北京东城区中考数学二模试题及答案

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）
数 学 试 卷
学校 姓名 考号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 2
1
-
的绝对值是 A. 21 B. 2
1
- C. 2 D. -2
2. 下列运算中，正确的是
A ．2
3
5
a a a += B ．3
4
12
a a a ⋅= C ．2
36a a a =÷ D ．43a a a -= 3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是
A ．
18 B ． 13 C ． 38 D ． 35
4．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．
5． 若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
6. 则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是
A ．30，35
B ．50，35
C ．50，50
D ．15，50 7．已知反比例函数2k y x -=
的图象如图所示，22
0根的情况是
A ．没有实根
B ． 有两个不等实根
C ．有两个相等实根
D ．无法确定
D C
B A
8.用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}1,1m in{2
2x x y -+=，则y 的图象为
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 反比例函数k
y x
=
的图象经过点（－2，1），则k 的值为_______． 10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 . 主视图
俯视图11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处．使斜边
CD ∥AB ，则∠a 的余弦值为__________． 12. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=o
，30CAB ∠=o
，2BC =，
O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋
转120o
到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过 部分的面积（即阴影部分面积）为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 先化简，再求值：2
(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中33
x =
． 14. 解分式方程：
1132
2x x x
-+
=--．
15．如图，点A 、B 、C 的坐标分别为（3，3）、（2，1）、（5，1），将△ABC 先向下平移4
个单位，得△A 1B 1C 1；再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折，得△A 2B 2C 2. （1）画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2； （2）求线段B 2C 长.
A
H B
O
C 1O
1H
1A
1C
y O A B C
x
y
A 1-1-1-1-1
111
1
111
x
y
0B
x
y
C x
y
D
16. 如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF AB ∥，AE EC =． 求证：AD CF =．
17. 列方程或方程组解应用题
为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐”的
口号. “五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的
5
4
还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升. 若小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米.
18．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，点Q 的坐标为(0，2)． （1）求直线QC 的解析式；
（2）点P (a ，0)在边AB 上运动，若过点P 、Q 的直
线将矩形ABCD 的周长分成3∶1两部分，求出此时a 的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 是∠ABC 的平分线. （1）求证：AB =AD ；
（2）若∠ABC ＝60°，BC =3AB ，求∠C 的度数 .
20. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的 ⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED =45︒．
(1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =6
5
，求AE 的值．
21．某商店在四个月的试销期内，只销售A ，B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结
束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图l 和图2．
(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______；
A B C
D
E F
A
B
C
D
(2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；
(3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，
判断该商店应经销哪个品牌的电视机．
图1 图2
22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现
将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.
（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；
（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.
C
N
D
B
图2
图1
图4
F E D C B
A
图1
O
E
D
C B
A
R Q
P
图2
O
E
D
C B
A
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b =231222x x -=，求a ，b 的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数22
2y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A
在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.
24. 如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC =6. △ECD 是△ABC 沿CB 方向平移得到的，连
结AE ，AC 和BE 相交于点O .
（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）如图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE
于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R .
①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；
②当线段BP 的长为何值时，以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△BOC 相似？
25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC
在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形
BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．
北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）
数学试卷参考答案
三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）
解: 原式2
2
2
441444x x x x x =+++--- ………………3分
23x =- . ………………4分
当2
x =
，
原式2
2715
33244⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
. ………………5分 14．（本小题满分5分） 解：
32
1
21=-+--x x x ………………1分 去分母得 x-1+1=3（x-2）
解得 x=3. ………………4分 经检验：x=3是原方程的根.
所以原方程的根为x=3. ………………5分
15．（本小题满分5分） 解：（1）A 1 点的坐标为（3，－1），B 1点的坐标为（2，－3），C 1点的坐标为（5，－3）；
A 2 点的坐标为（－3，－1），
B 2点的坐标为（－2，－3），
C 2点的坐标为（－5，－3）.
图略，每正确画出一个三角形给2分.
（2）利用勾股定理可求B 2C
………………5分
16．（本小题满分5分） 证明：∵ CF AB ∥，
∴ ∠A =∠ACF , ∠ADE =∠CFE . -------2分
在△ADE 和△CFE 中， ∠A =∠ACF ， ∠ADE =∠CFE ，
AE EC =，
∴ △ADE ≌△CFE . --------4分 ∴ AD CF =. ------5分
17．（本小题满分5分）
解：设小刚家4、5两月各行驶了x 、y 千米. --------------------------1分
依题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧
=+-=.
2601.01.0,
1005
4y x x y ----------------------------3分 解得 ⎩⎨
⎧==.
1100,
1500y x -------------------------------4分
A
B
C
D E
答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米. -----------5分
18．（本小题满分5分）
解：（1）由题意可知 点C 的坐标为（1，1）．
…………………………………1分
设直线QC 的解析式为y kx b =+． ∵ 点Q 的坐标为(0，2)，
∴ 可求直线QC 的解析式为2y x =-+．…………………………………2分 （2）如图，当点P 在OB 上时，设PQ 交CD 于点E ，可求点E 的坐标为（
2
a
，1）． 则522AP AD DE a ++=+
，3
32
CE BC BP a ++=-． 由题意可得 53
23(3)22
a a +=-．
∴ 1a =． …………………………………4分 由对称性可求当点P 在OA 上时，1a =-
∴ 满足题意的a 的值为1或－1． …………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）
解：（1）证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴ ∠1=∠2.
∵ AD //BC ，∴∠2=∠3. ∴ ∠1=∠3.
∴AB=AD . ---------------------2分
（2）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .
∴ EF=AD=AB .
∵ ∠ABC ＝60°，BC =3AB ， ∴ ∠BAE =30°.
∴ BE =21
AB . ∴ BF =23AB=2
1
BC .
∴ BD=DC . ∴ ∠C =∠2.
A
B
C
D
1
2
3
E F
F E D B
A
∵ BD 是∠ABD 的平分线， ∴ ∠1=∠2=30°.
∴ ∠C =30°. -------------------------5分
20.（本小题满分5分）
解：（1）CD 与圆O 相切． …………………1分 证明：连接OD ，则∠AOD =2∠AED =2⨯45︒=90︒． …………………2分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB //DC ．
∴∠CDO =∠AOD =90︒．
∴OD ⊥CD ． …………………3分 ∴CD 与圆O 相切．
（2）连接BE ，则∠ADE =∠ABE ．
∴sin ∠ADE =sin ∠ABE =
6
5
． …………………4分 ∵AB 是圆O 的直径，
∴∠AEB =90︒，AB =2⨯3=6． 在Rt △ABE 中，sin ∠ABE =AB AE =6
5
． ∴AE =5 ．
21．（本小题满分5分）
解：(1)30％； ……………………2分 (2)如图所示. ……………………4分
(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品牌
的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B 品牌电视机． …………………5分 22．（本小题满分5分）
解：（1）将图4中的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图下中
的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD ．…………………2分
A B D E
O
（2）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB =30．
∵ 纸带宽为15，
∴ sin ∠ABM =
151302
AM AB
==．
∴∠AMB =30°． …………………5分
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（本小题满分7分） 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程22
20x ax b ++=有实数根,
∴ Δ=,04)2(2
2
≥-b a 有a 2-b 2≥0,（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,
∴ a+b ＞0,a-b ≥0.
∴ b a ≥. …………………………2分
（2） ∵ a ∶b =2
∴ 设2,a k b ==
.
解关于x 的一元二次方程2
2
430x kx k ++=，
得 -3x k k =-或.
当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得2
5
k =-（不合题意，舍去）.
∴ 4,a b ==. …………………………5分
（3） 当4,a b ==时，二次函数2
812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐
标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.
设z ＝3x －y ，则3y x z =-.
画出函数2
812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分
24. （本小题满分7分）
解：（1）四边形ABCE 是菱形.
321G R Q P O
E D C B
A 证明：∵ △ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，
∴ EC ∥AB ，EC ＝AB .
∴ 四边形ABCE 是平行四边形.
又∵ AB ＝BC ，
∴四边形ABCE 是菱形. ……………2分
（2）①四边形PQED 的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，
∴ S △PBO ＝ S △QEO
∵ △ECD 是由△ABC 平移得到的，
∴ ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6.
又∵ BE ⊥AC ，
∴BE ⊥ED
∴S 四边形PQED ＝S △QEO ＋S 四边形POED ＝S △PBO ＋S 四边形POED ＝S △BED
＝12×BE ×ED ＝12
×8×6＝24. ……………4分
②如图，当点P 在BC 上运动，使以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△COB 相似. ∵∠2是△OBP 的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不与∠3对应 .
∴∠2与∠1对应 .
即∠2＝∠1，∴OP =OC =3 .
过O 作OG ⊥BC 于G ，则G 为PC 的中点 .
可证 △OGC ∽△BOC .
∴ CG :CO ＝CO :BC .
即 CG :3＝3:5 .
∴ CG =95
. ∴ PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝75
.
B C A x y F O D E H M G ∴ BD ＝PB ＋PR ＋RF ＋DF ＝x ＋185＋x ＋185
＝10. ∴ x ＝75
∴ BP ＝75
. ……………7分 25．（本小题满分8分）
解：（1）由题意得A （0，2）、B （2，2）、C （3，0）.
设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx +2.
则⎩⎨⎧=++=++02390
224b a b a
解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-
=3
43
2
b a
H ∴ 224
233y x x =-
++．……………2分
（2）由22
4233y x x =-++＝228
(1)33x --+．
∴ 顶点坐标为G （1，83）．
过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ．
则AH ＝BH ＝1，GH ＝83－2＝2
3．
∵ EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，
∴ EA ∥GH ．
∴GH 是△BEA 的中位线 ．
∴EA ＝3GH ＝4
3．
过B 作BM ⊥OC ，垂足为M ．
则MB ＝OA ＝AB ．
∵ ∠EBF ＝∠ABM ＝90°，
∴ ∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ．
∴ R t △EBA ≌R t △FBM ．
∴ FM ＝EA ＝4
3．
∵ CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，
∴ CF ＝FM ＋CM ＝7
3．……………5分
（3）要使四边形BCGH 的周长最小，可将点C 向上
平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1，
得点C1的坐标为（－1，1）．
可求出直线BC1的解析式为
14
33
y x
=+．
直线
14
33
y x
=+与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1，
5
3
）．
点G的坐标为（1，2
3
）．……………8分。