极限的运算法则

lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)
目录
特例1：常数因子可提到极限记号外面
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n A（n n N*）
5 7
2.求
lim
x
5x2 7x3

3x 6x

4 1
=0
目录
3. 型有理式
方法：先通分化为分式，再求极限
先化简再用 约最高次幂法
目录
1 lim( x1 x 1
2
x
2

). 1
( )
分析：lim x1
1 x1

, lim x1
2 x2 1


解
差一点 ! 结论成立的条件.
目录
例：lim（x2 3x 5）. x2
代入法
解：
lim( x2
x2
3x 5)
lim
x2
x2

lim 3x
x2

lim 5
x2
22 3 2 5 3
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1

am bn



a0 ,当n m（分子最高次幂 分母最高次幂） b0
0, 当m （n 分子最高次幂 分母最高次幂）
要记住哦 !
目录
练习
1.求
lim
x
5x2 7x2

3x 6x
4 1
1

1
目录
求
1
lim(
n
n2

2 n2


n n2
).
解 n 时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
说明:无穷多个 无穷小量之 和不一定是 无穷小
1
lim(
n
n
2

2 n2


n n2
)

lim 1
n
2 n2

n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2

1 2
lim(1
目录
目录
数理与信息技术系
***
目录
一、函数极限的性质
定理（唯一性）：若函数f(x)有极限，则极限值 是唯一的.
定理（迫敛定理）：如果在x=x0附近(点x0可以除 外)
（1） g(x) f (x) h(x)
（2） lim g(x) lim h(x) A
xx0
xx0
那么 lim f (x) A x x0
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录

1 x2
)
0
lim(1
x
1 x

1 x2
)
lim
x
3x2 x 2 4x3 2x 3 .(

型
)
lim
x
3 x 4
1 x2 2 x2

2 x3 3 x3
0 0 4
目录
小 结: 当a0 0, b0 0, m和n为 非 负 整 数 时 有
lim
解： lim( x 4) lim x lim4 3 4 1 0
x3
x3
x3
x2 1 lim（x2 1）
lim
x3
x4

x3
lim（x

4）
9 3

1 4

10.
x3
目录
未定式极限
定义： 无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限 可能存在，也可能不存在，极限存在也会有各种不同的结果。 ——这种类型的极限称为未定式极限。
lim(
x1
1 x1

2
x2

) 1
x1 2

lim(
x1
x2
1

x2
) 1
x1

lim
x1
x2

1
0 0
x1 lim
x1 ( x 1)( x 1)
lim x 1
1 x1

1 2
目录
练习
求
lim(
x1
1
3 x
3

1 1
). x

3
lim( x1 1

n
n1)
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限;
5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
主要的未定式的极限有:
不能直接使用极
1“, 0”“”“0 ”“ ” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习
1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
( 0型) 0
目录
二、极限的四则运算法则
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则
1、加法法则：代数和的极限等于极限的代数和
lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)
推论1：推广到有限个函数的代数和 2、乘法法则：乘积的极限等于极限的乘积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim f ( x) g( x)
lim f (x)


lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
x3

1 x 1
wenku.baidu.com2 x3
).
lim
x1
3

(1 1
x x3
x2)
2 x x2
lim x1
1 x3
x2 x 2
lim x1
x3 1
( x 1)( x 2)

lim
x1
(x
1)(
x2

x

1)
0 0

lim
x1
x2 x2 x
解
x2 16
(x 4)(x 4)
lim
lim
lim(x 4) 8
x4 x 4 x4
x4
x4
目录
lim x2 9 x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
x3 x 3 x3 ( x 3)
x3
目录
2. 型有理式及无理式
方法：分子分母同时除以x的最高次方幂
约最高次幂法
目录
lim
x
2x2 3x2
3. 1
(

型
)
[分析]当x 时, 分子,分母都趋于无穷大,
先用x2去除分子分母, 转化为无穷小, 再求极限.
解
2x2 3
lim
x
3x2

1

2 lim
x
3
3 x2 1 x2

lim(2
x
3 x2
)

lim(3
x
1 x2 )
20 2 30 3
目录
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
1 x

1 x2
x
1
1 x

1 x2

lim(
x
1 x