人教版七年级数学下册第六章《实数》同步练习(含答案)

第六章 实数 6．1 平方根 第1课时 算术平方根
基础题
知识点1 算术平方根
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2
＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0．
1．(2017·桂林)4的算术平方根是( B )
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．±2 2．(2018·南京)9
4
的值等于( A ) A.3
2
B ．－32
C ．±32
D.8116
3.0.49的相反数是( B )
A ．0.7
B ．－0.7
C ．±0.7
D ．0
4．下列说法正确的是( A )
A ．因为52
＝25，所以5是25的算术平方根
B ．因为(－5)2
＝25，所以－5是25的算术平方根
C ．因为(±5)2
＝25，所以5和－5都是25的算术平方根 D ．以上说法都不对
5．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)1； (3)9
64
； (4)0.01.
解：(1)因为112
＝121，所以121的算术平方根是11，即121＝11.
(2)因为12
＝1，所以1的算术平方根是1，即1＝1. (3)因为(38)2＝964，所以964的算术平方根是3
8
，即
964＝3
8
. (4)因为(0.1)2
＝0.01，所以0.01的算术平方根是0.1，即0.01＝0.1.
6．求下列各式的值： (1)81； (2)
144
289
； (3) 1 000 000. 解：(1)因为92
＝81，所以81＝9. (2)因为(1217)2＝144
289
，所以
144289＝12
17
. (3)因为1 0002
＝1 000 000， 所以 1 000 000＝1 000.
知识点2 估计算术平方根
一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围．具体地说，先找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，分别求其算术平方根，即可确定所要求的数的算术平方根在哪两个整数之间． 7．(2017·柳州期末)估算65的值介于( D )
A ．5到6之间
B ．6到7之间
C ．7到8之间
D ．8到9之间
8．一个正方形的面积为50 cm 2
，则该正方形的边长约为( C )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
9用“>”或“<”填空)．
知识点3 用计算器求一个正数的算术平方根
10．我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根，其操作方法是顺序进行按键输入：a＝.小明按键输入16＝显示的结果为4，则他按键输入1600＝后显示的结果为40．
11．用计算器求下列各式的值(结果精确到0.001)：
(1)800；(2)0.58；(3) 2 401.
解：(1)28.284.(2)0.762.(3)49.000.
易错点对算术平方根的意义理解不清
12．(－6)2的算术平方根是( A )
A．6 B．±6 C．－6 D. 6
13．(2018·安顺)4的算术平方根为( B )
A．± 2 B. 2 C．±2 D．2
中档题
14．下列各数，没有算术平方根的是( B )
A．2 B．－4 C．(－1)2D．0.1
15．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( D )
A．1 B．－1 C．0 D．0或1
16．(2017·广州期中)已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( D ) A．a＋1 B.a＋1 C．a2＋1 D.a2＋1
17．(2017·潍坊)用计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于________之间( A )
A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B
18．(2017·广州四校联考期中)已知a，b为两个连续整数，且a<15<b，则a＋b的值为7．
19．(教材P41探究变式)如图，将两个边长为3的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个三角形拼成一个大的正
20．(教材P43探究变式)≈2.284，521.7≈22.84，填空：
(1)0.052 17≈0.228__4，
(2)若x≈0.022 84，则x≈0.000__521__7．
21．比较下列各组数的大小：
(1)12与14；(2)－5与－7；
(3)5与24；(4)24－1
2
与
3
2
.
解：(1)12＜14.
(2)－5＞－7.
(3)5＞24.
(4)24－1
2
＞
3
2
.
综合题
22．(教材P43例3变式)国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．
解：这个足球场能用作国际比赛．理由：
设足球场的宽为x m，则足球场的长为1.5x m，由题意，得
1．5x2＝7 560.
∴x2＝5 040.
由算术平方根的意义可知x＝ 5 040.
又∵702＝4 900，712＝5 041，
∴70＜ 5 040＜71.
∴70＜x＜71.
∴105＜1.5x＜106.5.
∴100＜1.5x＜110.
∴符合要求．
∴这个足球场能用作国际比赛．
23．(教材P48习题T11变式)(1)通过计算下列各式的值探究问题：
①42＝4；162
②（－3）2＝3；＝1；（－2）2＝2．
(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a2－b2－（a－b）2＋|a＋b|.
解：a2－b2－（a－b）2＋|a＋b|
＝|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|
＝－a－b＋a－b－a－b
＝－a－3b.
第2课时 平方根
基础题
知识点1 平方根
(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．这就是说，如果x 2
＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作±
(2)求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
1．(2018·贺州)4的平方根是( C )
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．16 2．±8是64的( A )
A ．平方根
B ．相反数
C ．绝对值
D ．算术平方根 3.1
3是一个数的平方根，则这个数是( D ) A ．1
B ．3
C ．±19
D.19
4．下列说法中，不正确的是( D ) A ．6是36的平方根
B ．－6是36的平方根
C ．36的平方根是±6
D ．36的平方根是6
5．下列说法正确的是( D )
A ．任何非负数都有两个平方根
B ．一个正数的平方根仍然是正数
C ．只有正数才有平方根
D ．负数没有平方根
6．计算： ±
425＝±2
5
，－425＝－2
5
，425＝25
． 7．填表：
8.求下列各数的平方根：
(1)16； (2)25
36
； (3)0.008 1.
解：(1)因为(±4)2
＝16，所以16的平方根是±4. (2)因为(±56)2＝2536，所以2536的平方根是±5
6
.
(3)因为(±0.09)2＝0.008 1，所以0.008 1的平方根是±0.09.
知识点2 平方根与算术平方根的关系
正数a 的正的平方根就是这个数的算术平方根，记作 a. 9．(2017·广州期中)下列说法正确的是( A ) A ．－5是25的平方根 B ．25的平方根是－5
C ．－5是(－5)2的算术平方根
D ．±5是(－5)2
的算术平方根 10．下列各式中，正确的是( D )
A.4＝±2 B ．±9＝3 C.（－3）2＝－3 D.（－3）2
＝3
11．求下列各数的平方根与算术平方根： (1)25；
解：25的平方根是±5，算术平方根是5.
(2)0；
解：0的平方根是0，算术平方根是0.
(3)110 000
. 解：110 000的平方根是±1100，算术平方根是1
100.
12．求下列各式的值： (1)225； (2)－
36
49； (3)±144
121
. 解：(1)∵152
＝225，∴225＝15. (2)∵(67)2＝36
49，∴－
3649＝－67. (3)∵(1211)2＝144
121
，∴±
144121＝±12
11
.
易错点 忽视一个正数的平方根有两个
13．若x ＋3是4的平方根，则x ＝－1或－5．
中档题
14．(2017·广州期中)对于2－3来说( C )
A ．有平方根
B ．只有算术平方根
C ．没有平方根
D ．不能确定 15．(易错题)(2017·广州四校联考期中)16的平方根等于( D ) A ．2 B ．－4 C ．±4
D ．±2 16．(易错题)若x 2
＝16，则5－x 的算术平方根是( D )
A ．±1
B ．±4
C ．1或9
D ．1或3
17．(2017·玉林期末)已知325.6≈18.044，那么± 3.256≈±1.804__4．
18．“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出21世纪你喜欢的一个“平方根”节(题中所举例子除外)2025年5月5日．
19．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)(－3)2； (2)－42； (3)－(a 2
＋1)． 解：(1)±3.
(2)没有平方根，因为－42
是负数．
(3)没有平方根，因为－(a 2
＋1)是负数．
20．(教材P48习题T8变式)求下列各式中x 的值：
(1)4x 2
－1＝0；
解：4x 2
＝1. x 2
＝14.
x ＝±12
.
(2)(2017·广州四校联考期中)(2x－1)2＝25.
解：2x－1＝5或2x－1＝－5.
解得x＝3或x＝－2.
21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．解：依题意，得2a－1＝9且3a＋b－1＝16，
∴a＝5，b＝2.
∴a＋2b＝5＋4＝9.
∴a＋2b的平方根为±3，
即±a＋2b＝±3.
综合题
22．(易错题)(1)一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？(2)已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
解：(1)根据题意，得(2a－1)＋(a－5)＝0.
解得a＝2.
∴这个非负数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.
(2)根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2a.
解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，
a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
6.2 立方根
基础题
知识点1 立方根
(1)一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根，即如果x 3
＝a ，那么x 叫做a 的立
a 是被开方数，3是根指数.3－a ＝－3
a.
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．
1．(2018·恩施)64的立方根为( C )
A ．8
B ．－8
C ．4
D ．－4 2．(2018·济宁)3
－1的值是( B )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
3．若一个数的立方根是－3，则这个数为( B ) A ．－3
3
B ．－27
C ．±3
3
D ．±27
4．下列说法中，不正确的是( D ) A ．0.027的立方根是0.3 B ．－8的立方根是－2 C ．0的立方根是0
D ．125的立方根是±5
5．下列计算正确的是( C ) A.3
0.012 5＝0.5 B.3
－2764＝34
C.
3
338＝11
2
D ．－
3－8125＝－2
5
6．－13是－127的立方根，－16164的立方根是－5
4．
7．求下列各数的立方根： (1)0.216；
解：∵0.63
＝0.216，
∴0.216的立方根是0.6，即3
0.216＝0.6.
(2)0；
解：∵03
＝0，
∴0的立方根是0，即3
0＝0.
(3)－21027
；
解：∵－21027＝－6427，且(－43)3＝－64
27，
∴－21027的立方根是－43，即3－21027＝－4
3.
(4)－5.
解：－5的立方根是3
－5.
8．求下列各式的值：
(1)3
0.001；
解：3
0.001＝0.1.
(2)3
－
343
125
；
解：3
－
343
125
＝－
7
5
.
(3)－3
1－
19
27
.
解：－3
1－
19
27
＝－
2
3
.
知识点2 用计算器求立方根
9．用计算器计算3
28.36的值约为( B )
A．3.049 B．3.050 C．3.051 D．3.052
10．一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在( A )
A．4 cm～5 cm之间B．5 cm～6 cm之间C．6 cm～7 cm之间D．7 cm～8 cm之间
11．计算：3
25≈2.92(结果精确到0.01)．
易错点立方根与平方根相混淆
12．立方根等于本身的数为0，1或－1．
中档题
13．(易错题)32的立方根是( A )
A.3
3 B.
3
9 C．2 D．3
14．下列说法正确的是( D )
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根比这个数的平方根小
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D.3
a与
3
－a互为相反数
15．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( D )
A．0 B．±10C．0或10 D．0或－10 16．已知2x＋1的平方根是±5，则5x＋4的立方根是4．
17．(1)填表：
(2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大到原来的1__000倍，则立方根扩大到原来的10倍；
(3)根据你发现的规律填空：
①已知33≈1.442，则33 000≈14.42，3
0.003≈0.144__2； ②已知30.000 456≈0.076 97，则3
456≈7.697． 18．求下列各式的值： (1)－3
－0.125； 解：原式＝0.5.
(2)－3729＋3
512； 解：原式＝－9＋8＝－1.
(3)3
0.027－
3
1－124125＋3－0.001. 解：原式＝0.3－3
1
125
＋(－0.1) ＝0.3－1
5
－0.1
＝0.
19．比较下列各数的大小： (1)3
9与3； 解：3
9> 3.
(2)－3
42与－3.4. 解：－3
42＜－3.4.
20．求下列各式中x 的值：
(1)8x 3
＋125＝0；
解：8x 3
＝－125. x 3
＝－1258.
x ＝－52
.
(2)(2017·广州期中)(2x －1)3
＝－8. 解：2x －1＝－2. 解得x ＝－1
2
.
21．将一个体积为0.216 m 3
的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积． 解：设每个小立方体铝块的棱长为x m ，则 8x 3
＝0.216. ∴x 3
＝0.027.∴x＝0.3.
∴6×0.32＝0.54(m 2
)．
答：每个小立方体铝块的表面积为0.54 m 2
.
综合题
22．请先观察下列等式： 3
2＋2
7＝2327， 3
3＋326＝33326， 3
4＋463＝43463
， …
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察，写出满足上述各式规则的一般公式．
解：(1)
3
5＋5124＝535124，36＋6
215＝636215
. (2)
3n ＋n n 3－1＝n 3n
n 3
－1
(n ＞1，且n 为整数)．
6.3 实数
基础题
知识点1 实数的概念及其分类
1．(2018·玉林)下列实数中，是无理数的是( B ) A ．1
B. 2
C ．－3
D.13
2．下列说法中，正确的是( C )
A ．无理数包括正无理数、零和负无理数
B ．无限小数都是无理数
C ．正实数包括正有理数和正无理数
D ．实数可以分为正实数和负实数两类
知识点2 实数与数轴上的点的关系
实数和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个实数．
3．若在数轴上画出表示下列各数的点，则与原点距离最近的点是( B ) A ．－1
B ．－12
C.3
2
D ．2
知识点3 实数的相反数、绝对值、倒数
实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即 |a|＝⎩⎪⎨⎪
⎧a ，当a>0时；0，当a ＝0时；－a ，当a<0时.
4．－2的相反数是( C ) A ．－ 2
B.2
2
C. 2
D ．－
22
5．π是1
π
的( B )
A．绝对值B．倒数C．相反数D．平方根
6．(2017·广州期中)3
－8的绝对值是2．
7．写出下列各数的相反数与绝对值．
知识点4 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．
8．(2018·包头)计算－4－|－3|的结果是( B )
A．－1 B．－5 C．1 D．5
9．计算3
64＋(－16)的结果是( B )
A．4 B．0 C．8 D．12 10．计算：
(1)33＋53；
解：原式＝(3＋5) 3
＝8 3.
(2)|1－2|＋|3－2|.
解：原式＝2－1＋3－ 2
＝3－1.
11．计算(结果保留小数点后两位)：
(1)π－2＋3；
解：原式≈3.142－1.414＋1.732
≈3.46.
(2)|2－5|＋0.9.
解：原式≈2.236－1.414＋0.9
≈1.72.
易错点对无理数的判断有误
12．下列说法正确的是( D )
A.
3
3
是分数 B.
22
7
是无理数 C. π－3.14是有理数 D.
3
－8
3
是有理数
中档题
13．下列各组数中，互为相反数的一组是( C ) A ．－|－2|与3
－8
B ．－4与－（－4）2
C ．－32与|3
－2|
D ．－2与
12
14．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为4时，输出的y 是( C )
A ．4
B ．2 C. 2
D ．－ 2
15．(2017·宁夏)实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a －3|
16．点A 在数轴上和原点相距3个单位长度，点B 在数轴上和原点相距5个单位长度，则A ，B 两点之间的距离是
17．把下列各数分别填入相应的集合中．
－15，39，π，3.14，－3
27，0，－5.123 45…，0.25，－32. (1)有理数集合：{－15，3.14，－3
27，0，0.25，…}；
(2)无理数集合：{3
9，π，－5.123 45…，－32，…}；
(3)正实数集合：{3
9，π，3.14，0.25，…}；
(4)负实数集合：{－15，－3
27，－5.123 45…，－32，…}．
18．求下列各式中的实数x. (1)|x|＝4
5；
解：x ＝±4
5.
(2)|x －2|＝ 5. 解：x ＝2± 5.
19．计算：
(1)23＋32－53－32； 解：原式＝(2－5)3＋(3－3) 2 ＝－3 3.
(2)|3－π|＋|4－π|. 解：原式＝π－3＋4－π ＝1.
20．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，f 的算术平方根是8，
求1
2
ab＋
c＋d
5
＋e2＋
3
f的值．
解：由题意可知ab＝1，c＋d＝0，e＝±2，f＝64，
∴e2＝(±2)2＝2，3
f＝
3
64＝4.
∴1
2
ab＋
c＋d
5
＋e2＋
3
f＝
1
2
＋0＋2＋4＝6
1
2
.
综合题
21．阅读下列材料：
如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即x n＝a，则x叫做a的n次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2.
回答问题：
(1)64的6次方根是±2，－243的5次方根是－3，0的10次方根是0；
(2)归纳一个数的n次方根的情况．
解：当n为偶数时，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个．负数没有偶次方根.0的n次方根是0.
章末复习(二) 实数
分点突破
知识点1 平方根、算术平方根、立方根 1．(2017·泰州)2的算术平方根是( B )
A ．± 2 B. 2 C ．－ 2 D ．2 2．(2018·铜仁)9的平方根是( C )
A ．3
B ．－3
C ．3和－3
D ．81 3．(2018·荆门)8的相反数的立方根是( C ) A ．2
B.12
C ．－2
D ．－12
4．下列各式正确的是( A ) A ．±3
1＝±1
B.4＝±2
C.（－6）2
＝－6 D.3－27＝3
知识点2 实数的分类
5．把下列各数分别填在相应的集合中：
5，－6，3
8，0，π5，3.141 592 6，227
，－16，－234.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多1个0)．
知识点3 相反数、绝对值、倒数 6.9的倒数等于( D ) A ．3
B ．－3
C ．－13
D.13
7．实数1－2
知识点4 无理数的估算及实数的大小比较
8．(2018·贺州)在－1，1，2，2这四个数中，最小的数是( A ) A ．－1 B ．1 C. 2 D ．2
9．(2018·南通)如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－5的点P 应落在( B )
A ．线段A
B 上 B ．线段BO 上
C ．线段OC 上
D ．线段CD 上
知识点5 实数的运算 10．求下列各式的值：
(1)(2017·广州期末)3
8－9；
解：原式＝2－3
＝－1.
(2)(2017·南宁期末)－32＋|2－3|－（－2）2；解：原式＝－9＋3－2－2
＝－8－ 2.
(3)121＋7×(2－1
7
)－
3
1 000.
解：原式＝11＋27－1－10
＝27.
易错题集训
11．下列说法正确的是( D )
A．－4没有立方根B．1的立方根是±1
C.1
36
的立方根是
1
6
D．－5的立方根是
3
－5
12．下列说法中，正确的有( B )
①只有正数才有平方根；②a一定有立方根；③－a没意义；④3
－a＝－
3
a；⑤只有正数才有立方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
常考题型演练
13．关于12的叙述，错误的是( A )
A.12是有理数B．面积为12的正方形边长是12
C.12在3与4之间D．在数轴上可以找到表示12的点
14．(2017·钦州期末)下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的有( A )
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．(易错题)如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有( C )
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．已知3
0.5≈0.793 7，
3
5≈1.710 0，那么下列各式正确的是( B )
A.3
500≈17.100 B.
3
500≈7.937C.
3
500≈171.00 D.
3
500≈79.37
17．写出3
－9到23之间的所有整数：－2，－1，0，1，2，3，4．
18．(2018·东莞)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝2．
19．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是－4π．
20．求下列各式中x的值：
(1)x 2
－5＝49；
解：x 2
＝499，
x ＝±73
.
(2)(x －1)3
＝125. 解：x －1＝5， x ＝6.
21．已知某正数的两个平方根分别是a ＋3和2a －15，b 的立方根是－2，求3a ＋b 的算术平方根． 解：∵该正数的两个平方根分别是a ＋3和2a －15，b 的立方根是－2，
∴a＋3＋2a －15＝0，b ＝(－2)3
＝－8. ∴a＝4，b ＝－8.
∴3a ＋b ＝4＝2，
即3a ＋b 的算术平方根是2.
22．魔方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4
阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm 3
. (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；
(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积为10cm 2
解：组成这个魔方的小立方体的棱长为3
64÷64＝1(cm)．。