概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计 知识点总结

一、随机事件与概率

1.随机事件

（1）事件间的关系与运算

● 事件的差：A B A AB AB -=-= ● 对立事件：,AA A A =∅⋃=Ω ● 完备事件组：设12,,

,,

n A A A 是有限或可数个事件，如果其满足：

① ,,,1,2,i j A A i j i j =∅≠=； ②

i i

A =Ω，则称12,,,,

n A A A 是一个完备事件组.

（2）随机事件的运算律 ● 求和运算：

①A B B A +=+（交换律）

②()()A B C A B C A B C ++=++=++（结合律） ● 求交运算：

①AB BA =（交换律）

②()()AB C A BC ABC ==（结合律） ● 求和运算与求交运算的混合：

①()()()A B C AB AC +=+（第一分配律） ②()()()A BC A B A C +=++（第二分配律） ● 求对立事件的运算：()A A =（自反律） ● 和及交事件的对立事件：

①A B AB +=（第一对偶律） ②AB A B =+（第二对偶律）

2.随机事件的概率

（1）概率的公理化定义

● 公理1：()1P Ω=；

公理2：对任意事件A ，有()0P A ≥；

公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,

n A A A ，有1

1

(

)()i i i i P A P A ∞

∞

===∑.

（2）概率测度的其他性质 ● 性质1：()0P ∅=

性质2（有限可加性）：12,,,n A A A 是两两互不相容的，则有1

1

(

)()n

n

i i i i P A P A ===∑

性质3：()1()P A P A =-

性质4：()()()P A B P A P AB -=-

特别地，若A B ⊃，则①()()()P A B P A P B -=-；②()()P A P B ≥ 性质5：0()1P A ≤≤

性质6：()()()()P A B P A P B P AB +=+-

推论：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+

3.古典概型与几何概型

（1）古典概型

● 古典概型的概率测度：()==A A P A Ω中元素个数使发生的基本事件数

中元素个数基本事件总数

（2）几何概型

● 几何概型的概率测度：()

()()

S A P A S =

Ω 4.条件概率

（1）条件概率的数学定义 ●

()

()(()0)()

P AB P B A P A P A =

>

● ()1()P B A P B A =- ●

()1()P B A P B A =-

● 条件概率测度满足概率的三条公理：

公理1：()1P A Ω=；

公理2：对任意事件B ，有()0P B A ≥；

公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,

n A A A ，有1

1

(

)()i i i i P A A P A A ∞

∞

===∑.

（2）乘法公式 ● ()()(),()0P AB P A P B A P A => ● ()()(),()0P AB P B P A B P B => ● ()()()()P ABC P A P B A P C AB = ●

12

12131212

1()()()()

()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=

（3）全概率公式

● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且

i i

A =Ω，则对任意事件

B ，有()()()i i i

P B P A P B A =∑.

（4）贝叶斯公式

● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且

1

i i A ∞

==Ω，则对任意事件

B ， ()0P B >，有()()()

()()()()

i i i i j j j

P A P B A P A B P A B P B P A P B A =

=

∑. 5.事件的独立性

（1）两个事件的独立性 ●

()()()P AB P A P B =

（2）有限个事件的独立性

● 两两独立：()()()i j i j P A A P A P A = ● 相互独立：1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =

（3）相互独立性的性质 ● 性质1：如果n 个事件12,,

,n A A A 相互独立，则将其中任何(1)m m n ≤≤个事件改为相应的

对立事件，形成的新的n 个事件仍然相互独立. 性质2：如果n 个事件12,,

,n A A A 相互独立，则有

1111()1(1())n n n

i i i i i i P A P A P A ===⎛⎫

=-=-- ⎪⎝⎭

∏∏

（4）伯努利概型

● 伯努利定理：在一次试验中，事件A 发生的概率为(01)p p <<，则在n 重伯努利试验中，事

件A 恰好发生k 次的概率为：(;,)C k k n k

n b k n p p q

-=，其中1q p =-. ● 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，“事件A 在第k 次试验中才首

次发生”(1)k ≥，这一事件的概率为1

(,)k g k p q p -=.

二、随机变量的分布与数字特征

1.随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的概率分布

● 离散型随机变量的概率分布满足性质：

①()0,1,2,i p x i ≥

=

②

()1i

i

p x =∑

● 一旦知道一个离散型随机变量X 的概率分布{}i p x （

），便可求得X 所生成的任何事件的概率.特别地，对任意a b ≤，有{}(

{}){}()i i i i i i a x b

a x b

a x b

P a X b P X x P X x p x ≤≤≤≤≤≤≤≤===

==

∑

∑

.

一般地，若I 是一个区间，则{}=()i i

x I

P X I p x ∈∈∑.

（2）分布函数