中考数学专题训练---一题多变
初中平面几何一题多变
平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的容、形式、条件、结论，做进一步的探讨, 真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有：1、 变换命题的条件与结论；2、 保留条件，深化结论；3、 减弱条件，加强结论；4、 探讨命题的推广；5、 考查命题的特例；6、 生根伸枝，图形变换；7、 接力赛，一变再变；8、 解法的多变等。
题1、已知，ZkREC 中，ZACB70度，D 为垂是=求证，01，图中有几条线段？监 图中有几个角，是哪几个角？03.图中有哪几个三角形，请你写出来.04.图中和ZCAB 相等的是嘱些角？和ZCAB 互余的角是哪些角？05. AAEC 中，BC 也上的高是哪条线段？ AABR 的垂心是()点-0^ 求证:AC - - CD07.求证；SAADC ： SACDB-^D ： DB08、求证；AABC ^AACD ^ACBDm 月芒==AD 奶0L 求证；BC- = BDAB1 卜求证！ AC- + BC- - AB''1U 如 S AC=3B,C,那么 5CD-2AB12、 如果 AE =2BD-那么 A 咨=53。
'13、求证；IWD3 蜷址14、 求证：二 以 从变中总结CD 2 孙15、设AB 的中点.为M,求证！AC- ^BC-I日噌加题！的条件）DE_LA C于E, DF_LBC于F,(2) 、CD^CECF AB《3)、职AE = BC\必17」增加题1的条件）CE平分曷CD求证：^AD AB低（增加题1的条件）在麋图中.作匕BCE=《BCD木证；BDt DA^CE\ AE:19、（增加题1的条件）AE平分Z BAC交BC于E,求证：CE: EB=CD: CB 20、（增加题1的条件）CE平分Z BCD, AF平分Z BAC交BC于F 求证：（1） BF CE= BE DF（2）AE±CF（3）设AE与CD交于Q,贝U FQ IBC21、已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC 于E、F,求证：CE: BC=CF: AC （注意本题和16题有无联系）22、已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E, 以BD为直径的圆交BC于F,求证：EF是③O1和③O2的一条外公切线23、已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，作以AC为直径的圆O1 ,和以CD为弦的圆O2,求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足,E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F,求证：DF: CF=BC: AC 25、如图，O O1与OO2外切与点D, 公切线DO交外公切线EF于点O, 求证：OD是两圆半径的比例中项。
湘教版九年级数学中考复习：一题多解专项练习(含解析)
初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。
4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。
——“多题归一,一题多变”例图解析
——“多题归一，一题多变”例图解析例题(2006年广东河源中考题)如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC。
求∠ABE的大小。
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度数是正确解答本题的关键．解题思路第一步：证明△CDO≌△BAO≌△BOC简化图形：证明：①∵点O是AD的中点∴DO=AO又∵△OAB与△OCD都是等边三角形∴CD=CO=DO,BA=BO=AO在△CDO与BAO中∵CD=BA,CO=BO,DO=CO∴△CDO≌△BAO∴∠COD=∠BOA=60º∵∠COD+∠COB+∠BOA=180º∴∠COB=180º-∠COD-∠COB=180º-60º-60º=60º在四边形CDAB中∵∠BCD+∠CDA+∠DAB+∠CBA=360º∴∠DCB+∠ABC=360º-∠CDA-∠BAD=360º-60º-60º=240º∵∠1+∠2+∠OBC+∠OCB=240º且∠1=∠2=60º∴∠OBC+∠OCB=240º-60º-60º=120º又∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∴∠OCB=∠OBC=1\2×120º＝60º∴△COB是等边三角形且全等于△CDO和△BAO②∵∠COD=∠BOA∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB即∠DOB=∠AOB在△BOD与△COA中∵OB=OC,∠DOB=∠AOC,OD=OA∴△BOD≌△COA∵OD=OB∴∠BDO=∠DBO∵∠DOB=∠COD+∠COB=60º+60º=120º且∠BDO+∠DBO+∠DOB=180º∴∠BDO=∠DBO=(180º-120º) ÷2=30º∵△BOD≌△COA∴∠CAD=∠DBO在△BEG与△AOG中∵∠CAD=∠DBO,∠EGB=∠OGA∴△BEG∽△AOG∴∠GOA=∠AEB=60º由此图经证明得到的更多结论：Ⅰ.△AOC≌△DOBⅡ.∠BEA=60ºⅢ.AC=BD.Ⅳ. △AOG≌△BOFⅤ.FG∥ADⅥ.1\OA+1\OD=1\FG当图形如下图，结论同理，与第一幅图一致。
初中数学“一题多变”的训练策略
初中数学“一题多变”的训练策略
初中数学的一题多变是指一个问题可以根据不同的情境和条件进行变换，从而得到不同的题目。
这种训练策略有助于学生掌握数学的基本概念和解题方法，提高解题能力和思维灵活性。
以下是初中数学“一题多变”的训练策略。
通过改变题目的条件来变换问题。
对于一个求两数之和的问题，可以改变题目条件为求两数之差或者两数之积。
这样可以让学生从不同的角度思考问题，加深对数学概念和运算方法的理解。
可以通过改变题目的情境来变换问题。
一个问题是求两个人同时从不同地点出发到达相同地点的时间，可以通过改变题目情境为两个车同时从不同地点出发到达相同地点的时间。
这样可以让学生将抽象的数学概念与实际情境结合起来，提高解题能力。
可以通过改变题目的形式来变换问题。
一个问题是求一个几何图形的面积，可以通过改变题目形式为求图形的周长或者体积。
这样可以让学生在解题过程中充分运用数学概念和运算方法，提高解题能力和学习成效。
最新初中数学一题多变、一题多解
CBAS 2S 3S 1CBAS 3S 2S 1S 3S 2S 1CBA一题多解、一题多变原题条件或结论的变化所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。
通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。
例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。
一、几何图形形状的变化如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是图1 图2 图3E S 3S 2S 1DCBAS 3S 2S 1ABCDABCD S 3S 2S 1变式1：如图2，如果以Rt ∆ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式2：如图3，如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式3：如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
中考数学专题复习一题多变与多解试题
无棣县埕口中学中考数学专题复习 一题多变与多解 新人教版制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、一题多解,拓宽思路,培养思维的多向性,发散性，采用一题多解的方法可以训练同学们应用多种方法,以多种角度去认识、解决问题. 例 ：如图1，直线AB ∥CD ，P 是AB 和CD 之间的一点.试说明∠ABP +∠PDC =∠BPD .该题证明思路较多，主要有以下几种：证法一：如图1，过点P 向右作PE ∥AB ，那么有∠ABP =∠BPE .又∵ AB ∥CD ，∴ PE ∥CD ，∴ ∠EPD =∠PDC .因此，∠ABP +∠PDC =∠BPE +∠EPD =∠BPD .证法二：如图2，过点P 向左作PE ∥AB ，那么有∠ABP +∠BPE =180°. 易得PE ∥CD ，∴∠EPD +∠PDC =180°. 故有∠ABP +∠BPE +∠EPD +∠PDC =360°.又∵ ∠BPE +∠EPD +∠BPD =360°，∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD . 证法三：如图3，延长BP ，交CD 于点E ，那么∠BPD =∠PED +∠PDC . ∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABP =∠PED . ∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD . 证法四：如图4，过点P 作直线EF ，分别交AB 、CD 于点E 、F . 那么∠EPB +∠BPD =∠EPD =∠PFD +∠PDC .又∵ AB ∥CD ，∴ ∠PFD =∠AEF =∠ABP +∠EPB ， ∴ ∠EPB +∠BPD =∠ABP +∠EPB +∠PDC . ∴ ∠ABP +∠PDC =∠BPD .二、题多变,同中求异,培养思维的敏捷性、深入性.ACDP图1 E B ACD 图2E BP图3C D E AP BP E 图4A CD F B一题多变指改变同一问题中的条件或者题目改变求解目的,或者加深题目难度,从而训练同学生举一反三,以不变应万变的才能。
初中数学一题多变一题多解(六)
一题多解，一题多变（六）中考几何母题的一题多解(多变)一、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。
求证：FD=DE。
证法一证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故 FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。
二、平行四边形一题多解如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。
证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。
证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。
证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE四\一题多解、多变《四边形面积》1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。
初中数学一题多变一题多解(一)
“一题多变”（一）一、“一题多变”的作用：在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。
不就题论题，能多思多变。
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
二、“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、变换题型；3、深化条件，保留结论；4、减弱条件，加强结论；5、探讨命题的推广；6、考查命题的特例；7、生根伸枝，图形变换；8、接力赛，一变再变等等。
三、一题多变，挖掘习题涵量：1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。
求证：∠BEC=90°．变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。
求证：CE⊥BE．变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．2、变换题型即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
初中数学“一题多变”的训练策略
初中数学“一题多变”的训练策略1. 引言1.1 背景介绍初中数学作为学生学习的一门重要学科，承担着培养学生逻辑思维能力和数学解题能力的重要任务。
在数学学习中，很多学生常常遇到一题多变的情况，即同一个数学题目可能有不同的解法和思路。
这种情况往往让学生感觉困惑和挫败，导致他们对数学学习产生抵触情绪。
为了帮助学生有效应对一题多变的情况，提升他们的解题能力和数学学习效果，我们需要制定一套科学有效的训练策略。
这些策略将帮助学生培养逻辑思维能力，提升解题技巧，灵活运用知识点，多样化题型训练，并合理安排学习时间，从而达到更好的学习效果。
1.2 问题提出在数学学习中，许多学生常常面临一个共同的问题，那就是在解题过程中遇到困难时往往束手无策，无法灵活运用所学知识点来解决问题。
这种情况不仅影响了他们的学习兴趣，也影响了他们的学习效果。
如何训练学生在解题过程中能够灵活应用所学知识点，成为了当今教育领域亟待解决的问题之一。
在初中数学教学中，我们经常会遇到一题多变的情况，即一道题目可以有多种不同的解法。
这种情况既考验了学生的逻辑思维能力，也考验了他们的解题技巧和对知识点的灵活运用能力。
如何训练学生在解题过程中能够灵活应用所学知识点，提升解题技巧，成为了当前数学教育中需要重点关注和加强的方面。
只有通过有效的训练策略，学生才能在解题过程中游刃有余，提高学习效果，从而取得更好的成绩。
2. 正文2.1 培养逻辑思维能力培养逻辑思维能力在初中数学学习中是非常重要的一环。
逻辑思维能力是指根据一定的规律和条件，进行推理和判断的能力。
在解决数学问题时，学生需要通过逻辑思维能力分析问题、寻找规律、进行推理，从而找到解题的方法和答案。
为了培养逻辑思维能力，可以通过以下几个方面进行训练：1. 注重基础知识的理解和应用。
逻辑思维能力建立在扎实的基础知识之上，只有对基础知识有深刻理解，才能更好地运用逻辑思维解决问题。
2. 多练习推理和判断题型。
推理和判断题型是培养逻辑思维能力的有效途径，通过解决这类题目，可以锻炼学生的逻辑推理能力和判断能力。
初中数学一题多变一题多解(二)
一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
初中数学思维 一题多变、一题多问、一题多解
一题多解、一一聚多
目录
1
一图多变
2
一题多问
3
一题多解
4
一一聚多
1
一图多变
一图多变
如图1, a、b、c是△ABC的三边,
∠C=90°，下面我们对直角三角形
进行一题多问与一图多变,欣赏直角
三角形的迷人风采,享受直角三角形
的变化给我们带来的无限乐趣.
图1
.
A.开发原题 探索结论
a b c, a c b, b c a.
__________________________
c a, c b.
4.考查垂线段最短得___________
sin A
a
b
a
b
, cos A , tan A , cot A
c
c
b
a
5.考查锐角A的三角形函数得___________________________.
2
(2)求以a为轴旋转一周所得的
几何体的表面积;
(3)求以b为轴旋转一周所得的
几何体的表面积;
(பைடு நூலகம்)求以c为轴旋转一周所得的
几何体的表面积.
0
C.原题不变 添图变化
上面原题条件不变,添加一些条件得到19个新题!
下面我们探索原题条件不变,添加一些图形得到
许多新题!请大家欣赏下面一图多变.
27.如图2,原题增添斜边AB上的高CD,则有
5或 7
18.若△ABC的两边是3和4,则第三边的长为______.考查的知识点
分类讨论
是________思想及勾股定理.
B.变化原题 探索结论
19.若△ABC的三边是连续整数,
初中数学一题多变一题多解(二)
一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
一题多变多题归一(4个题)
一题多变 多题归一宁安市石岩学校 金同双知识是静态的，思维是活动的；例题、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。
我们可以通过很多途径对课本的例题、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。
通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到举一反三的效应，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。
纵观近几年全国各省市的中考数学试题可以发现，有很多题目都源于课本，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，大多是由课本中的例题（或习题）改编而成，都能在课本上找到原型。
比如：（新人教版八年级上册第16页综合运用第9题）已知：如图点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF 。
求证：∠A=∠D 。
评析：本习题主要训练学生运用“边边边”条件判定三角形全等，进而运用全等三角形的性质得出所求证的角相等。
由条件BE=CF 不难得出BC=EF ，又有已知条件AB=DE ，AC=DF 。
利用“边边边”条件可得△ABC ≌△DEF,从而∠A=∠D 得证。
就是这样的一道习题却成了各个省市中考命题的源泉，正所谓中考题是“源于课本又高于课本”的变式题。
就此题为例通过“改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等方面”命制几道变试题：一、填空题：1、如图，已知AC=EF ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是 。
【答案：∠C=∠E 或AB=FD 或AD=FB ；】2、如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF 。
初三数学一题多变经典题型
初三数学一题多变经典题型
例题1：不透明袋子当中装有四个形状和大小以及质地完全相同的小球，已知有三个白球和一个黑球，如果小亮从袋中随机抽取一个小球，那么，抽到黑球的概率是多少？如果小亮同时从中抽取两个小球，抽到这两个小球都是白球的概率又是多少？
变式一：在例题条件的基础上，如果小亮从中随机抽取一个球，记下颜色后放回，然后又抽取一个球，两次都抽取到黑球的概率是多少？
变式二：在例题所给条件的基础上，如果小亮又往袋中放入y个白球后进行试验，随机抽取一个小球记下颜色放回，多次重复这一试验，之后发现了抽到白球的概率稳定在0.9，能够结合这一试验结果得出y的值吗？
例题2：求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式一：求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式二：求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式三：求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式四：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形?。
中考数学复习之一题多变培优课件
∵梯形ABCD，AD=BC， ∴AC=BD， ∴EF=MN=FN=EM， ∴四边形EFMN是菱形．
变式三： 求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四 边形是菱形
证明：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、 BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、 △BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的 中 根位 据线 三角. 形的中位线的性质知， EH=FG= BD，EF=HG= AC，
在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH= BD，同理FG= BD，HG= AC，EF= A又C∵，在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形．
变式二： 求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的 四边形是菱形．
已知：梯形ABCD，AD=BC，且点E，F，M，N， 分别是四边形的中点， 求证：四边形EFMN是菱形． 证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且点E，F，M， N，分别是四边形的中点，
O
B
A
G
EC
DF
A
C E
O F D B
证明：延长AE交圆于M点，连接BM，过点O作 OP垂直BM，交EF于点Q
∵AB是直径
A
∴AM⊥BM
∵点O为圆心 ∴OA=OB ∴MP=BP ∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴EF=MB ∴EQ=FQ ∵OP⊥CD ∴CQ=DQ ∴CE=DF
O
C E
F D
MQ
B
变式三：
∵AC=BD, ∴EH=FG=FG=EF， ∴四边形EFGH是菱形．
变式三： 求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的 四边形是菱形
一题多变 中考在线13
Q OB OD ，OBD ODB ，ODB CBD ，
OD / /BC ，C ADO 90 ，ABC 60 ，
BC 1 AB 6 ， AC 3BC 6 3 . 可知CBD 30 ， 2
CD 3 BC 3 6 2 3 .
AC AB 3 5
8
DB＝OB 4－x 5 r x 3
CD AO x r
2
tan EDB tan CAD CD 1 AC 2
反思总结：
1、本节课你学到了什么？最大的收获是什么？ 2、本节课涉及到哪些经典几何模型？ 3、运用了哪些数学思想方法？
CN CB,AN AB，N B
三垂直
追本溯源：（九年级上册 102 面第 11 题）已知 AB 为 e O 的直径，C 为 e O 上一
点，直线 EF 切 e O 于点 C，AD EF 于点 D，求证 AC 平分DAB 。 思考 6：若直线 EF 交 AB 的延长线于点 F，你又想到什么？能得到哪些结论呢？
能推出另一个作为结论吗？若能，请证明其中一个，若不能，请说明理由。
如由①②④ ③（2019 年贺州试题即来源于此）？你又有什么体会？
①③④ ② ②③④ ①
角平分线模型：连结OC， 证OC∥AD是解决问题的关键
ADC ∽ ACB
变式探究：
变式 2：若把原题中直线 EF 向圆心平移，如图，EF 交 e O 于点 C、G， 题中其他条件不变（AB 为 e O 的直径，AD EF 于点 D）， 这时与DAC 相等的角是哪个角？为什么？
经典回放：
（2018 年十堰）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E，过点 D 作 FG⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G．
二次函数一题多变
2018年中考数学专题训练之一一、二次函数一题多变如图，已知抛物线y]=ax2+bx+c(a#0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B•经过点B、C的直线为y2=mx+n。
1、求直线BC及抛物线所对应的函数关系式；(用三种方法求抛物线所对应的函数解析式。
2、填空:⑴不等式ax2+bx+c〉mx+n的结集为。
(2)不等式ax2+bx+c>-3的解集为。
⑶当0V x V3时，y的取值范围是o3、在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；4、P是线段BC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;5、P是线段BC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段/PBC面积的最大值;6、设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使Z PCB=90o的点P的坐标.立册畅妊k缶i-AT4rFtADCC二他形8、抛物线的顶点为D,在X轴上求点Q,使得IPB-PDI值最大。
9、点D为抛物线顶点，在抛物线上存在点P、在X轴上存在点N、以C、D、M、N为顶点的四边形为平11、在二次函数的图象上是否存在点P，使S脸=4S，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明4€MAB行四边形，求出点M的坐标。
10、点K(2,m)在抛物线上一点，在抛物线上存在点另一点P,且Z KBP=45°，求点P的坐标. 理由;12、将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y，x+b（b€1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围.13、若点M在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B向A运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为t秒，请写出A MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，5MNB的面积最大，最大面积是多少？14、对于（1）中得到的关系式，若x为整数，在使得y为一个完全平方数的相反数的所有x的值中，设x 的最大值为m，最小值为n，次小值为s,（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数・）求m、n、s的值•15.抛物线的顶点D,若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM丄x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；16、若P为抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作PQ II AC交x轴于点Q.当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）.17、⑴设直线y€-x,3与y轴的交点是F，在线段BF上任取一点E（不与B、F重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点K,试判断△AKF的形状，并说明理由；(2)当E是直线y=_x,3上任意一点时, (2)中的结论是否成立？(请直接写出结论).18、在对称轴上是否存在点M,使A MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由.19、(1)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE,求出点D 的坐标；(2)在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.20、点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；(3)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.21、(1)若点E是x轴上一点，连接CE，且满足Z ECB=Z CBD,求点E坐标.(2)若点P在x轴上且位于点B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD，且Z BDQ=45°,求点P坐标22、M为CB的中点，ZPMQ在CB的同侧以M为中心旋转，且ZPMQ=45°,MP交y轴于点D,MQ交x轴于点E.设CD的长为m(m>0),BE的长为n,求n和m之间的函数关系式.23.如图，二次函数y，ax2+bx+c(a€0)的图象，经过点B、C的一次函数为Y=mx+n。
探究中考数学压轴题的一题多变 中考数学压轴题
探究中考数学压轴题的一题多变中考数学压轴题摘要】历年中考数学科的压轴题是拉开考生分数的重分题，总分高不高，关键看考生做压轴题得失状况。
因此每年的中考复习，从老师到学生都要花费大量的精力和时间去练习形形式式的压轴题，老师更是要费尽心思去讨论大量的压轴题题形，从本省的到外省的、从去年的到往年的。
关键词】中考；数学历年中考数学科的压轴题是拉开考生分数的重分题，总分高不高，关键看考生做压轴题得失状况。
因此每年的中考复习，从老师到学生都要花费大量的精力和时间去练习形形式式的压轴题，老师更是要费尽心思去讨论大量的压轴题题形，从本省的到外省的、从去年的到往年的。
其实，任何的数学题都是“形〞变而“神〞不变。
下面就一道中考题进行探究一题多变。
如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且OOB=13，tn∠OC=13。
(1)求、b的值；〔2〕试探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：〔1〕令x=0时，y=-3，即点C的坐标为〔0，-3〕，OC=3，∵tn∠OC=3=OCO，∴O=1,∵OOB=13，∴OB=3, ∴点的坐标为〔1，0〕，点B的坐标为〔-3，0〕，∵点、B分别在抛物线上，把〔1，0〕、B〔-3，0〕分别代入，则有方程组0=+b-30=9-3b-3 解得=1b=2,所以、b的值分别为1、2。
〔2〕存在。
①以点为直角顶点时，作P1⊥C于点，交y轴于点P1，∵∠P1O+∠CO=90°, ∠OC+∠CO=90°,∴∠P1O=∠OC, ∵tn∠OC=OOC=13，tn∠P1O=P1OO=P1O1，∴P1O1=13，即P1O=13，∴P1(0,13)；②以点C为直角顶点时, 作CP2⊥C于点C，交x轴于点P2，类似①可得OCOP2=OOC=13，∵OC=3,∴OP2=9,即P2〔-9，0〕；③以C为直角三角形的斜边时，∵∠CO=90°，∴点OP3与原点O重合，此时P3〔0，0〕。
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中考数学专题训练-------一题多变
1、已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC
后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。
（证明略） 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。
变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。
娈式6图
娈式7图
变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。
2、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ， 求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。
变式：如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB
＝4-BD 、AH 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AH 、GD 所夹的锐角为45°；③
；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4。
其中正确的结论个数有（D ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
由①对，知∠BHD=90,由∠BAD=90知：A 、B 、H 、D 四点共圆，∴∠AHD=∠ABD=45.∴②对。
由△DBE ∽△DAM ∴
AM BE AD
BD
AM BE 22=∴==∵DG=BE ∴AM DG 2=∴③对。
由BE 平分∠DBC 知：∠HDE=∠DBH ，∴△HDE ∽△HBD ∴2242
-=⨯=HB HE DH .∴
DH=28162
12
-=∴DG DG ()
CG BC CG BC BG BD DG CG DC =-∴+===+12222 ，
例2图
(
)[]
4281612222
2=∴-==-+
∴BC DG BC BC ∴④对。
故选D
3、有这样一道习题：如图1，已知OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、
A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，过Q 点作⊙O 的切线交OA 的延长线于R .说明：RP ＝RQ . 请探究下列变化：
变化一：交换题设与结论.
已知：如图1，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，R 是OA 的延长线上一点，且RP ＝RQ . ． 说明：RQ 为⊙O 的切线. ．
变化二：运动探求.
1．如图2，若OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 答： ． 2．如图3，如果P 在OA 的延长线上时，BP 交⊙O 于Q ， 过点Q 作⊙O 的切线交OA 的延长线于R ，原题中的结论 还成立吗？为什么？
4.如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。
分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。
变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？
5. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC
上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。
问题一图1 O F G E
D
C B
A 问题一图
2
分析：对于图1通过全等三角形证明OE ＝OF ，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正
O
R
B Q
A
P
图1
图2
O
B Q
A
P
O
P
B
Q
A R
图3
例2
图
确的判断。
结论：（2）的结论“OE ＝OF ”仍然成立。
提示：只须证明△AOF ≌△BOE 即可。
评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
6、原题：
（1）如图：△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F 。
⑴求证：EF 是⊙O 的切线。
⑵如果∠A=60,则DE 与DF 有何数量关系。
请说明理由。
⑶如果AB=5，BC=6，求tam ∠BAC 的值。
变式：
2、如图，在锐角△ABC 中，AB 是最短的边，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DB 。
⑴求证：D 是⋂
AE 的中点， ⑵求证：∠DAO=∠C+∠CAD ，
⑶若2
1
=∆∆OBD BEF S s 且AB=4，求BF 的长。
变式：3、如图，在锐角△ABC 中，AB=4是最短的边，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于E ，H 是直线BC 上一动点，AH 交⊙O 于D 点。
⑴当OD ∥BC 时，D 是⋂
AE 的中点。
当⋂
AE 的中点时，OD ∥BC 。
⑵若BD 交AE 于F 点，是否存在一点H ，当BF =2，使2
1
=∆∆OBD BEF S s 。
C
C
C。