线性代数第六章练习题

第六章练习题

一、 填空题

1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 .

2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，它的矩阵是 ，它是 定二次型.

3. 设112

3

32000000,000000a a A a B a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

, 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型

222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型.

二、计算与证明题

1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+-

1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵;

2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型?

3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换.

2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++,

(1) 写出二次型的矩阵A ;

(2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形;

(3) 求实对称矩阵B , 使得3

.A B =

3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示；

2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；

3）写出二次型123(,,)f x x x 的一个标准形.

4. 已知实二次型222123123(,,)()()()f x x x x x x x x x =-+-+-, 其中1231()3x x x x =

++, 1) 写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵；

2）用正交线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形.

5. 设A 是实对称矩阵, B 是正定矩阵, 求证: AB 的特征值全是实数.

6. 证明A 既是正定矩阵又是正交矩阵的充分必要条件为A 是单位矩阵.