第三章 表象理论

* m
ˆ M n dx
数列{ a n }和{ b n }分别是F表象中的波函数 和 ，把它们表示为单列矩 阵的形式，即
a1 a 2 ( F ) a n
mn
b1 b 2 ( F ) b n
a1 a2 A a n
a1 a 2 T A T a n
* n
ˆ M
dx ] M m
*
* nm
3.2 量子力学公式的矩阵表示
1. 波函数正交归一性
(1) 归一化。在x表象中波函数的归一化条件是
ˆ 若 F 的本征函数用 1 , 2 , 表示，则
dx 1
*


*
C
n
n

n
* m

C
m
* m

dx
*
C
量子力学中状态和力学量的具体表示方式称为表象。我们以前所采 用的表象称为坐标表象。这一章我们要讨论任意力学量的表象。 表象理论的意义在于，首先，对于给定的一个具体问题，选取恰当 的表象往往可以简化运算过程或便于与实验结果直接对比；另外，微观 粒子还有一些全新的，与坐标无关的，在经典力学中没有对应量的力学 量，如电子自旋，只有学了表象理论，才有可能把它很好地表达出来。
a
m
bm
* n

n m
a n b m mn 0
*

n
a n bn 0
b1 b 2 0 b n
*

a1
*
a2
*
…
an
*
…
2. 平均值公式
在x 表象中
M
* ˆ M M dx
* m
C
m
F可以代表任何力学量。因此，在任意力学量F表象中，算符都可用 (5.1.15)所示的矩阵来表示，其矩阵元 M mn 由(5.1.13)给出。 下面讨论几个特殊的例子：
ˆ (1) 算符 F 在其自身表象中的矩阵表示是一个对角矩阵，且对角元素 就是其本征值。
ˆ ˆ 在矩阵元的定义式(5.1.13)中，取算符 M 为 F ，则
由于左矢和右矢是一一对应的，因此体系的一个状态可以用一个右
矢表示，也可以用一个左矢表示。
2. 线性算符和自轭算符
(1) 线性算符：
线性算子（算符） 作用于右矢
P
仍为右矢空间的一个矢量 Q
并服从下列线性规则
则 是线性算符。
可用下式来定义两个线性算子的相加和相乘：
(2) 共轭线性算符(亦称伴随算符)
F mn
* m
ˆ F n dx F n
* m
n dx F n mn
ˆ 说明 F 在F表象中是一个对角矩阵
F1 0 0
0

0
F2 0

0 Fn
(3.1.17)
ˆ (2) 算符M =1在任意表象中都是单位矩阵。
(3.1.14)
若把集合{ M }排列成一个方矩阵，即
M M M
11 21
M M
12 22

M M
1n 2n
n1
M
n2

M
nn

(3.1.15)
M b1 M b2 = bn M

这是决定参数M的可能值(即本征值)的方程，通常称为久期方程。解这个 ˆ M 方程可以得到它的一系列的根： 1 , M 2 , , M n , ，它们就是算符 M 的全部 本征值。把其中一个根，例如 M ，代回原来的方程组，就可以求得相应 的解 C ni (n=1，2…)(附加一个脚标i指明它是与第i个根相对应的)即
2. 算符的表象
算符表达的是一种运算，它的具体表示形式应该和波函数的具体表 示形式相适应。
ˆ 在x表象中，算符 M 的形式是 给出一个新的波函数
ˆ ˆ M M ( x , i ) x
，它作用于波函数 上
ˆ M ( x , i ) x
ˆ 现在我们来求在F表象中算符 M 的形式。
若在右矢空间中有： 则 叫做 的共轭线性算符。 共轭线性算符有以下性质 ①
在对应的左矢空间中有：

P
证明 设 Q P ，由共轭线性算符的定义得： Q Q 一次共轭可得： P ，此式与第一式比较即得

，两边再取
②
③ ④
C C
几个共轭线性算符的例子。 ⅰ 对n维线性空间
数为 1 , 2 ,
ˆ F
n
F n
n
n 1, 2 ,
n n
(3.1.1) (3.1.2) (3.1.3)

C
n
C n
* n
dx
数列{ C n}和 ( x , t ) 是等价的。因此我们可以用数列{ C n }代替 ( x , t )来描 述同一个状态。 其次，可以看出在数列{C n }和本征值集合{ F n }之间，存在着一一对应 ˆ 的关系，即我们可以把数列{ C n }看成是以力学量 F 的本征值 F n 作为自变 量的一个函数。
第m行
(3.1.8)
在前面的讨论中，为了叙述简洁，我们把坐标表象中的波函数说成 只是x的函数。实际上x应代表全部坐标变量，对于在三维空间中运动的 粒子．就是x,y,z，因而所说的坐标表象，实际上是x,y,z共同的表象。 x,y,z构成一个力学量的完全集合。同样，前面所说的力学量F也应代 表一个力学量的完全集合，所谓F表象也应理解为F所代表的力学量的完 全集合所含各力学量的共同表象。
(3.1.9)

a
n
n

n
(3.1.10) (3.1.11)
n

b
n n
n
b
n n
n

* m
a
n
n
ˆ M
b
n n
n dx b m
a
n n
* m
ˆ M n dx
M
n
mn
an
bm
M
n
mn
an
(3.1.12) (3.1.13)
M
mn

i
C 1i C 2i i ( F ) C ni
这样我们可以把解微分方程求本征值的问题变为求解久期方程式的根的 问题。
5.3 狄拉克(Dirac)符号
1. 右矢和左矢
为了描述量子力学中体系的状态，引进一种特殊的矢量，叫做“右 P 矢量”，简称“右矢”。用符号 代表一个右矢(ket vector)，亦称为刃， 它们的集合组成一个线性向量空间。
M
mn

1 0 0
* m
n dx mn
0 1 0 0 1
0
(3)表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
ˆ 假定 M 是一个厄米算符，则
M
mn

* m
ˆ ˆ * M n dx n M
* m
dx [
1 C2 ( F ) Cn
(3.1.6)
ˆ 算符 F 的一个本征函数 m 在F表象（即自身表象）中的形式。此时 在式(3.1.3)中取 m ，有：
C n
* n
m dx nm
(3.1.7)
0 0 m ( F ) 1 0
m
* m

* m
* m
C
n
n dx n
C
m n
* m
C n
* m
n dx

C
m n
C n mn 1

n
Cn Cn 1
Leabharlann Baidu
*
( F ) ( F ) 1

C 1 C2 ( F ) Cn
n2

M
nn

C 1 C 2 C n
由于F是一个任意的力学量，因此原则上表象可以有无穷多。但是，前 已指出，对一个任意的状态进行关于力学量M的测量，一般来说我们所可以 期待的结果就是M的平均值 M ，显然不管你采用何种表象，实验测得的结果 总是一个，选取不同的表象相当于在不同的坐标系中讨论问题，可观测的 实验结果(力学量的期望值)不会因表象不同而异。
(3.1.5)
这就是说，对于一个给定的状态，如果知道了它在某一力学量表象 中的波函数，就可以直接写出该力学量的取值几率分布。这样，如果我 们已经从实验上测得了某一力学量F的取值几率分布，那么采用F表象， 将便于理论和实验的对比。 为了应用方便，我们把在F表象中的波函数——数列{C n }，表示为单 列矩阵的形式： C
C n C n ( Fn )
因此，我们称数列{C n }为在力学量F表象中的波函数。这样式(3.1.2) 就是波函数从“F”表象到“x”表象的变换，而(3.1.3)就是其逆变换。 坐标x的取值几率分布为
W ( x ) | |
2
(3.1.4)
2
力学量F的取值几率分布为
W ( F ) | C n |
11 21
M M
12 22
M 1n a1 M
M
2n
n1
M
n2

nn

a 2 an
(3.1.16)
ˆ 上式表明(5.1.15)所表示的方阵，就是F表象中的算符 M ，它就是关 于算符作用公式的矩阵表述。
3. 本征值方程
在x 表象中
M M M
11 21
M M
12 22

M M
1n 2n
n1
M
n2

M
nn

C 1 C 2 C n
1n 2n
M
C 1 C 2 C n C 1 C2 Cn

* m
ˆ M
C
n
n
n dx
mn
C
m n
* m
C n
mn
* m
ˆ M n dx
C
m n
* m
CnM

m
C
n
* m
M
Cn
M
C
* 1
C2
*
… Cn …
*

M M M
11 21
M M
12 22

M M
1n 2n
n1
M
3.1 状态和力学量的表象
1. 状态（波函数）的表象
称为坐标表象(或x表象)中的波函数，因而它的自变量除了时 间t就是粒子的空间坐标x(以下简称坐标)—即坐标这个力学量的可能取 值，从理论上看就是坐标算符的本征值。
( x, t )
然而坐标仅是微观粒子所具有的各种力学量中的一个。自然可以提 出这样的问题：是否可以用以其它力学量作为自变量的波函数来描述同 一个状态呢? 用F表示任意一个力学量，它的本征值为F 1, F 2, …，相应的本征函
M M M
11 21
M M
12 22

M
M M
M

n1
M
n2

M
nn
M

=0
M 11 M M M
n1 21
M 12 M M
n2 22

M
M M
1n 2n


=0
nn

M
M


(F )

C1 C 2
*
*
…
Cn
*
…


( F ) 是一个单行矩阵，是 ( F ) 的转置共轭矩阵。
(2) 正交。在x表象中


a
* a
*
b dx 0

a
n
* n

m
* n
b

* n
b
m
m


n n
an
* * n
b
m
m
m dx 0 m dx 0
这种线性向量空间一般是无穷维的，称为右矢空间。
如对于谐振子，其本征函数为 组成一个完全集合。 对谐振子这样一个力学体系，可以选 其中的任意一个右矢可表示为
P
为基向量组成一个右矢空间， n
C
n0

n

n
基本假定：一个体系的状态可用右矢空间的一个向量表示。 这种右矢只和方向有关，和长度无关，即 P 和 C P 代表的是同一个 状态。 右矢空间S的对偶空间是左矢空间，对偶即共轭的意思，用 S 表示