相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)上课讲义
相似三角形中考复习
相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容,在中考中占据着相当重要的地位。
为了帮助同学们更好地复习相似三角形,提高解题能力,我们来一起系统地梳理一下这部分知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
在实际解题中,我们要根据题目所给的条件,灵活选择合适的判定方法。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
2、“8”字型与“A”字型类似,只不过图形的形状像数字“8”。
3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角,往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用,比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。
例如,要测量一座塔的高度,我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆,然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。
由于在同一时刻,太阳光线是平行的,所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形的性质,我们就可以求出塔的高度。
六、中考真题解析例 1:如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 边上的点,且DE∥BC,如果 AD:AB = 2:3,AE = 4,那么 AC 的长是多少?解:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
所以 AD:AB = AE:AC因为 AD:AB = 2:3,AE = 4所以 2:3 = 4:AC解得 AC = 6例 2:如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,BD⊥AC 于点 D,若AB = 3,BC = 4,求 BD 的长。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一:放缩与相似形1. 图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的.⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.3. 相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二:比例线段有关概念及性质(1)有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n,那么就说这两条线段am 的比是a:b=m:n(或 b n )2、比的前项,比的后项:两条线段的比a:b中。
a叫做比的前项,b叫做比的后项。
说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如 b dac4、比例外项:在比例 b d(或a:b=c:d)中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项:在比例 b d(或a:b=c:d)中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项:在比例 b d(或a:b=c:d)中, d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为 b a(或a:b =b:c 时,我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 a c(或a:b=c:d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线bd 段。
(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)2)比例性质acad bc1. 基本性质 :bd(两外项的积等于两内项积)a cb d2. 反比性b d a c ( 把比的前项、后项交换 )3.更比性质 (交换比例的内项或外项 ) :a b,(交换内项 ) cdcd c,(交换外项 ) db a d b.(同时交换内外项 ) ca4.合比性质 :a c abc d(分子加(减)分母 ,分母不变) b d b d注意 :实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间注意:(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法. (2) 应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成 立.AC1)定义:在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC (AC>BC ),如果AB2)黄金分割的几何作图 :已知:线段 AB.求作:点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立.如:acbd5. 等比性质: 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加,比值不变.)e m(b d f fnn 0) ,那么知识点三: 黄金分割BC ,AC,AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ,那么称线段点,AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)
专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等,对应边成比例.②周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比.【典例1】(2020•衢州模拟)如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.平行四边形ABCD的面积为6,则图中阴影部分的面积为.【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,易证得△BCP∽△BER,△ABP∽△CQP∽△DQR,又由点R为DE的中点,可求得各相似三角形的相似比,继而求得答案.【解析】解:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,∴AD=BC=CE,AB∥CD,AC∥DE,∴平行四边形ACED的面积=平行四边形ABCD的面积=6,△BCP∽△BER,△ABP∽△CQP∽△DQR,∴△ABC的面积=△CDE的面积=3,CP:ER=BC:BE=1:2,∵点R为DE的中点,∴CP:DR=1:2,∴CP:AC=CP:DE=1:4,∵S△ABC=3,∴S△ABP=S△ABC=,∵CP:AP=1:3,∴S△PCQ=S△ABP=,∵CP:DR=1:2,∴S△DQR=4S△PCQ=1,∴S阴影=S△PCQ+S△DQR=.故答案为:.【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质.熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.【典例2】(2019秋•河北区期末)如图在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)如AF=3,AG=5,求△ADE与△ABC的周长之比.【点拨】(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以∠AFE=∠AGC=90°,从而可证明∠AED=∠ACB,进而可证明△ADE∽△ABC;(2)依据△ADE∽△ABC,利用相似三角形的周长之比等于对应高之比,即可得到结论.【解析】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°,∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB,∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC;(2)由(1)可得△ADE∽△ABC,又∵AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∴△ADE与△ABC的周长之比==.【点睛】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的判定,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.【变式训练】1.(2020春•甘州区校级月考)两个相似三角形面积比是4:9,其中一个三角形的周长为24cm,则另一个三角形的周长是()cm.A.16 B.16或28 C.36 D.16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比,得到周长比,根据题意列出比例式,解答即可.【解析】解:∵两个相似三角形面积比是4:9,∴两个相似三角形相似比是2:3,∴两个相似三角形周长比是2:3,∵一个三角形的周长为24cm,∴另一个三角形的周长是16cm或36cm,故选:D.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.2.(2019秋•慈溪市期末)如图所示,若△ABC∽△DEF,则∠E的度数为()A.28°B.32°C.42°D.52°【点拨】先求出∠B,根据相似三角形对应角相等就可以得到.【解析】解:∵∠A=110°,∠C=28°,∴∠B=42°,∵△ABC∽△DEF,∴∠B=∠E.∴∠E=42°.故选:C.【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用,全等三角形的对应角相等,是基础知识要熟练掌握.3.(2019秋•奉化区期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB,若AB=3BD,则S△ADE:S△EFC的值为()A.4:1 B.3:2 C.2:1 D.3:1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形,可得BD=EF,AD=2EF,通过证明△ADE∽△EFC,可求解.【解析】解:∵AB=3BD,∴AD=2BD,∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴BD=EF,∴AD=2EF,∵DE∥BC,EF∥AB,∴∠AED=∠C,∠FEC=∠A,∴△ADE∽△EFC,∴S△ADE:S△EFC的=()2=4:1,故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.4.(2020•下城区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,如果=,AD=9,那么BC的长是()A.4 B.6 C.2D.3【点拨】证明△ADC∽△CDB,根据相似三角形的性质求出CD、BD,根据勾股定理求出BC.【解析】解:∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD,又∠ADC=∠CDB,∴△ADC∽△CDB,∴=,=,∴=,即=,解得,CD=6,∴=,解得,BD=4,∴BC===2,故选:C.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5.(2019•纳溪区模拟)如图,已知矩形ABCD,AB=6,BC=10,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE相交于I,与BD相交于H,则四边形BEIH的面积为()A.6 B.7 C.8 D.9【点拨】延长AF交DC于Q点,由矩形的性质得出CD=AB=6,AB∥CD,AD∥BC,得出=1,△AEI∽△QDE,因此CQ=AB=CD=6,△AEI的面积:△QDI的面积=1:16,根据三角形的面积公式即可得出结果.【解析】解:延长AF交DC于Q点,如图所示:∵E,F分别是AB,BC的中点,∴AE=AB=3,BF=CF=BC=5,∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AB∥CD,AD∥BC,∴=1,△AEI∽△QDE,∴CQ=AB=CD=6,△AEI的面积:△QDI的面积=()2=,∵AD=10,∴△AEI中AE边上的高=2,∴△AEI的面积=×3×2=3,∵△ABF的面积=×5×6=15,∵AD∥BC,∴△BFH∽△DAH,∴==,∴△BFH的面积=×2×5=5,∴四边形BEIH的面积=△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积=15﹣3﹣5=7.故选:B.【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算;熟练掌握矩形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.6.(2020•杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求证:△BDE∽△EFC.(2)设,①若BC=12,求线段BE的长;②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.【点拨】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE,∠DBE=∠FEC,即可得出结论;(2)①由平行线的性质得出==,即可得出结果;②先求出=,易证△EFC∽△BAC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.【解析】(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEB=∠FCE,∵EF∥AB,∴∠DBE=∠FEC,∴△BDE∽△EFC;(2)解:①∵EF∥AB,∴==,∵EC=BC﹣BE=12﹣BE,∴=,解得:BE=4;②∵=,∴=,∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴=()2=()2=,∴S△ABC=S△EFC=×20=45.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.知识点二相似三角形的应用【典例3】(2019秋•解放区校级期中)一块直角三角形木板的面积为1.5m2,一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面?甲、乙两位木匠的加工方法如图所示,请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工损耗不计,计算结果中的分数可保留)【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长,进而求出面积比较得出答案.【解析】解:由AB=1.5m,S△ABC=1.5m2,可得BC=2m,由图甲,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高,BH交DE于P,交AC于H.由AB=1.5m,BC=2m,得AC==2.5(m),由AC•BH=AB•BC可得:BH==1.2(m),设甲设计的桌面的边长为xm,∵DE∥AC,∴Rt△BDE∽Rt△BAC,∴=,即=,解得x=(m),由图乙,若设乙设计的正方形桌面边长为ym,由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA,∴=,即=,解得y=(m),∵x=,y=,∴x<y,即x2<y2,∴S正方形甲<S正方形乙,∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,正确表示出正方形的边长是解题关键.【变式训练】1.(2019秋•嘉兴期末)如图,小明在打乒乓球时,为使球恰好能过网(设网高AB=15cm),且落在对方区域桌子底线C处,已知小明在自己桌子底线上方击球,则他击球点距离桌面的高度DE为()A.15cm B.20cm C.25cm D.30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE,然后利用相似比得到DE的长.【解析】解:∵AB∥DE,∴△CAB∽△CDE,∴=,而BC=BE,∴DE=2AB=2×15=30(cm).故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的应用:利用视点和盲区的知识构建相似三角形,用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.2.(2019秋•鹿城区月考)如图,AB和CD表示两根直立于地面的柱子,AC和BD表示起固定作用的两根钢筋,AC与BD相交于点M,已知AB=8m,CD=12m,则点M离地面的高度MH为()A.4 m B.m C.5m D.m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM,可得对应高BH与HD之比,易得MH∥AB,可得△MDH∽△ADB,利用对应边成比例可得比例式,把相关数值代入求解即可.【解析】解:∵AB∥CD,∴△ABM∽△DCM,∴===,(相似三角形对应高的比等于相似比),∵MH∥AB,∴△MCH∽△ACB,∴==,∴=,解得MH=.故选:B.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用;用到的知识点为:平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交,截得的两三角形相似;相似三角形的对应边成比例;对应高的比等于相似比;解决本题的突破点是得到BH与HD的比.3.(2019秋•滨江区期末)如图,小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,使斜边DF与地面保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=30cm,EF=15cm,测得边DF离地面的高度AC=120cm,CD=600cm,则树AB的高度为420cm.【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长,再加上AC的长即可求得树高AB.【解析】解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴BC:EF=DC:DE,∵DE=30cm,EF=15cm,AC=120cm,CD=600cm,∴,∴BC=300cm,∴AB=AC+BC=120+300=420cm,故答案为:420.【点睛】本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.4.(2020•秦皇岛一模)如图所示,AD、BC为两路灯,身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间,两人相距6.5m,小明站在P处,小亮站在Q处,小明在路灯C下的影长为2m,已知小明身高1.8m,路灯BC 高9m.①计算小亮在路灯D下的影长;②计算建筑物AD的高.【点拨】解此题的关键是找到相似三角形,利用相似三角形的性质,相似三角形的对应边成比例求解.【解析】解:①∵EP⊥AB,CB⊥AB,∴∠EP A=∠CBA=90°∵∠EAP=∠CAB,∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB=10BQ=10﹣2﹣6.5=1.5;②∵FQ⊥AB,DA⊥AB,∴∠FQB=∠DAB=90°∵∠FBQ=∠DBA,∴△BFQ∽△BDA∴=∴∴DA=12.【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长,体现了方程的思想.巩固训练1.(2019秋•连州市期末)两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是()A.45cm,85cm B.60cm,100cm C.75cm,115cm D.85cm,125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15:23,可得周长比为15:23,计算出周长相差8份及每份的长,可得两三角形周长.【解析】解:根据题意两个三角形的相似比是15:23,周长比就是15:23,大小周长相差8份,所以每份的周长是40÷8=5cm,所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm,5×23=115cm.故选:C.【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解:(1)相似三角形周长的比等于相似比;(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方;(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.2.(2018秋•临安区期末)如图,在△ABC中,BC=8,高AD=6,点E,F分别在AB,AC上,点G,H 在BC上,当四边形EFGH是矩形,且EF=2EH时,则矩形EFGH的周长为()A.B.C.D.【点拨】通过证明△AEF∽△ABC,可得,可求EH的长,即可求解.【解析】解:如图,记AD与EF的交点为M,∵四边形EFGH是矩形,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高,∴∴∴EH=,∴EF=,∴矩形EFGH的周长=2×(+)=故选:C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.3.(2019秋•庐阳区校级期中)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:4,则S△DOE:S△AOC的值为()A.B.C.D.【点拨】由已知条件易求BE:BC=1:5;证明△DOE∽△AOC,得到DE:AC的值,由相似三角形的性质即可解决问题.【解析】解:∵S△BDE:S△CDE=1:4,∴BE:EC=1:4,∴BE:BC=1:5,∵DE∥AC,∴△DOE∽△AOC,∴DE:AC=BE:BC=1:5,∴S△DOE:S△AOC=()2=,故选:D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;熟练掌握相似三角形的判定与性质,证出BE:BC=1:5是解决问题的关键.4.(2020•上城区一模)如图,△ABC中,D,E两点分别在边AB,BC上,若AD:DB=CE:EB=3:4,记△DBE的面积为S1,△ADC的面积为S2,则S1:S2=16:21.【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F,CG⊥AB于点G,根据相似三角形的性质与判定即可求出答案.【解析】解:过点E、C分别作EF⊥AB于点F,CG⊥AB于点G,∴EF∥CG,∴△BEF∽△BCG,∴,∵CE:EB=3:4,∴,∴,∴==,∴S1:S2=16:21,故答案为:16:21.【点睛】本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于中等题型.5.(2019秋•江干区期末)如图,已知▱ABCD中,E是BC的三等分点,连结AE与对角线BD交于点F,则S△BEF:S△ABF:S△ADF:S四边形CDFE=1:3:9:11.【点拨】由E是BC的三等分点,得到=,根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AD=BC,根据相似三角形的性质得到==设S△BEF=k,S△ABF=3k,S△ADF=9k,求得S△ABF+S△ADF=S四边形ABCD=S△BEF+S四边形CDFE=12k,得到S四边形CDFE=12k﹣k=11k,于是得到结论.【解析】解:∵E是BC的三等分点,∴=,在▱ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,∴△ADF∽△EBF,∴==,∴S△BEF:S△ABF:S△ADF=1:3:9,设S△BEF=k,S△ABF=3k,S△ADF=9k,∴S△ABF+S△ADF=S四边形ABCD=S△BEF+S四边形CDFE=12k,∴四边形CDFE=12k﹣k=11k,∴S△BEF:S△ABF:S△ADF:S四边形CDFE=1:3:9:11,故答案为:1:3:9:11.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.6.(2020•晋安区一模)如图,利用镜子M的反射(入射角等于反射角),来测量旗杆CD的长度,在镜子上作一个标记,观测者AB看着镜子来回移动,直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合,若观测者AB的身高为1.6m,量得BM:DM=2:11,则旗杆的高度为8.8m.【点拨】根据题意抽象出相似三角形,然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可.【解析】解:根据题意得:△ABM∽△CDM,∴AB:CD=BM:DM,∵AB=1.6m,BM:DM=2:11,∴1.6:CD=2:11,解得:CD=8.8m,故答案为:8.8.【点睛】本题考查了相似三角形的知识,解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形,难度不大.7.(2019秋•竞秀区期末)如图,路灯距地面的高度PO=8米,身高1.6米的小明在点A处测量发现,他的影长AM=2.4米,则AO=9.6米;小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时,他的影子BN 的长度为0.4米.【点拨】如图,设OA=x,BN=y.利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题.【解析】解:如图,设OA=x,BN=y.∵EB∥OP∥F A,∴△MAF∽△MOP,△NBE∽△NOP,∴=,=,∴=,=,解得x=9.6,y=0.4,故答案为9.6,0.4.【点睛】本题考查相似三角形的应用,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考常考题型.8.(2019秋•开江县期末)如图,学校操场旁立着一杆路灯(线段OP).小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度,他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿(线段AE),这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m,他沿着影子的方向走了4m到达点B,又竖起竹竿(线段BF),这时竹竿的影长BD正好是2m,请利用上述条件求出路灯的高度.【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】解:由于BF=DB=2m,即∠D=45°,∴DP=OP=灯高.在△CEA与△COP中,∵AE⊥CP,OP⊥CP,∴AE∥OP.∴△CEA∽△COP,∴.设AP=xm,OP=hm,则,①,DP=OP=2+4+x=h,②联立①②两式,解得x=4,h=10.∴路灯有10m高.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.9.(2019秋•余杭区期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上且AE•AB=AD•AC,连结DE,BD.(1)求证:△ADE∽△ABC.(2)若点E为AB中点,AD:AE=6:5,△ABC的面积为50,求△BCD的面积.【点拨】(1)由已知得出AE:AC=AD:AB,由∠A=∠A,即可得出:△ADE∽△ABC.(2)设AD=6x,则AE=5x,AB=10x,由已知求出AC==x,得出CD=AC﹣AD=x,得出=,由三角形面积关系即可得出答案.【解析】(1)证明:∵AE•AB=AD•AC,∴AE:AC=AD:AB,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.(2)解:∵点E为AB中点,∴AE=BE,∵AD:AE=6:5,∴设AD=6x,则AE=5x,AB=10x,∵AE•AB=AD•AC,∴AC===x,∴CD=AC﹣AD=x,∴=,∵△ABC的面积为50,∴△BCD的面积=×50=14.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.10.(2018秋•江干区期末)如图,在菱形ABCD中,点E在BC边上(不与点B、C重合),连接AE、BD 交于点G.(1)若AG=BG,AB=4,BD=6,求线段DG的长;(2)设BC=kBE,△BGE的面积为S,△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2,把S1和S2分别用k、S的代数式表示;(3)求的最大值.【点拨】(1)证明△BAG∽△BDA,利用相似比可计算出BG=,从而得到DG的长;(2)先证明△ADG∽△EBG,利用相似三角形的性质得=()2=k2,==k,所以S1=k2S,根据三角形面积公式得到S△ABG=,再利用菱形的性质得到S2=S1+﹣S=k2S+kS﹣S=(k2+k﹣1)S;(3)由于==1+﹣,然后根据二次函数的性质解决问题.【解析】解:(1)∵AG=BG,∴∠BAG=∠ABG,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠BAG=∠ADB,∴△BAG∽△BDA,∴=,即=,∴BG=,∴DG=BD﹣BG=6﹣=;(2)∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AD=kBE,AD∥BC,∵AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA,∠ADG=∠BEG∴△ADG∽△EBG,∴=()2=k2,==k,∴S1=k2S,∵==k,∴S△ABG=,∵△ABD的面积=△BDC的面积,∴S2=S1+﹣S=k2S+kS﹣S=(k2+k﹣1)S;(3)∵==1+﹣=﹣(﹣)2+,∴的最大值为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.注意相似三角形面积的比等于相似比的平方.也考查了菱形的性质.。
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型探究相似三角形考查范围广,综合性强,其模型种类多,其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型(平行)反A字型(不平行)模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)模型四、共边角相似模型(子母型)模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A.B.C.D.解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确.D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误;故选:C.变式训练【变式1-1】.如图,在△ABC中,DE∥BC,AH⊥BC于点H,与DE交于点G.若,则=.解:∵,∴,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,故答案为.【变式1-2】.如图,在△ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,AE=AB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则=__________.解:如图,过C点作CP∥AB,交DE于P,∵PC∥AE,∴△AEM∽△CPM,∴=,∵M是AC的中点,∴AM=CM,∴PC=AE,∵AE=AB,∴CP=AB,∴CP=BE,∵CP∥BE,∴△DCP∽△DBE,∴==,∴BD=3CD,∴BC=2CD,即=2.【变式1-3】.如图,在△ABC中,点D在边AB上,AD=9,BD=7.AC=12.△ABC的角平分线AE交CD于点F.(1)求证:△ACD∽△ABC;(2)若AF=8,求AE的长度.解:(1)∵AD=9,BD=7,AC=12,∴AB=AD+BD=16,∵==,==,∴=,∵∠BAC=∠CAD,∴△ACD∽△ABC;(2)由(1)可知,△ACD∽△ABC,∴∠ABE=∠ACF,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAF,∴△ABE∽△ACF,∴=,即=,∴AE==.考点二、8字与反8字相似模型【例2】.如图,AG∥BD,AF:FB=1:2,BC:CD=2:1,求的值解:∵AG∥BD,∴△AFG∽△BFD,∴=,∵,∴CD=BD,∴,∵AG∥BD,∴△AEG∽△CED,∴.变式训练【变式2-1】.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是()A.B.C.D.解:A、∵AB∥CD,∴=,故本选项不符合题目要求;B、∵AE∥DF,∴△CEG∞△CDH,∴=,∴=,∵AB∥CD,∴=,∴=,∴=,∴=,故本选项不符合题目要求;∵AB∥CD,AE∥DF,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AF=DE,∵AE∥DF,∴,∴=,故本选项不符合题目要求;D、∵AE∥DF,∴△BFH∞△BAG,∴,故本选项符合题目要求;故选:D.【变式2-2】.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2,则△ABC的面积为()A.8B.10C.12D.14解:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∵EA∥BC,∴△AEF∽△CBF,∵AE=DE=AD,CB=AD,∴====,∴AF=AC,EF=BF,=S△ABC,∴S△ABF=S△ABF=×S△ABC=S△ABC,∴S△AEF=2,∵S△AEF=6S△AEF=6×2=12,故选:C.∴S△ABC【变式2-3】.如图,锐角三角形ABC中,∠A=60°,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,则DE:BC=1:2.解:如图,∵在△ADC中,∠A=60°,CD⊥AB于点D,∴∠ACD=30°,∴=.又∵在△ABE中,∠A=60°,BE⊥AC于E,∴∠ABE=30°,∴=,∴=.又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴DE:BC=AD:AC=1:2.故答案是:1:2.考点三、AX型相似模型(A字型及X字型两者相结合)【例3】.如图,在△ABC中,点D和E分别是边AB和AC的中点,连接DE,DC与BE交于点O,若△DOE的面积为1,则△ABC的面积为()A.6B.9C.12D.13.5解:∵点D和E分别是边AB和AC的中点,∴O点为△ABC的重心,∴OB=2OE,=2S△DOE=2×1=2,∴S△BOD=3,∴S△BDE∵AD=BD,=2S△BDE=6,∴S△ABE∵AE=CE,=2S△ABE=2×6=12.故选C.∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图,DE是△ABC的中位线,F为DE中点,连接AF并延长交BC于点G,=1,则S△ABC=24.若S△EFG解:方法一:∵DE是△ABC的中位线,∴D、E分别为AB、BC的中点,如图过D作DM∥BC交AG于点M,∵DM∥BC,∴∠DMF=∠EGF,∵点F为DE的中点,∴DF=EF,在△DMF和△EGF中,,∴△DMF≌△EGF(AAS),=S△EGF=1,GF=FM,DM=GE,∴S△DMF∵点D为AB的中点,且DM∥BC,∴AM=MG,∴FM=AM,=2S△DMF=2,∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线,∴=,=4S△ADM=4×2=8,∴S△ABG=S△ABG﹣S△ADM=8﹣2=6,∴S梯形DMGB=S梯形DMGB=6,∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线,=4S△BDE=4×6=24,∴S△ABC方法二:连接AE,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,DE=AC,∵F是DE的中点,∴=,∴==,=1,∵S△EFG=16,∴S△ACG∵EF∥AC,∴==,∴==,=S△ACG=4,∴S△AEG=S△ACG﹣S△AEG=12,∴S△ACE=2S△ACE=24,故答案为:24.∴S△ABC【变式3-2】.如图:AD∥EG∥BC,EG交DB于点F,已知AD=6,BC=8,AE=6,EF =2.(1)求EB的长;(2)求FG的长.解:(1)∵EG∥AD,∴△BAD∽△BEF,∴=,即=,∴EB=3.(2)∵EG∥∥BC,∴△AEG∽△ABC,∴=,即=,∴EG=,∴FG=EG﹣EF=.【变式3-3】.如图,已知AB∥CD,AC与BD相交于点E,点F在线段BC上,,.(1)求证:AB∥EF;:S△EBC:S△ECD.(2)求S△ABE(1)证明:∵AB∥CD,∴==,∵,∴=,∴EF∥CD,∴AB∥EF.(2)解:设△ABE的面积为m.∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴=()2=,=4m,∴S△CDE∵==,=2m,∴S△BEC:S△EBC:S△ECD=m:2m:4m=1:2:4.∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且∠APB=120°,求证:(1)△ACP∽△PDB,(2)CD2=AC•BD.证明:(1)∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠ACP=∠PDB=120°,∵∠APB=120°,∴∠APC+∠BPD=60°,∵∠CAP+∠APC=60°∴∠BPD=∠CAP,∴△ACP∽△PDB;(2)由(1)得△ACP∽△PDB,∴,∵△PCD是等边三角形,∴PC=PD=CD,∴,∴CD2=AC•BD.变式训练【变式4-1】.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.D.解:在△ABP和△ACB中,∠BAP=∠CAB,∴当∠ABP=∠C时,满足两组角对应相等,可判断△ABP∽△ACB,故A正确;当∠APB=∠ABC时,满足两组角对应相等,可判断△ABP∽△ACB,故B正确;当时,满足两边对应成比例且夹角相等,可判断△ABP∽△ACB,故C正确;当时,其夹角不相等,则不能判断△ABP∽△ACB,故D不正确;故选:D.【变式4-2】.如图,在△ABC中,点D在AC边上,连接BD,若∠ABC+∠BDC=180°,AD=2,CD=4,则AB的长为()A.3B.4C.D.2解:∵∠ABC+∠BDC=180°,∠ADB+∠BDC=180°,∴∠ADB=∠ABC,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,∴,∵AD=2,CD=4,∴,∴AB2=12,∴AB=2或﹣2(不合题意,舍去),故选:D.【变式4-3】.如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则PA+PB的最小值为2.解:设⊙O半径为r,OP=r=BC=2,OB=r=2,取OB的中点I,连接PI,∴OI=IB=,∵,,∴,∠O是公共角,∴△BOP∽△POI,∴,∴PI=PB,∴AP+PB=AP+PI,∴当A、P、I在一条直线上时,AP+PB最小,作IE⊥AB于E,∵∠ABO=45°,∴IE=BE=BI=1,∴AE=AB﹣BE=3,∴AI==,∴AP+PB最小值=AI=,∵PA+PB=(PA+PB),∴PA+PB的最小值是AI==2.故答案是2.模型五、手拉手相似模型【例5】.如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:BE的值为.解:连接OA、OD,∵△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30°,∠BAO=30°,∴OD:OE=OA:OB=:1,∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB,∴△DOA∽△EOB,∴OD:OE=OA:OB=AD:BE=:1=,故答案为:.变式训练【变式5-1】.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE.求证:(1)△BAC∽△DAE;(2)△BAD∽△CAE.证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE.∴△BAC∽△DAE;(2)∵△BAC∽△DAE,∴,∴,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD∽△CAE.【变式5-2】.如图,点D是△ABC内一点,且∠BDC=90°,AB=2,AC=,∠BAD=∠CBD=30°,AD=.解:如图,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,∵∠BAD=30°,∴∠DAM=60°,∴∠AMD=30°,∴∠AMD=∠DBC,又∵∠ADM=∠BDC=90°,∴△BDC∽△MDA,∴,又∠BDC=∠MDA,∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM,即∠BDM=∠CDA,∴△BDM∽△CDA,∴=,∵AC=,∴BM=3,在Rt△ABM中,AM===,∴AD=AM=.【变式5-3】.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),则BD的长为.(用含k的式子表示)解:如图中,∵AE⊥BC,BE=EC,∴AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,∵∠BAD=∠CAG,∴∠BAC=∠DAG,∵AB=AC,AD=AG,∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,∴△ABC∽△ADG,∵AD=kAB,∴DG=kBC=4k,∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,∴∠ADG+∠ADC=90°,∴∠GDC=90°,∴CG==.∴BD=CG=,故答案为:.实战演练1.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的是()A.=B.C.D.解:A、∵EF∥AB,∴=,∵DE∥BC,∴=,∴=,故A正确,B、易知△ADE∽△EFC,∴=,∴=,故B正确.C、∵△CEF∽△CAB,∴=,∴=,故C正确.D、∵DE∥BC,∴=,显然DE≠CF,故D错误.故选:D.2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为()A.2:3B.2:5C.4:9D.:解:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°,∴△CBA∽△ACD===,∵=()2=∴△ABC与△DCA的面积比为4:9.故选:C.3.如图,菱形ABCD中,E点在BC上,F点在CD上,G点、H点在AD上,且AE∥HC ∥GF.若AH=8,HG=5,GD=4,则下列选项中的线段,何者长度最长?()A.CF B.FD C.BE D.EC解:∵AH=8,HG=5,GD=4,∴AD=8+5+4=17,∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD=AD=17,∵AE∥HC,AD∥BC,∴四边形AECH为平行四边形,∴CE=AH=8,∴BE=BC﹣CE=17﹣8=9,∵HC∥GF,∴=,即=,解得:DF=,∴FC=17﹣=,∵>9>8>,∴CF长度最长,故选:A.4.如图,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,动点P在射线EF上,BP 交CE于点D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当CQ=CE时,EP+BP的值为()A.6B.9C.12D.18解:如图,延长BQ交射线EF于M,∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BQ是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM,∵CQ=CE,∴EQ=2CQ,由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ,∴=2,∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12.故选:C.5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=2,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,当A′B′恰好经过点D时,△B′CD为等腰三角形,若BB′=2,则AA′等于()A.B.2C.D.解:过D作DE⊥BC于E,则BE=AD=2,DE=2,设B′C=BC=x,则DC=x,∴DC2=DE2+EC2,即2x2=28+(x﹣2)2,解得:x=4(负值舍去),∴BC=4,AC=,∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,∴∠DB′C=∠ABC=90°,B′C=BC,A′C=AC,∠A′CA=∠B′CB,∴∴△A′CA∽△B′CB,∴,即∴AA′=,故选:A.6.如图,已知,△ABC中边AB上一点P,且∠ACP=∠B,AC=4,AP=2,则BP=6.解:∵∠A=∠A,∠ACP=∠B,∴△ACP∽△ABC,∴AC2=AP•AB,即AB=AC2÷AP=16÷2=8,∴BP=AB﹣AP=6.7.如图,在▱ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是OA的中点,联结BE并延长交AD 于点F,如果△AEF的面积是4,那么△BCE的面积是36.解:∵在▱ABCD中,AO=AC,∵点E是OA的中点,∴AE=CE,∵AD∥BC,∴△AFE∽△CBE,∴==,=4,=()2=,∵S△AEF=36,故答案为36.∴S△BCE8.如图,在△ABC中,点G为ABC的重心,过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E,过点D作DF∥BC交AC于点F,如果DF=4,那么BE的长为8.解:连接BG并延长交AC于H,∵G为ABC的重心,∴=2,∵DE∥AC,DF∥BC,∴四边形DECF是平行四边形,∴CE=DF=4,∵GE∥CH,∴△BEG∽△CBH,∴=2,∴BE=8,故答案为:8.9.如图,已知Rt△ABC中,两条直角边AB=3,BC=4,将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE,并且点A落在DE边上,则sin∠ABE=.解:∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE,∴BD=AB,BC=BE,∠ABD=∠CBE,∠DEB=∠ACB,∴∠D=∠BAC=∠BAD=(180°﹣∠ABD),∴∠BEC=(180°﹣∠CBE),∴∠D=∠BEC,∵∠ABC=∠DBE=90°,∴∠DEB+∠BEC=90°,∴∠AEC=90°,∵∠AGB=∠EGC,∴∠ACE=∠ABE,∵在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC=DE=5,过B作BH⊥DE于H,则DH=AH,BD2=DH•DE,∴DH==,∴AD=,∴AE=DE﹣AD=,∴sin∠ABE=sin∠ACE===,故答案为:.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC,交边BC于点D,过点D作CA的平行线,交边AB于点E.(1)求线段DE的长;(2)取线段AD的中点M,联结BM,交线段DE于点F,延长线段BM交边AC于点G,求的值.解:(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠DAC=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,∠DAC=30°,AC=6,∴CD=2,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=6,∴BC=6,∴BD=BC﹣CD=4,∵DE∥CA,∴,∴DE=4;(2)如图,∵点M是线段AD的中点,∴DM=AM,∵DE∥CA,∴,∴DF=AG,∵DE∥CA,∴,∴,∵BD=4,BC=6,DF=AG,∴.11.如图,在菱形ABCD中,∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对角线AC 于点M,且∠ADE=∠CDF.(1)求证:CE=AF;(2)连接ME,若=,AF=2,求ME的长.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠DAF=∠DCE,又∵∠ADE=∠CDF,∴∠ADE﹣∠EDF=∠CDF﹣∠EDF,∴∠ADF=∠CDE,在△ADF和△CDE中,,∴△ADF≌△CDE,∴CE=AF.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,由(1)得:CE=AF=2,∴BE=BF,设BE=BF=x,∵=,AF=2,∴,解得x=,∴BE=BF=,∵=,且CE=AF,∴==,∵∠CMD=∠AMF,∠DCM=∠AMF,∴△AMF∽△CMD,∴,∴=,且∠ACB=∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB=∠CME=∠ACB∴ME=CE=212.[问题背景](1)如图①,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.[尝试应用](2)如图②,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,①填空:=1;②求的值.(1)证明:如图①,∵△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,=,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,=,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.(2)解:①如图②,∵∠DAE=90°,∠ADE=30°,∴DE=2AE,∴AD===AE,∵=,∴AD=BD,∴AE=BD,∴=1,故答案为:1.②如图②,连接CE,∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE,∴△BAC∽△CAE,∴=,∴=,∵∠BAD=∠CAE=90°﹣∠CAD,∴△BAD∽△CAE,∴∠ABC=∠ACE,∴∠ADE=∠ACE,∵∠AFD=∠EFC,∴△AFD∽△EFC,∴=,由①得AD=AE,AD=BD,∴==,∴BD=CE,∴AD=×CE=3CE,∴=3,∴=3,∴的值是3.13.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于点M、N,连接EN、EF.(1)求证:△ABN∽△MBE;(2)求证:BM2+ND2=MN2;(3)①求△CEF的周长;②若点G、F分别是EF、CD的中点,连接NG,则NG的长为.(1)证明:如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠ABN=∠MBE=45°,∠BME=∠ABD+∠BAM=45°+∠BAM,∵∠EAF=45°,∴∠BAN=∠EAF+∠BAM=45°+∠BAM,∴∠BAN=∠BME,∴△ABN∽△MBE.(2)证明:如图1,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,连接MH,∴∠BAH=∠DAN,AH=AN,HB=ND,∵∠MAN=∠EAF=45°,∴∠MAH=∠BAH+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°,∴∠MAH=∠MAN,∵AM=AM,∴△MAH≌△MAN(SAS),∴MH=MN,∵∠ABH=∠ADN=45°,∴∠MBH=∠ABD+∠ABH=90°,∴BM2+HB2=MH2,∴BM2+ND2=MN2.(3)解:①如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK,∴AK=AF,∠BAK=∠DAF,BK=DF,∠ABK=∠ADF=90°,∴∠ABK+∠ABE=180°,∴点K、点B、点E在同一条直线上,∵∠EAK=∠BAE+∠BAK=∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAK=∠EAFM,∵AE=AE,∴△EAK≌△EAF(SAS),∴EK=EF,∴BE+DF=BE+BK=EK=EF,∵CB=CD=AB=4,∴CE+EF+CF=CE+BE+DF+CF=CB+CD=4+4=8,∴△CEF的周长是8.②如图2,∵F是CD的中点,∴CF=DF=CD=2,∵∠C=90°,∴CF2+EF2=CE2,∵EF=BE+DF=BE+2,CE=CB﹣BE=4﹣BE,∴22+(4﹣BE)2=(BE+2)2,解得BE=,∴EF=+2=,∵∠MBE=∠MAN=45°,∠BME=∠AMN,∴△BME∽△AMN,∴=,∴=,∴∠AMB=∠NME,∴△AMB∽△NME,∴∠NEM=∠ABM=45°,∴∠ENF=∠MAN+∠NEM=90°,∵G是EF的中点,∴NG=EF=×=,故答案为:.14.问题背景如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;尝试应用如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;拓展创新如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB =4,AC=2,直接写出AD的长.问题背景证明:∵△ABC∽△ADE,∴,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,,∴△ABD∽△ACE;尝试应用解:如图1,连接EC,∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,∴△ABC∽△ADE,由(1)知△ABD∽△ACE,∴,∠ACE=∠ABD=∠ADE,在Rt△ADE中,∠ADE=30°,∴,∴=3.∵∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC,∴△ADF∽△ECF,∴=3.拓展创新解:如图2,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,∵∠BAD=30°,∴∠DAM=60°,∴∠AMD=30°,∴∠AMD=∠DBC,又∵∠ADM=∠BDC=90°,∴△BDC∽△MDA,∴,又∠BDC=∠MDA,∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM,即∠BDM=∠CDA,∴△BDM∽△CDA,∴,∵AC=2,∴BM=2=6,∴在Rt△ABM中,AM===2,∴AD=.15.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG=DE及所在直线的位置关系BG⊥DE;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断;(2)将原题中正方形改为矩形(如图4﹣6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a≠b,k>0),则线段BG、线段DE的数量关系=及所在直线的位置关系BG ⊥DE;(3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=4,b=3,k=,直接写出BE2+DG2的值为.解:(1)①猜想:BG ⊥DE ,BG =DE ;故答案为:BG =DE ,BG ⊥DE ;②结论成立.理由:如图2中,∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形,∴BC =DC ,CG =CE ,∠BCD =∠ECG =90°,∴∠BCG =∠DCE ,∴△BCG ≌△DCE (SAS ),∴BG =DE ,∠CBG =∠CDE ,又∵∠CBG +∠BHC =90°,∴∠CDE +∠DHG =90°,∴BG ⊥DE .(2)∵AB =a ,BC =b ,CE =ka ,CG =kb ,∴==,又∵∠BCG =∠DCE ,∴△BCG ∽△DCE ,∴∠CBG =∠CDE ,==,又∵∠CBG +∠BHC =90°,∴∠CDE +∠DHG =90°,∴BG⊥DE.故答案为:=,BG⊥DE.(3)连接BE、DG.根据题意,得AB=4,BC=3,CE=2,CG=1.5,∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+16+2.25+4=.。
中考数学《相似三角形》知识点及练习题
相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理:两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
2.相似三角形定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似比:相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.相似三角形的判定平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所得的三角形与原三角形相似。
两角法:两角分别相等的两个三角形相似。
边角法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边法:三边对应成比例的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②相似三角形对应边上高的比,对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。
这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4,那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ,且AB:DE=1:2,则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图,给出下列条件:其中,不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B=∠ACDB.∠ADC=∠ACBC.AC CD =AB BCD.AC AD =AB AC5.如图,DE ∥BC ,且AD=2,BD=5,则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD=2,AE=3,BD=4,则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ,且它们的周长之比为1:2,那么它们的相似比为 。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套(比例的有关性质): b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点:1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理:(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS (ASA ) HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一个判定定理,也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础,这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
《相似三角形(复习)》说课稿
《相似三角形(复习)》说课稿桦川二中李婷尊敬的各位领导、专家、老师:大家好!今天我说课的内容是《相似三角形》的复习课。
一、教材分析相似三角形的性质和判定在几何证明和计算问题中有着非常广泛的应用,特别是综合运用相似三角形的性质和判定探究一些与相似有关的综合题更是一个热点。
相似三角形的有关知识与方程、二次函数和圆有着紧密的联系,以相似三角形的几种常见基本图形:①平行线型;②斜交型;③垂直型;④旋转型为背景的综合题是本节知识的进一步应用和深化,同时,四种常见的类型又为图形间的演变做了很好的铺垫。
基于以上认识,参考教学大纲和数学课程标准的要求,我们确立了本节课的教学目标:使学生进一步理解和掌握相似三角形的相关知识;掌握相似三角形常见类型;理解基本图形间的演变关系并能从复杂图形中分析出基本图形,提高学生分析问题和解决问题的能力,体会在解决问题过程中如何与他人交流合作。
为顺利完成上述目标和体现复习课的教学特点,我们确立了本节复习课的教学重点为相似三角形常见类型,而从复杂图形中分析出基本图形为本节课的教学难点。
二、教法分析动手实践、自主探索与交流合作是学生学习数学的重要方式,数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
由于数学课程内容是现实的,并且“过程”要成为课程内容的一部分,数学的学习方式就不能再单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式了。
教师就要注意把思考的空间和时间留给学生,把自己工作的着眼点放在启发和信任上,让学生自主探索,亲身实践,经历一个实践和创新的过程。
因此,在教学设计中,我们立足于“动手实践,自主探索”这一过程教学理念。
例如:四种相似三角形的常见类型,我们没有机械地直接给出,而是通过让学生做相应的类型题,结合已有的知识经验归纳得出,这样不仅加深了学生对相似三角形四种常见类型的印象,同时也培养了学生归纳问题的能力,在讲解垂直型相似的第三种基本图形时,与物理学科中光的反射定律相对比,一方面让学生充分认识了图形,另一方面也在比较中完成了学科间的整合。
初三相似三角形讲义
初二升初三数学相似三角形知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。
注意:(1)相似比是有顺序的。
(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
(3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /,相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。
(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应线段的比等于相似比,根据这一性质,可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得:AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.(4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。
中考相似三角形复习课
中考相似三角形复习课一、教学目标1.知识与技能复习巩固相似三角形的相关概念和定理,运用相似三角形的知识进行有关的证明和计算。
2、过程与方法通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学模型的思想,培养分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观学会与同学交流合作,培养团体意识,变他有为己有,培养把自己的想法与观点陈述给其他同学的语言表达能力。
体验学习几何过程中成功的快乐,增强学习几何的信心与热情。
二、教学重难点1.重点:运用相似三角形的知识进行有关的证明和计算。
2.难点:把实际问题转化成相似三角形的数学模型。
三、设计思路通过中考考试大纲和中考解读,让学生们知道相似三角形在中考中的重要性。
通过基础练习帮助同学们复习相似三角形的相关性质和判断方法。
通过经典例题讲解归纳相似模型。
四、数学思想数形结合思想五、教具准备直尺、多媒体六、教学过程(一)情境引入通过观看中考纲要以及中考解读,发现相似三角形是中考中必考题型之一。
可见复习相似三角形的必要性。
同学们要要认真复习归纳总结。
(二)知识回顾活动1 已知:如图所示:△ABC∽△DEF,AB=8,AC=10,DE=4,∠C=∠F=45°,∠B=75 °则∠E= ,DF= .相似三角形的性质1:相似三角形对应角相等,对应边成比例。
活动2 已知:△ABC∽△DEF,它们的相似比为2:3,则△ABC与△DEF对应高的比为,周长的比,面积的比为。
相似三角形的性质2:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比、周长的比等于相似比;相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
活动3:已知:在ABCD中,点M为CD上一点,连接AM并延长与BC的延长线相交于点F,则图形中相似三角形共有对。
相似三角形判定方法:1、平行三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似(预备定理)活动4 :在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件①∠A=∠A′;②∠C=∠C′;③ABA′B′=BCB′C′;④ACA′C′=BCB′C′;如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的有哪几组?相似三角形判定方法:2、两角对应相等,两三角形相似。
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理(3种题型)【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比. 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.【考点剖析】题型一:相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,1132AB A B =,BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线,且6BE =.求B 1E 1的长. 【答案】4.【解析】解:111ABC A B C ∆∆∽,BE 、11B E 分别是对应中线,1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =,114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比.例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,12AC =,119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6,求A ∠的平分线的长. 【答案】8.【解析】解:111ABC A B C ∆∆∽,AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线,1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =,8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8.【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 例3.求证:相似三角形对应高的比等于相似比.【解析】已知:如图,111ABC A B C ∆∆∽,且相似比为k ,AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高.求证:11ADkA D =.证明:111ABC A B C ∆∆∽,1B B ∴∠=∠,11ABkA B =;又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高,11190BDA B D A ∴∠=∠=,111ABD A B D ∴∆∆∽,1111AB ADk A B A D ∴==.【总结】本题考查相似三角形的判定和性质. 例4.求证:相似三角形对应中线的比等于相似比.【解析】已知:如图,111ABC A B C ∆∆∽,且相似比为k ,AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线.求证: 11ADk A D =.证明:111ABC A B C ∆∆∽,1B B ∴∠=∠,1111AB CBkA B C B ==;又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线,12BD BC ∴=,111112B D B C =,∴11DB k D B =,1111AB BD A B B D ∴=,111ABD A B D ∴∆∆∽,1111AB ADkA B A D ∴==.【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用.例5.求证:相似三角形对应角平分线的比等于相似比.【解析】已知:如图,111ABC A B C ∆∆∽,且相似比为k ,AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线.求证:11ADk A D =.证明:111ABC A B C ∆∆∽,1B B ∴∠=∠,111BAC B A C ∠=∠,11ABkA B =;又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线,11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠,111BAD B A D ∴∠=∠,111ABD A B D ∴∆∆∽,1111AB ADk A B A D ∴==.【总结】本题考查相似三角形的判定和性质.例 6.如图,ABC ∆和111A B C ∆中,AD 和BE 是ABC ∆的高,11A D 和11B E 是111A B C ∆的高,且1C C ∠=∠,1111AD ABA D AB =. 求证:1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明:1111AB ADA B A D =,又111ADB A D B ∠=∠,111ABD A B D ∴∆∆∽,111ABD A B D ∴∠=∠,又1C C ∠=∠,111ABC A B C ∴∆∆∽,又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高,1111BE AB E B A B ∴=,1111BE ADE B A D ∴=.【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用.例7.如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点,BAD C ∠=∠,BE 是ABC ∆的角平分线,交AD 于点F ,1BD =,3CD =,求BF :BE .【解析】解:BE 是ABC ∆的角平分线,∴ABF EBC ∠=∠,又BAD C ∠=∠,ABF CBE ∴∆∆∽,AB BFCB BE ∴=,又BAD C ∠=∠,ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽,AB BD BC BA ∴=,14AB AB ∴=,2AB ∴=,12AB BC ∴=,1:2BF BE ∴=.【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用.例8.如图,在ABC ∆中,矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上,顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上,AH 是BC 边上的高,AH 与GF 交于点K .若32AH cm =,48BC cm =,矩形DEFG 的周长为76cm ,求矩形DEFG 的面积.【答案】2360cm .AB C DEFABC D EFGH K【解析】解:设DG xcm =,()38FG x cm=−矩形DEFG ,//90GF BC GDB ∴∠=,,GF AGBC AB ∴=,又AH 是高,90AHB ∴∠=,GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=,1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=,20x ∴=,∴20DG cm =,18FG cm =,2360DEFG S cm ∴=矩形. 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理,矩形的周长面积等知识.例9.如图,正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上,顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上,AH 是ABC ∆的高,BC = 60厘米,AH = 40厘米,求正方形DEFG 的边长.【答案】24.【解析】设正方形EFGD 的边长为x ,//DG BC ,DG AD APBC AB AH ∴==.406040x x −∴=,24x ∴=,∴正方形EFGD 的边长为24.【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识,主要还是通过比例相等来列式建立关系. 例10.在锐角∆ABC 中,矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上,顶点E 、F 在BC 边上,顶点G 在AC 边上,如果矩形DEFG 的长为6,宽为4,设底边BC 上的高为x ,∆ABC 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式.ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−.【解析】解:如图, 矩形DEFG ,//90GD BC DEC ∴∠=,,GD AD BC AB ∴=.又 AH 是高,90AHC ∴∠=. DEC AHC ∴∠=∠, //DE AH ∴,DE BDAH AB ∴=, 1DG DEBC AH ∴+=, 641BC x ∴+=,64xBC x ∴=−,又12ABC S y BC AH ∆==,∴()2344x y x x =>−.【总结】本题考查三角形一边的平行线定理,矩形的面积等知识.题型二:相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆,ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2,则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )(A )1:4 (B )1:2 (C )2:1 (D )1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比.例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,它们的周长分别为48和60,且12AB =,1125B C =,求BC 和A 1B 1的长.【答案】112015BC A B ==,.【解析】解:111ABC A B C ∆∆∽,1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==;又111484605ABC A B C C C ∆∆==,∴1120,15BC A B ==.【总结】本题考查相似三角形的性质.例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米,它们的周长相差60厘米,那么大三角形的周长是.【答案】100cm .【解析】两三角形的相似比为5:2,则周长比为5:2,设大三角形周长为5acm ,小三 角形周长为2acm ,则5260a a −=,所以20a =,所以大三角形的周长为100cm . 【总结】相似三角形的周长比等于相似比.例14.如图,在ABC ∆中,12AB =,10AC =,9BC =,AD 是BC 边上的高.将ABC ∆沿EF 折叠,使点A 与点D 重合,则DEF ∆的周长为.【答案】312.【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ,AD 是BC 上的高,ABCD EF//EF BC ∴,AEF ABC ∴∆∆∽,12AEF ABC C C ∆∆∴=,9101231ABC C ∆=++=,312AEF C ∆∴=.【总结】本题考查相似三角形的性质和判定.例15.如图,梯形ABCD 的周长为16厘米,上底3CD =厘米,下底7AB =厘米,分别延长AD 和BC 交于点P ,求PCD ∆的周长.【答案】152cm .【解析】解:梯形ABCD ,//CD AB ∴,AEF ABC ∴∆∆∽,37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==,即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形, 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−,152PDC C cm ∆∴=.【总结】本题考查相似三角形的性质和判定.例16.如图,在ABC ∆中,=90C ∠︒,5AB =,3BC =,点P 在AC 上(与点A 、C 不重合),点Q 在BC 上,PQ //AB .当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时,求CP 的长.【答案】247.【解析】解:CPQ PABQC C ∆=四边形,ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++, CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+, 5AB =,3BC =,90C ∠=,4AC ∴=,345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+,6CP CQ ∴+=,//PQ AB ,CP CQCA CB ∴=,∴643CP CP −=,247CP =. 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质,主要考查了学生的推理能力.题型三:相似三角形性质定理3例17.(1)如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍,那么这个三角形的面积扩大为原来的倍;(2)如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍,那么这个三角形的边长扩大为原来的倍.【答案】(1)10000;(2)10.【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方.例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2,则它们的对应角的平分线的比为( )(A )25:256(B )5:16(C )5:4(D )以上都不对.【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比,对应面积的比等于相似比的平方. 【总结】本题考查相似三角形的性质.例18.如图,点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上,DE //BC ,6DE =,9BC =,16ADE S ∆=.求ABC S ∆的值.【答案】36.ABCD E【解析】解://DE BC ,ADE ABC ∴∆∆∽,226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,36ADE S ∆∴=. 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质.例19.如图,在ABC ∆中,D 是AB 上一点,若B ACD ∠=∠,4AD cm =,6AC cm =,28ACD S cm ∆=,求ABC ∆的面积.【答案】218cm .【解析】解:B ACD ∠=∠,A A ∠=∠,ACD ABC ∴∆∆∽,222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又28ACD S cm ∆=,218ABC S cm ∆∴=.【总结】本题考查相似三角形的判定及性质.例20.如图,在ABC ∆中,点D 、E 在AB 、AC 上,DE //BC ,ADE ∆和四边形BCED 的面积相等,求AD :BD 的值.【答案】21+.ABCDABCD E【解析】解://DE BC ,ADE ABC ∴∆∆∽,2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,ADE BCEDS S ∆=四边形,12ADE ABC S S ∆∆∴=,12AD AB ∴=,12121AD DB ∴==+−.【总结】本题考查相似三角形的判定及性质.例21.如图,在ABC ∆中,AD BC ⊥,BE AC ⊥,D 、E 分别为垂足.若60C ∠=︒,1CDE S ∆=,求四边形DEAB 的面积.【答案】3. 【解析】解:AD BC BE AC ⊥⊥,,90CDA BEC ∴∠=∠=.90CDA BEC ∴∠=∠=,CBE CAD ∴∆∆∽,CD CACE CB ∴=.90CDA BEC ∴∠=∠=,CBE CAD ∴∆∆∽,CD CACE CB ∴=,DCE ACB ∴∆∆∽,2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,又60C ∠=, 30CBE CAD ∴∠=∠=,12CD CA =,14DCE ACB S S ∆∆∴=,13DCE BDEA S S ∆∴=四边形,1CDE S ∆=,3DEAB S ∴=四边形.【总结】本题考查相似三角形的性质及判定,直角三角形的性质等知识.例22.如图,Rt ABC ∆中,点D 是BC 延长线上一点,直线EF //BD 交AB 于点E , 交AC 于点G ,交AD 于点F ,若13AEG EBCG S S ∆=四边形,求CFAD的值.A B CDEF【答案】21.【解析】解://EF BD ,AEG AEC ∴∆∆∽,AE AFAB AD ∴=,2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,13AEG EBCGS S ∆=四边形,14AEG ABC S S ∆∆∴=,12AE AF AB AD ∴==,Rt ABC ∆,90ACD ACB ∴∠=∠=,CF ∴是中线,12CF AD ∴=,12CF AD ∴=.【总结】本题考查相似三角形的性质,直角三角形的性质,三角形一边的平行线等知识.【过关检测】一、单选题1.(2022秋·上海浦东新·九年级校考期中)两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4,则它们的周长比为( ) A .1:4 B .1:2C .1:16D .以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应高线的比,周长的比都等于相似比.【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4,∴两个相似三角形的相似比为1:4, ∴周长的比为1:4.ABCDEFG故选A .【点睛】本题考查相似三角形的性质,解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用.在ABC 的边,ABC 的面积是A .4B .8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ,交GF 于M ,如图,先利用三角形面积公式计算出8AH =,设正方形DEFG 的边长为x ,则,,8GF x MH x AM x ===−,再证明AGF ABC ∽,则根据相似三角形的性质得方程,然后解关于x 的方程即可.【详解】解:如图,过点A 作AH BC ⊥于H ,交GF 于M ,∵ABC 的面积是32,8BC =, ∴2132BC AH ⋅=,∴8AH =,设正方形DEFG 的边长为x ,则,,8GF x MH x AM x ===−, ∵GF BC ∥,∴AGF ABC ∽, ∴GF AMBC AH = , 888x x −∴= ,解得∶4x =,即这个正方形的边长是4. 故选:A .【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质,添加合适的辅助线是解题的关键. 3.(2022秋·上海嘉定·九年级校考期中)已知两个相似三角形的相似比为49:,那么它们的面积比为( ) A .23: B .818:C .49:D .1681:【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可得到答案.【详解】解:两个相似三角形的相似比为49:, ∴它们的面积比1618:故选D .【点睛】本题考查了相似三角形的性质,熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 九年级统考期中)已知ABC 的三边长分别为,DEF 的一边长,如果这两个三角形相似,那么DEF 的另两边长可能是(【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似,即可求得.注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ,所以有三种情况.【详解】解:设DEF 的另两边为cm,cm x y , 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm , 则:567.59x y==,解得:254x =,152y =; 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ,则:57.569x y ==,解得:4x =,6y =;若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm , 则:5967.5x y ==,解得:103x =,256y =; 结合选项可得B 选项可选. 故选:B .【点睛】此题考查了相似三角形的判定:三边对应成比例的三角形相似.解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定,答案不唯一,要仔细分析,小心别漏解.九年级上海市华东模范中学校考期中)如图,在ABC 中,:ADEABCSS为(A .3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ,由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方,即可判断求解. 【详解】解:∵DE BC ∥, ∴ADEABC ,∵:3:2AD DB =, ∴:3:5AD AB =,2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故选:C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.用到的知识为:平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似,相似三角形对应边的比相等,都等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.DEF 的最短边长为,那么DEF 的周长等于(126【答案】D【分析】由相似三角形的性质:周长的比等于相似比,求出相似比即可求得结果. 【详解】ABC DEF ∽,∴相似比为3193k ==,13ABC DEFC C∴=,33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=;故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键.是ABC 的重心,四边形与ABC 面积的比值是(【答案】B【分析】连接DE ,根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥,12ABDABCS S =,12BDEABDSS =,从而得到ADE ACB △△∽,进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==,继而得到13DEGBDESS =,14ADEABCSS =,可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=,再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形,即可.【详解】解:如图,连接DE ,∵点G 是ABC 的重心,∴点D ,E 分别为,AC AB 的中点,∴1,2DE BC DE BC =∥,12ABDABCS S =,12BDEABDSS =,∴ADE ACB △△∽, ∴12DG EG DE BG CG BC ===, ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==, ∴13DEGBDES S =,14ADE ABCSS =,∴111326DEGABDABDS S S =⨯=, ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=,∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形,即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13.故选:B【点睛】本题主要考查了三角形的重心,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理,熟练掌握三角形的重心,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理是解题的关键. 二、填空题8.(2022秋·上海长宁·九年级校考期中)已知ABC 与DEF 相似,且ABC 与DEF 的面积比为1:4,若DEF 的周长为16,那么ABC 的周长等于________.【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比,然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可.【详解】解:∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4, ∴它们的相似比为1:2,∴ABC 与DEF 的周长比为1:2, ∵DEF 的周长为16, ∴ABC 的周长等于8, 故答案为:8.【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方,周长的比等于相似比的性质,熟记性质是解题的关键.9.(2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中)已知ABC ∽111A B C △,顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应,AB :113A B =:4,BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线,则BE :11B E =______. 【答案】3:4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可. 【详解】解:ABC ∽111A B C △,BE ∴:11B E AB =:113A B =:4,故答案为:3:4.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键.10.(2022秋·上海浦东新·九年级校考期中)如图,DE BC ∥,:2:3AE EC =,则:OE OB =________.【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =,再根据三角形相似的性质即可求解. 【详解】解:∵:2:3AE EC =,∴25AE AC =,∵DE BC ∥,∴25DE AE BC AC ==,且DEO CBO △∽△, ∴25OE DE OB CB ==, 故答案为:2:5.【点睛】本题主要考查比例的性质,相似三角形的性质,理解平行线的性质,相似三角形的性质是解题的关键.11.(2022秋·上海松江·九年级校考期中)已知ABC 和DEF 相似,对应边AB 与DE 之比为3:4,如果DEF 的周长为24,那么ABC 的周长是___________.【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=,又因为DEF 的周长是24,再建立方程即可.【详解】解:∵ABC 和DEF 相似,对应边AB 与DE 之比为3:4, ∴:3:4ABCDEFCC=,∵DEF 的周长是24, ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18, 故答案为:18.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比. 12.(2023·上海长宁·统考一模)如图,在ABC 中,90C ∠=︒,正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上,顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上,如果其面积为24,那么AF BG ⋅的值为______.【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽,则AF BG EF HG ⨯=⨯,即可得到答案. 【详解】90C ∠=︒,正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上, 90A B ∴∠+∠=, 90B BHG ∠+∠=,Rt Rt AFE HGB ∴∽, =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯.故答案为24.【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用,掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.,如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式,代入数据即可求解.【详解】解:∵ABC DEF △△∽,∵ABC ,2,2,DEF 的两边长为1x∴21x ==,解得:x所以DEF ..【点睛】本题考查了相似三角形的性质,求出相似比是解题关键.14.(2022秋·上海宝山·九年级统考期中)已知111ABC A B C :△△,顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应,11:3:5AB A B =,E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点,如果1BE =,那么11B E 的长为________. 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可.【详解】解答:解:∵11111:35ABC A B C AB A B =∽,:,∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:,∴11135B E =::, ∴1153B E =. 故答案为:53.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,相似三角形对应中线的比等于相似比. 15.(2022秋·上海杨浦·九年级统考期中)如果两个相似三角形的面积比为3:4,那么它们对应高之比为__________.2 【分析】根据相似三角形的性质,两个相似三角形的面积比等于相似比的平方,因为两个相似三角形的面积比为3:42;再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案. 【详解】解:两个相似三角形的面积比为3:4,∴2,∴2,2.【点睛】本题考查相似三角形的性质应用,熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方,相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键. 16.(2023·上海·一模)如果ABC ∽DEF ,且ABC 的三边长分别为3、4、5, DEF 的最短边长为6,那么DEF 的周长等于________.【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ,再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值.【详解】解;设DEF 的周长等于l ,∵ABC ∽DEF ,ABC 的三边长分别为3、4、5,DEF 的最短边长为6, ∴33546c ++=,解得24c = .故答案为:24.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形周长的比等于相似比. 17.(2023·上海黄浦·统考一模)已知ABC 的三边长分别为2、3、4,DEF 与ABC 相似,且DEF 周长为54,那么DEF 的最短边的长是______.【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长,进而得出相似比为16∶,进而得出答案. 【详解】解:∵ABC 的三边长分别为2、3、4,∴ABC 的周长为:9∵DEF 与ABC 相似,且DEF 周长为54,∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶, ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶, 设DEF 的最短边的长是x ,则:216x =∶∶,解得∶12x =.故答案为∶12.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.18.(2023·上海宝山·一模)已知一个三角形的三边之比为2:3:4,与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米,那么三角形ABC 的周长为 _____厘米.【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等,因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4,即可求得三角形的三边,从而求得周长.【详解】解:所求三角形的三边的比是2:3:4,设最短边是2x 厘米,则24=x ,解得2x =,因而另外两边的长是36x =厘米,48x =厘米.则三角形的周长是68418++=(厘米).故答案为:18.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,相似三角形对应边的比相等,由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4,是解题关键. 19.(2022·上海·九年级专题练习)两个相似三角形的面积之比是 9:25, 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米, 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米.【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比,在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设:另一三角形对应边上的高为x∴355x =,解得x=3 故答案为:3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用,掌握他们的区别是本题关键. 20.(2023·上海徐汇·统考一模)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,2AC =,1BC =,正方形DEFG 内接于ABC ,点G 、F 分别在边AC 、BC 上,点D 、E 在斜边AB 上,那么正方形DEFG 的边长是______.【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ,交GF 于点N ,首先由勾股定理得出AB 的长,由面积法即可求出CM 的长,可证得CGF CAB ∽,再根据相似三角形的性质,即可得出答案.【详解】解:如图:过点C 作C M A B ⊥于点M ,交GF 于点N ,Rt ABC △中,90C ∠=︒,2AC =,1BC =,AB ∴,1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△,∴AC BC CM AB ⋅∴===, ∵正方形DEFG 内接于ABC ,GF EF MN ∴==,GF AB ∥,CGF CAB ∴△∽△,CN GF CM AB ∴=,EF −=,解得:EF =,故答案为:.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识;正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 21.(2023·上海虹口·校联考二模)如图,在ABC 中,点D 、E 分别在边BC AC 、上,ABE C ∠=∠,DE AB ∥,如果6AB =,9AC =,那么:BDE CDE S S △△的值是______.【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽,得出4AE =,进而得出5EC =,根据DE AB ∥,根据平行线分线段成比例,得出45AE BD EC DC ==,即可求解. 【详解】解:∵BAE CAB ∠=∠,ABE C ∠=∠,∴ABE ACB ∽,∵6AB =,9AC =,∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==,∴945EC AC AE =−=−=,∵DE AB ∥,∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==,故答案为:4:5.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,平行线分线段成比例,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.22.(2023·上海·一模)如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似,那么我们称该梯形为“优美梯形”.如果一个直角梯形是“优美梯形”,它的上底等于2,下底等于4,那么它的周长为______.【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义,得到ABD BDC ∽△△,从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒,AD AB BD BC BD CD ==,推出2BD AB CD =⋅,算出BD =再根据勾股定理,得到AD 、BC 的长,即可得到该直角梯形的周长.【详解】解:根据题意,作图如下,ABCD 为直角梯形,90BAD ADC ∴∠=∠=︒,90ABD ADB ∴∠+∠=︒,90ADB BDC ∠+∠=︒,ABD BDC ∴∠=∠,直角梯形ABCD 是“优美梯形”,ABD BDC ∴∽,90CBD BAD ∴∠=∠=︒,AD AB BD BC BD CD ==,2BD AB CD ∴=⋅,2AB =,4CD =,BD ∴,在Rt ABD 中,2AD ,在Rt BCD △中,BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为:8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质,相似三角形的性质,勾股定理,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 23.(2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中)如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AC 与BD 相交于点O ,如果2ABC ACD S S =,那么COD S △:ABC S =______.【答案】1:3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =,可得AD :1BC =:2;然后根据AOD ∴∽COB ,可得AO :OC OD =:OB AD =:1BC =:2,进而可得AOD S:1BOC S =:4,AOD S :1AOB S =:2,AOD S :1OCD S =△:2,设AOD S k =,分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论.【详解】解:在梯形ABCD 中,//AD BC ,2ABC ACD S S =,AD ∴:1BC =:2;//AD BC ,AOD ∴∽COB ,AO ∴:OC OD =:OB AD =:1BC =:2,AOD S∴:1BOC S =:4,AOD S :1AOB S =:2,AOD S :1OCD S =△:2, 设AOD S k=,则4BOC S k =,2AOB OCD S S k ==, 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=, COD S ∴:2ABC S k =:61k =:3.故答案为:1:3.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用,以及梯形的特征和应用,要熟练掌握.三、解答题24.(上海·九年级校考阶段练习)如图,已知梯形ABCD ,AB ∥DC ,△AOB 的面积等于9,△AOD 的面积等于6,AB =7,求CD 的长.【答案】143【详解】试题分析:由题意易得△COD ∽△AOB ,由此可得:CD DO AB BO =;由△AOB 的面积等于9,△AOD 的面积等于6,可得:23DO BO =,再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析:∵AB ∥DC ,∴△COD ∽△AOB , ∴CD DO AB BO =,∵△AOB 的面积等于9,△AOD 的面积等于6, ∴23DO BO =, ∴23CD DO AB BO ==, 又∵AB =7, ∴273CD =, ∴CD =143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方,结合面积和即可求解.【详解】解:设两个三角形的面积分别为x ,y ,则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩,解得2045x y =⎧⎨=⎩;答:较小三角形面积为20平方厘米.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方.26.(2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习)如图,正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上,顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上,已知ABC ∆的边15BC =,高10AH =,求:正方形DEFG 的边长和面积.【答案】6,36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ,不难证明ADG △∽ABC ,即DG AM BC AH =,设正方形的边长为x ,分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解,即可得出正方形的边长,即可得出正方形的面积. 【详解】设正方形的边长为x ,正方形DEFH ,AH ⊥BC ,∴DG=GF=MH=x ,DG //BC ,∴ADG=B ∠∠,AM=10-x ,在ADG △与ABC 中,ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩,∴ADG △∽ABC ,∴DG AM BC AH =,∴101510x x −=, 解得:x=6,S=6×6=36.答:正方形的边长为6,面积为36.【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质,设正方形的边长为x ,根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键.27.(上海·九年级阶段练习)如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少mm.【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x,根据正方形的性质,得到EF∥BC,△AEF∽△ABC,列出比例式EF AIBC AD=,代入计算即可.【详解】∵四边形EFHG是正方形,AD是高,∴ EF∥BC,四边形EGDI是矩形,∴ EG=ID,设正方形EF=EG=ID=x,∴△AEF∽△ABC,∴EF AI BC AD=,∵ BC=120mm,高AD=80mm,∴80 12080x x−=,解得x=48,故正方形的边长为48mm.【点睛】本题考查了正方形的性质,三角形相似的判定和性质,熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键.。
专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册
【答案】△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM,证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形;可以利用相似三角形的判定定 理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM. 【详解】图中的相似三角形有:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM. 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM=∠DME+∠E(外角定理),∠DME=∠A=∠B(已知),∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠ BMG,∠A=∠B,∴△AMF∽△BGM. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定.解答此题,要找出对应角相等来证明三角形相似. 【变式】(2022 秋·九年级课时练习)如图,在 △ABC 和 △ADE 中,∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线); (2)请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明,作出辅助线,证明△ADE≌△A′B′C′,是解题的关键.
【例 3】(2022 秋·九年级课时练习)已知:在△ABC 和△A′B′C′中,
AB AB
BC BC
AC AC
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(解析版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件技巧2:巧作平行线构造相似三角形技巧3:证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质,并会用比例的性质解决简单的问题.2、了解相似多边形,相似三角形的概念,掌握其性质和判定并会运用.3、了解位似变换和位似图形的概念,掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形,它们的对应角相等、对应边成比例,则这两个多边形叫做相似多边形。
特征:对应角相等,对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a,b,c,d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,即a cb d(或a∶b=c∶d),那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图:1.平行线型.2.相交线型.角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质:a b =c d ad =bc ;(2)合比性质:a b =c d a +b b =c +d d ;(3)等比性质:若a b =c d =…=m n (b +d +…+n ≠0),那么a +c +…+m b +d +…+n =a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BC AC ,则线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.3.子母型.4.旋转型.【类型】一、平行线型1.如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ,过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证:AE·BC =BD·AC ;(2)如果S △ADE =3,S △BDE =2,DE =6,求BC 的长.【类型】二、相交线型2.如图,点D ,E 分别为△ABC 的边AC ,AB 上的点,BD ,CE 交于点O ,且EO BO =DO CO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?请说明理由.【类型】三、子母型3.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点,ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证:AB AC =DF AF .【类型】四、旋转型4.如图,已知∠DAB =∠EAC ,∠ADE =∠ABC.求证:(1)△ADE ∽△ABC ;(2)AD AE =BD CE .参考答案1.(1)证明:∵ED ∥BC ,∴∠ADE =∠ABC.又∵∠A =∠A ,∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC =DE BC.∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠EBC.∵ED ∥BC ,∴∠DE B =∠EBC.∴∠DBE =∠DEB.∴DE =BD.∴AE AC =BD BC.即AE·BC =BD·AC.(2)解:设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高,h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高,h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高.∵S △ADE =3,S △BDE =2,∴S △ADE S △BDE =12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE =h △ADE h △BDE =32.∴h △ADE h △ABC =35.∵△ADE ∽△ABC ,∴DE BC =h △ADE h △ABC =35.∵DE =6,∴BC =10.2.解:相似.理由如下:因为EO BO =DO CO,∠BO E =∠COD ,∠DOE =∠COB ,所以△BOE ∽△COD ,△DOE ∽△COB.所以∠EBO =∠DCO ,∠DEO =∠CBO.因为∠ADE =∠DCO +∠DEO ,∠ABC =∠EBO +∠CBO ,所以∠ADE =∠ABC.又因为∠A =∠A ,所以△ADE ∽△ABC.3.证明:∵∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,∴∠BAC =∠A DB =90°.又∵∠CBA =∠ABD(公共角),∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC =DB DA,∠BAD =∠C.∵AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点,∴DE =EC.∴∠BDF =∠CDE =∠C.∴∠BDF =∠BAD.又∵∠F =∠F ,∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD =DF AF .∴AB AC =DF AF.(第3题)点拨:当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似,条件又不具备成比例线段时,可考虑用中间比“搭桥”,称为“等比替换法”,有时还可用“等积替换法”,例如:如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,D E ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,求证:AE·AB =AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB=AD 2,AF·AC =AD 2,∴AE·AB =AF·AC.4.证明:(1)∵∠DAB =∠EAC ,∴∠DAE =∠BAC.又∵∠ADE =∠ABC ,∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ,∴AD AE =AB AC.∵∠DAB =∠EAC ,∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE =BD CE.技巧2:巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1.如图,在△ABC 中,E ,F 是边BC 上的两个三等分点,D 是AC 的中点,BD 分别交AE ,AF 于点P ,Q ,求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2.如图,在△ABC 中,AC =BC ,F 为底边AB 上一点,BFAF =32,取CF 的中点D ,连接AD 并延长交BC 于点E ,求BE EC 的值.【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,在边AB 上取一点D ,在AC 上取一点E ,使AD =AE ,直线DE 和BC的延长线交于点P.求证:BP CP =BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4.如图,在△ABC 中,点M 为AC 边的中点,点E 为AB 上一点,且AE =14AB ,连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证:BC =2CD.参考答案1.解:如图,连接DF ,∵E ,F 是边BC 上的两个三等分点,∴BE =EF =FC.∵D 是AC 的中点,∴AD =CD.∴DF 是△ACE 的中位线.∴DF ∥AE ,且DF =12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP =∠BFD.又∵∠EBP 为公共角,∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF =BP BD.∵BF =2BE ,∴BD =2BP.∴BP =PD.∴DF =2PE.∵DF ∥AE ,∴∠APQ =∠FDQ ,∠PAQ =∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD =AP DF.设PE =a ,则DF =2a ,AP =3a.∴PQQD =AP DF =3 2.∴BP PQ QD =53 2.2.解:如图,过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ,∴∠DAF =∠G.又∵D 为C F 的中点,∴CD =DF.在△ADF 和△GDC DAF =∠G ,ADF =∠CDG ,=CD ,∴△ADF ≌△GDC(AAS ).∴AF =CG.∵BF AF =32,∴AB AF =5 2.∵AB ∥CG ,∴∠CGE =∠BAE ,∠BCE =∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC =AB CG =AB AF =52.3.证明:如图,过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ,∴∠PFC =∠PDB ,∠PCF =∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP =BD CF.∵AD ∥CF ,∴∠ADE =∠EFC.∵AD =AE ,∴∠ADE =∠AED.∵∠AED =∠CEP ,∴∠EFC =∠CEP.∴EC =CF.∴BP CP =BD EC.4.证明:(方法一)如图①,过点C 作CF ∥A B ,交DE 于点F ,(第4题①)∴∠FCD =∠B.又∵∠D 为公共角,∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE =CD BD.∵点M 为AC 边的中点,∴AM =CM.∵CF ∥AB ,∴∠A =∠MCF.又∵∠AME =∠CM F ,∴△AME ≌△CMF.∴AE =CF.∵AE =14AB ,BE =AB -AE ,∴BE =3AE.∴AE BE =13.∵CF BE =CD BD,∴AE BE =CD BD =13,即BD =又∵BD =BC +CD ,∴BC =2CD.(第4题②)(方法二)如图②,过点C 作CF ∥DE ,交AB 于点F ,∴AE AF =AM AC.又∵点M 为AC 边的中点,∴AC =2AM.∴2AE =AF.∴AE =EF.又∵AE AB =14,∴BF EF=2.又∵CF ∥DE ,∴BF FE =BC CD =2.∴BC =2CD.(第4题③)(方法三)如图③,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,∴∠AEF =∠B.又∵∠A 为公共角,∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC =AE AB =AF AC.由AE =14AB ,知EF BC =AE AB =AF AC =14,∴EF =14BC ,AF =14AC.由EF ∥CD ,易证得△EFM ∽△DCM ,∴EF CD =MF MC.又∵AM =MC ,∴MF =12MC ,∴EF =12CD.∴BC =2CD.(第4题④)(方法四)如图④,过点A 作AF ∥BD ,交DE 的延长线于点F ,∴∠F =∠D ,∠FAE =∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE =AF BD.∵AE =14AB ,∴AE =13BE.∴AF =13BD.由AF ∥CD ,易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM =MC ,∴AF =CD.∴CD =13BD.∴BC =2CD.点拨:由已知线段的比,求证另外两线段的比,通常添加平行线,构造相似三角形来求解.技巧3:证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1.如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,DF 交AC 于点E ,交BC 的延长线于点F ,求证:AE·CF =BF·EC.2.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D ,边BC 的延长线上有一点E ,且AD =CE ,DE 交AC 于点F ,求证:AB·DF =BC·EF.【类型】二、三点定型法3.如图,在▱ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F.求证:DC AE =CF AD .4.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,M 为BC 的中点,DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ,交AB 于E.求证:AM 2=MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.求证:BP·CP=BM·CN.【类型】四、等比过渡法6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.求证:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG·DF=DB·EF.7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证:CE2=DE·PE.【类型】五、两次相似法8.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.求证:BF BE =AB BC .9.如图,在▱ABCD 中,AM ⊥BC ,AN ⊥CD ,垂足分别为M ,N.求证:(1)△AMB ∽△AND ;(2)AM AB =MN AC .【类型】六、等积代换法10.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F.求证:AE AF =AC AB .【类型】七、等线段代换法11.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,点P 是AD 上一点,CF ∥AB ,延长BP 交AC 于点E ,交CF 于点F ,求证:BP 2=PE·PF.12.如图,已知AD 平分∠BAC ,AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证:PD 2=PB·PC.参考答案1.证明:如图,过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ,∴∠FCM =∠B ,∠FMC =∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF =BD CM.又∵CM ∥AD ,∴∠A =∠ECM ,∠ADE =∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC =AD CM.∵D 为AB 的中点,∴BD =AD.∴BD CM =AD CM .∴BF CF =AE EC.即AE·CF =BF·EC.2.证明:过点D 作DG ∥BC ,交AC 于点G ,易知△DGF ∽△ECF ,△ADG ∽△ABC.∴EF DF =CE DG ,AB BC =AD DG.∵AD =CE ,∴CE DG =AD DG .∴AB BC =EF DF.即AB·DF =BC·EF.点拨:过某一点作平行线,构造出“A ”型或“X ”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题.3.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴A E ∥D C ,∠A =∠C.∴∠CDF =∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE =CF AD.4.证明:∵DM ⊥BC ,∠BAC =90°,∴∠B +∠BEM =90°,∠D +∠DEA =90°.∵∠BEM =∠DEA ,∴∠B =∠D.又∵M 为BC 的中点,∠BAC =90°,∴BM =AM.∴∠B =∠BAM.∴∠BAM =∠D.即∠EAM =∠D.又∵∠AME =∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD =ME AM.即AM 2=MD·ME.5.证明:如图,连接PM ,PN.∵MN 是AP 的垂直平分线,∴MA =MP ,NA =NP.∴∠1=∠2,∠3=∠4.又∵△ABC 是等边三角形,∴∠B =∠C =∠1+∠3=60°.∴∠2+∠4=60°.∴∠5+∠6=120°.又∵∠6+∠7=180°-∠C =120°,∴∠5=∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN =BM CP.即BP·CP =BM·CN.6.证明:(1)∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB.∵DE ∥BC ,∴∠ABC +∠EDB =180°,∠ACB +∠FED =180°.∴∠FED =∠EDB.又∵∠EDF =∠DBE ,∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD =EF DE.即DE 2=DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ,得∠GED =∠EFD.∵∠GDE =∠EDF ,∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE =DE DF.即DE 2=DG·DF.∴DG·DF =DB·EF.7.证明:∵BG ⊥AP ,PE ⊥AB ,∴∠AEP =∠DEB =∠AGB =90°.∴∠P +∠PAB =90°,∠PAB +∠AB G =90°.∴∠P =∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE =PE BE.即AE·BE =PE·DE.又∵∠CEA =∠BEC =90°,∴∠CAB +∠ACE =90°.又∵∠ACB =90°,∴∠CAB +∠CBE =90°.∴∠ACE =∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE =CE BE.即CE 2=AE·BE.∴CE 2=DE·PE.8.证明:由题意得∠BDF =∠BAE =90°.∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBF =∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB =BF BE.∵∠BAC =∠BDA =90°,∠ABC =∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC =BD AB.∴BF BE =AB BC.9.证明:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴∠B =∠D.∵AM ⊥BC ,AN ⊥CD ,∴∠AMB =∠AND =90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN =AB AD,∠BAM =∠DAN.又AD =BC ,∴AM AN =AB BC.∵AM ⊥BC ,AD ∥BC ,∴∠MAD =∠AMB =90°.∴∠B +∠BAM =∠MAN +∠NAD =90°.∴∠B =∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB =MN AC.10.证明:∵AD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∴∠ADB =∠AED =90°.又∵∠BAD =∠DAE ,∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB =AE AD.即AD 2=AE·AB.同理可得AD 2=AF·AC.∴AE·AB =AF·AC.∴AE AF =AC .11.证明:连接PC ,如图所示.∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴AD 垂直平分BC ,∠ABC =∠ACB.∴BP =CP.∴∠1=∠2∴∠ABC -∠1=∠ACB -∠2,即∠3=∠4.∵CF ∥AB ,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.又∵∠CPF =∠CPE ,∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE =PF CP,即CP 2=PF·PE.∵BP =CP ,∴BP 2=PE·PF.12.证明:如图,连接PA ,∵EP 是AD 的垂直平分线,∴PA =PD.∴∠PD A =∠PAD.∴∠B +∠BAD =∠DAC +∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∴∠B =∠CAP.又∵∠APC =∠BPA ,∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB =PC PA.即PA 2=PB·PC.∵PA =PD ,∴PD 2=PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图,在△ABC 中,DE ∥AB ,且CD BD =32,则CE CA 的值为()A .35B .23C .45D .32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.【详解】解:∵DE //AB ,∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35.故答案为A .【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图,在ABC ∆中,//DE BC ,9AD =,3DB =,2CE =,则AC 的长为()A .6B .7C .8D .9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理,由DE ∥BC 得AD AE DB EC =,然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ,∴AD AE DB EC =,即932AE =,∴6AE =,∴628AC AE EC =+=+=.故选C .【题型】三、相似三角形的判定例3、如图,已知DAB CAE ∠=∠,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是()A .AB AC AD AE =B .AB BC AD DE =C .B D ∠=∠D .C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解.【详解】解:∵∠DAB=∠CAE ,∴∠DAE=∠BAC ,A 、若AB AC AD AE =,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项A 不符合题意;B 、若AB BC AD DE =,且∠DAE=∠BAC ,无法判定△ABC ∽△ADE ,故选项B 符合题意;C 、若∠B=∠D ,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项C 不符合题意;D 、若∠C=∠AED ,且∠DAE=∠BAC ,可判定△ABC ∽△ADE ,故选项D 不符合题意;故选:B .【题型】四、相似三角形的性质例4、如图,在ABC ∆中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,15BCED S =四边形,则ABC S ∆=()A .30B .25C .22.5D .20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积.【详解】解:根据题意,点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点,则DE ∥BC 且DE=12BC ,故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可知ADE S ∆:ABC S ∆=1:4,则BCED S 四边形:ABC S ∆=3:4,题中已知15BCED S =四边形,故可得ADE S ∆=5,ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A ,再在他所在的这一侧选点B ,C ,D ,使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,然后找出AD 与BC 的交点E ,如图所示.若测得BE =90m ,EC =45m ,CD =60m ,则这条河的宽AB 等于()A .120mB .67.5mC .40mD .30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ,EC =45m ,CD =60m ,∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图,△ABC 与△DEF 位似,点O 为位似中心.已知OA ∶OD =1∶2,则△ABC 与△DEF 的面积比为()A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案.【详解】由位似变换的性质可知,//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为:1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为:1∶4故选C .【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2:5,且三角板的一边长为8cm .则投影三角板的对应边长为()A .20cmB .10cmC .8cmD .3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解:设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8:x =2:5,解得x =20.故选:A .相似三角形(达标训练)一、单选题1.如图,已知∥DE BC ,12AD BD =,则ADE V 与ABC 的周长之比为()A .1:2B .1:4C .1:9D .1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得:ABC ADE ∽,相似三角形的对应边成比例,且周长比等于相似比,据此即可解答.【详解】解:∵∥DE BC ,∴ADE B ∠=∠,∵A A ∠=∠,∴ABC ADE ∽,∵AD :DB =1:2,∴AD :AB =1:3,∴13ADE ABC C C ∆∆=::,即ADE 与ABC 的周长比为1:3.故选:D .【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键.2.如图,在ABC 中,高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ,AEC △∽FEB ,AEC △∽FDC △,可求解.【详解】解:A A ∠=∠ ,90AEC ADB ∠=∠=︒,AEC ∴ ∽ADB ,ACE ABD ∴∠=∠,又90AEC BEC ∠=∠=︒ ,AEC ∴ ∽FEB ,ACE ACE ∠=∠ ,90AEC ADB ∠=∠=︒,AEC ∴ ∽FDC △,故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.3.在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的面积之比为()A .16B .14C .13D .12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似,求出相似比,相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【详解】解:由题意得DE 为△ABC 的中位线,那么DE ∥BC ,DE :BC =1:2.∴△ADE ∽△ABC ,∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1:2,∴△ADE 与△ABC 的面积之比为:4,即14.故选:B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,三角形中位线定理,掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解决此题关键.4.如图,D 是ABC 的边BC 上的一点,那么下列四个条件中,不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是()A .C BAD∠=∠B .BAC BDA ∠=∠C .AC AD BC AB =D .2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案.【详解】解:C BAD ∠=∠,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项A 不符合题意;BAC BDA ∠=∠,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项B 不符合题意;AC AD BC AB=,但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等,所以无法判定两三角形相似,故选项C 符合题意;2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项D 不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,熟练掌握相关定理是解题的关键.5.已知ABC ∽A B C ''' ,AD 和A D ''是它们的对应角平分线,若8AD =,12A D ''=,则ABC 与A B C ''' 的面积比是()A .2:3B .4:9C .3:2D .9;4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质:对应角平分线的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方求解即可.【详解】ABC ∽A B C ''' ,AD 和A D ''是它们的对应角平分线,8AD =,12A D ''=,∴两三角形的相似比为::8:122:3AD A D '==',则ABC 与'''A B C 的面积比是:4:9.故选:B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.二、填空题6.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高为1.5m ,测得AB =3m ,AC =10m ,则建筑物CD 的高是_____m .【答案】5【分析】根据题意和图形,利用三角形相似的性质,可以计算出CD 的长,从而可以解答本题.【详解】∵EB ⊥AC ,DC ⊥AC ,∴EB ∥DC ,∴AEB ADC ∠=∠,ABE ACD ∠=∠,又∵A A ∠=∠,∴△ABE ∽△ACD ,∴AB AC =BE CD,∵BE =1.5m ,AB =3m ,AC =10m ,∴3 1.510CD=,解得,5CD =,即建筑物CD 的高是5m ,故答案为:5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识,正确得出相似三角形是解题的关键.7.如图所示,要使ABC ADE ~,需要添加一个条件__________(填写一个正确的即可)【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件,加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似,依据是:两角对应相等的两个三角形相似.【详解】解:添加ADE B ∠=∠,A A∠=∠ ABC ADE∴ ~故答案为:ADE B ∠=∠.【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法,牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键.三、解答题8.如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,且AD :AB =AE :AC =2:3.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若DE=4,求BC的长.【答案】(1)见解析(2)BC=6.【分析】(1)直接根据相似三角形的判定方法判定即可;(2)利用相似三角形的性质即可求解.(1)证明:∵∠A=∠A,AD:AB=AE:EC=2:3,即23 AD AEAB EC==,∴△ADE∽△ABC;(2)解:∵△ADE∽△ABC,∴AD DEAB BC=,243BC=,∴BC=6.【点睛】本题考查了三角形的判定和性质,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.相似三角形(提升测评)一、单选题1.如图,在菱形ABCD中,点E在AD边上,EF∥CD,交对角线BD于点F,则下列结论中错误的是()A .DE DF AE BF =B .EF DF AD DB =C .EF DF CD BF =D .EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析,可得CD ∥BF ,依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,AB =CD ,∵EF ∥CD ,∴EF ∥AB ,∴DE DF AE BF =,△DEF ∽△DAB ,∴EF DF AB DB=,∵AB =AD =CD ,∴EF DF AD DB =,EF DF CD DB=,∴选项A 、B 、D 正确;选项C 错误;故选:C .【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.2.如图1为一张正三角形纸片ABC ,其中D 点在AB 上,E 点在BC 上.今以DE 为折线将B 点往右折后,BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点,如图2所示.若10AD =,16AF =,14DF =,8BF =,则CG 的长度为多少?()A .7B .8C .9D .10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形,可得∠A =∠B =60°,△AFD ∽△BFG ,即可求出FG =7,而AD =10,DF =14,BF =8,可得AB =32=AC ,故CG =AC -AF -FG =9.【详解】解: 三角形ABC 是正三角形,60A B ∴∠=∠=︒,AFD BFG ∠=∠ ,AFD BFG ∴∆∆∽,∴DF AF FG BF =,即14168FG =,7FG ∴=,10AD = ,14DF =,8BF =,32AB ∴=,32AC ∴=,321679CG AC AF FG ∴=--=--=;故选:C .【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题,解题的关键是掌握翻折的性质,证明AFD BFG ∆∆∽,从而求出FG 的长度.3.如图,在平面直角坐标系中有A ,B 两点,其中点A 的坐标是(-2,1),点B 的横坐标是2,连接AO ,BO .已知90AOB ∠=︒,则点B 的纵坐标是()A .B .4CD .2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,构造相似三角形,再利用相似三角形的性质列出比例式,计算求解即可.【详解】解:过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,则90ACO ODB ∠=∠=︒,90B BOD ∠+∠=︒,90AOB ∠=︒Q ,90AOC BOD ∴∠+∠=︒,B AOC ∴∠=∠,ACO ∴ ∽ODB △,AC CO OD DB∴=,又A 的坐标是()2,1-,点B 的横坐标是2,∴AC =1,CO =2,OD =2,122DB∴=,即4DB =,∴:B 的纵坐标是4.故选:B .【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键.4.如图,D 是ABC △的边上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ,连接BE ,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ,则下列结论错误的是()A .AD AF BD EF =B .AF DF AE EB =C .=AD AE AB AC D .CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥,DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等,判断即可.【详解】解:DF BE ∥,AD AF BD EF∴=,故A 选项比例式正确,不符合题意;DF BE ∥,ADF ABE ∴△∽△,DF AF EB AE∴=,故B 选项比例式正确,不符合题意;DE BC ∥,AD AE AB AC∴=,故C 选项比例式正确,不符合题意;DE BC ∥,DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确,符合题意.故选D .【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例,相似三角形的判定和性质,解题的关键是找准对应线段.二、填空题5.如图,小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子落在了地上和墙上,此时测得地面上的影长BD 为4m ,墙上的影子CD 长为1m ,同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ,则树的高度为______m .【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ,根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ,然后加上墙上的影长CD 即为树的高度.【详解】解:设地面影长对应的树高为m x ,由题意得,140.5x =,解得8x =,墙上的影子CD 长为1m ,∴树的高度为()819m +=.故答案为:9.【点睛】本题考查利用投影求物高.熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键.6.如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,2BC AD =,点F 在BC 的延长线上,AF 与BD 相交于点E ,与CD 边相交于点G .如果2AD CF =,那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______.【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽,根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求解.【详解】解:AD BC ,ADG FCG ∴∆∆∽,2AD AG CF GF∴==,∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1,AD BC ,ADE FBE ∴∆∆∽,25AD AE BF EF ∴==,令GF a =,则2AG a =,设,2AE x EG a x ==-,:(2)2:5x a a x ∴+-=,67x a ∴=,68,77AE a EG a ∴==,:3:4AE EG =,∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3,∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7.故答案为:16:7.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握并运用:相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7.如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,BC =1,CE =3,连接AF 交CG 于点K ,H 是AF 的中点,连接CH .(1)求tan ∠GFK 的值;(2)求CH 的长.【答案】(1)12(2)CH =【分析】(1)由正方形的性质得出AD =CD =BC =1,CG =FG =CE =3,,AD BC GF BE ∥∥,∠G =90°,证出ADK FGK V :V ,得出比例式求出3342GK DG ==,即可得出结果;(2)由正方形的性质求出AB =BC =1,CE =EF =3,∠E =90°,延长AD 交EF 于M ,连接AC 、CF ,求出AM =4,FM =2,∠AMF =90°,根据正方形性质求出∠ACF =90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =,根据勾股定理求出AF ,即可得出结果.(1)解:∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形,∴AD =CD =BC =1,CG =FG =CE =3,,AD BC GF BE ∥∥,∠G =90°,∴DG =CG -CD =2,AD GF ∥,∴ADK FGK V :V ,∴DK :GK =AD :GF =1:3,∴3342GK DG ==,∴312tan 32GK GFK FG ∠===;(2)解:∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,BC =1,CE =3,∴AB =BC =1,CE =EF =3,∠E =90°,延长AD 交EF 于M ,连接AC 、CF ,如图所示:则AM =BC +CE =1+3=4,FM =EF-AB =3-1=2,∠AMF =90°,∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形,∴∠ACD =∠GCF =45°,∴∠ACF =90°,∵H 为AF 的中点,∴12CH AF =,在Rt △AMF 中,由勾股定理得:22224225AF AM FM =+=+=,∴152CH AF ==.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线性质;本题有一定难度,特别是(2)中,需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果.8.如图所示,BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上,13BC AB AE ==,,与FB 交于点G ,连接AF ,满足ABF ∽CEB ,其中A 对应C B ,对应E F ,对应B(1)求证:30FAD ∠=︒.(2)若13CE =,求tan FEA ∠的值.【答案】(1)见解析937【分析】(1)由相似可得FAB BCE ∠∠=,再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒,,从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒,则有FAD BAC ∠∠=,即可求得FAD ∠的度数;(2)结合(1)可求得73AE =,再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值.(1)ABF ∽CEB ,FAB BCE ∠∠∴=,四边形ABCD 是矩形,∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥,,DAC ACB ∴∠=∠,180BCE ACB ∠∠+=︒ ,180FAB DAC ∠∠∴+=︒,即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒,90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒,90FAD DAC ∠∠∴+=︒,90DAB ∠=︒ ,90BAC DAC ∠∠∴+=︒,FAD BAC ∠∠∴=,在Rt ABC中,tan 3BC BAC AB ∠== ,30BAC ∴∠=︒,30FAD ∠∴=︒;(2)由(1)得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒,,2212AC BC ∴==⨯=,17233AE AC CE ∴=+=+=,ABF ∽CEB ,AF AB BC CE∴=,即113AF =,∴=AF 由(1)得:90FAD DAC ∠∠+=︒,则90FAE ∠=︒,在Rt FAE中,tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=.。
相似三角形的性质讲义
相似三角形的性质一、知识点讲解1、相似三角形对应角相等,对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析(一)相似三角形对应线段的比例1如图,i∆ABCs^k A'B'C',相似比为k,AD、N D z分别是边BC、B'C'上的中线,求证:AD, =K OA,D,变式练习:1、∆ABC</>∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心,假设BC=IoCm,B zC f=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()16 21 35A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 32、如图,在aABC中,点D在线段BC上,且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD3、如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O5 6 6 10A、—mB、—m C^—m D、一tn6 7 5 34、如下图,在Rt△ABC中,NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点,F为BC的中点,NDCB=30°,求DE:DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比例2如图,在正方形网格上有ZXABC和4DEF0(1)求证:^ABC S∕∖DEF;(2)计算这两个三角形的周长比;(3)根据上面的计算结果,你有何猜测?变式练习:1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2:3,那么S MB C:S ADEF为0A、2:3B、4:9C、72:73D、3:2ΔΓ)12、如图,在AABC中,DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2AE1 A、 --- =—AC2DE 1 ZXADE的周长 1 ZXADE的面积 1 B、= Cx ,. ,—Ds —BC 2 4ABC的周长 3 ZXABC的面积 3第2题第3题第4题第5题3、如图,在aABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE〃BC,且那么aADE的周长3与aABC的周长之比为。
相似三角形专题复习(共66张PPT)
2.右图中,若D,E分别是AB,AC
DE
边上的中点,且DE=4则BC= ____8
B
C
3.右图中, DE∥BC,S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=__1:_3 __
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4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点, 且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间 的函数关系式.试确定x的取值范围.
相似三角形专题复习(共66张PPT)
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三、基本图形的形成、变化及发展过程:
平行型
.
旋转
∽
斜交型
.
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
.. 特 殊
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四、运用 ☞
1.添加一个条件,使△AOB∽ △ DOC
A
B
E
C
A
A
A
FF F
α66α00°°
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
相似三角形专题复习(共66张PPT)
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α
B
α
B
D
A
F
α
E
问题2:
(12)延长BA、CF相交于点 D点,且D,E且善为E于B为运CB的用C类的中比点中、,点若,若 ∠B=∠迁C=移α的,数∠学AE方F法= ∠ C,连 α C 结 当A∠AF.EF旋解转决问到题如图位置时, ① 上找 述出 关图 系中 还的 成相立似吗三?角形
相似三角形复习讲义
教育学科教师辅导讲义年级:初三课时数:辅导科目:数学学科教师:1、理解并掌握相似的定义及其性质;2、进一步加强相似判定方法的运用;3、综合运用三角形知识点分析求解问题。
教学内容一、上次作业检查与讲解;二、学习要求及方法的培养:三、知识点分析、讲解与训练:典例精讲S△ABF=4:25,则DE:EC=()S1+S2 的值为()(3)(2014 年湖北咸宁)如图,在△ ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ ADE=∠B= α,DE交AC于点E,cosα= .下列结论:①△ ADE∽△ ACD;②当BD=6时,△ ABD与△ DCE全等;③△ DCE为直角三角形时,BD为8 或;④0<CE≤6.4 。
其中正确的结论是。
(把你认为正确结论的序号都填上)课题相似三角形授课日期及时段学员编号:学员姓名:教学目的1)2013?内江)如图,在? ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点F,S△ DEF 2)(2013 菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则例三、 (2014?山东潍坊)如图 1,在正方形 ABCD 中, E 、 F 分别为 BC 、CD 的中点,连接 AE 、BF ,交点为 G .(1) 求证: AE ⊥ BF ;(2)将△ BCF 沿BF 对折,得到△ BPF (如图 2),延长 FP 交BA 的延长线于点 Q ,求 sin ∠BQP 的值; (3) 将△ ABE 绕点 A 逆时针方向旋转,使边 AB 正好落在 AE 上,得到△ AHM (如图 3),若 AM 和 BF 相交于点 N , 当正方形 ABCD 的面积为 4 时,求四边形 GHMN 的面积.例四、 (2014 ?年山东东营 ) 【探究发现】如图 1,△ ABC 是等边三角形,∠ AEF=60°, EF 交等边三角形外角平分 线 CF 所在的直线于点 F ,当点 E 是 BC 的中点时,有 AE=EF 成立;【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE 、 EF 的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下 结论:当点 E 是直线 BC 上( B ,C 除外)任意一点时(其它条件不变),结论 AE=EF 仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点 E 是线段 BC 上的任意一点”;“点 E 是线段 BC 延长线上的任 意一点”;“点 E 时线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在图 2 中画出图形,并证明 AE=EF .【拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时,若 CE=BC ,在图 3 中画出图形,并运用上述结论求出 S △ABC :S △AEF 的值.例二、 (2014?上海)已知:如图,梯形 ABCD 中,AD ∥BC , 长线上一点,且∠ CDE=∠ABD .( 1)求证:四边形 ACED 是平行四边形; ( 2)联结 AE ,交 BD 于点 G ,求证: = .AB=DC ,对角线 AC 、BD 相交于点 F ,点 E 是边 BC 延例五、 (13 年安徽省)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示:①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1.③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交,所得的三角形与原三角形相似;②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示:(1)判定三角形相似的几条思路:①条件中若有平行,可采用判定定理1;②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例;③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系,可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
(2)在综合题中,注意相似知识的灵活运用,并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3)运用相似的知识解决一些实际问题,要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题,要注意培养当数学建模的思想。
九年级数学相似三角形复习优秀课件
C
A
· OP
B
又 ∵CD⊥AB
D
∴∠CPB=90°
∠PCB+∠B=90° 又∠A=∠CPB ∴△APC∽△CPB
AP PC PC PB
PC 2 AP PB
例3.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2 米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一 竖直平面内.从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A、标杆 顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处在H处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E在同一直线上,那么建筑物的高是________米.
A
· OP
B
D
积化比例 AP PC PC PB
小技巧
复杂图形中,可利用比例式 横行或竖行的3个字母寻找、 构造相似三角形
构造相似三角形 △APC∽△CPB
例2. 如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,CD⊥AB,垂足为P,
求证:PC2=PA·PB
证明:连结AC,BC ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∴ ∠A + ∠B = 90°
1.掌握相似三角形的概念,性质和判定 三角形相似的条件;
2.能利用相似比、相似的性质进行计算, 利用相似解决实际问题。
如果两个三角形的各角对应 相等 ,各边对应成比例, 那么这两个三角形相似.
(1)相似三角形的对应角 相等 ,对应边成比例。 (2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线的比都等于 相似比。 (3)相似三角形的周长之比等于 相似比,面积之比
A.4∶21 B.4∶9 C.9∶16 D.2∶3
4.如图,点P是△ABC的边AC上一点,连接BP,以下条件中,
不能判定△ABP∽△ACB的是( B )
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相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示:①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1.③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交,所得的三角形与原三角形相似;②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示:(1)判定三角形相似的几条思路:①条件中若有平行,可采用判定定理1;②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例;③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系,可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
(2)在综合题中,注意相似知识的灵活运用,并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3)运用相似的知识解决一些实际问题,要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题,要注意培养当数学建模的思想。
6. 位似①定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.因此,位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.②性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注意:(1)位似图形是相似图形的一个特例,位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.(2)两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点,对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、相似三角形解题思路:1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法:(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角;相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)一定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形:学习三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较,把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆;对相似三角形的判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法.如:(1)“平行线型”相似三角形,基本图形见上节图.“见平行,想相似”是解这类题的基本思路;(2)“相交线型”相似三角形,如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;(3)“旋转型”相似三角形,如图.若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.温馨提示:从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法,能帮助我们尽快地找到添加的辅助线.以上“平行线型”是常见的,这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序,“相交线型”识图较困难,解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.相似三角形专题分类练习讲解A CDBE ABC DE题型一:线段的比、黄金分割1.在比例尺1:10000的地图上,相距2cm 的两地的实际距离是( ) A .200cm B .200dm C .200m D .200km2.若则下列各式中不正确的是( ) A .B .C .D .3.若52=-yy x ,则y x=_______;已知32=yx ,则y x y x +-=________;已知653z y x ==,且623+=z y ,则__________,==y x 。
4.若045=-y x 且0≠xy ,则x ∶y =_________。
5.2和8的比例中项是_________;线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
6.已知a :b :c =2 :3 :4,且2a +3b -2c =10,求a , b ,c 的值。
题型二:相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为3∶4,则它们的周长比为_________。
2.已知△ABC∽△DEF,且AB :DE=1:2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为3.如图,DE ∥BC ,AD ∶BD=2∶3,则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
4.如图,已知等边三角形ABC 的边长为2,DE 是它的中位线,则下面四个结论:(1)DE=1,(2)△CDE ∽△CAB ,(3)△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1:4.其中正确的有:_____个5.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,△ADE 与△BCE 面积之比为4 :9,那么△ADE 与△ABE 面积之比为________6.平行四边形ABCD 中,AB=28,E 、F 是对角线AC 上的两点,且AE=EF=FC ,DE 交AB 于点M ,MF 交CD 于点N ,则CN=_________。
第3题 第4题 第5题 第6题7.如图,已知平行四边形ABCD 中,E 是AB 边的中点,DE 交AC 于点F ,AC ,DE 把平行四边形ABCD 分成的四部分的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4.变式2图HMDEFGCBA下面结论:①只有一对相似三角形;②EF:ED=1:2;③S 1:S 2:S 3:S 4=1:2:4:5. 其中正确的结论是( )A .①③B .③C .①D .①②8.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S 1、S 2 ,那么S 1、S 2的大小关系是( )A . S 1 > S 2 B. S 1 = S 2 C. S 1<S 2 D. S 1、S 2 的大小关系不确定9.如图,在正方形ABCD 中,点E 在AB 边上,且AE ∶EB =2∶1,AF ⊥DE 于G 交BC 于F ,则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.4∶9D.2∶310.如图,已知DE ∥BC ,CD 和BE 相交于点O ,DOE S ∆∶COB S ∆=4∶9,则AE ∶EC 为( ) A.2∶1 B.2∶3 C.4∶9 D.5∶411.已知三个边长为2,3,5的正方形按图4排列,则图中阴影部分的面积为_______.第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 12.如图在△ABC 中,矩形DEFG ,G 、F 在BC 上,D 、E 分别在AB 、AC 上,AH ⊥BC 交DE 于M ,DG ∶DE =1∶2,BC =12 cm ,AH =8 cm ,求矩形的各边长。
13.已知如图,正方形ABCD 中,AB =2,E 是BC 的中点,DF ⊥AE ,F 为垂足,求△DFA 的面积1S 和四边形CDFE 的面积2S 。
题型三:相似的有关证明1.已知:如图,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,E 是AB 的中点,直线ED 分别与对角线AC和BC的延长线交于M 、N 点求证:MD :ME =ND :NE2.如图,D 在AB 上,且DE ∥BC ,交AC 于E ,F 在AD 上,且AB AF AD ⋅=2,求证:△AEF ∽△ACD .3.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,连接DE ,F 为线段DE 上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ADF ∽△DEC ; (2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE 的长.题型四:函数与相似1. 如图,正方形ABCD 中,AB =1,G 为DC 中点,E 为BC 上任一点,(E 点与点B 、点C 不重合)设BE =,过E 作GA 平行线交AB 于F ,设AFEC 面积为,写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围。
2.如图,ABCD 是矩形,AH =2,HD =4,DE =2,EC =1,F 是BC 上任一点(F 与点B 、点C 不重合),过F 作EH 的平行线交AB 于G ,设BF 为,四边形HGFE 面积为,写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围。
N DCA EB M3.如图,有一块直角梯形铁皮ABCD ,AD =3cm ,BC =6cm ,CD =4cm ,现要截出矩形EFCG ,(E 点在AB 上,与点A 、点B 不重合),设BE =,矩形EFCG 周长为,(1)写出与的函数关系式,并指出自变量取值范围;(2)取何值,矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 面积的。
4.如图,已知抛物线y =x2-1与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .(1)求A 、B 、C 三点的坐标.(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似?若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由.5.如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式;(2)设直线BC 交y 轴于点E ,连接AE ,求证:AE=CE;(3)设抛物线与y 轴交于点D ,连接AD 交BC 于点F , 试问以A 、B 、F ,为顶点的三角形与△ABC 相似吗?请说明理由.ABOPCxy题型五、圆与相似1.(2013•绥化)如图,点A ,B ,C ,D 为⊙O 上的四个点,AC 平分∠BAD,AC 交BD 于点E ,CE=4,CD=6,则AE 的长为( )A.4B.5C.6D.72.如图,AB 为⊙O 的直径,D 是弧BC 的中点,DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ,⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F 。