2014.12.1正切函数图象和性质全总结

诱导公式、三角函数的图象和性质全总结正切函数的图像题型1：三角函数的图象变换例1、做出下列函数的图像（1）x y tan -= （2）()x y --=tan练、1、在区间（－π23，π23）内，函数x y tan =与函数x y sin =图象交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．52、函数在一个周期内的图像是（ ）题型2：三角函数的单调性例1、写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性：(1)1tan()26y x π=-； (2)tan(2)4y x π=-．例2、作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间．练、1、下列命题中正确的是 ( )A ． x y tan =在第一象限单调递增．B ． 在x y tan =中，x 越大，y 也越大C ． 当x ＞0时，x tan ＞0．D ． x y tan =的图象关于原点对称 2、使函数y=tanx 和y=sinx 同时为单调递增函数的区间是．3、已知函数y =tan ωx 在(-2π,2π)内是单调减函数,则ω的取值范围是 ( ) (A)0<ω≤ 1 (B) -1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤ -14、求下列函数y =5、观察正切曲线，满足条件1tan <x 的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ( ) A ．(2k π-4π,2k π+4π) B ．(k π,k π+4π) C ．(k π4π-,k π+4π) D ．(k π+4π,k π+43π)6、观察正切曲线，满足条件3tan >x 的x 的取值范围是．题型3：求与正余弦函数有关的定义域问题例、求函数y=lg （tanx-3）+3cos 2+x 的定义域． 练、1、函数y =lgtan 2x的定义域是 ( ) (A){x |k π<x <k π+4π,k ∈Z} (B) {x |4k π<x <4k π+2π,k ∈Z} (C) {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z} (D)第一、三象限 2、函数xy tan 11-=的定义域是．3、求函数()()3tan 13tan 2-++-=x x x f 的定义域．4、若直线2π⋅=a x ()1≤a 与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42tan πx y 图象不相交，则=a．5、试求函数 的定义域，并作出区间上的图像．题型4：求正余弦函数的周期例．求下列函数的单调区间： （1）y =tanx ；（2）y =｜tanx+1｜练、1、直线y = a （a 为常数）与y = tan ωx （ω>0）的相邻两支的交点距离为 A ．πB ．ωπ C.ωπ2 D ．与a 有关的值 2、在下列函数中,同时满足(1)在(0,2π)上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是 ( ) (A) y =|tanx | (B) y =cos x (C) y =tan21x (D) y =－tanx3、函数的最小正周期是____________．题型5：求正余弦函数的最值例、函数y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; 练、1、函数⎥⎦⎤⎝⎛-∈=4,3,tan ππx x y 的值域是 A ．(]1,∞- B ．(]1,3- C ．()+∞∞-, D ．()+∞-,32、已知 ．求函数的值域．3、函数 的值域是__________．题型6：利用单调性，比较正余弦函数值的大小例、下列不等式中，正确的是 A ． tan 74π＞tan 73πB ． tan(-413π)＞tan(-512π) C ． tan 4＜tan3 D ． tan281°＞tan665°练1、已知a =tan1,b =tan2,c =tan3,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) a <b <c (B) c <b <a (C) b <c <a (D) b <a <c 2、不通过求值，比较下列各式的大小 （1）tan(-5π)与tan(-37π) (2)tan(78π)与tan (16π)3、4tan ,3tan ,2tan ,1tan 由小到大排列为．4、比较大小：（1）ο125tan 与ο137tan ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-34tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-511tan π。

题型7：求正切函数的对称轴对称中心例、求函数y=3tan （2x+3π）的对称中心的坐标．练、1、求函数y=tan （2x-3π）的单调区间．题型8：三角函数寄偶性练、1、函数y=3tan(2x +3π)的对称中心的坐标是 ．2、若函数)0(33tan ≠⎪⎭⎫⎝⎛-=a ax y π的最小正周期为2π，则=a ．3、函数的图像对称于（）A．原点B．轴C．轴D．直线题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。

解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）。

∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z }。

（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。

又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。

故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z }。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。

当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数。

当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的。

无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零。

所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。

①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

解析：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω，又 )(x f Θ的最大值。

4)12(=πf Θ， 224b a +=∴ ① ，且 122cos b 122sin a 4π+π=②，由 ①、②解出 a =2 , b =3.(2) )32sin(42cos 322sin 2)(π+=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ，)32sin(4)32sin(4πβπα+=+∴， 32232πβππα++=+∴k ， 或)32(232πβπππα+-+=+k ，即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6ππβα+=+k ，33)6tan()tan(=+=+∴ππβαk )(Z k ∈。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值例9．（2000京、皖春理，10）函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是（ ）A ．22－1 B ．22＋1 C ．1－22D ．－1－22 解析：B ；221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx x x y例1．比较下列各组三角函数的值的大小 （1）sin194°和cos160°；（2）)1543(π-ctg 和)1974(π-ctg （3）)83sin(sin π和)83sin(cos π；（4）tg1，tg2和tg3；例2．求下列各函数的单调区间 （1）)32cos(2π+-=x y ；（2）x x y 2cos 32sin 1+-=（减区间） （3）x x y sin sin 2+-=； （4）)43cos(log 1ππ+=x y （增区间）例3. 求下列函数最小正周期（1）)2(cos 2+=x y π；（1）T=1； （2）a x ctg a x tgy -=；（2）2||xa T =； （3）)6sin()3sin(x x y -+=ππ；（3）T=π； （4）x x y 44sin cos -=；（4）T=π； （5）xx y sin 1cos +=；（5）T=2π；（6）x tg x tg y 21222+=；（6）2π=T ； （7）y=|sin2x|；（7）2π=T ；例4.求函数)tan 1(sec )tan 1(sin 422x x x x y +-=的周期。

例5．已知函数)(3sin)(N n n x f ∈=π， 求：f(1)+f(2)+f(3)+……+f(100)的值。

例6．求下列函数的最小正周期 （1）|)32sin(|π-=x y （2）|21)32sin(|+-=πx y例7．函数)252sin(π+=x y 的图像的一条对称方程是（）。

A ．2π-=x B ．4π-=xC ．8π=xD ．π45=x例8．函数)321(π-=x tg y 在一个周期内的图象是（）例4．已知函数R x x x x y ∈++=，1cos sin 23cos 212， （1）当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到（2000年高考，难度0.70）1．已知函数x x x x x f 4466cos sin cos sin )(+++=求（1）f （x ）的值域 （2）f （x ）的最小正周期 （3）f （x ）的单调区间. 2．判断下列函数的奇偶性。