线性代数第六章练习题
线性代数第六章习题册答案
第六章 二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1);4427),,(222yz xz xy z y x z y x f ----+=(2)22312121321542),,(x x x x x x x x x f -++=； (3)),,,(4321x x x x f .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+++=解：(1)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z yxz y x f 722211211),,( (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321321321002052/222/21),,(x x x x x x x x x f(3) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=4321432143211001231223111211),,,(x x x x x x x x x x x x f 2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,(321x x x f 322322214332x x x x x +++=.解：0)5)(1)(2(32023002=---=---=-λλλλλλλE A 得11=λ，22=λ，53=λ当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 23222152y y y f ++= 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=. 解：0)7()2(2-4242-22212=+--=-----=-λλλλλλE A 得=1λ22=λ，73-=λ当=1λ22=λ，时，特征向量为T ）（1021=ξ，T ）（012-2=ξ，通过施密特正交化得到T ）（10251e 1=，Te ）（452-5312= 当73-=λ时，特征向量为T）（11-213-=ξ，单位化得T ）（22131e 3--= 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32534513253503153252P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 232221722y y y f -+= 4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,,(4321x x x x f 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x +--++++=．解：0)3)(1()1(11011110011110112=-+-=--------=-λλλλλλλλE A得121==λλ，13-=λ，34=λ当121==λλ时，特征向量为T ）（01011=ξ，T）（10102=ξ 当13-=λ时，特征向量为T ）（11113--=ξ 当34=λ时，特征向量为T ）（11114--=ξ 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21211021210121211021211P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 24232221y 3+-+=y y y f5. 二次型)0(a 2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f 通过正交变换可化为标准形23222132152),,(y y y y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A特征值为11=λ，22=λ，53=λ，得10=A ，故10)9(22=-=a A ，又0>a ，得2=a . 当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，用正交变换Py x =，二次型标准型为 23222152y y y f ++=6. 用配方法化),,(321x x x f 32312321222x x x x x x +++=为规范形，写出所用变换的矩阵． 解：),,(321x x x f 2322223132312321))222x x x x x x x x x x x ++-+=+++=（（由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+33222131y x x y x y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C ，C 可逆， 由变换Cy x =得二次型的规范型为),,(321x x x f 232221y y y +-=7. 判别下列二次型的正定性：(1)),,(321x x x f 312123222122462x x x x x x x ++---=；(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -.解：（1）负定 （2）正定8. 二次型323121242322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f -+++++=，t 取何值时是正定二次型？解： 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000011011011t t t ，二次型正定即要求所有顺序主子式 0)2()1(100011011011,0)2()1(111111,0111,0222>-+=-->-+=-->-=>=t t tt t t t tt t t t t t t 可得2t >时此二次型正定.9. 已知A 为n 阶方阵，E A -是正定矩阵，证明A 为正定矩阵.证明：因为E A -是正定矩阵，所以()E A E A E A T T-=-=-，所以 A A T=，即A 为对称矩阵.设λ为A 的任意一个特征值，则1-λ是E A -的一个特征值，因为E A -为正定矩阵，所以01>-λ，从而0>λ，因此A 为正定矩阵.10. 设C 为可逆矩阵，A C C T=，证明x x A T=f 为正定二次型．.证明：)()(TCx Cx Cx C x f TTT===x x A令y x =C ，因为C 可逆，对任意0≠x ，有0≠y ， 从而0)()(>==y y Cx Cx f TT，为正定二次型。
线性代数 第六章 二次型 例题
2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3， （1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 ������ 1 0 1 2
������
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 ������ 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换 （1） （2） （3） （4） （5） f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +2������1 ������2 -2������1 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +4������3 2 + 2������1 ������2 +4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=2������1 2 +5������2 2 +4������3 2 + 4������1 ������2 -4������1 ������3 -8������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 ������2 -4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +4������2 2 +4������3 2 − 4������1 ������2 + 4������1 ������3 -4������2 ������3
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数第 六章二次型试题及答案
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
第六章习题课线性代数 (3)
性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A
2
2 2
0 2
.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注 用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判 断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由
4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2
y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解 该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f
线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数第六章客观例题
(A)A与B等价； (B)A与B相似； (C)A与B在实数域上合同； (D)以上都不对。 【解】因为B的特征值为-1, -1, 1, 1。 答案 A
9、已知矩阵
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 1 0 , B= 0 1 1 , C 0 1 0 , D 0 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 3
则实二次型f(x1, x2, x3)=XTAX的规范形为 【解】由题设，A与B有相同的秩与正(负)惯性指数， 1 0 0 。
E-B 0
2 ( 1)( 2)( 2)
0 2 可知A的秩及正惯性指数分别为3, 2，所以
二次型的规范形为z12+z22-z32。 答案
0 0 0 16、设实对称矩阵A与 B 0 2 1 0 1 2
合同，则实二次型XTAX的规范形为
答案
y12+y22
。
【解】因为B的特征值为1, 3, 0, 所以B的正惯性指数 指数为2，秩为2，又因为AB，所以A的正 惯性指数和秩均为2。
17、设实二次型f (x1, x2, x3)=XTAX的秩为1，A的行元 素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为 答案 2y12 【解】由题设，A为实对称矩阵，3, 0, 0为A的特征值， 则f在正交变换X=QY下的标准形为3y12。 。
1 1 1 a 1 1 a 3 1 0 a 1 0 1 1 1 0 3 a 1 a
则a=
。
答案 1
所以a=1。
19、设二次型f(x1, x2, x3)的标准形为 2y12-y22+4y32 则二次型的秩 ，正惯性指数 。 答案 3, 2
第六章二次型答案详解
【解析】上课已经证明过，自己看 ppt.
习题 6.5 正交线性替换
1．用正交线性替换化下列二次型为标准形：
x12 2x22 +3x32 4x1x2 4x2 x3
2
【答案】正交线性替换为：
x1 x2 x3
3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
A 11
2 3
53
0 0
1 2
2 4
0 0
1 0
2 0
，秩为
2
3． 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22+cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩为 2 ，求常数 c 及此二次型
院系
班级
姓名
学号
第六章 二次型
习题 6.1 二次型及其标准形
1． 把下列二次型写成矩阵形式：
(1) f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22+x2 x3 +7x32 ； (2) f (x, y, z) x2 4xy 2 y 2+4yz+3z 2 ．
1 3 2 3
2 3
y1 y2 y3
，标准形为：
y12
2
y22
5
y32
.
2．已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22+3x32 2ax2x3 ，其中 a 0 ，经正交线性替换化成标准形 为 y12 2 y22 +5y32 ，求 a 及所用的正交线性替换．
线性代数习题答案 第六章
1第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε 是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ∉V , 即V 不是线性空间.3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .证明 设ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ⋅⋅⋅ +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ⊆U , 而由已知知U ⊆V , 有U =V .4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ⋅⋅⋅, a n , 使a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r , a r +1, ⋅⋅⋅, a n 成为V n 的一个基.证明 设r <n, 则在V n 中必存在一向量a r +1∉V r , 它不能被a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 线性表示, 将a r +1添加进来, 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1是线性无关的. 若r +1=n , 则命题得证, 否则存在a r +2∉L (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1), 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +2线性无关, 依此类推, 可找到n 个线性无关的向量a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n , 它们是V n 的一个基.5. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T 在基α1=(1, 3, 5)T , α2=(6, 3, 2)T ,α3=(3, 1, 0)T 下的坐标.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T .6. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T , α2=(2, 3, 3)T , α3=(3, 7, 1)T ; β1=(3, 1, 4)T , β2=(5, 2, 1)T , β3=(1, 1, -6)T .试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .7. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T 在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).8. 说明xOy 平面上变换⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A y x T 的几何意义, 其中(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x y x T 1001, 所以在此变换下T (α)与α关于y 轴对称.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y y x y x T 01000, 所以在此变换下T (α)是α在y 轴上的投影.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)与α关于直线y =x 对称.(4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A . 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)是将α顺时针旋转2π.9. n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2)1(+n n 维线性空间. 给出n 阶矩阵P , 以A 表示V 中的任一元素, 变换T (A )=P T AP 称为合同变换. 试证合同变换T 是V 中的线性变换.证明 设A , B ∈V , 则A T =A , B T =B . T (A +B )=P T (A +B )P =P T (A +B )T P =[(A +B )P ]T P =(AP +BP )T P=(P T A +P T B )P =P T AP +P T BP =T (A )+T (B ), T (kA )=P T (kA )P =kP T AP =kT (A ), 从而, 合同变换T 是V 中的线性变换.10. 函数集合V 3={α=(a 2x 2+a 1x +a 0)e x | a 2, a 1, a 0 ∈R }对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V 3中取一个基α1=x 2e x , α2=xe x , α3=e x .求微分运算D 在这个基下的矩阵.解 设β1=D (α1)=2xe x +x 2e x =2α2+α1, β2=D (α2)=e x +xe x =α3+α2, β3=D (α3)=e x =α3. 易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001) , ,() , ,(321321αααβββ,知即D 在基α1, α2, α3下的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001P .11. 2阶对称矩阵的全体},,|{32132213R x x x x x x x A V ∈⎪⎭⎫⎝⎛==对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V 3中取一个基⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A .在V 3中定义合同变换⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=10111101)(A A T ,求T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵. 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101100011101)(1A T 3211111A A A ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101111101101)(2A T 3222110A A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110001101)(3A T 31000A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001) , ,())( ),( ),((321321A A A A T A T A T ,从而, T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001A .。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
线性代数同步练习册第六章+答案
第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( B ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( D ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.解由112233x x xαααα++=, 得线性方程组. 对增广矩阵施以行的初等变换得1633100333317010825201001154⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得α在基123,,ααα下的坐标为(33,82,154)-.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=,3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=,2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.解设向量α在两个基下的坐标分别为123(,,)x x x和123(,,)y y y,从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为112335127714123712192091314164128P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故坐标变换公式为11223327714192094128x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标. 解：由于()()123123211,,,,112113βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1231,,1,3αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以()11232111,,11211133αβββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1235239991153,,199********βββ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭()()1231235232999311535,,1,,9993321329993ββββββ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此α在基123{,,}βββ下的坐标为252(,,)333T -. 6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标. 解：取4R 的自然基1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)εεεε====，则有1234123412341234(,,,)(,,,),(,,,)(,,,),A B ααααεεεεββββεεεε==其中1100230012001100,0011002100120032A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是112341234(,,,)(,,,),A B ββββαααα-= 故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为1210023003500110011001200002100210010001100320011P A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎪⎪⎪=== ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 123412(,,,)11αββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1234123411325(,,,)(,,,)1110P αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故向量12342αββββ=++-在基(I)下的坐标是(13,5,1,0)T -. 7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标. 解：由基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为1010100001000142A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为 1010000101100112222A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪--⎪⎝⎭, 故向量3ε在基1234,,,αααα下的坐标为 1(0,1,0,)2T-.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =;(2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.解 (1) T 是线性变换. 事实上, 设123(,,)x x x x =, 123(,,)y y y y =, 则112233()(,,)T x y T x y x y x y +=+++112233(()()(),0,0)x y x y x y =+++++ 123123(,0,0)(,0,0)x x x y y y =+++++()()T x T y =+同理, ()()T kx kT x =, 其中k R ∈.(2) T 不是线性变换. 事实上, 设(1,0,0)x =, (0,1,1)y =, 则()(1,1,1)(1,0,0)T x y T +==, 而()()(0,0,0)T x T y +=, 即 ()()()T x y T x T y +≠+.(3) T 不是线性变换. 事实上, 取2a =, (1,1,1)x =, 则()(2,2,2)(4,4,4)T ax T ==, ()2(1,1,1)(2,2,2)aT x T ==, 即 ()()T ax aT x ≠.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=, 2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵. 解 (1) 由于11223()()()0T e e T e e T e =⎧⎪=⎨⎪=⎩即123123100((),(),())(,,)010000T e T e T e e e e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以T 在基123,,e e e 下的矩阵为100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由于112212312()()()()()()T T e e T T e e T T e e e e e ααββγαβ===⎧⎪===⎨⎪=++=+=+⎩即101((),(),())(,,)011000T T T αβγαβγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故T 在基,,αβγ下的矩阵为101011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.解 (1) 先求出由基123,,e e e 到基123,,βββ的过渡矩阵P , 根据123123(,,)(,,)e e e P βββ=得 111110101P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭故T 在基123,,βββ下的矩阵为1000030003B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 先求()T α在基123,,e e e 下的坐标. 根据线性变换在向量空间中的表示有21113()1222011233T A αα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()T α在基123,,βββ下的坐标为112331113010121003311233y y P y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 在123,,βββ下, ()T α为33()303T αβ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.第六章 线性空间与线性变换 自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= 4 .(2) 3R 中, 向量(1,2,3)α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为(3,1,1)--.(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须 线性无关 时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P =111011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A =100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=, 2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.解: 设11223344x x x x ξεεεε=+++, 则得12341234123412341221x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=-⎪⎪--+=-⎩ 解此方程组得1234310,,,022x x x x ===-=.所以ξ在1234,,,εεεε下的坐标为31(0,,,0)22-.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.解: (1)12311110020111A ααα===-≠-, 所以12,,ααα线性无关. 对于3维向量空间的任意一个向量α, 由于123,,,αααα线性相关, 故α可以由123,,ααα唯一线性表示. 所以它们可以作为3维向量空间一个基.类似可证得123,,βββ也是3维向量空间一个基. (2) 由过渡矩阵的定义, 有123123(,,)(,,)P βββααα=所以过渡矩阵1123123234(,,)(,,)010101P αααβββ-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.(3) 由(2)有123123(,,)(,,)P βββααα=, 所以123123123(,,)23βββββββ⎛⎫⎪=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭1231(,,)23P ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1232341(,,)01021013ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭123422ααα=--+故β在基123,,ααα下的坐标为T (4,2,2)--.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.解 由题设知12341234(,,,)(,,,)A ββββεεεε=, 其中过渡矩阵A 为20561********13A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭设所求向量T1234(,,,)v x x x x =, 则它关于标准基的坐标为1234(,,,)x x x x , 从而它关于基1234,,,ββββ的坐标也为1234(,,,)x x x x .于是, 由坐标变换公式有v Av =, 即()0A E v -=. 解之得T (1,1,1,1)v k =-, k 为任意实数.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.证 设22,R αβ⨯∈,12,R λλ∈, 则有121212()()()T A A λαλβλαλβλαλβ+=+-+1212A A A A λαλβλαλβ=+-- 12()()A A A A λααλββ=-+- 12()()T T λαλβ=+故T 是22R⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.解 由题设, 123123(,,)(,,)B βββααα=, 其中231342112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 即B是从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵. 又T 关于基123,,ααα的矩阵是A , 故T 关于基123,,βββ的矩阵为1100020003C B AB -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
高等数学 线性代数 习题答案第六章
第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定然积分的几何意义知, 12d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)23211()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. (3)由于()d ()d ()d a TT a Taaf x x f x x f x x ++=+⎰⎰⎰,而()d ()d ()d ()d ()d ()d ,令 a TaaaaTTaf x x x t T f t T t f t tf x x f x x f x x +=++===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰故有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证 令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 000()()()2()()2()d d d x x xF x f t t xf x xf x x f t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证 令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.2. 计算下列定积分： (1)10e d x x x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰.解 (1)1111ed de ee d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 4224xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=+=+- ⎝⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ e ee111ee 11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x xx x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x ==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰3. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0,2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )e ee 11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰7222620128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积 25114100031025πd πd ππx x x V x x x x ⎛⎫=-=⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-122230(4)2πd πd ππa aa x V y x px x p x pa ===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x =2x =x 轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641d πππy V y y y π-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y =(a ＞0)与y(x 0,y 0)处有公共切线，求：(1) 常数a 及切点(x 0,y 0);(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .解 (1)由题意有点00(,)x y 在已知曲线上,且在点00(,)x y 处两函数的导数相等.即有0000x x y y ==⎧=⎪⎪==即00012y y x ⎧=⎪⎪=⎨= 解得20011e ex y a ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩. (2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e ,又在区间(0,1)上,曲线y =y =方,它们与x 轴所围成的平面图形的面积12223122001111()6223d e e e e e y y S y y y ⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰. (由y ==得2()x ey =,由y =得2e yx =). 4. 设2()lim1e nx n x f x x →∞=+-,试求曲线y =f (x ),直线y =12x 及x =1所围图形的面积.解 220()lim 101nxn x x f x x x e x x →∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y x xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x ∈-时,12y x =位于21xy x=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积 02221111111111ln 2ln(1)22422142d x S x x x x x --⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰. 5. 一抛物线y =ax 2+bx +c 通过点(0，0)、(1，2)两点，且a ＜0，试确定a ,b ,c 的值，使抛物线与x 轴所围图形的面积最小.解 由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c =0,a+b =2,又由抛物线方程2y ax bx =+得与x轴的两交点为(0,0), ,0b a ⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x 轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解 投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d ax x +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d xx x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰;(7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰; (11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解 当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 已知+0sin d =2x x x ∞π⎰,求 (1)+0sin cos d x xx x∞⎰; (2) 2+2sin d xx x ∞⎰. 解 (1)+++000sin cos sin 21sin πd d 2d .224令x x x t x x x t t x x t ∞∞∞===⎰⎰⎰2+++220+20sin 1sin 2sin cos (2)d sin d()d sin cos π2d 2x x x xx x x x x xx x x x x ∞∞∞+∞∞=-=-+==⎰⎰⎰⎰5. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解 设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d nm x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）. 解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n nx t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a t x t t t t a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nnx t x t t n-==, 于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。
《线性代数》第6章习题解答(r)new2_1
习题六（P251－256）1. 已知向量空间的一个基为1(110)Tα=，2(11)Tα=，3(011)Tα=，试求(20)Tu =在上述基下的坐标。
解. 设u =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ， ()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110101011()321ααα-1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111111121 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα-1 u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111111121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111 2. 验证为1(110)Tα=-，2(213)Tα=，3(312)T α=为R 3的一个基，并把(57)Tα=，(9813)Tβ=---用这个基线性表示。
解. 因为321ααα= 23111321-= -6 ≠0，所以α1，α2，α3为R 3的一个基。
设α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x ， β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321y y y 由()123A αααα==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-723001115321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2254305321 得α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132=12323ααα+- ， 又有()123A αααβ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1323081119321→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---420174309321得β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233= 123332ααα--。
3. 下列n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n 阶对称矩阵全体所成之集合S ； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合R ；（3）主对角线上各元素之和等于零的n 阶矩阵全体所成之集合T 。
解.（1）S 构成线性空间。
因为∀A ，B ，C ∈S ，λ，μ∈R ， A+B ∈S ， λA ∈S 且满足 1°.A+B=B+A2°（A+B ）+C=A+（B+C ） 3° 零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A ，使A+（-A ）=0 5°1A=A6°λ（μA ）=（λμ）A 7°λ（A+B ）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA（2）R 不构成线性空间，因为若A ∈R ，但0A=O 不可逆，即R 关于数乘法不封闭。
2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析
第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？ （1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。
线性代数（大连理工大学）第6章习题答案
思考题6-11）正确。
2）不正确。
=Ax b 有可能无解，例如，1212120030x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有唯一解，但1212121231x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩无解。
3）正确。
因为()[](,)m r r m =≤≤A A b ，[]()(,)r r =A b A ，所以=Ax b 一定有解. 4）正确。
因为()r m n ≤<A ，所以=Ax 0有非零解.习题6-11.（1）0k =或1k = （2）2k =-2.（1）当0k ≠且2k ≠±时，有唯一解；当0k =或2k =时，无解；当2k =-时，有无穷多个解。
（2）当1k ≠且2k ≠-时，有唯一解；当2k =-时，无解；当1k =时，有无穷多个解。
（3）当0a ≠且a b ≠时，有唯一解；当0a =时，无解；当0a b =≠时，有无穷多个解。
（4）当1k ≠且2k ≠-时，无解；当1k =时，有唯一解；当2k =-时，有无穷多个解。
3. 当2k ≠时，向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示。
4.解：方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，就是方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 是有解的。
[]22111011101200110,140031012110101a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A b2211101110101010103100013301100011a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦221110111001010101001100110013300043a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→--+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦当1a ≠且3a ≠时，无解；当1a =时，有无穷多个解；当3a =时，有唯一解。
上海财经大学线性代数第六章习题
第六章习题课一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |,(2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I(3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值)（4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。
（5）相似矩阵的特征值相同例1 填空题（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。
（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。
（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。
（4）已知|A |=E A B b a 2,01112133=+=−−−−, 则B 的一个特征值是 。
例2 选择题（5）设C=, 则C 的特征值是（ ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；（C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1.（6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ）(A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1; (C) λ|A | ; (D) λn A ||.二、相似对角化（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）（2） （充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。
例3 填空题（1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于 。
（2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .（3）已知A 相似于对角阵, 则r (A -E )+r (2E +A )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−211. 例4 n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件是(A) A 有n 个不同的特征值;(B) A 有n 个不同的特征向量 ;(C) A 的每个r i 重特征值λi , 有r (λi E -A )=n -r i ;(D) A 是实对称矩阵.例5 设均为n 阶矩阵，且C B A ,,0,0=+=C AC AB ，如果， n B r r =+)()C (例6 证明A 相似于对角阵，并求ΛΛ。
居于马线性代数第六章答案
第六章 二次型将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。
1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。
解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。
5.若二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n 阶零矩阵。
证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。
再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。
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第六章练习题
一、 填空题
1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 .
2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，它的矩阵是 ，它是 定二次型.
3. 设112
3
32000000,000000a a A a B a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型
222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型.
二、计算与证明题
1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+-
1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵;
2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型?
3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换.
2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++,
(1) 写出二次型的矩阵A ;
(2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形;
(3) 求实对称矩阵B , 使得3
.A B =
3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示；
2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；
3）写出二次型123(,,)f x x x 的一个标准形.
4. 已知实二次型222123123(,,)()()()f x x x x x x x x x =-+-+-, 其中1231()3x x x x =
++, 1) 写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵；
2）用正交线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形.
5. 设A 是实对称矩阵, B 是正定矩阵, 求证: AB 的特征值全是实数.
6. 证明A 既是正定矩阵又是正交矩阵的充分必要条件为A 是单位矩阵.。