堂
(0 1)
44
2. 利用泰勒公式证明方程根的存在性
3-3泰勒公式
例3 解∵ f
f
(k )
(k )
( x) = sin( x + k⋅ ) ⋅
2
π
k = 2m (m = 1,2,⋯ 0, ) (0) = sink = − (−1)m−1 ,k = 2m − 1 2
π
3
5 2m−1
x x x m−1 − + ∴sinx= x− + −⋯ (−1) (2m − 1)! 3! 5! +R2m( x) 2m 其中 o( x ) m 2m+1π ) (−1) x + sin(θcos(θ x) 2m+1(0 < θ < 1) 2 R2m ( x) = x (2m+ 1)! +
2 3
f ( x) = x + 3x + 2x + 4, f (−1) = 4, 2 f ′( x) = 3x + 6x + 2, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = 0, f ′′( x) = 6x + 6, f ′′′( x) = 6, f ′′′( x) = 6, 故得 f ( x) = 4 + (−1)( x + 1)
3 2
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒公式: 泰勒公式(Maclaurin) :
0 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − 00 ) x 0 (n) 0 f ( x0 ) f ′′( x0 ) 0 n 2 ( x − 00 ) +⋯+ x + ( x − x0 ) 0 2! n! ( n+1) (ξ ) f (θ x) n+1 ( x − x0 ) + 0 ( n + 1) !
-第21讲泰勒中值定理精品文档35页
由极限知识可知, 此时应有
0 x l x 0 if( m x ) f(x 0 ) f( ( x x 0 ) x x 0 ) ( 2 x 0 ) a 2 (x x 0 ) 2
我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要 补充什么条件. 运用罗必达法则, 得
0lifm (x)f(x 0) 2 a 2(x x 0)
则 F ( x 0 ) 0 ,G ( x 0 ) 0 ;
F ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 ,G ( x 0 ) 2 ( x 0 x 0 ) 0 ,
假F 设 (x),G(x),F(x),G (x)满足柯西中 ,
F ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 )
想一想, 如何求出这里的待定函数.
由(x 于 ) f(x ) f(x ( 0 x ) x f 0 ) ( 2 x 0 )x ( x 0 ),
如 ,令 果 F ( x ) 分 f ( x ) f ( x 0 ) 子 f ( x 0 ) x ( x 0 ),
分G (母 x)(xx0)2,
该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式.
式中 o((xx0)2)称为二阶皮亚. 诺余项
运用罗必达法则计算极限.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带 皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式.
一. 带皮亚诺余项的泰勒公式
设 f ( x ) C k ( N ( x 0 )( ) k 0 , 1 , 2 , , n 1 ) ,
e x xn1 (n 1)!
估 计 误 差
e 的近 似计算 公式
例2
求f(x)sixn的 n阶马克劳 . 林公式
( ) 解 f(n )(x ) sixn n
泰勒中值定理
2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
泰勒中值定理教案
泰勒中值定理教案教案标题：泰勒中值定理教案教案目标：1. 了解泰勒中值定理的概念和原理；2. 掌握泰勒中值定理的应用方法；3. 培养学生的数学推理和问题解决能力。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾导数的概念和应用，以及泰勒展开式的相关知识。
2. 提出问题：当我们用泰勒展开式近似计算一个函数的值时，我们如何确定近似值的准确性呢？探究：3. 介绍泰勒中值定理的概念和原理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
4. 通过示例和图示解释泰勒中值定理的几何意义和应用场景。
实践：5. 给出一些具体函数的问题，要求学生利用泰勒中值定理计算近似值，并评估近似值的准确性。
6. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和结果，并互相评价和纠正。
7. 指导学生在实际问题中应用泰勒中值定理，例如在物理、经济等领域中的应用。
拓展：8. 引导学生思考泰勒中值定理的局限性和适用范围，并与其他数学理论进行比较和讨论。
9. 鼓励学生进一步探究和研究泰勒中值定理的相关拓展内容，如带余项的估计等。
总结：10. 总结泰勒中值定理的概念、原理和应用方法。
11. 强调泰勒中值定理在数学和实际问题中的重要性，并鼓励学生继续深入学习和应用。
教学资源：1. 教材：根据教学大纲和学生的学习水平选择合适的教材章节和习题；2. 多媒体：投影仪、电脑等设备，用于展示示例和图示；3. 小组讨论材料：提供给学生进行小组讨论和分享的问题和解题思路。
评估方式：1. 参与度评估：观察学生在课堂讨论和活动中的积极程度；2. 解题能力评估：布置作业或小测验，考察学生对泰勒中值定理的理解和应用能力；3. 问题解决能力评估：设计开放性问题，要求学生运用泰勒中值定理解决实际问题，并评估解决方案的合理性和准确性。
教案建议和指导：1. 在引入部分，可以通过提出问题引发学生的思考和兴趣，激发学习动力；2. 在探究部分，可以通过图示和实例来帮助学生理解泰勒中值定理的几何意义和应用场景；3. 在实践部分，可以设计一些具体的问题，让学生进行实际计算和评估，加强对泰勒中值定理的应用能力；4. 在拓展部分，可以引导学生进行更深入的探究和研究，培养学生的自主学习和探索能力；5. 在评估方式中，可以结合不同形式的评估，全面考察学生的学习情况和能力发展。
泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析
泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析泰勒（Brook Taylor）英国数学家，主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
一、泰勒多项式与麦克劳林多项式设函数f(x)在x0某邻域内有定义，并且在x0处有n阶导数，则称为函数f(x)在x0处的n阶(次)泰勒多项式. 其中系数称为f(x)在x0处的泰勒系数.特别，如果x0=0时，称为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.二、泰勒中值定理与泰勒公式定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在x0的某个邻域内具有直到n+1阶导数，则对邻域内任一点x，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式，其中ξ也可以表示成三、带皮亚诺余项的泰勒公式如果函数f(x)在x0处具有直到n阶导数，则存在x0的一个邻域，对于该邻域内任一x，有此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.【注】以上两个公式当x0=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有四、泰勒公式的意义及使用原则泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.【注1】函数f(x)在x=x0的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有|f(n+1)(x)|≤C(n=0,1,2,…)则用n次泰勒多项式P n(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|R n(x)|(x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.【注3】记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式，一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.五、常用的几个麦克劳林公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带皮亚诺余项的麦克劳林公式【注1】一般在应用中都使用麦克劳林公式，因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.【注2】借助泰勒公式，可以计算函数在指定点的任意阶导数，即有六、计算函数泰勒公式的方法与典型题1. 直接法(1)计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n+1阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.(2)计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.【注】计算麦克劳林公式即为x0=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低，函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题，比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】该函数不好直接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a的结构，所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，所以要求x0=0处的函数值及三阶导数值，于是有所以有【注1】由于secx是偶函数，所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯定为0.【注2】对于抽象函数一般使用直接法.例2(1996年数学一(199607)) 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a, |f’’(x)|≤b.其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点.(1)写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)证明|f’(x)|≤2a+b/2.【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题，并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述，于是直接由泰勒公式定义形式，有其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 这就是该考题第(1)的结果.对于第二问，考虑的是f’(x)，由于c为任意点，所以就相当于考察泰勒公式中的f’(c)，所以希望将它用有相关已知条件的函数与二阶导数来描述，如果直接用一阶泰勒公式表示，则分母中出现x-c，无法获取最小下界. 因此，按照常规的泰勒公式的应用于证明题的思路，写出在某点的泰勒公式后，分别求其它已知点，或者中点、端点的函数值，然后借助两个泰勒公式消去一些不好讨论的项，得出能够讨论出结果的表达式.比如这里，除了c，就只有两个相关端点了，于是对一阶泰勒公式求x=0,x=1的值，有两式相减，则可以将f’(c)的变量系数消去，从而有而有绝对值不等式，有由于g(c)=(1-c)2+c2的导数为g’(c)=4c-2，所以驻点只有一个，即c=1/2，比较函数g(c)在0，1/2，1的值，即1,1/2,1，所以有1/2<g(c)<1，从而有结论成立.2. 间接法该方法基于函数表达式恒等变换与泰勒公式的唯一性.(1)将函数的变量描述为x-x0的函数形式，x变量不再以其它形式存在于函数表达式中；(2)将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构，即sinx,cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a，其中x可以是任意的表达式，如果将其替换为x-x0，则得函数在x=x0处的泰勒公式.【注】变换思路可以考虑两个方向，求麦克劳林公式则从考虑变换函数结构出发，求非零点的泰勒公式，则先考虑变量结构，在考虑函数结构.(3)写出构成函数的各基本初等函数的泰勒公式，合并化简系数，写出最终泰勒公式例2 分别求x2/(4+x)的n阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式和x=2处的n阶带皮亚诺余项的泰勒公式.【分析】(1)求带皮亚诺余项的麦克劳林公式，它从变换函数结构出发：具有x2/(4+x)结构的，已知泰勒公式的初等函数为于是有或者(2)求带皮亚诺余项的x=2泰勒公式，首先从变量出发，把变量都变为x-2，则有例3 求f(x)=e sinx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】：直接法：该函数不具有直接的以上五个函数结构，所以考虑直接法，于是有所以有间接法：于是有例4(2000数学二)：求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(3≤n).【解题分析】由于是求x=0处的n阶导数，所以由麦克劳林公式，有于是由ln(1+x)的麦克劳林公式：可得【另解】由于这是一个幂函数与对数函数的乘积，所以它的导数也可以由莱布尼兹计算公式来求，其中公式为：如果令则由于有所以有因此当x=0时，代入上式，则有相关推荐•柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析•拉格朗日中值定理证明中值命题的基本概念、基本步骤与典型题思路分析•罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：•第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）•第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）•第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）•第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）•第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）•第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）。
泰勒中值定理1
f
n
x0
pn
n
x0
n1
Pn ( x0 ) a0
pn ' x a1 2a2 x x0 nan x x0 Pn( x0 ) a1 a1 f x 0 ,
a 0 f x 0 ,
pn " x 2 1 a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an x x0
若取可导函数( x) e x， (0) 1 f (0) 1 e x 1 x f f
若P( x ) 1 x, 则f 0 P 0, f 0 P0
若取可导函数( x) ln( x ), f (0) 0 f (0) 1 ln( x ) x f 1 1
取 当x 0 0时， x(0 1), 得麦可劳林公式
f x f 0 f 0x 1 f n1 x x n1 n 1! 1 1 n f 0x 2 f 0x n 2! n!
（7）
( 0 1)
和凹凸性。即：
用n次多项式 n ( x)近似表示函数( x)，几何上要求曲线 P f
f x0 pn x0 , f x 0 pn x 0 ,
f x0 P x0）， , n（
x 0 pn x 0 , f
-第21讲泰勒中值定理 共34页PPT文档
f(x )kn 0f(k k )(!x 0)(x x 0)k o (x ( x 0)n)
f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 ) f2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n o(x(x0)n)
R 故 1(x)f( x ) f 2(!f( )x (0 x) xf 0 )( 2x 0 为 ) x 一 ( x 0 ) 阶 f 2 ( ! 拉 ) (( x 在 格 x x0 ) ,.2 x朗 0之 日 )间 余
仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉 格朗日余项的 n 阶泰勒公式.
则 F ( x 0 ) 0 ,G ( x 0 ) 0 ;
F ( x 0 ) f ( x 0 ) f (,
假F 设 (x),G(x),F(x),G (x)满足柯西中 ,
F ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 )
x x 0
2 (x x 0)
xl ix0 m f(2x()xfx0()x0)a2
如 f(果 x 0 )存 ,则 在 a2
f
(x0) 2
当 f(x )在 N (x 0 )内有 ,且 f(x 定 0 )存 ,义 则 在 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 ) f( 2 x 0 )(x x 0 )2 o (x ( x 0 )2 )
该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式.
式中 o((xx0)2)称为二阶皮亚. 诺余项
运用罗必达法则计算极限.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带 皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式.
泰勒中值定理
LL
f ( x0 ) Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
1 (k ) 得 ak f ( x0 ) k! 代入 Pn ( x ) 中得
x0
(0 1)
f ( n 1) (x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)!
称此时的Taylorg公式为麦克劳林(Maclaurin) 公式
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n! f ( n 1) (x ) n 1 x (0 1) ( n 1)!
f n
n
x0
a f ( x ), P ( x ) f ( x ) 1 a f ( x ), P ( x ) f ( x ) 2!a f ( x )
Pn ( x0 ) f ( x0 )
n 0 0
0 0
1 0
n
0
0
2
0
LL Pn
n
f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x 0 0 , 在 0 与 x 之间,令 x 则余项
泰勒公式
一、问题的提出
二、 Pn 和 Rn 的确定
3.3 泰勒公式
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
泰勒中值定理泰勒公式定理1皮亚诺...
第二讲 一元函数微分学考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（数三不要求）．§2.1 导数与微分一、内容概要 1.导数与微分的概念 （1）导数的定义定义 ()0f x '=()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆()()000l i mx x f x f x x x →-=-． )()())((lim)(')(x x f x x f x f x ααα0000-+=→，其中00=→)(lim x x x α．左导数：()()()()()000000lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆； 右导数：()()()()()0000000lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆． 函数在0x 处导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数等于右导数．注：当讨论函数在一个点是否可导时候，必须严格按照定义来判断，有必要时候，也要分别从左、右两个方向来考虑，只有当左导数、右导数都要存在且相等时，才能保证函数在此点可导．这是考研经常出现的题型，考生必须要熟练掌握．例1（*）（2001年数学1）设0)0(=f ，则)(x f 在点0=x 可导的充要条件为（ ）（A ）20)cos 1(lim h h f h -→存在． (B)he f h h )1(lim 0-→存在．（C ）sinh)(1lim 20-→h f h h 存在． （D ）hh f h f h )()2(lim0-→存在．例2（*）设函数)(x f 在a x =处可导，则函数)(x f 在a x =处不可导的充分条件是( ) （A ）0)(=a f 且0)('=a f (B)0)(=a f 且0)('≠a f （C ）0)(>a f 且0)('>a f （D ）0)(<a f 且0)('<a f（2）微分的定义定义 设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，若相应函数的增量可表示为()()00y f x x f x ∆=+∆-=()A x o x ∆+∆ ，其中A 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处可微，并称y ∆中的线性主部A x ∆为()f x 在点0x 处的微分，即0|x x dy ==A x ∆．（3）导数与微分的几何意义、物理意义以及经济意义几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率． 切线方程：()()()000y f x f x x x '-=-； 法线方程：()()()()()000010y f x x x f x f x '-=--≠', ． 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()S f t =，如果()0f t '存在，则()0f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度，()0f t ''表示物体在时刻0t 时的瞬时加速度．导数的经济意义：边际问题．例3 设()f x 在点0x 处可导，且()00f x '≠，则当0x ∆→时，()f x 在点0x 处的微分与增量的差()dy y -∆是 （A ）比x ∆，y ∆都低阶的无穷小． （B ）比x ∆，y ∆都高阶的无穷小． （C ）比x ∆阶的低无穷小，比y ∆高阶的无穷小． （D ）比x ∆高阶的无穷小，比y ∆低阶的无穷小．2.高阶导数的概念如果函数()y f x =的导数()y f x ''=在点0x 处仍可导，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为()y f x =在点0x 处的二阶导数，记为0x x y =''或()0f x ''或22x x d y dx =等，也称()f x 在点0x 处二阶可导，即()()()0000l i mx x f x f x f x x x →''-''=-．类似地，如果()f x 的()1n -阶导数仍可导，则称其导数为()f x 的n 阶导数，记为()()()n n n n d y y fx dx ，，等，即()()()(1)(1)()0lim.n n n h f x h f x f x h--→+-= 3. 导数与微分计算 （1）导数与微分基本公式()0c '= ()0d c =()()1aa x axa -'= 实常数 ()1a a dx ax dx a -= 实常数()sin cos x x '=s i n c o s d x xd x = ()cos sin x x '=-cos sin d x xdx =-()2tan sec x x '= 2t a n s e c d x d x= ()2cot csc x x '=-2c o t c s cd x x d x=- ()sec sec tan x x x '= s e c s e c t a n d x x x d x=()csc csc cot x x x '=- csc csc cot d x x xdx =- ()()1log 01ln a x a a x a '=>≠ ， ()log 01ln a dx d x a a x a =>≠ ， ()1ln x x '= 1ln d x dx x=()()ln 01xxa aa a a '=>≠ ，()l n 01xxda a adx a a =>≠ ，()xxe e'=x x de e dx =()arcsin x '=a r c s i n d x d x=()arccos x '=a r c c o s d x d x= ()21arctan 1x x '=+ 21a r c t a n 1d x d x x=+ ()21arc cot 1x x '=-+ 21a r c c o t 1d x d x x =-+(ln x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(ln d x +=(ln x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(ln d x +=（2）导数和微分的运算法则四则运算微分法则()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦ ()()()()d f x g x d f x d gx±=±⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()d f x g x g x d f x f x dg x=+⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()()2f x f xg x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎣⎦ ()()()()()()()()()20f x g x d f x f x d g x d g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 复合函数求导和微分法则设()()y f u u x ϕ==，，如果()x ϕ在x 处可导，()f u 在对应点u 处可导，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在x 处可导，且有()()dy dy duf x x dx du dxϕϕ''==⎡⎤⎣⎦； ()()()dy f u du f x x dx ϕϕ'''==⎡⎤⎣⎦．由于公式()dy f u du '=不管u 是自变量或中间变量都成立，因此称之为一阶微分形式不变性．反函数求导法则：若函数)(y x ϕ=在区间y I 内单调可导，且导数0≠)('y ϕ，则它的反函数在对应区间x I 内可导，且有.)(')('dydxy dx dy x f 11===ϕ 二阶导数：（3）各类函数导数（微分）求法初等函数的求导方法：直接利用导数（微分）公式以及相应的求导（微分）法则．参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定的函数()y y x =的一阶导数和二阶导数 方法：.)(',)(')('0≠==t t t dtdx dt dydx dy ϕϕψ二阶导数：例4（2013年数学1）设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx yd ．方程()0,=y x F 确定的隐函数()x y y =的一阶导数和二阶导数方法：①求导法：方程两边同时对x 求导，注意遇到关于y 的函数时，要认为是关于x 的复合函数，得到有关'y 的方程，解出'y ；如果需要求二阶导数，在等式两边再同时对x 求导，解出"y ．②微分法：利用一阶微分形式不变性两边同时求微分，解出dxdy y ='； ③直接利用公式：.),(,),(),(0≠-=y x F y x F y x F dx dy y y x例5（2013年数学1）设函数)(x f y =由方程)1(y x ex y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．分段函数 方法：讨论分段函数在分界点处是否可导时必须用定义，其它可导点的导数可用导数公式及求导法则．幂指函数 ()()(),0g x y f x f x =>：只需要变换形式()()ln ()(),()0.g x g x f x y f x e f x ==>变限积分函数 ()()xax f t d tΦ=⎰当)(x f 在区间],[b a 上连续时，()()xax f t dt Φ=⎰是可导的，且)()('x f x =Φ；若)(x ϕ是可导的函数，则)(')((')()(x x f dt t f x aϕϕϕ=⎪⎭⎫⎝⎛⎰．)(')]([)(')]([')()()(x x f x x f dt t f x x ααβββα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ （4）高阶导数求法求n 阶导数的一般表达式的方法：先求出y y y ''',",'，找出规律，得用数学归纳法证明． 常用的初等函数的n 阶导数公式如下． （1）x y e = ()n x y e = （2）sin y x = )2sin()(πn x y n +=； c o s y x = )2cos()(πn x y n += （3）b ax y +=1，111++-=n n n n b ax a n y )(!)()( （4）ln y x =nn n x n y 1)!1()1(1)(--=-两个函数乘积的n 阶导数莱布尼兹公式：若)(),(x v v x u u ==都在x 处具有n 阶导数，则∑=-=nk k n k k n n v u c uv 0)()()()(． 例6 已知x e x y 22=，求.)(20y二、重要公式与结论1. 导数定义与极限相联系的结论（1）设()f x 在0x 处连续，则0()limx x f x a x x →=-⇔0()0f x =，0()f x a '=； 例7（2007年数学1）设函数)(x f 在0=x 处连续，下列命题错误的是（A ） 若x x f x )(lim0→存在，则0)0(=f ； （B ）若xx f x f x )()(lim -+→0存在，则0)0(=f ；（C ） 若x x f x )(lim 0→存在，则)('0f 存在； （D ）若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则)('0f 存在．2. 可导、可微、连续及极限间的关系函数)(x f y =在0x x =处可导⇔可微⇒连续⇔00lim ()()x x f x f x →=．3. 奇偶函数、周期函数的导数结论（1）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数．. （2）设()f x 为偶函数，且(0)f '存在，则(0)0f '=．（3）周期函数的导数仍为同周期的函数，且00()()f x kT f x ''+=，其中T 为()f x 的周期，k 为整数． 三、典型题型与方法1. 有关导数或微分的基本概念题方法：利用导数的定义，微分的定义．例8 设()f x 可导，且曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线2y x =-垂直，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（A ）高阶无穷小． （B ）低阶无穷小．（C ）等价无穷小． （D ）同阶但不等价的无穷小．例9 设()f x 二阶可导，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若x ∆＞0，则必有（A ）0＜dy ＜y ∆． （B ）0＜y ∆＜dy ． （C ）y ∆＜dy ＜0． （D ）dy ＜y ∆＜0．例10 （*）设()f x =()cos ,0,0g x xx xa x -⎧≠⎪⎨⎪=⎩，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0) 1.g = （1）确定a 的值，使()f x 在0x =处连续；（2）求()f x '； （3）讨论()f x '在点0x =的连续性．2. 导数的几何应用问题例11（*）已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某邻域内满足关系式)()sin ()sin (x x x f x f α+=--+8131，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点6=x 处的切线方程．例12 设()y y x =由参数方程2arctan 25tx ty ty e =⎧⎨-+=⎩确定，则曲线()y y x =在相应于0t =处的切线方程为 ．例13 （*）(2014年数学2）曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．3. 导数与微分的计算问题例14 设(1sin )x y x =+，则x dy π== ．例15 设y =1()1x f x -+，()f x '=2arctan x ，求'(0)y ．例16 设()y y x =由参数方程22sin ,cos 0u x t t y ue u du⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰，求22,dy d y dx dx ．例17 设ln xy e x =+，求22,(0)dx d xx dy dy>．§2.2 微分中值定理一、内容概要 1．费马定理若函数()f x 满足：（1）函数在0x 的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有)()(0x f x f ≤或)()(0x f x f ≥；（2）)(x f 在0x x =处可导，则00=)('x f ．2. 罗尔定理设函数()f x 满足（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =， 则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()0f ξ'=．推论1 若()f x 在[,]a b 上的最值在开区间内某点0x 处取得，且0()f x '存在，则()00.f x '= 3. 拉格朗日中值定理设函数()f x 满足：（1）在闭区间[]a b ，上连续；（2）在开区间()a b ，内可导，则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．如果取x 与x x ∆+为[,]a b 上任意两个不同的点，则在以x ，x x ∆+为端点的区间上得x x x f x f x f x x f ∆∆∆∆)(')(')()(θξ+==-+ )(10<<θ推论2 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数．推论3 若()()f x g x ，在()a b ，内都可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内，()()f x g x c =+，其中c 为任意常数．4. 柯西中值定理设函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[]a b ，上皆连续；（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠，则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.5. 泰勒中值定理（泰勒公式）定理1 （皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设()f x 在0x 的某邻域()0U x δ内具有1n +阶导数，则对()0x U x δ∀∈，有()()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中()()()00nn R x o x x x x ⎡⎤=-→⎣⎦称为皮亚诺型余项．定理2 （拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设()f x 在包含0x 的区间()a b ，内具有1n +阶导数，则对[]x a b ∀∈，，有()()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在0x 与x 之间）称为拉格朗日余项．特别地，当00x =时，称为n 阶麦克劳林公式，即()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ ，其中()()n n R x o x =或()()()()111!n n n f R x x n ξ++=+．6．常用的麦克劳林公式2e 1()2!!n xn x x x o x n =+++++ ． 352121sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-+-++ ．2422cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n =-+-+-+ ． 2(1)(1)(1)(1)1()2!!m nn m m m m m n x mx x x o x n ---++=+++++ ． 2311(1)()1n n n x x x x o x x =-+-++-++ 211()1n n x x x o x x=+++++- ． 2311ln(1)(1)()231n n n x x x x x o x n +++=-+-+-++ ． 2311ln(1)()231n n x x x x x o x n ++-=-----++ ．二、典型题型与方法在考虑微分中值定理选择时，一般来讲题设中：（1）仅涉及到一个函数)(x f ，且可以找到)()(b f a f =，一般用罗尔中值定理；（2）仅涉及到一个函数)(x f ，但无法找到)()(b f a f =条件，一般用拉格朗日中值定理； （3）涉及到两个函数)(),(x g x f ，一般可考虑用柯西中值定理； （4）有些问题要用两次或者两个中值定理，甚至要分区间去考虑； （5）涉及二阶及以上导数的问题，可以考虑用泰勒公式展开去做． 利用罗尔定理证明中值问题常用到辅助函数法，常用辅助函数构造法： （1）不定积分求原函数法；（2）求解微分方程得到原函数法．例18（*） （2002年数学3） 设)(x f 在],[10上连续，在(0,1)内可导，且满足110(1)()(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰．求证至少存在一点(0,1)ξ∈，使得1()(1)()f f ξξξ-'=-．例19 （*）设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)21(,0)0(===f f f ．证明： （1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f ；（2）对任意的),(+∞-∞∈k ，存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξξf k f ．例20 （*）设函数)(x f 在区间[]1,0上连续，在开区间()1,0内可导，且0)0(=f ，31)1(=f ，证明：在区间)1,0(存在两个不同的点ηξ,，使得22)(')('ηξηξ+=+f f ．例21 （*）（2007年数学1）设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明:存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.例22（*）（2013年数学1、2、3） 设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．例23（*）设函数)(x f 在[b a ,]上连续，在(b a ,)内可导，且1)()(==b f a f ．试证存在,(,)a b ξη∈，使[()()] 1.e f f ηξηη-'+=例24（*）设函数)(x f 在[1,1]-具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===求证存在(1,1)ξ∈-，使() 3.f ξ'''=例25（*）（2002年数学1）设函数)(x f 在),(+∞0上有界且可导，则（A ）当0=+∞→)(lim x f x 时，必有0=+∞→)('lim x f x ．（B ）当)('lim x f x +∞→存在时，必有0=+∞→)('lim x f x ．（C ）当00=+→)(lim x f x 时，必有00=+→)('lim x f x ．（D ）当)('lim x f x +→0存在时，必有00=+→)('lim x f x ．例26（*） （2007年数学1）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0>'')(x f 令),)(( 21==n n f u n ，则下列结论正确的是(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛． (B) 若,21u u >则{}n u 必发散． (C) 若,21u u <则{}n u 必收敛． (D) 若,21u u <则{}n u 必发散．§2.3 导数应用——利用导数研究函数性态一、内容概要 1. 函数单调性判定法定理1 设()x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则（1）若对()(),,0x a b f x '∀∈>，则()x f 在区间(,)a b 内单调增加； （2）若对()(),,0x a b f x '∀∈<，则()x f 在区间(,)a b 内单调减少． 2．函数的极值及其求法 （1）极值的必要条件定理2 若函数()f x 在0(,)x a b ∈处取得极值，则()00f x '=或()0f x '不存在． （2）极值的充分条件定理3（第一充分条件）设()f x 在0x 处连续，且()00='x f 或()0x f '不存在．若()f x '在点0x 左、右异号，则0x 必为()x f 的极值点，且左增（()0f x '>）右减（()0f x '<）取极大值；左减（()0f x '<）右增（()0f x '>）取极小值．定理4（第二充分条件） 设函数()f x 在0x 处有二阶导数且()()0000f x f x '''=≠，，则当()00f x ''<时，()0f x 为极大值，0x 为极大值点；当()00f x ''>时，()0f x 为极小值，0x 为极小值点．（3）求单调区间与极值方法步骤①定域：求出函数()f x 的定义域；②找点：求出函数()f x 不可导的点和驻点； ③分段：用上述的点把定义域分成若干个小区间；④判断：对每个子区间利用导数)('x f 的符号进行判断，得到结论． （4）求函数的最大值和最小值方法步骤①找点：求出函数()f x 不可导的点和驻点；②算值：计算上述点处的函数值，及区间端点处的函数值；③比较：对上述的函数值进行比较，最大者就是函数在该区间内的最大值，最小者就是函数在该区间内的最小值．3. 曲线的凹凸性与拐点 （1）凹凸性定义设()f x 在区间I 上连续，若对任意不同的两点1x ，2x ，恒有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭或()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭在几何上，曲线()y f x =上任意两点的割线在曲线下（上）面，则()y f x =是凸（凹）的． 如果曲线()y f x =有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则()y f x =是凸（凹）的． （2）凹凸性的判别定理定理5 设函数()f x 在()a b ，内具有二阶导数，若在()a b ，内的每一点x 都有()0f x ''>，则曲线()y f x =在()a b ，内是凹的；若在()a b ，内的每一点x 都有()0f x ''<，则曲线()y f x =在()a b ，内是凸的． （3）拐点的求法定理6（必要条件）若点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点，则()00=''x f 或()0x f ''存在． 定理7（充分条件）（1）若函数()f x 在连续点0x 两侧()x f ''异号，则点()()00,x f x 必为曲线()y f x =的拐点． （2）若()()0,000≠'''=''x f x f ，则()()00,x f x 必是曲线()y f x =的拐点． （4）求曲线凹凸区间与拐点步骤1）定域：求出()f x 的定义域；2）找点：找()0f x ''=与()f x ''不存在点； 3）分段：用上述点分定义域为若干段；4）判断：看每个子区间内f ''的符号，得出结论． 4. 曲线的渐近线（1）垂直渐近线（铅直渐近线）若0lim ()x x f x →=∞或 0lim ()x x f x +→=∞或0lim ()x x f x -→=∞，则0x x =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线． （2）水平渐近线若lim ()x f x c →∞=或 lim ()x f x c →+∞=或lim ()x f x c →-∞=，则y c =是曲线()y f x =的一条水平渐近线．（3）斜渐近线若()lim0x f x a x→∞=≠，()lim x f x ax b →∞-=⎡⎤⎣⎦或()lim0x f x a x→+∞=≠，()lim x f x ax b →+∞-=⎡⎤⎣⎦或()lim0x f x a x→-∞=≠，()lim x f x ax b →-∞-=⎡⎤⎣⎦，则y ax b =+是曲线()y f x =的一条斜渐近线． 5. 曲率(数学一和数学二要求)设曲线()y f x =，它在点(),M x y 处的曲率()3/221y k y ''=⎡⎤'+⎣⎦若0k ≠，则称1R k=为点(),M x y 处的曲率半径，在M 点的法线上，凹向这一边取一点D ，使MD R =，则称D 为曲率中心，以D 为圆心，R 为半径的圆二、典型题型与方法1. 求函数单调区间与极、最值问题例27 求函数2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值．例28 设函数()f x 在0x =处取得极大值的一个充分条件是（ ） （A ）2()(0)lim1x f x f x→-=； （B ）()f x 具有二阶导数，且(0)"(0)'(0),()()f f f e f x f x =-=-； （C ）()f x 具有四阶导数，且'(0)"(0)(0)0f f f '''===，(4)(0)0f >； （D ）()f x 具有二阶导数，且0"()'(0)0,lim1sin x f x f x→==-。
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
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例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
泰勒定理教学设计(教案)
泰勒定理教学设计(教案)目标本教案的目标是让学生理解和应用泰勒定理，掌握其基本原理和计算方法。
内容概述1. 泰勒定理的基本概念和意义。
2. 泰勒级数的定义和展开。
3. 使用泰勒级数近似计算函数值和导数值的方法。
4. 实际问题中的泰勒级数应用案例。
教学步骤1. 导入：引导学生回顾函数的概念和基本性质，如连续性、可导性等。
2. 概念讲解：介绍泰勒定理的概念和意义，解释泰勒级数的定义和展开形式。
3. 计算方法：依次介绍使用泰勒级数近似计算函数值和导数值的方法，包括泰勒多项式展开和截断误差的估计方法。
4. 练：设计一些练题，帮助学生巩固所学内容和提高计算能力。
5. 应用案例：提供一些实际问题的案例，让学生尝试使用泰勒级数进行近似计算和分析。
6. 总结：对泰勒定理的应用和优缺点进行总结，鼓励学生思考其在不同领域中的应用价值。
资源需求- 讲义/课件：用于呈现教学内容和案例。
- 黑板/白板：用于教学演示和解题过程的记录。
- 练题：提供给学生练和巩固所学内容。
- 实际应用案例：提供一些具体领域中的问题，供学生应用泰勒定理进行分析和计算。
评估方法- 练题测验：通过编写一些练题，考察学生对泰勒定理的理解和应用能力。
- 实际应用案例分析：评估学生在具体问题中使用泰勒定理进行近似计算和分析的能力。
参考资料1. Stewart, J. (2007). 单变量微积分. 北京: 人民邮电出版社.2. 微积分教程.以上为泰勒定理教学设计的教案，旨在帮助学生全面掌握泰勒定理的基本原理和应用方法。
教师可根据实际情况调整教学步骤和资源需求，以便更好地实施教学计划，并评估学生的学习成果。
泰 勒 公 式
第三节、泰 勒 公 式
对于一些较复杂的函数，为了方便研究，往往希 望用一些简单的函数来近似表达．在各种函数中，多 项式函数是最简单的一种，只要对自变量进行有限次 加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此， 我们希望用多项式来近似表示函数．那么，如何从理 论上建立一个复杂函数与一个简单的多项式之间的关 系呢？1712年，英国数学家泰勒（Taylor）解决了这 个问题.这正是本节所要介绍的泰勒公式的核心内容．
Rn(x)=o［(x－x0)n］. (3-6) 这样，我们提出的问题完满地得到解决．
二、泰勒公式及其余项
在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也 可以写成
(3-7) Rn(x)的表达式(3-6)称为佩亚诺(Peano)型余 项，式(3-7)称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有佩 亚诺型余项的n阶泰勒公式．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
二、泰勒公式及其余项
由泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f(x)时， 其误差为|Rn(x)|．如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时， |f(n+1)(x)|≤M，则有估计式
(3-5) 及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可见，当x→x0时误差|Rn(x)|是 比(x－x0)n高阶的无穷小，即
一、泰勒中值定理
泰勒首先提出下面的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间 内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于(x－x0)的n次多 项式
pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1） 来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x－x0)n高阶的无 穷小，并给出误差|f(x)－pn(x)|的具体表达式．
高等数学4-3泰勒中值定理
(k 0,1, , n) ,
则称之为 f (x) 的在 x0 的 n 阶近似多项式。
3/23
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
f (x) f (a) f (a)(x a) f ( ) (x a)2 ， 介于x 与a 之间，
2 则
f (a)(x a) f (x) f (a) f ( ) (x a)2 ，
2
27-23
2021/1/5
续解 故
lim[
xa
1 f (x)
f (a)
1 ] f (a)(x a)
Peano型余项只给出了余项的阶，无法估计余项的大 小。
6/23
注
(1) 当 x0 0 时的泰勒公式（多项式）称为麦克劳林 公式（多项式）:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f ( (n1) ) xn1
(n 1)!
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
9/23
⑵ 微分中值定理之间的关系
罗尔 中值定理
f (a) f (b)
g(x) x
拉格朗日 中值定理
n0
柯西 中值定理
泰勒 中值定理
四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) ex ,
15 泰勒公式教案.ppt
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
Rn
(x)
其中：Rn (x)称作f (x)在x0点n次泰勒展开的余项,
且Rn (x)有估计式：
..........
6
Rn (x)
f
(n1)[x0 (x
(n 1)!
x0
常见函数的麦克劳林..公........ 式
7
例1.求函数f (x) ex的带有拉格朗日余项的n阶 麦克劳林公式. 解： f (x) f (x) f (x) f (n) (x) ex
f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
ex 1 x x2 xn ex xn1
进而：f (x) Pn (x)
皮亚诺余项
问题：
若满足条件的 Pn (x)存在，则 Pn (x)与f (x)有怎样关系？
由：lim f (x) Pn (x) 0 xx0 (x x0 )n
对任意k n,有：
lim f (x) Pn (x) lim (x x0 )n f (x) Pn (x) 0
例4.求极限：lim x0
x
ln(1 x2
x)
解：由：ln(1 x) x x2 o(x2 ) 2
x ln(1 x) x2 o(x2 ) 2
lim
x ln(1 x)
lim
x2 2
o(x2 )
x0
x2
x0
x2
..........
1
o(x2 )
lim lim
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
只要求在开区间 a, b 有直到n 1阶导数, 它并不要求f x 在 a, b 上连续，而且不要求f n 1 x 的连续性。 拉格朗日余项中值定理的两个常用加强型(重要考点)
a b
如果增加条件f x 在 a, b 连续 x0 a, b , x a, b ,即x可以取端点值，x0不一定能取端点值。 如果条件增强为在 a, b 有直到n 1阶导数 x0 a, b , x a, b ，即x和0都可以取端点值。。
k 0 n
x0
x x0
<1,如令 0, 1 x0 x x0 x0 h x0 x h ，其中h x x0；
n 1 n 1 n x0 h hn1。 f k ( x0 ) f f k ( x0 ) f n 1 x x0 = k! k! n 1！ n 1！ k 0
1 1 2 1 1 x o x 2 o1 x 2 o x 2 1 x 2 3 2 1 2 lim 2 0 x x ln 2 2 2 x 2 2 o1 x 2 1 x 2 o x 1 6 o x 1 lim 2 0 x x ln 2 2 x 2 2 5 2 x o x2 1 6 o x 1 x 5 1 1 lim lim 6 2 2 0 0 x x x x ln 2 ln 2 6 ln 2
③ cos x
1 2 1 4 x2n x x (1) n 2! 4! (2n)! n 0 1 2 1 3 1 n 1 n x x 1 x n 1 2 3 n 1
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( 在 x0 与xn 之间)
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Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
泰勒公式(泰勒中值定理)
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x)
pn(n) (x)
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在x0与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2
( 在x0与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
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在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
Rn
(
x)
其中
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f
(k)
(x)
sin(x
k
π 2
)
f
(k
)
(0)
sin
k
π 2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2, )
k 2m 1
sin x x x3 x5
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn (x0 )
1 2!
f
(x0 ),
, an
1 n!
pn(n) (x0 )
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
( x0
)(x
x0
)2
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
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2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0
Rn (x)
3! 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2
m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1)π) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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类似可得
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2, )
ex 1 x x2 2!
x3 3!
xn n!
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x)k
2!
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(2估0) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
(1 x) 1 x ( 1) x2
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
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f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
)
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) Rn(n1) ( ) (n 1) 2(n x0 ) 0 (n 1) !
)Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n+1 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
Rn
(x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0