《复变函数》考试试题
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛,则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析,则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ,则 .
2.若 ,则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.
,
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()
2.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()
3.函数 与 在整个复平面有界.()
4.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ,则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分: ,积分路径为(1)单位圆( )的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析,试证:f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数历年考试真题试卷

复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数?A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数,下面哪个等式成立?A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3,下列哪个等式成立?A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1,则f(z)的共轭函数是________。
2. 当z → ∞ 时,f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。
3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数,则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。
三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分,其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。
2. 当z = -i 时,计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。
四、证明题证明:若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析,则f(z) 在D 上也是调和函数。
(请自行根据题目要求增减字数,使得文章达到合适的长度。
)(文章正文)选择题:1. 下列哪个函数不是复变函数?2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数,下面哪个等式成立?3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3,下列哪个等式成立?填空题:1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1,则f(z)的共轭函数是________。
复变函数论试卷和答案

lim 7. 如果 z0 是 f(z)的本性奇点,则 z →z
0
f ( z ) 一定不存在.
8. 若 9. 若
f ( z0 ) = 0, f ( n ) ( z0 ) = 0 ,则 z0 为 f ( z ) 的 n 阶零点.
( )
f ( z) 与 g ( z) 在 D 内 解 析 , 且 在 D 内 一 小 弧 段 上 相 等 , 则
f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内
z (1 − z ) 在割去线段 0 ≤ Re z ≤ 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,
并求出支割线 0 ≤ Re z ≤ 1 上岸取正值的那支在 z = −1 的值.
《复变函数》考试试题(二) 一. 判断题.(20 分)
1. 若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续. 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. 3. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 有界整函数必为常数. 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.
) )
9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. ( ) 1 1 1 10. 存 在 一 个 在 零 点 解 析 的 函 数 f(z) 使 f ( )=0 且 f( )= , n = 1,2,... . n +1 2n 2n ( ) 二. 填空题. (20 分)
1. 设 z
若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f(z)在区 ( ) 域 D 内为常数. 6. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数 f(z)在 D = {z :| z |≤ 1} 上解析,且 | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) ,则
复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数,则f(z)在区域D 恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析,则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析,试证:f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数,则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题答案

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试试题

复变函数期末考试试题一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 若函数f(z)在z=a处解析,则以下哪个选项是正确的?A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的?A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件?A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数?A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数,则以下哪个函数也是解析的?A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)(g(z)≠0)6. 以下哪个函数是调和函数?A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数也是解析的?A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点,则以下哪个选项是正确的?A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数是f(z)的导数?A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数是f(z)的积分?A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题(每题4分,共20分)1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z),求在1. 设22sinz,cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,,,,3712,f(z)fzd,()z,1C,{z:|z|,3}f'(1,i).,C4.设,则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设,其中,试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z,14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz,,...,1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数,f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若,则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________,其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点,则.13sin(2z)1. 设,则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设,则f(z),(x,2xy),i(1,sin(x,y),,z,x,iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1,i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0,则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z,3z,8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设,则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1,z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设,则f(z)的定义域为___________. 42z,1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n,21n,,z,,i(1,)3. 若,则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz,cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:,其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z,z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设,则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z,1z数,那么它在D内为常数. 8. 设,则. z,___e,,12. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数f(z)z9. 若是的极点,则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M,使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|, z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题(每题2分,共40分)1. 下列哪个不是复数的实部?A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案:B2. 设z = x + yi,其中x和y都是实数,若z和z*的虚部相等,则x和y满足的关系是:A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案:C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数,若f(z)满足Cauchy-Riemann方程,则u和v满足的关系是:A. ∂u/∂x = ∂v/∂y,∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y,∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x,∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x,∂u/∂x = -∂v/∂y答案:A4. 设f(z)是复平面上的解析函数,若f(z)的实部为2x^2 + 3y,则f(z)的虚部为:A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案:C5. 若f(z) = z^3,其中z为复数,则f(z)的导数为:A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案:A......二、计算题(共60分)1. 计算下列复数的模和辐角:(1)z1 = 3 + 4i(2)z2 = -2 + 2i(3)z3 = -4 - 3i答案:(1)|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5,arg(z1) = arctan(4/3)(2)|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2),arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4(3)|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5,arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3,且arg(z-2) = π/3,求z的值答案:由题意得,z-2的模为3,即|z-2| = 3,且z-2的辐角为π/3,即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义,可以得到:3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到:Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i,可以计算得到:z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式,并计算z^3的值。
《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是( C )时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为( B ) (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是( D ) (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是( B )(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是( C )(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6.当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7.argz 1z 2=( A )..A .argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π(k 1是某个整数); D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是( C ) A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是( B ).A .直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周;D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处( A ). A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A .i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微,则w=f(z)在点z 0( D ) A 解析; B 某邻域内处处解析; C.不解析。
复变函数考试题和答案

复变函数考试题和答案****一、选择题(每题5分,共30分)1. 复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数为()。
A. \( a - bi \)B. \( a + bi \)C. \( -a + bi \)D. \( -a - bi \)**答案:A**2. 复数 \( z = a + bi \) 的模长为()。
A. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)B. \( \sqrt{a^2 - b^2} \)C. \( \sqrt{a^2 + b} \)D. \( \sqrt{a + b^2} \)**答案:A**3. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z} \) 在 \( z = 0 \) 处的性质是()。
A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案:D**4. 函数 \( f(z) = z^2 \) 在复平面上是()。
A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案:A**5. 函数 \( f(z) = \sin(z) \) 是()。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案:A**6. 函数 \( f(z) = e^z \) 在复平面上是()。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案:A**二、填空题(每题5分,共20分)1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案:3 - 4i**2. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案:\( \sqrt{2} \)**3. 函数 \( f(z) = z^3 \) 在 \( z = 1 \) 处的导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案:3**4. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z-1} \) 的奇点是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
复变函数考题及答案

复变函数考题及答案【篇一:复变函数试题与答案】>一、选择题1.当z?1?i时,z100?z75?z50的值等于() 1?i(a)i (b)?i(c)1 (d)?12.设复数z满足arc(z?2)??3,arc(z?2)?5?,那么z?() 61331?i (d)??i 2222(a)?1?3i (b)?3.复数z?tan??i(3?i (c)??????)的三角表示式是() 2 ???)?i??)] (b)sec?(a)sec22??3?3???)?i??)] 22?(c)?sec3?3?????)?i??)](d)?sec???)?i??)] 2222224.若z为非零复数,则z?与2z的关系是()2222(a)z??2z (b)z??2z22(c)z??2z (d)不能比较大小5.设x,y为实数,则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12,的轨迹是()(a)圆(b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线6.一个向量顺时针旋转?3,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为1?3i,则原向量对应的复数是()(a)2(b)1?i (c)3?i (d)3?i17.使得z2?z成立的复数z是() 2(a)不存在的(b)唯一的(c)纯虚数(d)实数8.设z为复数,则方程z??2?i的解是()(a)?3333?i (b)?i (c)?i (d)??i 44449.满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是() z?i(a)有界区域(b)无界区域(c)有界闭区域(d)无界闭区域10.方程z?2?3i?2所代表的曲线是()(a)中心为2?3i,半径为2的圆周(b)中心为?2?3i,半径为2的圆周(c)中心为?2?3i,半径为2的圆周(d)中心为2?3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(a)z?1?2 (b)z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) (d)z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az(c)12.设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,,则f(z1?z2 )(a)?4?4i(b)4?4i(c)4?4i(d)?4?4i13.limim(z)?im(z0)() x?x0z?z0(a)等于i(b)等于?i(c)等于0(d)不存在14.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是()(a)u(x,y)在(x0,y0)处连续(b)v(x,y)在(x0,y0)处连续(c)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续(d)u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115.设z?c且z?1,则函数f(z)?的最小值为() z (a)?3 (b)?2(c)?1 (d)1二、填空题1.设z?(1?i)(2?i)(3?i),则z? (3?i)(2?i)2.设z?(2?3i)(?2?i),则argz?3.设z?,arg(z?i)?3?,则z? 4(cos5??isin5?)24.复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5.以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 67.方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z8.方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射??2i22,圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410.lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0,试求z?2的取值范围.四、设a?0,在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i,试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?),求出圆周z?4的像. 2z七、试证1.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2; z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z22.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0,则存在??0,使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy,试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy,试讨论下列函数的连续性: ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题:1.函数f(z)?3z在点z?0处是( )(a)解析的(b)可导的(c)不可导的(d)既不解析也不可导2.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(a)设x,y为实数,则cos(x?iy)?1(b)若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不可导(c)若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在d内解析(d)若f(z)在区域d内解析,则在d内也解析4.下列函数中,为解析函数的是( )(a)x2?y2?2xyi(b)x2?xyi(c)2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)(d)x3?iy35.函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )(a)等于0 (b)等于1 (c)等于?1(d)不存在6.若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析,那么实常数a?( )(a)0(b)1(c)2(d)?27.如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零,且f(0)??1,那么在z?1内f(z)?( )(a)0(b)1(c)?1(d)任意常数8.设函数f(z)在区域d内有定义,则下列命题中,正确的是(a)若f(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(c)若f(z)与f(z)在d内解析,则f(z)在d内是一常数(d)若argf(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数9.设f(z)?x2?iy2,则f?(1?i)?( )5【篇二:复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.(n为自然数) 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z,则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________,其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点,则0.三.计算题(40分):f(z)?11. 设(z?1)(z?2),求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?,其中c?{z:|z|?3},试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c,则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.(n为自然数)0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分:i???i|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析,试证:f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n,则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.(n为自然数) )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1,则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点,则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分:?ezdzcz2(z2?9),其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数r及m,使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n,证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列哪个函数在全平面上是解析的?A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案:B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案:C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数,其中r和θ是极坐标系下的变量。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案:A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若u和v满足柯西-黎曼方程,则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案:A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若f(z)在实轴上是解析的,则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案:C二、填空题(每空5分,共30分)1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数,则它的共轭函数为________。
答案:f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数,且满足柯西-黎曼方程的实部形式,则函数f(z)可表示为f(z) = ________。
复变函数考题及答案

复变函数考题及答案【篇一:复变函数试题与答案】>一、选择题1.当z?1?i时,z100?z75?z50的值等于() 1?i(a)i (b)?i(c)1 (d)?12.设复数z满足arc(z?2)??3,arc(z?2)?5?,那么z?() 61331?i (d)??i 2222(a)?1?3i (b)?3.复数z?tan??i(3?i (c)??????)的三角表示式是() 2 ???)?i??)] (b)sec?(a)sec22??3?3???)?i??)] 22?(c)?sec3?3?????)?i??)](d)?sec???)?i??)] 2222224.若z为非零复数,则z?与2z的关系是()2222(a)z??2z (b)z??2z22(c)z??2z (d)不能比较大小5.设x,y为实数,则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12,的轨迹是()(a)圆(b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线6.一个向量顺时针旋转?3,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为1?3i,则原向量对应的复数是()(a)2(b)1?i (c)3?i (d)3?i17.使得z2?z成立的复数z是() 2(a)不存在的(b)唯一的(c)纯虚数(d)实数8.设z为复数,则方程z??2?i的解是()(a)?3333?i (b)?i (c)?i (d)??i 44449.满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是() z?i(a)有界区域(b)无界区域(c)有界闭区域(d)无界闭区域10.方程z?2?3i?2所代表的曲线是()(a)中心为2?3i,半径为2的圆周(b)中心为?2?3i,半径为2的圆周(c)中心为?2?3i,半径为2的圆周(d)中心为2?3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(a)z?1?2 (b)z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) (d)z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az(c)12.设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,,则f(z1?z2 )(a)?4?4i(b)4?4i(c)4?4i(d)?4?4i13.limim(z)?im(z0)() x?x0z?z0(a)等于i(b)等于?i(c)等于0(d)不存在14.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是()(a)u(x,y)在(x0,y0)处连续(b)v(x,y)在(x0,y0)处连续(c)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续(d)u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115.设z?c且z?1,则函数f(z)?的最小值为() z (a)?3 (b)?2(c)?1 (d)1二、填空题1.设z?(1?i)(2?i)(3?i),则z? (3?i)(2?i)2.设z?(2?3i)(?2?i),则argz?3.设z?,arg(z?i)?3?,则z? 4(cos5??isin5?)24.复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5.以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 67.方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z8.方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射??2i22,圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410.lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0,试求z?2的取值范围.四、设a?0,在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i,试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?),求出圆周z?4的像. 2z七、试证1.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2; z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z22.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0,则存在??0,使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy,试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy,试讨论下列函数的连续性: ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题:1.函数f(z)?3z在点z?0处是( )(a)解析的(b)可导的(c)不可导的(d)既不解析也不可导2.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(a)设x,y为实数,则cos(x?iy)?1(b)若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不可导(c)若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在d内解析(d)若f(z)在区域d内解析,则在d内也解析4.下列函数中,为解析函数的是( )(a)x2?y2?2xyi(b)x2?xyi(c)2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)(d)x3?iy35.函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )(a)等于0 (b)等于1 (c)等于?1(d)不存在6.若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析,那么实常数a?( )(a)0(b)1(c)2(d)?27.如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零,且f(0)??1,那么在z?1内f(z)?( )(a)0(b)1(c)?1(d)任意常数8.设函数f(z)在区域d内有定义,则下列命题中,正确的是(a)若f(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(c)若f(z)与f(z)在d内解析,则f(z)在d内是一常数(d)若argf(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数9.设f(z)?x2?iy2,则f?(1?i)?( )5【篇二:复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.(n为自然数) 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z,则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________,其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点,则0.三.计算题(40分):f(z)?11. 设(z?1)(z?2),求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?,其中c?{z:|z|?3},试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c,则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.(n为自然数)0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分:i???i|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析,试证:f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n,则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.(n为自然数) )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1,则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点,则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分:?ezdzcz2(z2?9),其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数r及m,使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n,证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
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伊犁师范学院数学系考试试题课程:复变函数 专业:数学与应用数学 年级:考试形式:闭卷 编号:一 命题教师:一、 判断题(4x10=40分):1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
( )2、如果z 0是f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在。
( ) 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
( )5、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( )6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件,则f (z )在z 0解析。
( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数的可去奇点。
( ) 8、若f (z )在单连通区域D 内解析,则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C dz z f 。
( )9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则它在D 内有任意阶导数。
( )10、若函数f (z )在区域D 内的解析,且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数。
( )二、填空题(4x5=20分)1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__________。
3、设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n zze _____________。
三、计算题(8x5=40分):1、.))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z2、求).,1(Res 2i z e iz+ 3、.62lim n n i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ 4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0154=+-z z ,在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题课程:复变函数 专业:数学与应用数学 年级:考试形式:闭卷 编号:二 命题教师:一、判断题(4x10=40分):1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续。
( )2、有界整函数必为常数。
( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )4、若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)。
( )5、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( )6、若f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
( )7、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析。
( )8、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析。
( )9、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。
( )10、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。
( )二、填空题(4x5=20分)1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________。
2、设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________。
3、若函数f (z )在复平面上处处解析,则称它是___________。
4、=+z z 22cos sin _________。
5、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________。
三、计算题(8x5=40分):1、.cos 11||⎰=z dz z 2、求).,1(Res 2i z e iz-+3、nn i i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121。
4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题课程:复变函数 专业:数学与应用数学 年级:考试形式:闭卷 编号:三 命题教师:一、判断题(3x10=30分):1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。
( )2、若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续。
( )3、如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在。
( ) 4、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析。
( )5、若函数f (z )=u (x ,y )+ iv (x ,y )在D 内连续,则二元函数u (x ,y )与(x ,y )。
( )6、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。
( )7、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( )8、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( )9、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。
( )10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数。
( )二、填空题(2x10=20分)1、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的定义域为__________。
2、设C iy x y x i xy x z f ∈+∀+-++=),sin(1()2()(222,则)(lim 0z f z z →__________。
3、=+z z 22cos sin ___________。
4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。
5、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点。
7、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是内D _________。
、8、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
9、=)0,(Res n zze ____________,其中n 为自然数。
10、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________.三、计算题(8x5=40分):1、设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 2、求⎰⎰==+--+3||1||1)4)(1(21sin z z z z z dz i zdz e π。
3、设1)(2-=z e z f z,求).),((Re ∞z f s 4、求函数z e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。
5、求复数11+-=z z w 的实部与虚部。
6、求.212122⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+i i 四、证明题(6+7+7=20分):1、若函数f (z )在z 0处可导,则f (z )在z 0连续。
2、若数列}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
3、设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。
伊犁师范学院数学系考试试题课程:复变函数 专业:数学与应用数学 年级:考试形式:闭卷 编号:四 命题教师:一、判断题(3x10=30分):1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件,则f (z )在z 0解析。
( )2、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
( )3、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f (z )的可去奇点。
( ) 4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠。
( )5、若f (z )在单连通区域D 内解析,则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C dz z f 。
( )。
6、若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ,则f (z )在D 内恒为常数。
( )7、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。
( )8、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 。
( ) 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。
( )10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数。
( )二、填空题(2x10=20分)1、若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________。
2、若C 是单位圆周,n 是自然数,则=-⎰C ndz z z )(10__________。
3、函数z sin 的周期为___________。
4、函数e z 的周期为__________。
5、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________。
6、幂级数∑∞=0n n nx 的和函数为__________。
7、若函数f (z )在整个平面上处处解析,则称它是__________。
8、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→nz z z n n ...lim 21______________。
9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。
10、函数211)(zz f +=的幂级数展开式为_________。
三、计算题(5x6=30分):1、.62lim nn i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ 2、设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的洛朗展开式。
3、设1)(2-=z e z f z,求).),((Re ∞z f s 4、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。
5、求函数63sin zz 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。
6、求复数11+-=z z w 的实部与虚部。
四、证明题(6+7+7=20分)1、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞→)(lim ,试证: ))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞→。
2、若整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ,则)(0)(C z z f ∈∀≡。