河南省洛阳一高2021届高三数学9月月考试题理 【含答案】

……8 分
若 a 1 ，则当 x (0,1) 时， ax 1 x 1 0 ，
4
所以 f (x) 0 ．
……10 分
所以 1 不是 f (x) 的极小值点．
……11 分
综上可知， a 的取值范围是 (1, ) ．
……12 分
20.解：(1）连 AC1 . ∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形，∴ A1C AC1 . ∵平面 AA1C1C 平面 ABC ，平面 AA1C1C 平面 ABC AC ， BC 平面 ABC ， BC AC ，
2ab
2ab
……8 分
3c2 2ab
1
3c2 2( a b)2
1
3 2
1
1 2
．
2
所以 cos C 的最小值为 1 ． 2
19.解：(1) f (x) [ax2 (3a 1)x 3a 2]ex ，
……10 分 ……12 分
f (x) [ax2 (a 1)x 1]ex ， f (2) (2a 1)e2 . 由题设知 f (2) 0 ，即 (2a 1)e2 0 ，解得 a 1 ．
AB
0
.
n AB1 0
∵
AB
2，1，0
，
AB1
3，1， 3
，∴
2x 3x
y y
0 3z
0
.
令 x 1 ，得 y 2，z
1
，即
n
(1，2，
1
)
.
3
3
∴ cos CA1，n
CA1
n
CA1 n
2 2 16
3， 4
3
……10 分 ……11 分
∴二面角 C1 AB1 B 的余弦值为
3. 4
……12 分
21.解：(1)函数 f (x) 的定义域为 (, ) ，
f (x) 2e2x aex a2 (2ex a)(ex a) .
……2 分
① 若 a 0 ，则 f (x) e2x ，在 (, ) 单调递增．
……3 分
②若 a 0 ，则由 f (x) 0 得 x ln a ．
当 x (, ln a) 时， f (x) 0 ；当 x (ln a, ) 时， f (x) 0 ，
5
所以 f (x) 在 (, ln a) 单调递减，在 (ln a, ) 单调递增．
……4 分
③若
a
0
，则由
f
( x)
0得
x
ln(
a )
．
2
当
x (, ln(
a ))
时，
f
( x)
0
；当
x (ln(
f (ln a) a2 ln a ．从而当且仅当 a2 ln a 0 ，即 a 1 时， f (x) 0 ．……8 分
②
若
a
0
，则由(1)得，当
x
ln(
a )
时，
f
(x)
取得最小值，最小值为
2
f (ln( a )) a2[ 3 ln( a )] ．
2
4
2
……10 分
从而当且仅当
a2[3
ln(
1 A.
B. 1
C. e D.e
e
e
11.若函数 f (x) ex ax2 有三个不同零点，则 a 的取值范围是
e2 A.(
,+)
B.( e , )
e2 C.(1, )
D.(1, e )
4
2
4
2
12.若定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x) 0 ，且当 0 x 1时， f (x) 1 x ，则函
(2)若
S5
31 32
，求 ．
18．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 2(tan A tan B) tan A tan B . cos B cos A
(1)证明： a b 2c ；
(2)求 cos C 的最小值.
2
19.（本小题满分 12 分）
2 (2)由(1)得 f (x) [ax2 (a 1)x 1]ex (ax 1)(x 1)ex ． 若 a 1，则当 x ( 1 ,1) 时， f (x) 0 ；
a 当 x (1, ) 时， f (x) 0 ．
……3 分 ……5 分
……7 分
所以 f (x) 在 x 1 处取得极小值．
河南省洛阳一高 2021 届高三数学 9 月月考试题 理
考试时长：120 分钟
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.设集合 A {x | 4x 2}， B {x | x2 x 0} ，则 A B
A.(0,1)
1
1
B.(0, ) C.( ,1)
D.
2
2
2.已知
f
1 ()
x
，则 f (x) 的解析式为
x 1 x
A. f (x) 1 x (x 0 ,且 x 1) x
B. f (x) 1 (x 0 ，且 x 1) 1 x
C. f (x) 1 (x 0 ，且 x 1) x 1
D. f (x) x (x 0 ，且 x 1) x 1
数 f (x) ex 在[2, 2] 上的最大值为
A. e B.1 C.e
D.2e
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 f (x) ln(x2 1) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为_________.
14.已知函数 f (x) ln ex ，则 f (x) f (2 x) ____ . 2x
2 sin C sin A sin B ， cos Acos B cos Acos B cos Acos B
所以 2sin C sin B sin C ，
由正弦定理，得 a b 2c ．
……6 分 ……10 分
……12 分
……3 分 ……5 分 ……6 分
(2)由 cos C a2 b2 c2 (a b)2 2ab c2
3.已知命题 p : x R, x2 x 1 0 ；命题 q :若 a2 b2 ,则 a b .下列命题为真命题的是
A.p q B.p q C.p q D.p q
4.若 2a b ， 3b 4 ， 4c ab ，则 abc
1 A.
B.1 C.2
D.4
2
5.函数 f (x) ln(x2 ax 3) 在 (1, ) 上单调递增，则 a 的取值范围是
CDBDD AB
二、填空题：13. 1
14. 2
15. 11
16.①③
三、解答题
17.(1)
a1
S1
1
a1
,
1
,
a1
1 1
,
a1
0
.
……2 分
由 Sn 1 an ， Sn1 1 an1 得 an1 an1 an ，即 ( 1)an1 an . ……4 分
a1
0,
0, an
0 ,
an1 an
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 3x 1| | 3x 1| ， M 为不等式 f (x) 6 的解集.
(1)求集合 M ；
(2)若 a ， b M ，求证：| ab 1|| a b | .
高三 9 月月考理科数学参考答案
3
一、选择题： C C B B A
1
1 0 ，所以{an}是首项为 1
，公比为
的等比数列，
1
其通项公式为
an
1 1
( )n1 . 1
(2)由(1)得
Sn
1
an
1
( )n 1
.
由
S5
31 32
得1
( )5 1
31 32
，
( )5 1 , 1. 1 32
18.(1)由 2(tan A tan B) tan A tan B 得 cos B cos A
a ), )
时，
f
( x)
0，
2
2
故 f (x) 在 (, ln( a )) 单调递减，在 (ln( a ), ) 单调递增．
2
2
……6 分
（2）①若 a 0 ，则 f (x) e2x ，所以 f (x) 0 ．
……7 分
②若 a 0 ，则由(1)得，当 x ln a 时， f (x) 取得最小值，最小值为
15．函数
f
(x)
l4oxg,2 (1
x), x 0,
，则
x 0.
f
(3)
f
(log2
3)
__________.
16.已知函数
f
(x)
x ln
x
1 2
x2
，
x0
是函数
f
(x)
的极值点，给出以下几个命题：① 0
x0
1 e
；②
x0
1 e
；③
f
(x0 )
x0
0
；④
f
Hale Waihona Puke Baidu
(x0 )
x0
0
.其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序
A.(, 2] B.(, 2) C.(, 2] D.(, 2)
6. 设命题 p ： n N , n2 2n ，则 p 为
A.n N , n2 2n B.n N , n2 2n
C.n N , n2 2n
D.n N , n2 =2n
7.函数
f
(x)
2 ln(x 1) (x 1)2
的大致图象为
A
B
C
D
8.已知函数 f (x) (m2 m 1)xm31 是幂函数，对任意的 x1, x2 (0, ) 且 x1 x2 ，满足
f (x1) f (x2 ) 0 ，若 a,b R, a b 0 ，则 f (a) f (b) 的值 x1 x2
A. 恒大于 0
B. 恒小于 0
C. 等于 0 D. 无法判断
设函数 f (x) [ax2 (3a 1)x 3a 2]ex ．
(1)若曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a ；
(2)若 f (x) 在 x 1 处取得极小值，求 a 的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 AA1C1C 平面 ABC ， AA1 AC, AC BC . (1)证明： A1C AB1 ； (2)设 AC 2CB, A1AC 60o ，求二面角 C1 AB1 B 的余弦值.
……7 分
∴ C (0，0，0)， A1 (1，0，
3 )， A (2，0，0)，
B (0，1，0)， B1 (-1，1，
3 ).
由(1)知，平面 C1 AB1 的一个法向量为 CA1 1，0， 3 .
……9 分
设平面
ABB1 的法向量为 n
x
，，y
z
，则
n
AB，n
AB1
，∴
n
a )]
0
，即 a
3
2 e4
时
f
(x)
1
9.已知函数 f (x) ex ex ，若 a f (21.1), b f (1), c f (log2 3) ，则实数 a, b, c 的大小关系为
A.a b c B.a c b C.c b a D.b c a
10.已知直线 y kx 是曲线 y ex 的切线，则实数 k 的值为
……1 分
∴ BC 平面 AA1C1C .
……2 分
又∵ BC // B1C1 ，∴ B1C1 平面 AA1C1C ，∴ B1C1 A1C .
……3 分
∵ AC1 B1C1 C1 ，
∴ A1C 平面 AB1C1 ，
……4 分
而 AB1 平面 AB1C1 ，
∴ A1C AB1 .
……5 分
以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线
l
的参数方程为
x
1 2
t
cos
(t
为参数，
0
），曲线
C
的极坐标方程为
y t sin
2 cos . sin2 (1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，当 变化时，求| AB | 的最小值.
(2)取 A1C1 的中点为 M ，连结 CM .
∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形， A1 AC 60 ，
∴ CM A1C1 ， CM AC .
……6 分
又∵ CM BC ，以 C 为原点， CA，C，B CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图.
设 CB 1 ， AC 2CB 2 ， AA1 AC ， A1 AC 60 ，
C1 B1
A1
C B
A
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ex (ex a) a2 x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) 0 ，求 a 的取值范围．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：极坐标和参数方程选讲
号）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17．（本小题满分 12 分）
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 an ，其中 0 ．
(1)证明 {an } 是等比数列，并求其通项公式；