二次函数知识点总结大全

1. 二次函数的定义:

2、 二次函数的解析式三种形式

与y 轴交点坐标（0，c ）

（1）二次函数y=ax 2

（a z 0）的图象是一条抛物线，

其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当a >0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a v 0时，抛物线开

口向下，顶点是取咼点；

2 ⑵二次函数?' 1

:二'

b_

h_

当a >0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x >-二：，y 随x 的增大而增大，x v -二：， y 随x 的增大而减小；当a v 0时，抛物线开口向下，图象有最高点

Aac-b 1 b — X 二—

I ;当a v 0时，当 二时，函数有最大值

4ac-b 2

4盘

4.二次函数 y=ax2+bx+c （a 丰0）的各项系数 a 、b 、c 对其图象的影响 （1）

a 决定抛物线的开口方向和开口大小： a >0,开口向上；a v 0，开口向下.|a 的

越大，开口越小.

b X -----

（2）

a 与

b 决定抛物线对称轴的位置：

a 、

b 同号，抛物线的对称轴（即

直线 ）或顶点在y 轴左侧;

i

x -----

a 、

b 异号，抛物线的对称轴（即直线 一二）或顶点在y 轴右侧；（左同右异）；

b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴.

（3） c 决定抛物线与y 轴交点（0, c ）的位置：c >0,抛物线与y 轴交于正半轴；c v 0,抛物线与y 轴交于负 半轴；c=0,抛物

二次函数

2

形如r

' - ■'0, a,

b ,

c 为常数）的函数为二次函数

般式 y=ax 2 +bx+c( a 丰 0)

-------------- 1 2

顶点式| y = a(x - h) + k

b 2 4a

c — b 2

两根式

y = a(x -x j (x -x 2

)

3、二次函数

对称轴:

b 2a

顶点坐标：

(b 4ac-b 2)

2a' 4a

增减性：当a>0时，对称轴左边, 当a<0时，对称轴左边, y 随x 增大而减小；对称轴右边,

y 随x 增大而增大；对称轴右边,

y 随x 增大而增大 y 随x 增大而减小

b 71 — --

⑶当a >0时，当

丄；时，函数有最小值

线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点（0, c）.这些内容应该能够由数得

形、依形判数

5.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x i, X2是一兀二次方程ax2 +bx+c=O (0)的根。抛物线y=ax2 +bx+c ,当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

2

b -4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

b2-4ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

6、图象的平移

(1)配方y=a(x-h)2，k，确定顶点(h,k)

(2)对x轴左加右减；对y轴上加下减7、二次函数图像画法: 勾画草图关键点：①开口方向②对称轴③顶点④与x轴交点⑤与y轴交点

【典型例题】

一、选择题(每题5分，共30分)

1. 二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()

A.(-1,-1)

B.(1,-1)

C.(-1,1)

D.(1,1)

2. 若直线y=ax+b(ab工不过第三象限，则抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是()

A. 一

B.二

C.三

D.四

3 .函数y=ax2+bx+c中若ac<0,则它的图象与x轴的位置关系为()

A.无交点

B.有1个交点；

C.有两个交点

D.不确定

4.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为()

A.y=2x2-2x-4;

B.y=-2x2+2x-4;

C.y=x2+x-2;

D.y=2x2+2x-4

二次函数的概念

例1 (基础).二次函数y二-3x2-6x - 5的图像的顶点坐标是( )

A . (-1 , 8) B. (1 , 8) C (-1 , 2) D (1, -4)

例2.下列命题中正确的是

①若b2—4ac> 0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3

②若b2—4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

③当c= —5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c 一定过y轴上一定点。

④若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。

⑤若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S^ABC=6，则抛物线解析式为y=x2—

5x+4。

⑥若抛物线y=ax2+bx+c (0)的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。