人教版高中数学必修二《空间几何体的外接球》

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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应,言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃,否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人,常是愿意 去做,并愿意去冒险的人。“稳妥”之船,从未能从岸边走远。咖啡,喝起来是苦涩的,回味起来却有 久久不会退去的余香。
空间几何体的外接球问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美,我宁愿选择无悔,不管来生多么美丽,我不愿失 去今生对你的记忆,我不求天长地久的美景,我只要生生世世的轮 回里有你。

人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》

人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》

1 1 2
2 2
2
2R
O P C
A
例 2.已知棱长为
6 的正四面体(四个面都是正三角形的
9 三棱锥)的四个顶点都在同一球面上,求此球的体积. 2
C
正方体边长 a 3
体对角线长度 2R 3a 3
A
B
D
1. 三 棱 锥 S-ABC 中 , SA 平 面 ABC , AB BC , SA=1,AB=2,BC=3,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径.
长方体的长宽高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,求球O
的半径.
2R 3 2 1
2 2
2
14 R 2
例 1. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA,PB,PC 两 两 互 相 垂 直 , 且
PA=PB=1,PC=2,求三棱锥P-ABC外接球的面积. 6
B
求长方体体对角线的长度
O'' S
O
C
O' A B
方法二 解题情景 解题步骤
几Байду номын сангаас法(直三棱柱) 侧棱垂直于底面 解 OO' 、 球的半径 OA 、 截面圆的半径 O' A 确定的
Rt OO' A ,
本节配套试卷
S
14 2
B A C
2.三棱锥 S-ABC 中, SB AC 5 , SC AB 13 , SA BC 10 ,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径. 14
2
S
A
c B a b C
B
C
S
A
O P C
B A C
B D
A
方法一 解题情 景 解题步 骤

人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》

人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》

r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时, 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时, 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球,球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解: P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线:
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台

新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计

新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计

简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后,对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究,是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识,类比得到空间几何体的一些结论,其中涉及到长方形外接圆的半径,三角形外接圆的半径的求法,需要学生充分发挥空间想象能力,在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题,既有对简单问题的快速便捷处理方法,又有对常见考法的系统探究,是属于中高考复习备考方法,策略的研究案例。

二、教学目标设置知识与技能:1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法:通过类比平面的相关知识,建立空间感,运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观:充分发挥学生的空间想象能力,通过体会外接球半径的探索过程,正确地拓展已学知识,适时地建立模型归纳所学内容,从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点,在近几年的高考题中都有出现。

球经常和其它空间几何体相结合出题,以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中,学生已经掌握了正方体、长方体的外接球,了解了补形法,但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难,主要是因为不善于抓住几何体的结构特征,不能正确回归外接球定义,寻找球心和半径。

四、教学过程设计(一)、新课引入1、图片展示:生活中的球,并让学生回答球的定义,及球心的定义.2、学生活动:展示长方形外接圆的求法学生思考:1、在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。

,则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】:在空间中,如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。

(根据球的定义确定球心)【注】:小发现:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图:通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义,通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。

空间几何体的外接球

空间几何体的外接球

R
A
2
O
B1
O2
C1
A1
小结
直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的 中点上,找到底面外接圆圆心,求出底面 外接圆半径,再利用勾股定理求外接球半 径.
R2 r2 (h)2 2
O1
O
R
h
2
r O2
棱锥外接球
棱锥外接球
例1
四棱锥P - ABCD的顶点都在球O 的球面上, 四边形ABCD是矩形, PA 平面ABCD, PA 8, AB 3, AD 3 3, 求球O的表面积.
课前导练
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,其
所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球表
面积为多少?
解 : AB a AO1
3 3
a, OO1

a 2
故AO2

R2

AO12
OO12

7 12
a2
S球

4 R2

7 a2
3
C A
O1 D B
R O
A1 a
C1 O2
若一个多面体的各顶点都在一个球的 球面上,则称这个多面体是这个球的 内接多面体,这个球是这个多面体的 外接球。
课前导练
圆柱的 外接球
正方体 外接球
O2
O a
R O1 a
2
R 5a 2
D1
C1
A1
R B1
O a
D
C
A
B
R 3a 2
长方体 外接球
C1
A1
D1 B1
5 O
C D B3 A4
R5 2 2

人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》

人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》

【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ,理 6) 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面,且底面边长为 4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ,则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示,平面四边形 ABCD 中, AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 , 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ,且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷,理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径, 且 SC 2 ,则此棱锥的体积为( )
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 (辽宁卷,理 16) 已知正三棱锥 P ABC ,点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面 体的内切球。

《空间几何体的外接球》(获奖教案)

《空间几何体的外接球》(获奖教案)

《空间几何体的外接球》教学设计一、课标要求三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程的。

基本要求:1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征;2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、教学分析:纵观近几年高考题,几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。

与球有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究三、教学目标1、掌握确定球心、求解半径的方法。

2、通过同类问题的变式探究,培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力,深刻体会化归的数学思想;通过对问题难度的升级及总结,锻炼学生的几何直观和空间想象能力,培养学生的数学直观想象素养.四、教学重难点教学重点:会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径;教学难点:确定多面体外接球的球心并求出半径.五、教法分析本节课针对高三年级学生的认知特点,在遵循启发式教学原则的基础上,借助多媒体用讲授法、讨论法、练习法等教学方法,引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点,由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。

本节课坚持以学生为主体,教学中让学生自主地“做数学”,将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。

从而,使传授知识与培养能力融为一体,在转变学习方式的同时学会数学地思考。

五、教学过程教学环节教学内容与问题设置设计意图复习回顾引入新课回顾下列知识:1.球的表面积公式:_________2.球的体积公式:______________3.长方体体对角线的求法:______________4.利用正弦定理求三角形外接圆的半径:____________5. 球的性质性质1:用一个平面去截球,截面是________;用一个平面去截球面,截线是_____。

大圆截面过________,半径等于_________;小圆截面不过______性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于________.性质3: 球心到截面的距离 d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:____________知识准备。

空间几何体的外接球与内切球解题方法

空间几何体的外接球与内切球解题方法

空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的定义:空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面,简称球。

2.外接球的定义:若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

二'外接球的有关知识与方法1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心).2.结论:结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是球心;结论2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆;结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处;结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径;结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球;结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;结论8:圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径;结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度);三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切,则切点与球心连线与切面垂直。

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾:球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。

外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理,在Rt△OAO'中,OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径(r)的求法:1.三角形:1) 等边三角形:内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解:r=a*(2/3)^(1/2) (其中a为等边三角形的边长)。

2) 直角三角形:外接圆圆心位于斜边的中点处,r=斜边/2.3) 等腰三角形:外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

r=a/(2sin(A/2)) (其中A为顶角)。

4) 非特殊三角形:可使用正弦定理求解,XXX)。

2.四边形:常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。

其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。

几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面,即球心落在过底面外心的垂线上。

练:2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=2,AB=AC=BC,则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,且AA1=4,则此三棱柱外接球的表面积为8π。

本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法,其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。

对于侧棱垂直底面的三棱锥,可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。

补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球,从而求出外接球的半径。

而通过确定底面三角形的外心,则可以通过勾股定理求解外接球的半径。

对于正三棱锥,可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径,然后再利用勾股定理求解外接球的半径。

对于侧面垂直于底面的三棱锥,则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’,并通过勾股定理求解OO’的长度,从而求解外接球的半径。

空间几何体的外接球内切球问题

空间几何体的外接球内切球问题

空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球;底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ,过D 作底面的垂线DP交一侧棱的中垂面于O ,点O 即为外接球的球心。

练习:1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上,若SB ⊥平面ABC ,SB=6,AB=AC=2120BAC ∠=?,则此球的表面积等于。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上,其中△ ABC 是正三角形,AD ⊥平面ABC ,AD=2AB=6则该球的体积为。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上,AB=BC=CD=DA=3,32=AC ,6=BD ,则该球的表面积为()A .π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体,再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习:1.三棱锥O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,且22OA OB OC a ===,则三棱锥O ABC -外接球的表面积为()A .26a π B .29a π C .212a π D .224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点,SA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,1SA AB ==,BC =O 表面积等于(A )4π (B )3π (C )2π (D )π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中,1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆,该圆的半径等于外接球的半径. 练习:1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上,则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上,则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B.13π C.23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

考点36 空间几何体的外接球(解析版)

考点36 空间几何体的外接球(解析版)

考点27 空间几何体的外接球1.墙角模型(1)使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合(2)推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径(2)秒杀公式:222222a b c3aR(a b c R(a44++==、、为长方体的长宽高)正方体的边长)(4)图示过程(3)秒杀公式:2.汉堡模型(1)使用范围:有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,过外心做高的的平行且长度相等,在该线上中点为球心的位置第二步:根据勾股定理可得2 22h R r4=+(3)秒杀公式:2 22h R r4=+(4)图示过程知识理解3.斗笠模型(1)使用范围:正棱锥或顶点的投影在底面的外心上(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h 第二步:在h上取一点作为球心O第三步:根据勾股定理22 222r h R(h R)r R2h+ =-+⇔=(3)秒杀公式:22r h R2h+ =(4)图示过程4.切瓜模型(1)使用范围:有两个平面互相垂直的棱锥(2)推导过程:第一步:分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N,过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心O,取BC的中点为M,连接FM、MN、OF、ON第二步:22222222212l ONMF OA AN ON AN MF R r r4∴=+=+∴=+-为矩形由勾股可得(3)秒杀公式:222212l R r r 4=+- (4)图示过程考向一 墙角模型【例1】(2021·平罗中学高三期末)已知长方体的两个底面是边长为1的正方形,长方体的一条体对角线与底面成45角,则此长方体的外接球表面积为( )A .4πB .6πC .12πD .24π 【答案】A【解析】记该长方体为1111ABCD A B C D -,1BD 为该长方体的一条体对角线,其与底面所成角为45, 因为在长方体1111ABCD A B C D -中,侧棱1DD ⊥底面ABCD ,则1D BD ∠为1BD 与底面所成角,即145D BD ∠=,因为长方体的两个底面是边长为1的正方形,所以222BD AD AB =+=,则12DD BD ==,所以1222BD =+=,又长方体的外接球直径等于其体对角线的长,即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=,所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==.故选:A. 考向分析【举一反三】1.(2020·天津静海区·高三月考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A .12πB .24πC .36πD .144π 【答案】A【解析】因为正方体的外接球的直径2R ==,所以棱长为2的正方体外接球的直径2R ==所以该球的表面积2412R ππ=.故选:A.2.(2020·河南高三月考)已知长方体''''ABCD A B C D -中,''A B =''1B C =,'A B 与平面''ACC A所成角的正弦值为10,则该长方体的外接球的表面积为( )A .4πB .16πC .163πD .323π 【答案】B 【解析】作BE AC ⊥,垂足为E ,连接'A E ,BE .因为平面ABC ⊥平面''ACC A ,平面ABC 平面''ACC A AC =,BE ⊂平面ABC ,所以BE ⊥平面''ACC A ,所以'BA E ∠是'A B 与平面''ACC A 所成的平面角.又2BE ==,'A B ==所以sin ''10BE BA E A B ∠===,解得'AA =4=.设长方体的外接球的半径为R ,则24R =,解得2R =.所以该长方体的外接球的表面积为2244216S R πππ==⨯=.故选B .3.(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥A BCDE -中,四边形BCDE 是边长为2的正方形,3AB =且AB ⊥平面BCDE ,则该四棱锥外接球的表面积为( )A .4πB .174πC .17πD .8π【答案】C【解析】由题意,四棱锥A BCDE -中,四边形BCDE 是边长为2的正方形, 3AB =且AB ⊥平面BCDE ,可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内,其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球,设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R 2R =,解得2R =,所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选:C.考向二 汉堡包模型【例2】(2021·陕西西安市·高三一模)三棱柱111ABC A B C -中,棱1AB AC AA 、、两两垂直,12AA =,底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形,若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上,则球O 的表面积为( )A .8B .10πC .12πD .π【答案】C【解析】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形,所以直角边长为2,所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2=,所以球O 的表面积为2412ππ=,故选:C【举一反三】1.(2021·陕西咸阳市·高三一模)在直三棱柱111ABC A B C -中,2AB BC ==,2ABC π∠=,若该直三棱柱的外接球表面积为16π,则此直三棱柱的高为( ).A .4B .3C .D .【答案】D 【解析】因为2ABC π∠=,所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABCD A B C D -,则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球,外接球的直径等于长方体的体对角线,设球的半径为R ,则2416R ππ=,解得2R =,设直三棱柱的高为h ,则2222422R h =++,即2168h =+,解得h =,故选:D2.(2021·山西吕梁市·高三一模)四面体A BCD -中,DC ⊥面ABC ,3AB BC ==,120ABC ∠=︒,8DC =,则四面体A BCD -外接球的表面积为( )A .100πB .50πC .25πD .91π【答案】A【解析】设ABC 外接圆的圆心为1O ,四面体A BCD -外接球的球心为O ,半径为R连接11,,O C OO OC 由正弦定理可得12sin BC O C BAC =∠,即1332sin 30O C ︒==,1142OO DC ==5R OC ====即四面体A BCD -外接球的表面积为245100S ππ=⨯=故选:A3.(2021·山东德州市·高三期末)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PD ⊥底面ABCD ,O 为对角线AC 与BD 的交点,若2PD =,3APD BAD π∠=∠=,则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________.【答案】16π.【解析】取PA 中点M ,DA 中点E ,连接,ME EO ,则//ME PD ,因为PD ⊥底面ABCD ,所以ME ⊥平面ABCD ,ABCD 是菱形,则AO OD ⊥,所以E 是AOD △的外心,又PD ⊥底面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PD AD ⊥,所以M 到,,,P A D O 四点距离相等,即为三棱锥P AOD -的外接球球心.又2PD =,3APD π∠=,所以24cos 3PA π==,所以2MA MP ==,所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=.故答案为:16π.考向三 斗笠模型【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A .814πB .16πC .9πD .274π 【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上,记为O ,PO=AO=R ,14PO =,1OO =4-R ,在Rt △1AOO 中,1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =, ∴球的表面积814S π=,故选A.【举一反三】1.(2020·江西吉安市·高三其他模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A .812πB .814πC .815πD .817π 【答案】B【解析】如图示:正四棱锥S ABCD -中,高4SN =,底面正方形边长2AB =,设正四棱锥的外接球半径为R ,底面正四边形外接圆半径为r 则r BN ==由OS OB =得:()2224R R =+-,解得:94R =, ∴2814ππ4V R ==. 故选:B. 2.(2021·安徽芜湖市·高三期末)已知正四棱锥的体积为18,侧棱与底面所成的角为45,则该正四棱锥外接球的表面积为___________.【答案】36π【解析】如下图所示,设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ,连接PE 、AC 、BD ,设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ,则AC BD ==,由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心,则PE ⊥平面ABCD ,由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45,则45PAC PCA ∠=∠=,所以,PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形,同理可知,PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形,E 为AC 的中点,12PE AC ==,2ABCD S a =正方形,23111833P ABCD ABCD V S PE a -=⋅=⨯==正方形,解得a =, 232PE a ==,由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==, 即PE AE BE CE DE ====,所以,E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心,球E 的半径为3r PE ==,该球的表面积为2436r ππ=.故答案为:36π.3.(2020·秦皇岛市抚宁区第一中学)已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】64π【解析】过点S 作SE ⊥平面ABC 于点E ,记球心为O .∵在正三棱锥S ABC -中,底面边长为6,侧棱长为∴2632BE =⨯⨯=∴6SE ==.∵球心O 到四个顶点的距离相等,均等于该正三棱锥外接球的半径长R ,∴OB R =,6OE R =-.在Rt BOE 中,222OB BE OE =+,即()22126R R =+-,解得4R =,∴外接球的表面积为2464S R ππ==.故答案为:64π.考向四 切瓜模型【例4】(2021·江西高三其他模拟)已知三棱锥A -BCD 中,侧面ABC ⊥底面BCD ,三角形ABC 是边长为3的正三角形,三角形BCD 是直角三角形,且∠BCD =90°,CD =2,则此三棱锥外接球的体积等于( )A .323πB .643πC .16πD .32π【答案】A【解析】三棱锥A BCD -中,侧面ABC ⊥底面BCD ,把该三棱锥放入长方体中,如图所示;设三棱锥外接球的球心为O ,取BC 的中点M ,BD 的中点N ,三角形ABC 的重心G ,连接OG ,则AM AB ==2233AG AM ===,112OG CD ==,所以三棱锥外接球的半径为2R OA =, 所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ⨯===.故选:A . 【举一反三】1.(2020·内蒙古赤峰市·高三月考)已知三棱锥P ABC -中,1PA =,3PB =,AB =CA CB ==面PAB ⊥面ABC ,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A .143πB .283πC .11πD .12π【答案】B【解析】如图,1PA =,3PB =,AB =∴222PA AB PB +=,2PAB π∠=,所以ABP △的外接圆的圆心为斜边PB 的中点N ,CA CB ==∴ABC 为等腰三角形.取AB 的中点D ,连接CD ,DN ,∴CD AB ⊥,AD BD ==,∴CD =又 面PAB ⊥面ABC ,面PAB ⋂面ABC AB =,CD ⊂面ABC ,∴CD ⊥面PAB ,过点N 作CD 的平行线,则球心O 一定在该直线上.设ABC 的外接圆的圆心为1O ,,则1O 点在CD 上,连接1OO ,由球的性质则,1OO ⊥平面ABC ,则1O OND 为矩形.在ABC中,cos 5CAB ∠==,则sin 5CAB ∠= 所以ABC的外接圆的半径12sin BC O A CAB ===∠所以1O A =1O D ===则1ON O D ==所以球的半径为3OP ===所以三棱锥的外接球的表面积为221284493πππ=⨯=⎝⎭故选:B2.(2020·四川泸州市·高三一模)已知三棱锥A BCD -中,BAC 和BDC 是边长为2的等边三角形,且平面ABC ⊥平面BCD ,该三棱锥外接球的表面积为( )A .4πB .163πC .8πD .203π 【答案】D【解析】取BD 的中点E ,连接,AE DE ,则,AE BC DE BC ⊥⊥,因为平面ABC ⊥平面BCD ,所以可证得AE ⊥平面BCD ,DE ⊥平面ABC ,取BCD △的外心F ,作//FM AE ,则,,,F M E A 四点共面,取ABC 的外心H ,过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ,因为EF 垂直平面ABC ,则HO ⊥平面ABC ,所以点O 到,,,A B C D 四点的距离相等,所以点O 为三棱锥A BCD -外接球的球心,连接OC ,可求得OF HE DF ===2222145333R OD OF DF ==+=+=,所以外接球的表面积为22043S R ππ==. 故选:D.3.(2021·全国高三专题练习)已知三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形,则该三棱锥的外接球表面积为( )A .4πB .163πC .8πD .203π 【答案】D【解析】如图,由已知可得,ABD △与BCD △均为等边三角形,取BD 中点G ,连接AG ,CG ,则AG BD ⊥,∵平面ABD ⊥平面BCD ,则AG ⊥平面BCD ,分别取ABD △与BCD △的外心,E F ,过,E F 分别作两面的垂线,相交于O ,则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心,由ABD △与BCD △均为边长为2的等边三角形,可得11233OE OF CG ===⨯=223CE ∴==,3R OC ∴====, ∴三棱锥A −BCD的外接球的表面积为2220443R πππ⨯=⨯=.故选:D.1.(2020·江西高三其他模拟(理))在三棱锥P ABC -中,AB AC ==120BAC ∠=,PB PC ==,PA = )A .40πB .20πC .80πD .60π【答案】A【解析】在BAC 中,2222cos 24BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠=,即BC =强化练习PB PC ==,∴PBC 为等边三角形根据题意,有如下示意图:如图,设ABC 的外接圆的圆心为1O ,连接1O C ,1O A ,1BC O A H ⋂=,连接PH.由题意可得AH BC ⊥,且112AH O A ==12BH BC ==.∴由上知:PH BC ⊥且PH ==,又222PH AH PA +=, ∴PH AH ⊥,由AH BC H =,PH ⊥平面ABC.设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心,连接1OO ,OP ,OC 过O 作OD PH ⊥,垂足为D ,则外接球的半径R 满足()22222111()R OO CO PH OO OD =+=-+,1A C B O == 1OD O H AH ===,代入解得1OO =210R =,∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2440R ππ=.故选:A.2.(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥A BCDE -中,AB ⊥平面BCDE ,底面BCDE 是边长为2的正方形,且3AB =,则该四棱锥外接球的表面积为( )A .4πB .174πC .17πD .8π【答案】C【解析】由题意,四棱锥A BCDE -中,四边形BCDE 是边长为2的正方形, 3AB =且AB ⊥平面BCDE ,可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内,其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球,设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ,2R =,解得R =,所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=.故选:C. 3.(2020·四川宜宾市·高三一模)已知点P ,A ,B ,C 在同一个球的球表面上,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PB BC ,PC =2,则该球的表面积为( )A .6πB .8πC .12πD .16π 【答案】A【解析】如图,三棱锥P ABC -补体在长方体中,三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球,长方体的外接球的直径2R ====即R =, 则该球的表面积246S R ππ==.故选:A4.(2020·广东广州市·高三月考)在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB CC =,1BC =,点M 在正方形11CDD C 内,1C M ⊥平面1ACM ,则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为( )A .11π2B .7πC .11πD .14π【答案】C【解析】长方体1AC 中,11A D ⊥平面11CDD C ,1C M ⊂平面11CDD C ,∴111C M A D ⊥,又1C M ⊥平面1ACM ,1AC ⊂平面1ACM ,∴11C M AC ⊥, ∵1111AC AD A =,∴1C M ⊥平面11A CD ,而1CD ⊂平面11A CD ,∴11C M CD ⊥, 11CDD C 是正方形,∴M 是1CD 与1C D 交点,即为1CD 的中点,也是1C D 的中点. 1C MC △是直角三角形,设E 是1CC 中点,F 是1BB 中点,则由//EF BC 可得EF ⊥平面1MCC (长方体中棱与相交面垂直),E 是1C MC △的外心,三棱锥11A MCC -的外接球球心O 在直线EF 上(线段EF 或EF 的延长线上).设OE h =,则22222(1)22h h ⎛⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得32h =,∴外接球半径为2r ==, 表面积为21144114S r πππ==⨯=. 故选:C .5.(2020·全国高三月考)三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,AC AB ⊥,1AC =,AB =12AA =,则该三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为( )A B C D .8π【答案】B【解析】如图,取BC 中点1O ,连1BC 交1B C 于点O ,AC AB ⊥,1O ∴为Rt ABC 的外接圆圆心, 3AB =,1AC =,2BC ∴=,ABC ∴外接圆半径为12BC =, 111////OO CC AA ,1AA ⊥平面ABC ,1OO ∴⊥平面ABC ,又1112BB OO ==,∴点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球球心,∴外接球半径R OB ===,∴外接球体积343V R π==. 故选:B.6.(2020·江西赣州市·高三)四面体A BCD -中,AB ⊥底面BCD ,AB BD ==1CB CD ==,则四面体A BCD -的外接球表面积为( )A .3πB .4πC .6πD .12π【答案】B 【解析】如图,在四面体A BCD -中,AB ⊥底面BCD ,AB BD =1CB CD ==,可得90BCD ∠=︒,补形为长方体,则过一个顶点的三条棱长分别为1,12=,则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1.其表面积为2414ππ⨯=.故选:B .7.(2021·天津滨海新区·高三月考)直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上,且2AB AC ==,90BAC ∠=︒,1AA = )A .40πB .32πC .10πD .8π 【答案】A【解析】如图所示,直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上,且2AB AC ==,90BAC ∠=︒,1AA =∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体,其中2AB AC BM CM ====,11AA BB ==1CB ====r .∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.8.(2020·江苏南通市·高三期中)正三棱锥S ABC -中,2SA =,AB =积为( )A .B .4πC .12πD .6π【答案】C【解析】正三棱锥S ABC -中,2SA =,AB =所以222SA SB AB +=,故SA SB ⊥,同理可得SA SC ⊥, SB SC ⊥,以,,SA SB SC 为棱构造正方体,则该棱锥外接球即为该正方体的外接球,如图,所以2222(2)22212R =++=,故球的表面积为2412S R ππ==,故选:C9.(2021·安徽宣城市·高三期末(文))在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,1204BAC AP AB AC ∠====,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是( )A .18πB .36πC .40πD .72π【答案】D 【解析】如图所示,1204BAC AB AC ∠===,,取BC 中点M ,连接AM 并延长到N 使AM =MN ,则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形,AN =BN =CN ,点N 是ABC 的外接圆圆心,过N 作平面ABC 的垂线NG ,则球心一定在垂线NG 上,因为PA ⊥平面ABC ,则PA //NG ,PA 与NG 共面,在面内作PA 的中垂线,交NG 于O ,则O 是外接球球心,半径R =OA ,Rt AON 中,12ON AP ==4AN =,故R ==故外接球的表面积2441872S R πππ==⨯=.故选:D.10.(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上,且4AB =,16AA =,30ACB ∠=︒,则此直三棱柱的外接球O 的表面积是( )A .25πB .50πC .100πD .500π3【答案】C【解析】如图所示:设点O '为ABC 外接圆的圆心,因为30ACB ∠=︒,所以60AO B '∠=,又O A O B r ''==,所以AO B '△是等边三角形,所以4r O A O B AB ''====,又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上,所以外接球的半径为5R ==,所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==,故选:C11.(2021·平凉市庄浪县第一中学高三其他模拟(理))已知90ABC ∠=︒,PA ⊥平面ABC ,若1PA AB BC ===,则四面体PABC 的外接球(顶点都在球面上)的体积为( )A .πB C .2π D .2 【答案】D【解析】取PC 的中点O ,连接OA ,OB ,由题意得PA BC ⊥,又因为,AC BC PC AC A ⊥⋂=,所以BC ⊥平面PAC ,所以BC PB ⊥,在1,2Rt PBC OB PC ∆=, 同理12OA PC =,所以12OA OB OC PC ===,因此P ,A ,B ,C 四点在以O 为球心的球面上,在Rt ABC ∆中,AC ==在Rt PAC ∆中,PC ==O 的半径122R PC ==,所以球的体积为343π=⎝⎭,故选:D.12.(2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟(理))在四棱锥P ABCD -中,//BC AD ,AD AB ⊥,AB =6AD =,4BC =,PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为( )A .60πB .40πC .100πD .80π【答案】D 【解析】如图,取AD 的两个三等分点1O 、E ,连接BD 、1O C 、CE ,设1BD O C H =,连接PH 、AH . 则1123AO AD ==,14O D BC ∴==,又//BC AD ,1//BC O D ∴, 所以,四边形1BCDO 为平行四边形,1O C BD H =,H ∴为BD 的中点,所以,1122AH BH DH BD =====由勾股定理可得14O B ===,则11O B O D =,在1Rt O AB △中,11tan AB AO B AO ∠==13AO B π∴∠=, //BC AD ,13CBO π∴∠=,又11BC O D O B ==,则1O BC △为等边三角形,1114O C O B O D ∴===,则1O 是BCD 的外接圆的圆心.因为PA PB PD ===H 为BD 的中点,PH BD ∴⊥,PA PB =,AH BH =,PH PH =,PAH PBH ∴≅△△,2PHA PHB π∴∠=∠=, PH AH ∴⊥,又PH BD ⊥,AHBD H =,PH ∴⊥平面ABCD ,且6PH ===.设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心,连接1OO 、OP 、OD ,过O 作OF PH ⊥,垂足为F ,则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+,设1OO x =,则()221664x x +=-+,解得2x =,从而222420R x =+=,故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=.故选:D.13.(2021·固原市第五中学高三期末(理))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为24,则这个球的体积为____________.【答案】【解析】设正方体边长a ,正方体外接球的半径为R ,由正方体的表面积为24,所以2624a =,则2a =,又R =,所以R ,所以外接球的体积为:334433R ππ==.故答案为:. 14.(2021·安徽池州市·高三期末(理))已知四棱锥A BCDE -的底面BCDE 是边长为2的正方形,DE ⊥平面ABE ,2AE =,AC =A BCDE -的外接球的表面积为___________.【答案】283π 【解析】如图所示:∵DE ⊥平面ABE ,BC ⊥平面ABE ,∴90ABC ∠=︒,则有222AB BC AC +=,解得2AB =,又2AE =,构造正三棱柱ABE A CD '-,其上下底面边长为2,高为2,则其外接球的球心是上下中心连线的中点,设外接球半径R ,则22222113713R O E OO ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以外接球的表面积为23428S R ππ==. 故答案为:283π15.(2021·吉林四平市·高三期末)已知直三棱柱1111,2,2,ABC A BC AB AC BC AA -====其外接球的体积为____.【解析】已知AB =AC ,∴三角形ABC 为等腰三角形,取M 为BC 的中点,连接AM ,则AM ⊥BC ,由已知得BC =BM =,又2,60AB BAM =∴∠=︒,∴120BAC ∠=︒,再由正弦定理42sin BC r A ===,(r 为三角形ABC 外接圆半径),r =2, 设两底面的外接圆的圆心分别为12,O O ,外接球球心O 为12O O的中点,外接球的半径R OA ===所以球的体积为343R π=,. 16.(2021·河南郑州市·高三一模)已知A BCD -是球О的内接三棱锥,6,9,AB AC BC BD CD AD ======则球О的表面积为_______________________.【答案】84π【解析】取BC ,AD 的中点,M N ,因为6,9,AB AC BC BD CD AD ======所以AM BC ⊥,DM BC ⊥,所以BC ⊥平面AMD ,MN 既是BC ,又是AD 的垂直平分线,所以三棱锥A BCD -的外接球的球心在MN 上,且平面AMD ⊥平面BCD ,点E 是BCD △的中心,:1:2ME ED =,OE MD ⊥,且OE MN O =,AM DM ==,9AD =,所以2MN ==,OME ADN,所以92OE ME OE DN MN =⇒=,解得:3OE =,则三棱锥外接球半径R OD ====,则球O 的表面积2484S R ππ==.故答案为:84π17.(2021·石嘴山市第三中学高三月考)在三棱锥D ABC -中,CD ⊥底面ABC ,,5,4AC BC AB BD BC ⊥===,则此三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】34π【解析】因为CD ⊥底面ABC ,所以CD AC ⊥,CD BC ⊥,又AC BC ⊥,所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,CD CA CB为棱的长方体的外接球,其直径为长方体的对角线,因为3CD ===,3AC ===,所以外接球的直径2R =所以外接球的表面积为243434R πππ=⨯=.故答案为:34π18.(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知三棱锥A BCD-中,2AB CD AC BD ====,AD BC ==__________.【解析】由题可知,该三棱锥是由长方体的面对角线构成,如图,设长方体的棱长分别为,,a b c ,则2222225,4,3a b b c a c +=+=+=, 则2226a b c ++=,设球半径为R ,则2R ==2R =,则球的体积为343R π=..19.(2020·山西高三月考(文))已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54,6AB =,记三棱柱111ABC A B C -的外接球为球1O ,则外接球1O 的表面积是__________.【答案】60π【解析】因为正三棱柱111ABC A B C -的底面积216sin 602S =⨯⨯︒=底面外接圆半径62sin 60r ==︒所以正三棱柱111ABC A B C -的高V h S ==所以外接球1O 的半径R ==,则24π60πS R ==, 故答案为:60π.20.(2020·济南市·山东省实验中学高三月考)在三棱锥P ABC -中,侧棱PA ⊥底面,120,1ABC BAC AB AC ∠===且2,PA BC =则该三棱锥的外接球的体积为__________. 【答案】323π 【解析】在ABC 中,由余弦定理可知:BC === 因为120,1BAC AB AC ∠===,所以ABC 是顶角为钝角的等腰三角形, 设ABC 的外接圆的直径为AD ,由正弦定理可知:2sin sin120BC AD BAC ︒===∠,因为侧棱PA ⊥底面ABC , 2PA BC ==,所以三棱锥P ABC -的外接球的直径为PD ,由勾股定理可知:4P D ===,所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为:1422R =⨯=, 所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为:3344322.333V R πππ==⨯= 故答案为:323π。

空间几何体外接球专题讲解

空间几何体外接球专题讲解

专题 外接球一、知识衔接——外接圆 1.平面几何图形,如三角形、正方形、长方形等,存 在外接圆;当然,并不是所有的平面几何图形均有 接圆;在四边形中,若不满足对角互补,则该四边形 便不存在外接圆.B 的外接圆.外接圆的圆心到各个顶点的距离相等,均 代表外接圆的半径.反之,若一个点到各个顶点的距 离相等,则该点即为外接圆的圆心.外接圆的圆心可 能在平面几何图形的内部或外部或边上. 3.圆的问题多围绕圆的半径展开.外接圆多以三角形 的外接圆居多.求三角形外接圆的半径有两大思路: ①确定圆心再求半径;②直接利用正弦定理求半径. 二、类比推新——外接球 1.存在外接球;当然,不是所有的空间几何体都有外接球. S2.定义:经过空间几何体所有顶点的球称为该空间 几何体的外接球.外接球的球心到各个顶点的距离 相等,均为外接球的半径.反之,若空间中有一个点 到各个顶点的距离相等,则该点即为外接球的球心. 3.外接球的问题多涉及外接球的半径,而求半径需 先确定外接球的球心.可以说,外接球问题的本质就 是球心位置的确定. 三、常见空间几何体的外接球 1.直三棱柱: A 1 B 2 O 2 C 1OA B O 1 C在直三棱柱中,上下两个地面三角形外心连线的中 点即为直三棱柱外接球的球心. 2.正三棱锥(正四棱锥) SO` A B O 1 C 正三棱锥(正四棱锥)外接球的球心在正三棱锥(正四 棱锥)的高上,为高上的某一点,不见得必为高的中 点,需结合已知条件求解.3.正方体(长方体)D 1 C 1A 1 B1 OD CA B正方体(长方体)体对角线的中点即为正方体(长方体) 外接球的球心. 四、填补图形求外接球 对于有些空间几何体,可将其补充为直三棱柱、正 方体、长方体等;补充后的几何体与原几何体共外 接球,从而可转化为求直三棱柱、正方体、长方体 等的外接球. S S M N ⟹A AB C B C在三棱锥S −ABC 中,侧棱SA ⊥平面ABC .可将三棱锥S −ABC 补充为直三棱柱SMN −ABC ,二者共外接球,求三棱锥外接球即求直三棱柱外接球. S S O ⟹ M A A D B D B C C在四棱锥S −ABCD 中,侧棱SA ⊥平面ABC .在上述情况下,可将四棱锥补充为直四棱柱(正方体 或长方体),且二者共外接球.求四棱锥的外接球等价 于求直四棱柱(正方体、长方体)的外接球.五、切面圆求外接球在圆中: 取弦AB ,则弦AB 平分线n 必过圆心.再取弦CD ,则弦CD 的 垂直平分线m 也必过圆 心,要求两弦不平行. 则两弦垂直平分线的交点即为圆的圆心,可以以此 确定圆心位置.同样地,在球中:对球切割,切面均为圆;当切面不经过球心O 时,所得 O 切面圆称为小圆;将球心O与小圆圆心连接,所得连线 O 1必与小圆所在平面垂直.据此,在球上任取两个不平行的切面圆,过两圆的 圆心作两圆所在平面的垂线,则两面的垂线必相交 且交点即为外接球的球心. 由上述可知,确定外接球的球心只需确定小圆圆心 与垂线. 在实际操作中,确定外接球的球心,即确定空间几 何体某个面的外接圆的圆心与过圆心的垂线.原因 在于对空间几何体的外接球切割时,可以就地取材 沿着空间几何体的某个面切割,所得切面圆即为该 面的外接圆,圆心即为该面对应多边形的外心.【例1】三棱锥D−ABC中,AB=CD=√6,其余四条棱长均为2,则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为()A.7πB.14πC.21πD.28π解析:[法一填补几何体]结合三棱锥D−ABC的棱长,可将其填补为一个底面为棱长√3的正方形,高为1的长方体,如下图所示:A其中,AD111三棱锥D−ABC与长方体AD1BC1−FCED共外接球. 对于长方体而言,体对角线C1D的中点即为外接球的球心,体对角线长为外接球的直径长.∴2R=√DD12+D1A2+BD12=√7即R=√72故外接球的表面积S=4πR2=7π.[法二切面圆求外接球]DECH OA GM B在∆ACB与∆ADB中,∵AD=BD=AC=BC=2且AB为两三角形的公共边∴∆ADB≅∆ACB且为等腰三角形.取AB的中点M,连接MD,MC,则MD⊥AB,MC⊥AB;结合外接圆的性质及三角形的形状,可知∆ABD与∆ABC外接圆的圆心在底边上的高MD,MC 上,不妨设为G,H,分别过G,H作平面ABC,平面ABD的垂线,两垂线的交点设为O,即为外接球的球心. ⋯⋯外接球球心位置的确定在Rt∆BMC中,∵BC=2,BM=√62∴MC=√102且sinB=MCBC =√104由正弦定理可知:∆ABC的外接圆的半径满足2r=AC sinB =4√105即CG=r=2√105MG=MC−GC=√1010∵∆ABD与∆ABC全等∴DM=MC=√102DH=CG=2√105MH=MG=√1010连接MO并延长交CD于E.∵OH⊥平面ABD,OG⊥平面ABC∴∆MHO与∆MGO为全等的直角三角形,故MO为∠GMH的角平分线,又因为∆DMC是以MD=MC=√102为两腰的等腰三角形,故E为底边DC的中点在Rt∆MEC中,MC=√102,EC=√62∴ME=1tan∠CME=ECME=√62在Rt∆MGO中,tan∠OMG=OGMG=√62∴OG=√1510在Rt∆OGC中,OG=2+GC2=√72即为外接球半径故表面积S=4πR2=7π ⋯⋯算半径答案:A【例2】已知四棱锥P−ABCD的外接球为球O,底面ABCD为矩形,面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=AD=2,AB=4,则球O的表面积为________.解析:[法一填补几何体求外接球]根据四棱锥P−ABCD的结构特征,可将该四棱锥填补为正三棱柱:P1BDORP AO1rD四棱锥P−ABCD与正三棱柱PAD−P1BD共外接球对于正三棱柱PAD−P1BD而言,外接球球心为上下两个全等三角形外心连线的中点,如图中O,O1为底面正三角形的外心.在等边∆PAD中,外接圆半径r满足2r=PDsinA=4√33∴r=2√33在Rt∆OO1A中,OO1=12AB=2∴OA =R =√OO 12+r 2=4√33故球O 的表面积为S =4πR 2=64π3[法二 切面圆求外接球]C BO 1 O D M O 2A P 由已知条件可知:该四棱锥有两个面上的多边形较 特殊,即∆PAD 为正三角形,四边形ABCD 为长方形; 沿着平面PAD 与平面ABCD 切割外接球,所得切面圆为二者的外接圆,圆心为二者的外心. 对于正∆PAD ,其外心为高的三等分点;对于长方形ABCD ,其外心为两条对角线的交点. 取棱AD 的中点M ,取长方形ABCD 对角线AC 的中点O 1连接O 1M ,MP ,则MP ⊥AD ,O 1M ⊥AD在MP 上取靠近M 的三等分点O 2,则O 2即为∆PAD 的外心. ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴MP ⊥平面ABCD ,O 1M ⊥平面PAD 过O 2作OO 2//O 1M ,过O 1作O 1O//MP ,则O 1O ⊥平 面ABCD ,O 2O ⊥平面PAD ,交点O 为外接球的球心. 在四边形MO 2OO 1,∵ O 1M//O 2O ,O 2M//O 1O 且O 1M ⊥O 2M ∴ 四边形MO 2OO 1为长方形 ∴OO 2=12AB =2在Rt∆OO 2P 中,O 2P =23MP =2√33外接球半径R =OP =√OO 12+O 2P 2=4√33所以外接球的表面积为S =4πR 2=64π3[]x取AD 的中点O ,连接OP ,取BC 的中点O 1,连接OO 1则OP ⊥AD ,OO 1⊥AD .∵面PAD ⊥面ABCD ,且面PAD ∩面ABC =AD ∴OP ⊥平面ABCD ,OO 1⊥平面PAD 即直线OA , OP ,OO 1两两垂直,以OA ,OP ,OO 1所在直线为x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则:A(1,0,0),D(−1,0,0),P(0,√3,0)与 B(1,0,4).设外接球球心M(x ,y ,z),半径为R ,则有:{√(x −1)2+y 2+z 2=R √(x +1)2+y 2+z 2=R √x 2+(y −√3)2+z 2=R√(x −1)2+y 2+(z −4)2=R解得:x =0,y =√33,z =2 R =4√33故外接球的表面积S =4πR 2=64π3答案:64π3【模拟练习】 1.已知侧棱长为√2的正四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在同一个球面上,且球心O 在地面正方形上, 则球O 的表面积为( )A.4πB.3πC.2πD.π 2.已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上 且AB =BC =√2,AC =2,DC =2√3,则这个四面体的体积为( ) A.23B.5√33C.4√33D.2√333.已知空间四边形ABCD ,∠BAC =2π3,AB =AC =2√3,BD =CD =6,且平面ABC ⊥平面BCD ,则空 间四边形ABCD 的外接球的表面积为_________.4.[湖南师大附中2018届高三模拟]三棱锥P −ABC 中, PA 、PB 、PC 互相垂直,PA =PB =1,M 是线段BC 上一个动点,若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值 的最大值为√62,则三棱锥P −ABC 的外接球的表面 积为( )A.2πB.4πC.8πD.16π5.已知四棱锥P−ABCD中,平面PAD⊥平面AB6.三棱锥P−ABC中,AB=BC=√15,AC=6,PC CD,其中ABCD为正方形,∆PAD为等腰直角三角⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积形且PA=PD=√2,则四棱锥P−ABCD外接球为()的表面积为() A.25π3B.25π2C.83π3D.83π2A.10πB.4πC.16πD.8π8.在三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=120°且AP=√2,AB=2,M是线段BC上一个动点,线段7.空间四点A、B、C、D都在球心为O的球面上且PM长度最小值为√3,则三棱锥P−ABC的外接球的表AD⊥平面ABC,AD=2,AB=BC=AC=2则面积为()球O的表面积为() A.9π2B.40πC.9√2πD.18πA.32π3B.28π3C.16π3D.4π。

人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》

人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球,球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线:
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
多面 体 棱柱
棱锥 棱台
两个球面相交公共部分为一个圆周 若一个图形存在两个外接球,则此 图形为存在外接圆的平面图形。
三个问题:
空间几何体若存在外接球, 则外接球只有唯一一个
设底面正方形的中心为 解: P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
1、空间简单几何体有没有外接球? 2、空间简单几何体如果存在外接球,外接球有几个? 3、空间简单几何体如果存在外接球,外接球半径怎么求?
过圆心作此圆面的垂线, 垂线上的点到此圆周上各点的距离相等
O R d A r R
O'
r B
旋转体的外接球:其中 O1O2 =h
O1 r1
O1 r1 B
O1 d1
r1=r2=r h h1=h2= 2 h R2=r2+( )2 2

空间几何体的外接球与内切球

空间几何体的外接球与内切球

空间几何体的外接球与内切球1正方体的内切球:设正方体的棱长为a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。

(1)截面图为正方形EFGH 的内切圆,得2a R =; (2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆O 为正方形EFGH 的外接圆,易得a R 22=。

(3)正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面1AA 作截面图得,圆O 为矩形C C AA 11的外接圆,易得a O A R 231==。

类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc 图4PCO 2BA方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式2222)2(c b a R ++=,即2222c b a R ++=,求出R (1)在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。

图3图4图5(2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥S ABC-中,M N、分别是棱SC BC、的中点,且MNAM⊥,若侧棱23SA=,则正三棱锥ABCS-外接球的表面积是(4)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是(5)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:如图5,⊥PA平面ABC解题步骤:第一步:将ABC∆画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:1O为ABC∆的外心,所以⊥1OO平面ABC,算出小圆1O的半径rDO=1(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得图5A DPO1OCBr C c B b A a 2sin sin sin ===),PA OO 211=; 第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=;②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2.题设:如图6,7,8,P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上,顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤:第一步:确定球心O 的位置,取ABC ∆的外心1O ,则1,,O O P 三点共线;第二步:先算出小圆1O 的半径r AO =1,再算出棱锥的高h PO =1(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理:21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=,解出R1. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A .π3 B .π2 C .316πD .以上都不对2. 在四面体S ABC -中,ABC SA 平面⊥,,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为( )π11.A π7.B π310.C π340.D3.已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,O 的体积等于 为( ) .4.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABCD ,AB ⊥BC ,SA =AB =1,BC =2,则球O 的表面积等于( )A .4πB .3πC .2πD .Π5.正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为6.在三棱锥ABC P -中,3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为( ) A .π B.3π C. 4π D.43π7.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( )A A .2 B.3 C .2 D .28.点A ,B ,C ,D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD ⊥平面ABC ,AD =2AB =6,则该球的体积为( ) A .323π B .48π C .643π D .163π 9.10.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .68πB .64πC .6πD 6π类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)图9-1ACBP图9-2AO 1OCBP图9-3PAO 1OCB图9-4AO 1OCBP1.题设:如图9-1,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径)第一步:易知球心O 必是PAC ∆的外心,即PAC ∆的外接圆是大圆,先求出小圆的直径r AC 2=; 第二步:在PAC ∆中,可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,求出R2.如图9-2,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径)21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3.如图9-3,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径),且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上,顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤:第一步:确定球心O 的位置,取ABC ∆的外心1O ,则1,,O O P 三点共线;第二步:先算出小圆1O 的半径r AO =1,再算出棱锥的高h PO =1(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理:21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=,解出R4.如图9-3,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径),且AC PA ⊥,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=;②2122OO r R +=⇔212OO r R +=1三棱锥ABC P -中,平面⊥PAC 平面ABC ,△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形,则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .2.已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ,则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 。

几何体外接球精美讲义

几何体外接球精美讲义

第二讲几何体的外接球和内切球问题※基础知识:1.常见平面图形:正方形,长方形,正三角形的外接圆和内切圆长方形(正方形)的外接圆半径为对角线长的一半,正方形的内切圆半径为边长的一半;正三角形的内切圆半径:]外接圆半径:-33a三角形面积:、芦正三角形三心合一,三线合一,心把高分为2:1两部分。

■■ I ■ I —2.球的概念:概念1:与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球•,定长叫球的半径;与定点距离等于定长的点的集合叫做球面• 一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球o或L O .概念2:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面,球面所围成的几何体.■ . X ' I -°叫做球体,简称球。

3.球的截面:用一平面:去截一个球0,设00,是平面〉的垂线段,O 为垂足,且00 =d,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以r二R2-d2为半径的一个圆,截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆4 .空间几何体外接球、内切球的概念:定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。

定义2 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

长方体的外接球正方体的内切球5.外接球和内切球性质:(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合。

(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

(4)基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。

(5)体积分割是求内切球半径的通用做法。

____________________________________________________________________________________________________ / ! f、L 3" h J ” _;____________________________________________________________________________2 4 36.公式:球的表面积公式:S=4「:R ;球的体积公式: 7 =H R312,2 2长方体的外接球半径公式:R「a b C,其中a,b,c分别为长方体共顶点的3条棱2长2正棱锥的外接球半径公式:R = a,侧棱2=2R外h正棱锥,其中a为侧棱长,h为正棱锥的2h高正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。

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2)在长方体中画出与长方体共顶点的四面体: 四个面都是直角三角形的四面体
3)在长方体中画出与长方体共顶点的四面体: 对棱相等: 其中一条棱与一个面垂直的四面体
【例题】:在四面体中 ABCD ,共顶点的三条棱两两垂直, 其长度分别为 1, 6 , 3 ,若该四面体的四个顶点在一个球面上, 求这个球的表面积。
练习:
例题:已知四面体 A1ABC的四个顶点都在球 O的表面上, A1A 平面ABC,ABC是边长为3的等边三角形,若 A1A 2,则球O的表面积为多少?
例题:正四面体的各个棱长为a, 求其外接球半径。
【举一反三】 若正四面体的中D-ABC中,二面角A-BC-D的 大小变为90度,求变化之后的四面体D-ABC 的外接球半径。
一、球心投影面是普通三角形
O
一、【知识复习】常见多面体的外接球
长方体 直棱柱 正棱锥

(在图中 画出外接 球心位置 ,并画出 相应需要 的辅助线 ) 外接球球 心位置 球半径 如果长方体的长宽高a,b,c, 外接球半径是多少?外接球 半径是多少? 如果底面外接圆半径为r, 棱柱高为h,外接球半径 R。它们三个之间有什么 样的等量关系? 如果底面外接圆半径为r, 高为h,外接球半径R。 它们三个之间有什么样的 等量关系?
柱体外接球球心
例题:已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的6个顶点都在球 O的球面上,若 AB 3, AC 4,AB AC,侧棱AA1 12,则球O的表面积为多少?
二、补形法
(1)在长方体中画出与长方体共顶点的四面体: 从一个顶点出发的三条侧棱两两互相垂直 的四面体
小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂 直,则可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是 长方体的体对角线的长即为外接球的直径
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