3.1金属结构与物性
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a
固体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。
能带的形成 ( energy band )
孤立原子的外层电子可能取的能量状态（能级） 完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再 仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作 用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶 体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受 到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区 分究竟属于哪个原子。原子间距减小时，孤立原子 的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。
堆积密度：各种最密堆积具有相同的堆积密度，堆 积系数（晶胞中包含球的体积与晶胞体积之比）均 为0.7405。
设球半径为R，面心立方晶胞边长为a，则：
4 R 2a, a 2 2 R, V晶胞 4 3 16 3 a 16 2 R , V球 4 R R 3 3
等径圆球最密堆积方式有两种
A A C(A) (密排六方) B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C (面心立方)
先排成最密排层，层间堆垛方式为ABCABC.. 即第四层重叠在第一层位置，余类推
ABCABCABC
(1) 立方最紧密堆积（ccp——cubic closest packing）
面心立方晶胞，A1型。 具有面心立方晶格的金属 有 r Fe 、 Al 等。
第三章
金属材料
3.1 金属的结构与物性 3.2 合金结构 3.3 金属材料
3.1 金属的结构与物性
＊ 3.1.1 金属键
＊ 3.1.2 金属的晶体结构
3.1.3 金属的物理性质
3.1.1 金属键
不属于哪一个原子的公有化电子与离子之间 的库仑相互作用称为金属键
这种公有化的电子运动自由，能够导电，所以 金属是良导体
导体,半导体和绝缘体的能带示意图
能带理论：
(1) 金属晶体中所有原子，能级相同的价层原子轨道，分 别组合成等数目的一组分子轨道,原子轨道中电子，按填 充规则填入分子轨道；
(2) 每组分子轨道构成一个能带。分子轨道充满电子的称 满带；未充满电子的则称导带；由空的原子轨道组合成的 分子轨道称空带; (3) 导带因有空轨道，电子可跃迁，所以可导电；满带中 的电子不可导电;
四面体间隙 八面体间隙
12（6х2） 6（6х1）
0.225 0.414
在两种最紧密堆积中，球间的空隙数目和大小也 相同。由N个半径为R的圆球组成的堆积中，平均有2N 个正四面体空隙，可容纳半径为0.225R的小球，还有 N个正八面体空隙，可容纳半径为0.414R的小球。
在体心立方密堆积中，由N个半径为R的圆球组成 的堆积中，平均有6N个正四面体空隙，可容纳半径为 0.291R的小球，还有3N个正八面体空隙，可容纳半径 为0.154R的小球。
a r 2
r 3 a 4
例如: 对A1型 Cu, a = 361.4 pm
2 rCu a 127.8pm 4
常见金属的堆积型式： 碱金属元素一般都是A2型堆积； 碱土金属元素中Be，Mg属于A3型堆积； Ca既有A1也有A3型堆积；Ba属于A2型堆积； Cu，Ag，Au属于A1型堆积； Zn，Cd属于A3型堆积；
量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由 于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每 一个能级,变成了N条靠得很近的能级,称为能带。其 中每个能级可被两个自旋相反的电子所占有，故每 个能带最多可容纳2N个电子。
能带的宽度记作E ，数量级为
E～eV。
固体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上。 共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。
晶胞中的原子数： {12×1/ 6(边角)+ 2×1/ 2(面)+ 3(内)}＝ 6 点阵常数：a ，c c/a =1.633
致密度(Atomic Packing Factor) ：0.74
（3）体心立方密堆积(bcp——body cubic packing) A2型
具有体心立方晶格的金属有 a Fe 、 r 等。 C
心 立 （fcc） 面心立方 a
点阵类型 点阵常数 最近的原子间距 （原子直径） 晶胞中原子数 配位数 致密度
3 d a 2
1 1 8 2 8
8
4 3 2 ( )( a ) 3 3 4 0.68 3 a
2 d a 4 2 1 1 8 6 4 8 2
12
4 2 3 4 ( )( a) 3 4 0.74 a3
(4) 导体能导电，是因为存在导带或满带与空带能级重叠， 电子由满带易跃迁至空带。绝缘体不导电是因为满带与空 带能级差大（≥5ev），半导体导电是因为满带与空带能 级差适中(≤3ev)。
3.1.2 金属单质的结构
金属单质结构的近似模型－等径圆球密堆积
取许多直径相同的硬圆球，把它们相互接触排列 成一条直线（所有的球心准确地在一条直线上），形 成了一个等径圆球密置列。将许多互相平行的等径圆 球密置在一个平面上最紧密地相互靠拢，就形成了一 个等径圆球密置层。它是沿二维空间伸展的等径圆球 密堆积唯一的一种排列方式。
第三层重叠在第一层位置，最密排层间堆垛 方式为ABAB…,余类推
ABABAB
(2)六方最密堆积（hcp——hexagonal closest packing）
六方晶胞，A3型 具有密排六方晶格的金属有Mg 、Zn 。
配位数：等径圆球最密堆积的各种型式中，每个球 的配位数均为12，中心球和这12个球的距离相等， 但这12个球的配位形式有所不同：
密堆积层间的两类空隙
• 四面体空隙：
一层的三个球与上或下层密堆积的球间的空隙。
• 八面体空隙：
一层的三个球与错位排列的另一层三个球间的空隙。
间隙
(Interstitial position)
四面体间隙
(Tetrahedral position)
八面体间隙
（Octahedral position）
金属的硬度：一般较大，但它们之间有很大差别。 有的坚硬,如铬、钨等；有些软,可用小刀切割如 钠、钾等。
'
配位数(Coordination Number) ： 最近的有8个，位于立方体8个顶 点；还有6个处在相邻体心位置， 有效配位数8～14之间。 晶胞中的原子数： { 8×1/ 8（角）+ 1（心）}= 2 致密度(Atomic Packing Factor) ：0.68
典型金属结构晶体学特点
结 结构特征 体 心 立 方 （bcc） 体心立方 a 面 构 类 方 型 密 排 六 方 （hcp） 简单六方 a，c，c/a =1．633
密排六方
6个八面体空隙
晶胞内有6个球，
12个四面体空隙 z
y x
体心立方 （bcc）
四面体间隙数： 每晶胞： [4 × 1/2 × 6(面)] = 12 每原子： 12 / 2 = 6 间隙大小（半径）： 0.291R
体心立方 （bcc）
八面体间隙数：
每晶胞： [1/2 × 6 (面)+ 1/4 × 12(棱)] = 6
3
自由电子理论
金属原子对其价电子的束缚较弱， 部分价电子易脱离金属原子而成为自由 电子，价电子类似于理想气体分子，没 有相互作用，在金属晶体中受一恒定势 场的作用，可以在晶格中自由运动，但 不能超出表面，如同自由的价电子为许 多原子共有。
能带理论
电子受到周期性势场的作用，除了直线运动外，在 正电荷附近还要作轻微的振动。
E
空带 禁带 导带 满带
固体的导电性能由其能带结构决定。 对一价金属，价带是未满带，故能导电。
钠晶体的 3s带
3s
对二价金属，价带是满带，但禁带宽度为零，价 带与较高的空带相交叠，重叠部分叫重带。由于重带 的存在，满带中的电子可跃入空带，使空带中有了电 子，满带中有了空穴变成导带，因而也能导电。
3p 3s
此外，金显黄色，铜显赤红色，铋为淡红色，铯为 淡黄色，铅是灰蓝色，这是因为它们较易吸收某一些 频率的光之故。 金属光泽只有在其为晶体时才能表现出来，粉末状 金属一般都呈暗灰色或黑色(漫散射)。
金属晶体结构与金属的延展性的关系
金属晶体中由于金属离子与自由电子间的相互作用没有 方向性，各原子层之间发生相对滑动以后，仍可保持这 种相互作用，因而即使在外力作用下，发生形变也不易 断裂。
• A2不是最密堆积。每个球有八个最近的配体
（处于边长为a的立方体的8个顶点）和6个稍远
的配体，分别处于和这个立方体晶胞相邻的六
个立方体中心。故其配体数可看成是14，空间
利用率为68.02%.
• 每个球与其8个相近的配体距离
3 d a 2
• 与6个稍远的配体距离
2 d d 1.15d a 3
a2 c2 d0 a 3 4
6 12 0.74
拉伸试验显示面心立方结构的铝具有极佳的延展 性，而六方最密堆积结构的镁则显得相当地脆.解释： 铝是面心立方结构，镁是密排六方结构，所以铝的滑 移系要比镁的多，铝的位错滑移要比镁的容易，所以 铝的延展性要比镁的好！
金属原子的半径
确定金属单质的结构型式与晶胞参数后, 就可求得 金属原子的半径 r. 半径r与晶胞参数a的关系如下: 2 A1型: 4r 2a (面对角线); r 4 a A3型: 2r a A2型: 4r 3a (体对角线);
① 由正离子排列成有序晶格；
② 各原子最 (及次)外层电子释放，在晶格中随机、 自由、无规则运动，无方向性；
价电子不是紧密结合在离子芯上，键能低、具 有范性形变。 金属键的强度可用金属的原子化热（即气化热， 是指1mol金属变成气态原子需吸收的能量）衡量。原 子化热小，这种金属的熔点较低，硬度较小，键的强 度也小；反之则相反。
镁晶体的 能带
金属Li的能带图
绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满 带，价带与空带间存在禁带。 绝缘体价带和空带之间的能级差大于5 eV，由于 绝缘体的禁带宽度较大，一般的激发条件下，满带 中的电子不能跃入空带，即不能形成导带。这就是 绝缘体不能导电的原因。
半导体的禁带宽度较小，满带中的电子只需较 小能量（一般小于3 eV）就能激发到空带中，使 空带中有了电子，满带中有了空穴，都能参加导 电。
每原子间隙： 6 / 2 = 3 间隙大小（半径）： 0.154R
三种典型晶体中的间隙
晶体点阵 面心立方 A1 间隙类型
四面体间隙 八面体间隙
间隙个数 8（4х2） 4（4х1）
间隙半径 0.225 0.414
体心立方 A2 密排六方 A3
四面体间隙
八面体间隙
12（2х6）
6（2х3）
0.29
0.15
由于电子的公有，金属键没有方向性，这样正 离子之间改变相对位置并不会破坏电子与正离子间 的结合力，可以经受较大的塑性变形 。 为了增加晶体的稳定性，即降低体系的内能， 金属中原子排列都尽可能的紧密，倾向于有更多的 近邻原子。
正离子
电子
正离子
电子
金属键合 ( Metallic Bonding ) 的特点：
四面体间隙示意图
八面体间隙示意图
图5 (e)、(f)
面心立方
四面体间隙： 位置：四个最近邻原子 的中心 单胞数量： 8
间隙大小（半径）：0.225R 每原子间隙：8 / 4 = 2
面心立方
八面体间隙：
位置：体心和棱中点 单胞数量： 4 [1(体)+1/4×12(棱)]= 4 间隙大小（半径）：0.414R 每原子间隙：4 / 4 = 1
一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E 越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E 越大。 3. 两个能带有可能重叠。
允许电子占据的能带称为允许带，允许带之间 的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
被电子占满的允许带称为满带； 每一个能级上都没有电子的能带称为空带； 能带中有电子但未充满的称为导带。
3.1.3 金属的物理性质
金属光泽
金属的导电性和导热性
金属的延展性 金属的硬度 金属的熔点
金属光泽：当光线投射到金属表面上时，自由电子吸 收所有频率的光,电子在能带中跃迁，能量变化的覆 盖范围相当广泛。然后很快放出各种频率的光(全反 射),绝大多数金属呈现钢灰色以至银白色光泽。
3 3
V球 堆积系数 0.7405 V晶胞 3 2
晶胞中的原子数： { 8×1/ 8（角）+ 6×1/ 2（面）}= 4
4 R 2a, a 2 2 R, V晶胞 4 3 16 3 a 16 2 R , V球 4 R R 3 3
3 3
固体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。
能带的形成 ( energy band )
孤立原子的外层电子可能取的能量状态（能级） 完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再 仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作 用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶 体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受 到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区 分究竟属于哪个原子。原子间距减小时，孤立原子 的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。
堆积密度：各种最密堆积具有相同的堆积密度，堆 积系数（晶胞中包含球的体积与晶胞体积之比）均 为0.7405。
设球半径为R，面心立方晶胞边长为a，则：
4 R 2a, a 2 2 R, V晶胞 4 3 16 3 a 16 2 R , V球 4 R R 3 3
等径圆球最密堆积方式有两种
A A C(A) (密排六方) B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C (面心立方)
先排成最密排层，层间堆垛方式为ABCABC.. 即第四层重叠在第一层位置，余类推
ABCABCABC
(1) 立方最紧密堆积（ccp——cubic closest packing）
面心立方晶胞，A1型。 具有面心立方晶格的金属 有 r Fe 、 Al 等。
第三章
金属材料
3.1 金属的结构与物性 3.2 合金结构 3.3 金属材料
3.1 金属的结构与物性
＊ 3.1.1 金属键
＊ 3.1.2 金属的晶体结构
3.1.3 金属的物理性质
3.1.1 金属键
不属于哪一个原子的公有化电子与离子之间 的库仑相互作用称为金属键
这种公有化的电子运动自由，能够导电，所以 金属是良导体
导体,半导体和绝缘体的能带示意图
能带理论：
(1) 金属晶体中所有原子，能级相同的价层原子轨道，分 别组合成等数目的一组分子轨道,原子轨道中电子，按填 充规则填入分子轨道；
(2) 每组分子轨道构成一个能带。分子轨道充满电子的称 满带；未充满电子的则称导带；由空的原子轨道组合成的 分子轨道称空带; (3) 导带因有空轨道，电子可跃迁，所以可导电；满带中 的电子不可导电;
四面体间隙 八面体间隙
12（6х2） 6（6х1）
0.225 0.414
在两种最紧密堆积中，球间的空隙数目和大小也 相同。由N个半径为R的圆球组成的堆积中，平均有2N 个正四面体空隙，可容纳半径为0.225R的小球，还有 N个正八面体空隙，可容纳半径为0.414R的小球。
在体心立方密堆积中，由N个半径为R的圆球组成 的堆积中，平均有6N个正四面体空隙，可容纳半径为 0.291R的小球，还有3N个正八面体空隙，可容纳半径 为0.154R的小球。
a r 2
r 3 a 4
例如: 对A1型 Cu, a = 361.4 pm
2 rCu a 127.8pm 4
常见金属的堆积型式： 碱金属元素一般都是A2型堆积； 碱土金属元素中Be，Mg属于A3型堆积； Ca既有A1也有A3型堆积；Ba属于A2型堆积； Cu，Ag，Au属于A1型堆积； Zn，Cd属于A3型堆积；
量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由 于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每 一个能级,变成了N条靠得很近的能级,称为能带。其 中每个能级可被两个自旋相反的电子所占有，故每 个能带最多可容纳2N个电子。
能带的宽度记作E ，数量级为
E～eV。
固体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上。 共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。
晶胞中的原子数： {12×1/ 6(边角)+ 2×1/ 2(面)+ 3(内)}＝ 6 点阵常数：a ，c c/a =1.633
致密度(Atomic Packing Factor) ：0.74
（3）体心立方密堆积(bcp——body cubic packing) A2型
具有体心立方晶格的金属有 a Fe 、 r 等。 C
心 立 （fcc） 面心立方 a
点阵类型 点阵常数 最近的原子间距 （原子直径） 晶胞中原子数 配位数 致密度
3 d a 2
1 1 8 2 8
8
4 3 2 ( )( a ) 3 3 4 0.68 3 a
2 d a 4 2 1 1 8 6 4 8 2
12
4 2 3 4 ( )( a) 3 4 0.74 a3
(4) 导体能导电，是因为存在导带或满带与空带能级重叠， 电子由满带易跃迁至空带。绝缘体不导电是因为满带与空 带能级差大（≥5ev），半导体导电是因为满带与空带能 级差适中(≤3ev)。
3.1.2 金属单质的结构
金属单质结构的近似模型－等径圆球密堆积
取许多直径相同的硬圆球，把它们相互接触排列 成一条直线（所有的球心准确地在一条直线上），形 成了一个等径圆球密置列。将许多互相平行的等径圆 球密置在一个平面上最紧密地相互靠拢，就形成了一 个等径圆球密置层。它是沿二维空间伸展的等径圆球 密堆积唯一的一种排列方式。
第三层重叠在第一层位置，最密排层间堆垛 方式为ABAB…,余类推
ABABAB
(2)六方最密堆积（hcp——hexagonal closest packing）
六方晶胞，A3型 具有密排六方晶格的金属有Mg 、Zn 。
配位数：等径圆球最密堆积的各种型式中，每个球 的配位数均为12，中心球和这12个球的距离相等， 但这12个球的配位形式有所不同：
密堆积层间的两类空隙
• 四面体空隙：
一层的三个球与上或下层密堆积的球间的空隙。
• 八面体空隙：
一层的三个球与错位排列的另一层三个球间的空隙。
间隙
(Interstitial position)
四面体间隙
(Tetrahedral position)
八面体间隙
（Octahedral position）
金属的硬度：一般较大，但它们之间有很大差别。 有的坚硬,如铬、钨等；有些软,可用小刀切割如 钠、钾等。
'
配位数(Coordination Number) ： 最近的有8个，位于立方体8个顶 点；还有6个处在相邻体心位置， 有效配位数8～14之间。 晶胞中的原子数： { 8×1/ 8（角）+ 1（心）}= 2 致密度(Atomic Packing Factor) ：0.68
典型金属结构晶体学特点
结 结构特征 体 心 立 方 （bcc） 体心立方 a 面 构 类 方 型 密 排 六 方 （hcp） 简单六方 a，c，c/a =1．633
密排六方
6个八面体空隙
晶胞内有6个球，
12个四面体空隙 z
y x
体心立方 （bcc）
四面体间隙数： 每晶胞： [4 × 1/2 × 6(面)] = 12 每原子： 12 / 2 = 6 间隙大小（半径）： 0.291R
体心立方 （bcc）
八面体间隙数：
每晶胞： [1/2 × 6 (面)+ 1/4 × 12(棱)] = 6
3
自由电子理论
金属原子对其价电子的束缚较弱， 部分价电子易脱离金属原子而成为自由 电子，价电子类似于理想气体分子，没 有相互作用，在金属晶体中受一恒定势 场的作用，可以在晶格中自由运动，但 不能超出表面，如同自由的价电子为许 多原子共有。
能带理论
电子受到周期性势场的作用，除了直线运动外，在 正电荷附近还要作轻微的振动。
E
空带 禁带 导带 满带
固体的导电性能由其能带结构决定。 对一价金属，价带是未满带，故能导电。
钠晶体的 3s带
3s
对二价金属，价带是满带，但禁带宽度为零，价 带与较高的空带相交叠，重叠部分叫重带。由于重带 的存在，满带中的电子可跃入空带，使空带中有了电 子，满带中有了空穴变成导带，因而也能导电。
3p 3s
此外，金显黄色，铜显赤红色，铋为淡红色，铯为 淡黄色，铅是灰蓝色，这是因为它们较易吸收某一些 频率的光之故。 金属光泽只有在其为晶体时才能表现出来，粉末状 金属一般都呈暗灰色或黑色(漫散射)。
金属晶体结构与金属的延展性的关系
金属晶体中由于金属离子与自由电子间的相互作用没有 方向性，各原子层之间发生相对滑动以后，仍可保持这 种相互作用，因而即使在外力作用下，发生形变也不易 断裂。
• A2不是最密堆积。每个球有八个最近的配体
（处于边长为a的立方体的8个顶点）和6个稍远
的配体，分别处于和这个立方体晶胞相邻的六
个立方体中心。故其配体数可看成是14，空间
利用率为68.02%.
• 每个球与其8个相近的配体距离
3 d a 2
• 与6个稍远的配体距离
2 d d 1.15d a 3
a2 c2 d0 a 3 4
6 12 0.74
拉伸试验显示面心立方结构的铝具有极佳的延展 性，而六方最密堆积结构的镁则显得相当地脆.解释： 铝是面心立方结构，镁是密排六方结构，所以铝的滑 移系要比镁的多，铝的位错滑移要比镁的容易，所以 铝的延展性要比镁的好！
金属原子的半径
确定金属单质的结构型式与晶胞参数后, 就可求得 金属原子的半径 r. 半径r与晶胞参数a的关系如下: 2 A1型: 4r 2a (面对角线); r 4 a A3型: 2r a A2型: 4r 3a (体对角线);
① 由正离子排列成有序晶格；
② 各原子最 (及次)外层电子释放，在晶格中随机、 自由、无规则运动，无方向性；
价电子不是紧密结合在离子芯上，键能低、具 有范性形变。 金属键的强度可用金属的原子化热（即气化热， 是指1mol金属变成气态原子需吸收的能量）衡量。原 子化热小，这种金属的熔点较低，硬度较小，键的强 度也小；反之则相反。
镁晶体的 能带
金属Li的能带图
绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满 带，价带与空带间存在禁带。 绝缘体价带和空带之间的能级差大于5 eV，由于 绝缘体的禁带宽度较大，一般的激发条件下，满带 中的电子不能跃入空带，即不能形成导带。这就是 绝缘体不能导电的原因。
半导体的禁带宽度较小，满带中的电子只需较 小能量（一般小于3 eV）就能激发到空带中，使 空带中有了电子，满带中有了空穴，都能参加导 电。
每原子间隙： 6 / 2 = 3 间隙大小（半径）： 0.154R
三种典型晶体中的间隙
晶体点阵 面心立方 A1 间隙类型
四面体间隙 八面体间隙
间隙个数 8（4х2） 4（4х1）
间隙半径 0.225 0.414
体心立方 A2 密排六方 A3
四面体间隙
八面体间隙
12（2х6）
6（2х3）
0.29
0.15
由于电子的公有，金属键没有方向性，这样正 离子之间改变相对位置并不会破坏电子与正离子间 的结合力，可以经受较大的塑性变形 。 为了增加晶体的稳定性，即降低体系的内能， 金属中原子排列都尽可能的紧密，倾向于有更多的 近邻原子。
正离子
电子
正离子
电子
金属键合 ( Metallic Bonding ) 的特点：
四面体间隙示意图
八面体间隙示意图
图5 (e)、(f)
面心立方
四面体间隙： 位置：四个最近邻原子 的中心 单胞数量： 8
间隙大小（半径）：0.225R 每原子间隙：8 / 4 = 2
面心立方
八面体间隙：
位置：体心和棱中点 单胞数量： 4 [1(体)+1/4×12(棱)]= 4 间隙大小（半径）：0.414R 每原子间隙：4 / 4 = 1
一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E 越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E 越大。 3. 两个能带有可能重叠。
允许电子占据的能带称为允许带，允许带之间 的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
被电子占满的允许带称为满带； 每一个能级上都没有电子的能带称为空带； 能带中有电子但未充满的称为导带。
3.1.3 金属的物理性质
金属光泽
金属的导电性和导热性
金属的延展性 金属的硬度 金属的熔点
金属光泽：当光线投射到金属表面上时，自由电子吸 收所有频率的光,电子在能带中跃迁，能量变化的覆 盖范围相当广泛。然后很快放出各种频率的光(全反 射),绝大多数金属呈现钢灰色以至银白色光泽。
3 3
V球 堆积系数 0.7405 V晶胞 3 2
晶胞中的原子数： { 8×1/ 8（角）+ 6×1/ 2（面）}= 4
4 R 2a, a 2 2 R, V晶胞 4 3 16 3 a 16 2 R , V球 4 R R 3 3
3 3