高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题3)：3.求函数值域(三)—导数法求单峰函数值域(含答案)

单峰函数是一种比较常见的函数图形，对于这类函数有一个比较好的性质，即对函数求导只有一个点使'()0f x =，如果函数在这点有极大（小）值，那么这点就是函数在其定义域的最大（小）值点。利用这个性质，求函数值域就很轻松了。同学们要注意识别这类函数，并灵活使用。

先看例题：

1.求函数14,(0,3]y x x x

=+∈的值域 先求导222141'4x y x x

-=-= 1'0,2

y x == 10,'02

x y <<<原函数单调递减 13,'02

x y <≤>原函数单调递增 观察函数图象：

当12

x =时，函数取得最小值，y=4 所以函数值域为[4,)y ∈+∞

2.求函数2

2x y x e -=的值域

观察函数图象：

对函数求导

2222'2()'x x y xe x e x --=+⋅⋅-

22'2(1)x y xe x -=-

'0,0,1,1y x ==-

注意到函数为偶函数，只研究x>0时的情况即可。

01,'0x y <<> 原函数单调递增

1,'0x y ><原函数单调递减

当x=1时，函数取到最大值max 1y e

= 注意到，x>0时，函数值恒大于0，所以函数最小值趋近于0，但当x=0时，y=0， 所以函数值域为1[0,]y e ∈

注意：可以充分利用函数的对称性，分部分研究函数的性质。

总结：

可导函数在其定义域（区间）内只有一个点使'()0f x =，如果函数在这点有极大（小）值，那么这点就是函数在其定义域的最大（小）值点。

定义域也适用于开区间或无穷区间。

练习：

1.求函数ln x y x

=的值域。 2.求函数3y x x =-在(0,)+∞的值域

答案：

1.函数的定义域为x>0， 对函数求导21ln 'x y x

-=，'0y =即1ln 0x -= ln 1,x x e ==

所以0x e <<原函数单调递增

x e >原函数单调递减 当x=e 时，max 1y e

= 所以函数值域为1

(,]y e ∈-∞

2.对函数求导

2'13y x =-

2'0130y x =-=即 解得：3

x =± 因为讨论(0,)+∞的取值情况，所以舍去负根

所以0x <<时原函数单调递增

x >时原函数单调递减

当3

x =时，max 9y =

所以函数值域为(y ∈-∞