第3讲 平面向量的数量积及应用举例
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得 3(－1＋2m)－4(－2－m) ＝0，则 m＝－12，所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52. 答案：52
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
16
平面向量数量积的运算(师生共研) (一题多解)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若A→B·A→C＝
几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_|_b_|c_o_s_θ___ 的乘积
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
5
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a____. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a_·(_λ_b_) ___． (3)(a＋b)·c＝__a_·c_＋__b_·c__.
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
11
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是0，π2. (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角． (4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
8
二、习题改编
1．(必修 4P108A 组 T6 改编)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|
为
()
A．12
B．6
C．3 3
D．3
解析：选 B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12
2，所以|b|＝
－12
4×－
22＝6.
_a_·_b_＝__0___
cos θ＝
x1x2＋y1y2
___x21_＋_y_12__x_22＋__y22________
___x_1_x_2_＋__y_1y_2_＝__0_____
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
7
常用结论 1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
第五章 平面向量
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
数学
第五章 平面向量
1
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
3
一、知识梳理 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则___∠__A_O__B_就是向量 a 与 b 的 夹角． (2)范围：设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则 0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若 θ＝0°，则 a 与 b__同__向_____；若 θ＝180°，则 a 与 b_反__向______；若 θ＝90°，则 a 与 b__垂__直_____．
2A→B·A→D，则A→D·A→C＝________．
2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
9
2．(必修 4P105 例 4 改编)已知向量 a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝________． 解析：因为 2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由 a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k) ＝0， 所以 10＋2－k＝0，解得 k＝12. 答案：12
解析：A→B＝(2，1)，C→D＝(5，5)，由定义知，A→B在C→D方向上的投影为A→|BC→·DC→|D＝5152＝3 2
2 .
答案：3 2 2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
15
3．设向量 a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量 a＋2b 与 2a－b 平行，那么 a 与 b 的数量 积等于________．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
10
3．(必修 4P106 练习 T3 改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在 向量 a 方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2
( ×) ( √) ( ×) ( ×)
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
12
二、易错纠偏 常见误区 (1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积Hale Waihona Puke Baidu有关性质应用不熟练致误．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
13
1．已知△ABC 的三边长均为 1，且A→B＝c，B→C＝a，C→A＝b，则 a·b＋b·c＋a·c＝________．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
4
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则_|a_|_|b_|_·c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的 数量积，记作 a·b
投影
__|a_|c_o_s__θ__叫做向量 a 在 b 方向上的投影， __|b_|c_o_s__θ__叫做向量 b 在 a 方向上的投影
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
6
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝_a_·_a______
|a|＝__x21_＋__y_21 ___
夹角 a⊥b 的充
要条件
a·b cos θ＝____|_a_||_b_| _____________
解析：因为 a，b ＝ b，c ＝ a，c ＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以 a·b＝b·c＝a·c
＝1×1×cos 120°＝－12，所以 a·b＋b·c＋a·c＝－32. 答案：－32
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
14
2．已知点 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量A→B在C→D方向上的投影 为________．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
16
平面向量数量积的运算(师生共研) (一题多解)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若A→B·A→C＝
几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_|_b_|c_o_s_θ___ 的乘积
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
5
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a____. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a_·(_λ_b_) ___． (3)(a＋b)·c＝__a_·c_＋__b_·c__.
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
11
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是0，π2. (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角． (4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
8
二、习题改编
1．(必修 4P108A 组 T6 改编)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|
为
()
A．12
B．6
C．3 3
D．3
解析：选 B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12
2，所以|b|＝
－12
4×－
22＝6.
_a_·_b_＝__0___
cos θ＝
x1x2＋y1y2
___x21_＋_y_12__x_22＋__y22________
___x_1_x_2_＋__y_1y_2_＝__0_____
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
7
常用结论 1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
第五章 平面向量
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
数学
第五章 平面向量
1
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
3
一、知识梳理 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则___∠__A_O__B_就是向量 a 与 b 的 夹角． (2)范围：设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则 0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若 θ＝0°，则 a 与 b__同__向_____；若 θ＝180°，则 a 与 b_反__向______；若 θ＝90°，则 a 与 b__垂__直_____．
2A→B·A→D，则A→D·A→C＝________．
2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
9
2．(必修 4P105 例 4 改编)已知向量 a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝________． 解析：因为 2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由 a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k) ＝0， 所以 10＋2－k＝0，解得 k＝12. 答案：12
解析：A→B＝(2，1)，C→D＝(5，5)，由定义知，A→B在C→D方向上的投影为A→|BC→·DC→|D＝5152＝3 2
2 .
答案：3 2 2
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
15
3．设向量 a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量 a＋2b 与 2a－b 平行，那么 a 与 b 的数量 积等于________．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
10
3．(必修 4P106 练习 T3 改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在 向量 a 方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2
( ×) ( √) ( ×) ( ×)
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
12
二、易错纠偏 常见误区 (1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积Hale Waihona Puke Baidu有关性质应用不熟练致误．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
13
1．已知△ABC 的三边长均为 1，且A→B＝c，B→C＝a，C→A＝b，则 a·b＋b·c＋a·c＝________．
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
4
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则_|a_|_|b_|_·c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的 数量积，记作 a·b
投影
__|a_|c_o_s__θ__叫做向量 a 在 b 方向上的投影， __|b_|c_o_s__θ__叫做向量 b 在 a 方向上的投影
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
6
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝_a_·_a______
|a|＝__x21_＋__y_21 ___
夹角 a⊥b 的充
要条件
a·b cos θ＝____|_a_||_b_| _____________
解析：因为 a，b ＝ b，c ＝ a，c ＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以 a·b＝b·c＝a·c
＝1×1×cos 120°＝－12，所以 a·b＋b·c＋a·c＝－32. 答案：－32
上一页
返回导航
下一页
第五章 平面向量
14
2．已知点 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量A→B在C→D方向上的投影 为________．