2015年清华大学夏令营试题解析

2015年清华大学夏令营试题解析

01

一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.

解析 设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有

0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.

解得

22x

F v

v gx t

ρρρ∆===∆. 故

3N F gx gx ρρ=+=.

所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.

02

单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.

解析 无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .

根据高斯定理，有

10

2E σε=

. 由积分可求得带电圆板产生的场强为

20(12E σε=

. 所以合场强为

120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=

-= ⎝.

03

如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .

解析 1P 点的场强为

12211()()22E kq l l r r ⎡⎤

⎢⎥

=-

⎢⎥⎢-+⎥

⎣

⎦ 2P 点的场强为

2222

2

3

222

2cos 24

4

.()4

l q q E k

k

l l r r ql

k

l r θ=⋅⋅=⋅+

+

=+

对于电偶极子，q ±之间的距离l 远比场点到它们的距离r 小得多.当l r <<时，有 2

2

2222232211222222224l l r r lr l r l l l l l r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 3

32

2

24l l r

l r ≈

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

. 所以在电偶极子延长线上，1E 的大小为

132ql

E k

r ≈. 在中垂面上，2E 的大小为

23

ql E k

r ≈. 04

推导点电荷的电势表达式.

解析 在正点电荷Q 的电场中，把正试探电荷q 沿电场线从a 点移到b 点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab 分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为1i r -和i r ，则试探电荷在该段所受的平均力为

1i i i

Qq

F k

r r -=. 于是库仑力在这一小段里做的功为

11111()i i i i i i i i i Qq

W F r k

r r kQq r r r r ---⎛⎫=∆=⋅-=- ⎪⎝⎭

.

对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即

11111i i i a b W W kQq kQq r r r r -⎛⎫⎛⎫

==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑.

于是a 、b 两点的电势差为

11a b ab a b W

U kQ q r r ϕϕ⎛⎫-==

=- ⎪⎝⎭

. 规定离场源电荷无穷远处（即b r →∞）为电势零点，则在离场源电荷()a r r r =处的电势为

Q

k

r

ϕ=. 05

如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能k E ，很细的质子束射向一个远离加速

器、半径为r 的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为2

r

d =

.假定质子与金属球相碰后将其电荷q 全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.

解析 设质子初速度为0v ，当金属球充电到电势为U 时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O 的角动量守恒，有

0mv d mvr =. 解得

2

v v =

. 根据动能定理，有

2

20

1122

qU mv mv -=-. 解得

20313424k U mv E q q

=

⋅=.

06

如图5所示，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为0R 。.以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B.在t=0时，一水平向左的拉力F 垂直作用于导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a.

（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式.

（2）经过多少时间拉力F 达到最大值？拉力F 的最大值为多少？

（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量.

解析 （1）感应电动势为

E BLv BLat ==. 感应电流为

2

2

001

22

E BLat

I R R at R R at =

=

++⋅⋅.

（2）导轨所受安培力为

222

0A B L at

F BIL R R at ==+.

导轨所受摩擦力为

2220()B L at f N mg BIL mg R R at μμμ⎛⎫

==+=+ ⎪+⎝⎭

. 根据牛顿第二定律，有

A F F f Ma --=.

解得

22222

00(1)(1)B L at B L a

F Ma mg Ma mg R R R at R at t

μμμμ=+++=+++++.

由均值不等式，得

0R R at t +≥. 上式取等号的条件为

0R

R at t

+

，即t =

所以拉力F 的最大值为