计算理论第5章 递归函数
数理逻辑中的递归论研究
数理逻辑中的递归论研究数理逻辑是研究符号形式系统的一门学科，而递归论则是其中重要的分支之一。
递归论研究的是递归函数和可计算性理论，它在计算机科学以及数学领域具有重要的地位。
本文将从递归论的基本概念、递归函数以及可计算性理论等方面进行论述，以展示数理逻辑中的递归论研究的重要性和深远影响。
一、递归论的基本概念递归论是数理逻辑中研究递归函数和可计算性理论的分支。
递归函数是一种可以通过有限步骤计算得到结果的函数。
而可计算性理论则探讨的是哪些函数是可计算的，也即存在一种算法可以计算出该函数的值。
递归论的基本概念包括递归函数、图灵机以及可计算函数等。
在递归论中，递归函数是一种可以通过无限步骤的重复计算得到结果的函数。
递归函数的定义采用了递归的方式，即函数的定义中包含对函数自身的引用。
而图灵机是递归论中的重要概念之一，它是一种抽象的计算模型，可以对递归函数的计算过程进行模拟和描述。
可计算函数则是指可以通过图灵机模拟计算的函数，也即存在一种算法可以计算出该函数的值。
二、递归函数的性质和应用递归函数在递归论中具有重要的性质和广泛的应用。
首先，递归函数具有封闭性，即如果一个函数在其定义中引用了自身，则称其为递归函数。
递归函数在数理逻辑和计算机科学中有着广泛的应用，例如在数学中的斐波那契数列、计算机编程中的递归调用等。
此外，递归函数还具有可计算性和不可计算性的性质。
在递归论中，可计算函数指的是可以通过图灵机计算的函数，它们可以由递归函数表示并进行计算。
而不可计算函数则是指无法通过图灵机计算的函数，例如停机问题。
递归论对于可计算函数和不可计算函数的研究，为计算机科学中的可计算性理论奠定了基础。
三、可计算性理论的研究可计算性理论是递归论中的重要内容之一，它研究的是可计算函数的性质和计算复杂性。
在可计算性理论中，人们提出了许多重要的概念和理论，如图灵机、可计算复杂性以及不可判定性等。
图灵机是可计算性理论中的重要工具，它是一种抽象的计算模型，可以模拟和描述递归函数的计算过程。
《c语言递归算法》课件
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
递归算法知识点总结
递归算法知识点总结一、基本概念递归算法的基本概念是基于递归函数的思想。
递归函数是一个调用自身的函数。
递归算法通常可以分为两种类型：简单递归和复杂递归。
简单递归是指在递归函数中直接调用自身，而复杂递归则是指在递归函数中可能会有多个递归调用。
递归算法通常用于解决可以分解为若干子问题的问题，这种方法通常可以更加简洁地解决问题，但同时也可能会带来一些计算复杂度的问题。
递归算法的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定基本情况：在设计递归函数时，通常需要确定一个或多个基本情况。
基本情况通常是指在递归函数中不需要再次调用自身的情况。
2. 确定递归情况：在设计递归函数时，需要确定一个或多个递归情况。
递归情况通常是指在递归函数中需要调用自身的情况。
3. 确定递归方式：当确定了递归函数的基本情况和递归情况之后，就需要确定递归函数的调用方式。
通常有两种方式：直接递归和间接递归。
4. 编写递归函数：根据确定的基本情况、递归情况和递归方式，编写递归函数。
5. 测试递归函数：编写递归函数后，需要对递归函数进行测试，确保递归函数能够正确地解决问题。
二、递归算法的原理递归算法的原理是基于递归函数的调用。
当一个递归函数被调用时，它会将自身的执行环境保存到栈中，并且在栈中分配一些空间。
在递归函数中，如果有一些局部变量，这些变量会在栈中分配空间。
随着递归函数的深入调用，栈中的空间也会不断增加。
在递归函数的执行过程中，通常需要考虑递归栈的压栈和出栈操作。
在递归函数被调用时，会执行一些初始化操作，并将递归参数保存到栈中。
在递归函数中，如果遇到递归情况，会再次调用自身，并且将自身的执行环境保存到栈中。
在递归函数的执行过程中，如果遇到基本情况，就会结束当前递归调用，并且从栈中释放空间。
递归算法的原理是基于递归函数的深度调用的。
当递归函数被调用时，会执行一些初始化过程，并将递归参数保存到栈中。
当递归函数执行完毕后，会从栈中释放空间。
在递归函数的执行过程中，栈中的空间会不断增加和释放。
递归算法及程序实现
递归算法及程序实现递归算法是一种在函数中调用自身的算法。
递归算法通常用于解决可以分解为相同问题的问题，每次递归调用将问题划分为更小的子问题。
递归算法包含两个重要的部分：基本情况和递归情况。
基本情况是递归算法中结束递归的条件。
当递归到达基本情况时，算法将停止递归，并返回结果。
递归情况是递归算法中的循环调用部分，通过调用自身并传递更小的子问题来解决原始问题。
递归情况通常将问题缩小，直到达到基本情况。
下面以一个常见的例子来说明递归算法及其实现方法：求解阶乘。
阶乘是指将一个自然数N连乘，即N!=N*(N-1)*(N-2)*...*2*1、阶乘是一个常见的数学计算，可以使用递归算法来解决。
首先，定义一个递归函数，命名为factorial，它接受一个整数作为参数，并返回该整数的阶乘。
```pythondef factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个递归函数中，有两种情况。
当n等于1时，递归到达基本情况，函数返回1、否则，递归调用自身，并将n减1传递给函数。
每次递归调用都会将问题缩小，直到达到基本情况。
接下来，可以使用这个递归函数来计算任意整数的阶乘。
例如，计算5的阶乘，可以调用factorial函数：```pythonresult = factorial(5)print(result) # 输出结果120```在这个例子中，求解5的阶乘需要进行5次递归调用，即factorial(5) -> factorial(4) -> factorial(3) -> factorial(2) -> factorial(1)。
最终，递归到达基本情况，返回1，并依次完成阶乘的乘法运算。
值得注意的是，递归算法需要考虑递归深度的问题。
如果递归深度过大，可能导致栈溢出或性能下降。
因此，在编写递归算法时，需要仔细考虑递归深度和算法的效率。
递归函数解释
递归函数解释
一、递归定义
递归函数是指一个函数在其定义域内，存在某个或某些子集作为其自身的输入，也就是一个函数直接或间接调用自身的一种过程。
通常递归函数的定义会包含两部分：基本情况和递归情况。
二、基本情况
基本情况也被称为基线条件，是递归函数的结束条件。
基本情况决定了递归何时停止，它必须是直接可求解的情况。
基本情况是递归函数的根，其他递归情况都由它导出。
三、递归转化
递归转化是将问题转化为更小的同类问题的一种策略。
在递归函数中，每一个递归调用都是为了解决一个更小的子问题，以便于通过这些子问题的解来找到原问题的解。
四、递归终止
递归终止是指函数在完成一系列递归调用后，最终达到基本情况并返回结果的过程。
递归终止是递归函数的终点，也是递归函数开始返回结果的地方。
五、递归层次
递归层次是指函数在执行过程中所经历的递归深度。
每一个递归调用都会增加一层的递归深度，直到达到基本情况并返回结果，然后开始逐层返回，直到完成所有递归调用。
理解递归层次有助于更好地理解递归函数的执行过程和时间复杂度。
C++递归函数ppt课件
n=0 n=1 n>1
21
f(1)=1, f(2)=1 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
递归出口
问题 f(n)
递归体 与的关系： 子问题解决了，大问题就解决了
子问 题1
f(n-1)
与
子问 题2
f(n-2)
int fib(int n) {
if( n==1 || n==2 ) return(1);
} 返回1*2*3
int fac(int n) { if(n==1)
return(1); else
return(fac(n-1)*n);
} 返回1*2
int fac(int n) { if(n==1)
return(1); else
return(fac(n-1)*n);
} 返回1
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? 递归函数反映一种什么样的思维
问题 n!
分 解
(n-1)!
小问题
问题 n!
分 解
小问题 (n-1)!
分 解
更小
问题 (n-2)!
分 解 ┆
最小 问题1! 不能再分解
16
四、递归与迭代
用迭代法求n! s=1; for(i=1;i<=n;i++) s=s*i;
迭代过程： 1!=1 2!=1!*2 3!=2!*3 …… n!=(n-1)!*n
有3对（1+2=3）兔子。 到第五个月，第一对兔子又生了一对小兔而在第三
个月出生的小兔也生下了一对小兔。所以，这个月共 有5对（2+3=5）兔子。……
规律：从三月份开始兔子总对数，恰好等于前面两个月
份兔子总对数的和。因为该月的兔子对总数应该等于上
机械原理 递归函数
机械原理递归函数机械原理中，递归函数是一种十分重要的概念。
递归函数指的是函数在执行时会自我调用的一种函数。
这种自我调用的机制可以让我们在处理一些复杂问题时，可以通过递推的方式来解决。
递归函数的基本原理是将一个大问题分解为若干个小问题来进行求解。
接着，将这些小问题通过递归函数自我调用来逐个求解，最后再合并起来，得出整个问题的解。
我们对于一个数列进行排序，可以采用递归函数来实现。
将整个数列分解为两个部分来进行排序，随后对这两个部分再进行分解。
递归函数在不断地调用自身的情况下，将整个数列分解为一个个单独的元素，再将这些单独的元素依次进行排序，最后再通过递归函数将这些部分合并起来，得到最终的结果。
递归函数的优点在于可以大大简化程序开发的工作量，可以将大问题分解为小问题来进行处理。
递归函数也可以使代码更加易于阅读和理解，降低程序开发的难度。
递归函数也有其缺点，其主要是由于递归函数的自我调用机制会导致函数栈的不断增长，从而导致内存的消耗。
在使用递归函数的时候要谨慎，最好在程序中加入限制条件。
递归函数还有一些需要注意的问题。
在使用递归函数时，一定要注意递归深度的控制，不能无限制地调用自身，否则会导致死循环。
在编写递归函数时，一定要注意递归结束条件的设置，否则也会导致死循环。
递归函数在机械原理中具有十分重要的地位，可以帮助我们更加高效地解决复杂的问题。
在使用递归函数时，要注意一些需要注意的问题，这样才能更好地发挥递归函数的优点，避免其缺点的影响。
除了以上提到的注意事项，递归函数在机械原理中还有其它的一些应用。
在图形学和计算机科学领域，递归函数被广泛应用于分形图形的绘制中。
分形图形通常具有自相似性的特点，即这个图形的一部分可以看作是整个图形的缩小版。
可以通过递归的方式来绘制分形图形。
在每次递归时，将这个图形分成若干个部分，再在每个部分内部递归地进行绘制。
最终将所有的小部分拼接起来，即可得到整个分形图形。
在机器人控制和路径规划中，递归函数也被广泛地应用。
递归函数详细讲解
递归函数详细讲解
（实用版）
目录
1.递归函数的定义和特点
2.递归函数的执行过程
3.递归函数的应用实例
4.递归函数的优缺点
正文
递归函数是一种在函数体内部调用自身的函数。
它能够实现一些具有重复性的任务，通过将大问题分解成小问题来解决问题。
递归函数的特点是函数体内部存在一个递归调用，通常是一个条件判断和一个递归调用组成。
递归函数的执行过程是先判断条件，如果满足条件就进行递归调用，否则执行其他操作。
递归函数在实际应用中非常广泛。
例如，计算阶乘、汉诺塔问题、斐波那契数列等都是典型的递归函数应用实例。
这些例子中，递归函数通过将大问题分解成小问题，然后通过解决小问题来解决大问题。
递归函数的优点是可以将复杂的问题简化为较小的、更易于解决的问题，而且递归函数的代码通常比较简洁。
但是，递归函数也存在一些缺点。
首先，递归函数的运行效率较低，因为需要进行多次函数调用和返回。
其次，递归函数的深度过大可能导致栈溢出，造成程序崩溃。
总的来说，递归函数是一种非常有用的编程技巧，能够解决许多复杂的问题。
第1页共1页。
递归算法课件
当n 0时 1 f ( n) n * f (n 1) 当n 0时
这种函数定义的方法是用阶乘函数自己本身定义了 阶乘函数，称上式为阶乘函数的递推定义式。
数学归纳法表明，如果我们知道某个论点对最小的情 形成立，并且可以证明一个情形暗示着另一个情形，那么我 们就知道该论点对所有情形都成立。 数学有时是按递归方式定义的。 例1：假设S（n）是前n个整数的和，那么S（1）= 1，并且 我们可以将S（n）写成S（n）= S（n-1）+ n。 根据递归公式，我们可以得到对应的递归函数： int S(int n) { if (n == 1) return 1; else return S(n-1) + n; } 函数由递归公式得到，应该是好理解的，要想求出S （n），得先求出S(n-1)，递归终止的条件（递归出口）是(n == 1)。
↑
low 第二次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4
↑
mid 3 5 4 17 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low 第三次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4 3 5 4 17
↑
mid 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low high mid
• Public static void main(String args[]) •{ • int[] shus={1,3,4,5,17,18,31,33};
求Fib(5)的递归计算过程如图所示。
Fib(5) Fib(4) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(2) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(0)
Fib(1) Fib(0) Fib(1)
递归函数名词解释
递归函数名词解释
递归函数是指在一个函数的定义中又调用了该函数本身的情况。
递归函数在程序设计中起着非常重要的作用，能够简化程序的结构，提高代码的可读性和可维护性。
递归函数通常用于解决问题的分而治之，将一个大问题分解成几个小问题，通过递归调用来解决这些小问题，最终达到解决整个大问题的目的。
在递归函数中，需要定义一个基本情况，也就是递归的结束条件，否则函数会陷入无限循环，无法正常结束。
当函数遇到基本情况时，递归调用将停止，函数返回结果。
递归函数的基本情况可以看作是递归的出口，也是问题被解决的最小单元。
递归函数可以直接或间接地调用自身，直接递归是指函数在自身的定义中直接调用自身，间接递归是指函数在调用其他函数的过程中间接地调用自身。
无论是直接递归还是间接递归，都需要小心处理递归调用的次数，以免造成栈溢出或者程序性能下降的问题。
递归函数在编程中有许多应用，比如在树的数据结构中，可以使用递归函数来遍历树的节点；在计算数学问题中，如斐波那契数列等，也可以使用递归函数来解决；在图形学中，递归函数可以用来绘制分形图形等。
总的来说，递归函数是一种非常有用的编程技巧，能够简化程序的结构，提高代码的可读性和可维护性。
但是在使用递归函数时需要小心处理递归调用的次数，避免陷入无限循环的情况。
递归函数的正确使用将会极大地丰富程序设计的思路和方法，提高程序的效率和可扩展性。
C语言递归算法解析递归思想与应用
C语言递归算法解析递归思想与应用C语言递归算法解析C语言作为一种高级编程语言，拥有强大的功能和灵活性。
其中，递归算法是C语言中常用的一种算法，能够解决许多复杂的问题。
本文将解析C语言递归算法的思想与应用。
一、递归思想的理解与定义递归是指一个函数直接或间接地调用自身的一种技巧。
在递归过程中，问题规模不断缩小，直至到达基本问题（递归终止条件），然后逐步返回答案，最终解决整个问题。
递归算法的形式可以简单概括为以下几个步骤：1. 确定递归终止条件，即最小的问题，不需要再进行递归调用，直接返回结果。
2. 将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。
3. 将子问题的解合并为原问题的解，并返回结果。
递归算法与迭代算法相比，具有代码简洁、思路清晰等优点，但也需要注意递归调用的效率和内存消耗。
二、递归算法的应用场景递归算法在实际编程中广泛应用于以下几个方面：1. 阶乘计算阶乘是指从1到某个正整数n的所有整数相乘的结果。
递归算法可以通过将n的阶乘转化为(n-1)的阶乘并与n相乘的方式进行计算。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都是前两项的和。
递归算法可以通过将第n项的值转化为第(n-1)项和第(n-2)项的和的方式进行计算。
3. 列表或树的遍历对于具有层次结构的数据，如列表、树等，递归算法可以方便地进行遍历操作。
例如，在二叉树中，可以通过递归地遍历左子树和右子树来访问整棵树的节点。
4. 文件目录的遍历在操作系统中，递归算法常被用于遍历文件目录。
通过递归地进入子文件夹，并处理其中的文件，可以方便地对整个文件目录进行操作。
以上仅是递归算法应用的常见场景，实际上递归算法可以解决更加复杂的问题，需要根据具体情况进行灵活应用。
三、递归算法的优化与注意事项虽然递归算法有许多优点，但也需要注意一些问题：1. 递归深度限制由于每次递归调用都会占用一定的栈空间，当递归深度过大时容易导致栈溢出。
【C】函数递归算法讲解
【C】函数递归算法讲解在数学与计算机科学中，递归算法是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
在程序中，递归是通过函数的调用来实现的。
函数直接调用其自身，称为直接递归；函数间接调用其自身，称为间接递归。
在函数定义中，其内部操作又直接或间接地调用了自身，则称这样的函数为递归函数。
生活中我们也存在这样的递归现象，比如：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是……故事中又调用了这个故事正如函数中又调用了这个函数一样。
•••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f()//自定义函数{ return f();}int main()//主函数 { cout<<f();//函数调用 return 0;} 但上述函数的定义是不合理的，因为递归函数和生活中的递归现象具有不同之处：生活中有些递归现象可以无限递归，但递归函数必须有递归终止条件。
所以，递归函数有两大要素：①递归关系式：对问题进行递归形式的描述。
②递归终止条件：当满足该条件时以一种特殊情况处理而不是用递归关系式处理。
参考程序：••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;void output(int n)//自定义函数 { if(n==1) cout<<1<<' ';//递归终止条件 else//递归关系式 { output(n-1); cout<<n<<' '; } }int main()//主函数{ int n; cin>>n; output(n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int sum(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return n+sum(n-1);//递归关系式}int main()//主函数{ int n; cin>>n; cout<<sum(n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int jc(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return n*jc(n-1);//递归关系式 }int main()//主函数 { int n; cin>>n; cout<<jc(n);//函数调用 return 0;}参考程序：••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int xn(int x,int n)//自定义函数 { if(n==0) return 1;//递归终止条件 else return x*xn(x,n-1);//递归关系式}int main()//主函数{ int x,n; cin>>x>>n; cout<<xn(x,n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f(int n)//自定义函数 { if(n<=1) return n;//递归终止条件 else return f(n-1)+f(n-2);//递归关系式 }int main()//主函数 { int n; cin>>n; for(int i=0;i<=n;i++) cout<<f(i)<<' ';//函数调用 return 0;}••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int gcd(int m,int n)//自定义函数 { if(m%n==0) return n;//递归终止条件 else returngcd(n,m%n);//递归关系式}int main()//主函数{ int m,n; cin>>m>>n; cout<<gcd(m,n);//函数调用 return 0;}••••••••••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int a[20];bool flag;//利用全局变量falg传递结果void judge(int n,int m)//自定义函数{ if(a[n]==m) flag=true;//递归终止条件else if (n==1) return;//递归终止条件 else//递归关系式 { judge(n-1,m-a[n]); judge(n-1,m); }}int main()//主函数 { int n,m; cin>>n; for (int i=1; i<=n; ++i) cin>>a[i]; cin>>m; flag=false; judge(n,m);//函数调用if (flag) cout<<'YES'<<endl; else cout<<'NO'<<endl; return 0;}••••••••••••••••••••••••#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int sum;void res(int a,int y)//自定义函数{ for(int i=y;i<=sqrt(a);i++) { if(a%i==0) res(a/i,i); } sum++;}int main()//主函数{ int n,a; cin>>n; while(n--) { cin>>a; sum=0; res(a,2); cout<<sum<<endl; } return 0;}••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return 2*f(n-1)+1;//递归关系式}int main()//主函数 { int n; cin>>n; cout<<f(n);//函数调用 return 0;}•••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int step=0;//步数void hanoi(int n,char a,char b,char c)//自定义函数{ if(n==1) cout<<'第'<<++step<<'步：'<<'将圆盘'<<n<<'从'<<a<<'移动到'<<c<<endl; else { hanoi(n-1,a,c,b); cout<<'第'<<++step<<'步：'<<'将圆盘'<<n<<'从'<<a<<'移动到'<<c<<endl; hanoi(n-1,b,a,c); } }int main()//主函数 { int n; cin>>n; hanoi(n,'A','B','C');//函数调用 return 0;}。
递归函数_精品文档
递归函数什么是递归函数？在编程中，递归函数是一种直接或间接地调用自身的函数。
递归在很多算法和数据结构中都有广泛的应用，它能够简化问题的解决步骤并提高代码的可读性。
使用递归函数时，我们只需要关注当前步骤的解决方式，而不需要关心前面步骤的细节。
递归的基本原理递归函数的基本原理是将一个大问题划分为一个或多个相似的小问题，并通过解决这些小问题来解决整个大问题。
递归函数的定义通常包含两个部分： 1. 基线条件：当问题达到基线条件时，递归将停止。
这是递归函数的出口，也是递归函数中没有再次调用自身的终止点。
2. 递归条件：当问题未达到基线条件时，递归函数将调用自身来处理子问题。
递归函数的示例下面我们通过一些示例来说明递归函数的使用方法。
示例一：计算阶乘def factorial(n):if n ==0:return1else:return n * factorial(n-1)在这个示例中，我们定义了一个递归函数factorial()，它用于计算一个非负整数的阶乘。
如果输入参数n的值为0，则函数返回1；否则，函数返回n乘以factorial(n-1)的结果。
通过逐步调用factorial()函数，我们最终可以得到所需的阶乘值。
示例二：计算斐波那契数列def fibonacci(n):if n <=1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)斐波那契数列是一个经典的递归问题。
在上面的示例中，我们定义了一个递归函数fibonacci()，它用于计算斐波那契数列中第n个数的值。
如果n的值小于等于1，则直接返回n；否则，返回fibonacci(n-1)和fibonacci(n-2)的和。
通过逐步调用fibonacci()函数，我们可以得到斐波那契数列中任意位置的数值。
递归函数的优缺点递归函数有以下几个优点： 1. 递归函数可以简化问题的解决步骤，使代码更加简洁易懂。
计算理论导引5可归约性
语言理论中的不可判定问题
ETM = { M | M 是一个TM，且L(M)= } 空问题
定理 5.2
ETM 是不可判定的。
假设 ETM 是可判定的，以此证明 ATM 是可判定的。 设 R 是判定 ETM 的一个 TM，考虑用 R 来构造判定 ATM 的 S。 当 S 收到输入<M, w>时，如何运行？
证明HALTTM的不可判定性。 HALTTM 的形式化描述
HALTTM = { <M,w> | M是一个TM, 且对输入 w 停机}
5
HALTTM 是不可判定的
定理 5.1
HALTTM是不可判定的。
证明思路：反证法。（将 ATM 归约到 HALTTM ） 假设 TM R 判定 HALTTM，利用 R 可以构造一个判定 ATM 的 TM
可计算函数
定义 55.1.62
函数 f : * * 是一个可计算函数，如果有某个图 灵机 M，使得在每个输入w上停机，且此时只有 f (w) 出现在带上。
例5.13 整数上所有通常的算术运算都是可计算函数。 例如，可以制造一个机器，它以 <m, n> 为输入且返回 m 与
n 的和 m+n。
21
可计算函数
8
语言理论中的不可判定问题
ETM = { M | M 是一个TM，且L(M)= } 空问题
定理 5.2
ETM 是不可判定的。
先用标准术语来写在证明思路中描述的那个修改型机器M1. M1 = “在输入x上：
1) 如果 x≠w，则拒绝。 2) 如果 x=w，则在 x上运行M，当M接受时，就接受。” 这个机器以 w 作为它的描述的一部分。检查 x=w 是否成立的方法很显然， 即扫描输入并用一个字符一个字符地将它与 w 进行比较，就可确定它们是 否相同。
数学中的递归序列及其计算方法
数学中的递归序列及其计算方法递归序列是一种常见的数学概念，又被称为递推序列或者是差分方程。
在很多数学问题中，递归序列都有着重要的作用，因此学习递归序列的知识和算法也是数学学习中必不可少的一部分。
什么是递归序列？递归序列是一种基于已知项计算后面的项的序列，其中每一个项都与前面的若干项相关。
一般来说，递归序列可以表示为以下形式：$ a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}) $其中，$ f() $ 是一个确定的函数，$ a_n $ 是待求项， $ a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k} $ 是已知项。
递归序列的计算方法对于递归序列，我们通常使用两种方法来计算后面的项。
一种是直接代入递归式计算，另一种是使用矩阵求解法。
直接代入递归式计算对于递归式 $ a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}) $ ，我们可以直接代入已知项来计算 $ a_n $ 。
例如，对于斐波那契数列$ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} $ ，我们可以从已知的 $ F_0=0 $ 和$ F_1=1 $ 开始，利用递归式来计算$ F_2,F_3…F_n $ 。
使用矩阵求解法上面的方法虽然简单易懂，但当递归序列的维度变高时，直接代入计算的方法就不再适用。
此时，使用矩阵求解法就变得更加高效和方便。
对于一个具有递归式 $ a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}) $ 的递归序列，我们可以构造出一个矩阵 $ A $ ，其中前 $ k-1 $ 行分别对应 $ a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k+1} $ ，最后一行第 $ j $ 列的元素为 $ f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}) $ 。
然后，我们还需要一个初始向量 $ B $ ，它的前 $ k-1 $ 项是 $\ a_1,a_2,…,a_{k-1}\ $ ，最后一项是$ f(a_1,a_2,…,a_{k-1}) $ 。
C语言的递归算法解析
C语言的递归算法解析递归算法是一种经常在编程中使用的重要技术。
在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。
本文将对C语言中的递归算法进行详细解析，并介绍递归算法在实际应用中的一些常见场景。
一、什么是递归算法递归算法是一种通过函数的自我调用来解决问题的方法。
在递归算法中，一个函数可以直接或间接地调用自身。
递归算法通常分为两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指能够直接解决的问题，而递归情况是指将问题划分为子问题并通过递归调用解决。
递归算法的核心思想是将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。
递归算法必须要有一个终止条件，否则会进入无限循环，导致程序崩溃或者运行时间过长。
二、递归算法的实现在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。
下面是一个求解斐波那契数列的递归算法示例：```c#include <stdio.h>int fibonacci(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return n;} else {return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);}}int main() {int n = 10;int result = fibonacci(n);printf("The %dth Fibonacci number is: %d\n", n, result);return 0;}```在上述代码中，`fibonacci`函数通过递归调用自身来求解斐波那契数列的第n个数。
如果n为0或者1，那么直接返回n，否则将问题划分为求解第n-1个数和第n-2个数的和，并通过递归调用来解决子问题。
三、递归算法的优缺点递归算法具有以下优点：1. 递归算法可以简化问题的解决过程，将大问题划分为小问题，降低了问题解决的复杂度。
2. 递归算法的逻辑清晰，代码简洁，易于理解和维护。
然而，递归算法也存在一些缺点：1. 递归算法需要占用大量的系统栈空间，函数的调用层级过深可能导致栈溢出的问题。
递归及递归算法图解
递归问题的提出
第一步：将问题简化。 – 假设A杆上只有2个圆盘，即汉诺塔有2层，n＝2。
A
B
C
递归问题的提出
A
B
C
对于一个有 n（n>1）个圆盘的汉诺塔，将n个圆盘分 为两部分：上面的 n-1 个圆盘和最下面的n号圆盘。将 “上面的n-1个圆盘”看成一个整体。
– 将 n-1个盘子从一根木桩移到另一根木桩上
1
当n 1时
n ! n (n 1)! 当n 1时
long int Fact(int n)
{ long int x;
if (n > 1)
{ x = Fact(n-1);
/*递归调用*/
return n*x; }
else return 1;
/*递归基础*/
}
Fact(n) 开始 传进的参数n N n>1
两种不同的递归函数--递归与迭代
21
(2)递归和迭代有什么差别?
递归和迭代(递推)
迭代(递推)：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直
接计算；
递归：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直接计算；
但有些，只能由后向前代入，直到递归基础，寻找一条路径， 然后再由前向后计算。
递归包含了递推(迭代)，但递推(迭代)不能覆盖递归。
递归的概念 (5)小结
战德臣 教授
组合 抽象
构造 递归
用递归 定义
用递归 构造
递归计 算/执行
递归 基础
递归 步骤
两种不同的递归函数
递归
迭代
两种不同的递归函数--递归与迭代
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(1)两种不同的递归函数?
递归和递推：比较下面两个示例
递归表达式
递归表达式是一种使用递归函数来描述计算或表达式的公式。
递归函数是指在函数定义中调用自身或其他函数的函数。
递归表达式可以用于解决许多数学和计算机科学中的问题，例如阶乘、斐波那契数列、树的遍历等。
在递归表达式中，通常包含一个基本情况和一个递归情况。
基本情况是递归的终止条件，它描述了最简单的情况，通常是递归函数的基本操作或初始条件。
递归情况则描述了函数如何通过调用自身来解决问题。
例如，阶乘的递归表达式可以表示为：
```python
factorial(n) = 1 if n == 0
n * factorial(n-1) if n > 0
```
这个表达式中，基本情况是当n等于0时，阶乘为1。
递归情况是当n大于0时，阶乘为n乘以n-1的阶乘。
递归表达式需要注意的一点是，必须确保递归情况最终能够达到基本情况，否则会导致无限递归，导致程序或计算失败。
递归算法详解定稿版
递归算法详解精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
取整递归方程
取整递归方程是一种数学方程，其中的数值使用取整函数进行约束。
取整函数通常表示为符号"⌊⌋"或"⌈⌉"，用于将实数转化为最接近的整数。
递归方程是指方程涉及到自身的定义。
当递归方程中存在取整函数时，它可以被称为取整递归方程。
具体形式的取整递归方程可能会有很多种情况，取决于具体的问题和约束条件。
下面是一个简单的示例：
f(n) = ⌊f(n-1) / 2 ⌋
在这个递归方程中，f(n) 表示第n 项的值，通过将f(n-1) 除以 2 并向下取整得到。
这个方程描述了一个递归序列，在每一步中，前一项的值都被除以2 并向下取整作为新的项的值。
取整递归方程在数学、计算机科学、物理学等领域中经常出现，用于描述复杂问题的递归关系，并提供了一种约束或限制来模拟实际情况。
在求解过程中，通常需要使用递归方法来迭代计算并获得序列的值。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
其次考虑瞬时描述及其变化 。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
q
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
40
5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
引理5-1 设C是∑(T)*上图灵可实现的编 码，则存在图灵机T，∑(T)={a}，T完 成译码：∀a ∈ N ，T (ax) = C-1(x)。 定理5-10 部分递归函数都是图灵可计算 的函数。
定义5-3 设f、h是n+1元、n元函数，且f 全函数，函数h的定义为 y = h(x1,x2, … ,xn) = min{z | f (x1,x2, … ,xn , z)=0} Z≥0 则称函数h是取极小算子作用于函数f的结 果。
5
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-4 函数 f (x1,x2, … ,xn+1 ) 是正则 函数，若对于任何x1,x2, … ,xn，恒存在z （z≥0），使得 f (x1,x2, … ,xn,z )=0
第5章 递归函数
杨 莹
1
第5章 递归函数
5.1 函数的复合算子、递归算子、取极小值 算子 5.2 原始递归函数 5.3 原始递归谓词和原始递归集合 5.4 部分递归函数及其与图灵机的等价性
2
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-1 设f是m元函数，g1,g2, … ,gm是n元 函数，函数h定义为 y=h(x1,x2, … ,xn)=f(g1(x1,x2, … ,xn), g2(x1,x2, … ,xn) , …, gm(x1,x2, … ,xn)) 则称函数h是函数f和g1,g2, … ,gm的复合函数， 记为h = f•( g1, g2,…, gm)。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
状态转移函数表示为 δ(q,a) = (q(q,a), char(q,a), d(q,a)) 其中q(q,a) , char(q,a), d(q,a) 都是有限点有定 义的函数。现将它们扩充为全函数。 若对于q,a无定义，则 δ(q,a)=2，char(q, a) = a，d(q,a)=S。易见扩充后，它们都是原始递 归的。
3
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-2 设g、h、f分别是n元、n+1元、n+2 元函数，函数h的定义为
则称函数h是原始递归于g、f的原始递归函数。 又称h是依据z用原始递归运算得到的，z是递 归变量，x1,x2, … ,xn是原始递归参数。
4
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等价性
定理5-9 图灵机计算的函数是部分递归函数。
证明：首先将这个过程用数字编码。 若|Г|=l，设Г ={0,1,…,l-1}。 n C(c0c1…ck)= ∑ c li
i=0 i
Q(T)={0,1,2,…,k-1}， 其中0表示初始状态，1表示接受状态，2是一新补的特殊的状 态：永不停机，即当在原T中，(q, a)无定义时，进入2状态。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
定理5-11 对任意正整数n，都存在n+1元部 分递归函数φ(x1,x2,…,xn,y)，使得对于任意一 个n 元部分递归函数f(x1,x2,…,xn)，都存在一 个自然数e，满足 f(x1,x2,…,xn) = φ(x1,x2,…,xn,e)
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-5 设S和R是原始递归集合，则R∩S、 R∪S、 S 也是原始递归集合。 定理5-6 设P(x1,x2,…,xn) 是n元原始递归谓词， h1,h2,…,hn是k元原始递归函数，则下面的谓词也 是原始递归的：
Q(x1,x2,…,xk)=P(h1(x1,x2,…,xk), h2(x1,x2,…,xk),…, hn(x1,x2,…,xk))
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-7 设f(x1,x2,…,xn) 和g(x1,x2,…,xn)是n 元原始递归函数，则下面谓词也是原始递归 的： f(x1,x2,…,xn) = g(x1,x2,…,xn)
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
6
5.2 原始递归函数
三个基本函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
X
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-2 若谓词P(x1,x2,…, xn)和Ｑ(x1,x2,…, xn)是原始递归谓词，则其合取式、析取式也 是原始递归谓词。
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
【例5-13】 x=y 【例5-14】 x>y 【例5-15】 x≤y
5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
X
X
X
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定义5-7 称谓词（集合）是原始递归的， 若其特征函数也是原始递归的。 关于谓词合适公式的原始递归性，有以 下四个定理。 定理5-1 若谓词P(x1,x2,…,xn)是原始递 归的，则┐P(x1,x2,…, xn)也是原始递归 的。
谓词。
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
全函数
(4)
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
定义5-10 由常数函数、投影函数、后继函 数出发，经过复合、递归和对正则函数取极 小算子运算得到的函数，称为递归函数。 阿克曼函数不是原始递归函数 Ack(0, m)=m+1 Ack(n+1,0) = Ack(n,1) Ack(n+1,m+1) = Ack(n, Ack(n+1,m))