索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型

The Solow Growth Model

基本内容

1 索洛模型的基本假定

2 离散时间的索洛模型

3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型

5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长

7带技术进步的索洛模型

8比较动态分析

1 索洛模型的基本假定

● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.

● 其核心假定是新古典总的生产函数.

家庭与生产 I

● 封闭经济,唯一的最终产品.

● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....

● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.

● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.

● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.

家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生

● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表

示.

● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为

(1)

Y T F K t L t A t

()[(),(),()]

●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多

的产品.

●()

A t可以理解为技术.

●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.

关键假设1

Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规

模报酬不变) 生产函数3:F R R +

+→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足

2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡

>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.

● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.

复习

定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有

(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的

m 次齐次函数.

定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与

y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有

()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+

同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.

市场结构与市场出清 I

●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.

●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .

●劳动力市场出清条件:

())L t L t =

上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.

●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为

()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-

市场结构与市场出清II

●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.

●记t 期的资本租赁价格()R t .

●资本市场出清条件:

()()s d K t K t =

LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定

●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K

●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.

●利率r(t)

●折旧率δ

●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.

厂商优化

厂商优化 I

●考虑代表性厂商的最大化问题:

0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--

●注意:

●上述最大化问题中的变量是总量.

●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.

●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，

()w t 与()R t 是给定的.

●凹的问题,因为F 是凹的.

厂商优化 II

●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:

()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)

()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)

●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.

●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租

赁价格

()R t 和工资率()w t 的函数.

厂商优化 III

命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+

●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.