切比雪夫不等式例题
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数,所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 : 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 , 则 µn ~ B(n, p) , 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式,则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解:由于 E(X + Y ) = 0 ,
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ,
( D )服从同一离散型分布。
分析:林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在,这时,当 n 充分大时, Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解:显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布,可排除。 选项 C 给出了指数分布,此时独立同分布显然满足,而且由于是指数分布, 方差肯定存在,故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述,此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在,因此也应排除。 故选 C 。 注:本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析:证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似,利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
切比雪夫不等式例题
关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子,其中良种占1/6,现从中任取6000颗种子,请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。
利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P(-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P(X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY-2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X−Y|≤du4)=1-P(|X−Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X−Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X−Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式:对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2在你这题中,X~N(2,4)所以EX=2 ε=3 DX=4所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在,有或.切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知,而只知道和的情况下估计概率的界限。
例1已知随机变量的密度函数为偶函数,$D(X)=1$,且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$,则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2,方差分别1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*(1-3/4)=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中,du论证并用标准差表达zhi了一个不等式,这个不等式具有普遍的dao意义,被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是:任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/㎡,其中m 为大于1的任意正数。
高一年级竞赛数学:4.排序不等式与切比雪夫不等式
A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式:设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式:设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明:888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明:222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明:22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明:1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明:2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名:1.用切比雪夫不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证:2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证:1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式:设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明:11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式:设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明:法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明:由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明:不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明:888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明:不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明:222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明:等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明:22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明:不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解:1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明:111 1.111a b c ++≤+++ 证明:因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明:2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明:即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名:1.用切比雪夫不等式证明:设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明:不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证:2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明:所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证:1ni =≥证明:不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。
切比雪夫不等式练习题
切比雪夫不等式练习题第一章习题一1.4证由切比雪夫不等式及E|?|?0P?1?P?1?nE|?|?1故P?P?limP?1。
n?1n由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??,得P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。
故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知,对任给整数k?1,存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1i?k?{|?|?n})?limP?0。
n?1nbi?k?1]?0。
不妨假设bn?0,则有对任给整数k?1,Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。
对m?n?1,Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出,Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性表出,故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
假设对所有n?m?n?k,Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
则对m?n?k?1,由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出,由假设,Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
根据,,对任何m?n,Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出,即存在常数a0,a1,?,an?1,使得Xm?a0??aiXn?i,i?1n?1a.s.。
习题四 .3解显然服从二维正态分布,且EXt?EXs?0。
记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11,则Xt12i?l,Xs12j?n,这里?0?0。
i?0j?0km由于{?t}是正态白噪声WN,故当l?n,即t?s时, ?t,s?cov?0;当l?n?0,即t?s,t?12k 时, ?t,s?cov?min?2?[min2]?; 1212),t?12k时,当l?n?0,即t?s?min?所以2?]?1)?2。
12t,tt,s?~N,其中??T,Σ。
?s,s??t,s??第二章习题二1X2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1习题三3. 提示:当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时,是AR序列。
高中数学文化情景题专题19 切比雪夫(以切比雪夫为背景的高中数学考题题组训练)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题19 切比雪夫(以切比雪夫为背景的高中数学考题题组训练)一、单选题1.一般地,存在一个n 次多项式()n P t ,使得cos cos ()=n nx P x ,这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式.如由2cos 22cos 1x x =-,知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式对于cos3x ,通过运算,我们可以得到3cos34cos 3cos x x x =-,从而得到cos3x 的切比雪夫多项式.根据已知结论计算sin18︒的值( )A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】结合诱导公式得到sin36cos54︒=︒,利用题目中的已知条件得到32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒,化简整理得到()22sin1841sin 183︒=-︒-,解方程即可. 【详解】因为()sin36sin 9054cos54︒=︒-︒=︒, 所以32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒, 因为cos180︒≠,所以22sin184cos 183︒=︒-,故()22sin1841sin 183︒=-︒-,因为sin180︒>,解得sin18︒= 故选:B.2.在平面直角坐标系中,定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及直线l 上任意一点Q ,称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(,)d P l ,给出下列三个命题: ①对任意三点A 、B 、C ,都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥;①已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=,则4(,)3d P l =;①定义(0,0)O ,动点(,)P x y 满足(,)1d P O =,则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4;其中真命题的个数( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】B 【解析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”,然后根据绝对值的性质判断①,由新定义计算出(,)d P l ,判断①,根据新定义求出P 的轨迹方程,确定其轨迹,求得轨迹围成的图形面积判断①. 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ,则1212(,)d A B x x y y =-+-,13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-,显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-,同理132312y y y y y y -+-≥-, ①(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥,①正确;①设(,)P x y 是直线l 上任一点,则21y x =-,(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩,易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数,在(,1)-∞上是减函数,①1x =时,min (,)13222d P l =-+-=,①错; ①由(,)1d P O =得1x y +=,易知此曲线关于x 轴,y 轴,原点都对称,它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形,其转成图形面积为12222S =⨯⨯=,①错.故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查新定义,解题关键是理解新定义,解题方法是把新概念转化为绝对值的问题,利用绝对值的性质求解.3.切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 :E 对任意的[,]x m n ∈,函数()()y f x ax b =-+的最大值为E ,即max ()()mx nE f x ax b ≤≤=-+,把使E 取得最小值时的直线y ax b =+叫切比雪夫直线,已知2(),[1,2]f x x x =∈-,有同学估算出了切比雪夫直线中x 的系数1a =,在这个前提下,b 的值为( )A .14B .1C .78D .118【答案】C 【解析】 【分析】令21124t x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,可得21212max max x x E x x b t b -≤≤-≤≤=-=--,而t b -的最大值必然在端点处取得,比较14b --与2b -的大小可得答案.【详解】当1a =时,令[]2211,1,224t x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭--,则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以21212max max x x E x x b t b -≤≤-≤≤=-=--,而t b -的最大值必然在端点处取得, 故1max ,24E b b ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭,当124b b --≥-得78b ≥时,E 的最大值为1948b --≥,此时使E 取得最小值时78b =,当124b b --<-得78b <时,E 的最大值为2b -,而2b -98>,综上,78b =. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数的性质,解题的关键点是对新概念的理解,考查了学生分析问题、解决问题的能力,以及分类讨论的思想.4.由倍角公式2cos 22cos 1x x =-,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式,对于cos3x ,我们有()()23cos3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1cos 2sin cos sin 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x=+=-=--=-,可见cos3x 也可以表示为cos x 的三次多项式.一般地,存在一个n 次多项式()n P t ,使得()cos cos n nx P x =,这些多项式()n P t 称为切比雪夫()P.L.Tschebyschelf 多项式.(提示:18390182︒⨯=︒-︒⨯)如图,在等腰ABC 中,已知54BAC ∠=︒,AB AC =,且ABC 的外接圆半径1OC =,结合上述知识,可得BC =( )A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】表示2sin54BC OB =︒,根据5490218︒=︒-⨯︒,可以得到cos54sin36︒︒,,然后计算得到sin18︒,最后简单计算可得结果. 【详解】记BC 的中点为D ,()()22sin542sin542sin 902182cos 218BC BD OB ==︒=︒=︒-⨯︒=⨯︒,3cos544cos 183cos18︒=︒-︒,3sin364cos 183cos18︒=︒-︒,32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒,所以222sin184cos 1831sin 18︒=︒-=-︒即2sin 182sin1810︒+︒-=,由sin180︒>,①sin18︒=①()2212sin 18212BC ⎛=-︒=-= ⎝⎭故选:A5.由倍角公式2cos 22cos 1x x =-,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地,存在一个n 次多项式()n P t ,使得()cos cos n nx P x =这些多项式()n P t 称为切比雪夫(P .L .Tschebyscheff )多项式.例如()22cos2cos 2cos 1x P x x ==-,记作()2221Pt t =-.利用()3P t 求得sin18︒=( )A B 352C D 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式可得3cos34cos 3cos x x x =-,则3cos544cos 183cos18︒=︒-︒,再利用诱导公式及二倍角公式可得()22sin1841sin 183︒=-︒-,再解一元二次方程即可;【详解】解:因为()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()()2232cos 1cos 21cos cos 4cos 3cos x x x x x x =---=-,所以3cos544cos 183cos18︒=︒-︒, 所以3sin36cos544cos 183cos18︒=︒=︒-︒, 所以32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒,所以()222sin184cos 18341sin 183︒=︒-=-︒-,所以24sin 182sin1810︒+︒-=,解得sin18︒==sin180︒=<(舍去),所以sin18︒= 故选:A.6.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式,该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布末知的情况下,对事件“()X E X ε-”的概率作出上限估计,其中ε为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为:()()()(),P X E X f D X εε-,其中()(),f D X ε是关于()D X 和ε的表达式.由于记忆模糊,该同学只能确定()(),f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识,确定该形式是( ) A .()2D X ε⋅B .()21D X ε⋅C .()2D X ε D .()2D X ε【答案】D 【解析】 【分析】由题知()()()()22P X E X P X E X εε-=-,计算可得结果.【详解】切比雪夫不等式的形式为:()()()(),P X E X f D X εε-,由题知()()()()()()()22222E X E X D X P X E X P X E X εεεε--=-≤=,则()(),f D X ε的具体形式为()2D X ε.故选:D.7.在平面直角坐标系中,定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、 22(,)B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q ,称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(,)d P l ,给出下列三个命题: ① 对任意三点A 、B 、C ,都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥; ① 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=,则4(,)3d P l =;① 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ,动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=(220c a >>), 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点; 其中真命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3【答案】D 【解析】 【详解】设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ,由题意可得:()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得:()(),,A B d C A d C B y y +≥-,则:()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=,命题①成立;设点Q 是直线y =2x -1上一点,且Q (x ,2x -1),可得(){},max 3,22d P Q x x =--, 由322x x -≥-,解得513x -≤≤,即有(),3d P Q x =-,当53z =时取得最小值43; 由322x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(),22d P Q x =-,(),d P Q 的范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,无最小值. 综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43.说法①正确.定点()1,0F c -、()2,0F c ,动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=(220c a >>),则:{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=,显然上述方程所表示的曲线关于原点对称,故不妨设x ≥0,y ≥0. (1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时,有2x c x c a +--=,得:0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩;(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时,有02a =,此时无解;(3)当x c yx c y ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时,有2,x c y a a x +-=<;则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图象可知,点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点,命题①正确.综上可得命题①①①均正确,真命题的个数是3. 本题选择D 选项.点睛:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.8.在平面直角坐标系中,定义(){}1212max d A B x x y y =--,,为两点A ()11x y ,、B()22x y ,的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q ,称()d P Q ,的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作()d P l ,,给出下列三个命题:①对任意三点A 、B 、C ,都有()()()d C A d C B d A B +≥,,,; ①已知点P (2,1)和直线:220l x y --=,则()83d P l =,;①定点()()1200F c F c -,、,,动点P ()x y ,满足()()()122220d P F d P F a c a -=,,>>,则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3【答案】C 【解析】 【分析】①讨论三点共线和不共线,结合图象与新定义即可判断; ①设点Q 直线:220l x y --=一点,且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,讨论即可得出(),d P l 即可判断;①讨论点P 在坐标轴和各个象限的情况,求得轨迹方程,即可判断. 【详解】解:①对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y 、3(C x ,3)y ,如图,结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 分别为AN ,CM ,AK 或CN ,BM ,BK , 则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +=;若B ,C 或A ,C 对调,可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +>; 若它们不共线,且三角形中C 为锐角或钝角,如图,由矩形CMNK 或矩形BMNK ,(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥;则对任意的三点A ,B ,C ,都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥; 故①正确;①设点Q 直线:220l x y --=一点,且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,由222x x -≤-,解得803x ≤≤,即有(),22x d P Q =-,当83x =时,取得最小值23;由222x x ->-,解得0x <或83x >,即有(),2d P Q x =-, (,)d P Q 的范围是()222,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,无最值, 综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23, 故①错误;①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ,动点(,)P x y 满足()()()122220d P F d P F a c a -=,,>>, 可得P 不y 轴上,P 在线段12F F 间成立, 可得()2x c c x a +--=,解得x a =,由对称性可得x a =-也成立,即有两点P 满足条件;若P 在第一象限内,满足()()122d P F d P F a -=,,即为2x c y a +-=,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线, 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点, 故①正确;∴真命题的个数是2, 故选:C . 【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.9.在平面直角坐标系中,定义{}1212max ,(,)d x x y A y B =--为两点11(,)A x y ,22(,)B x y 的“切比雪夫距离”,并对于点P 与直线l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”,记作(),d P l ,给定下列四个命题:1p :对于任意的三点A ,B ,C ,总有()()(),,,d C A d C B d A B +≥;2p :若点()3,1P ,直线:210l x y --=,则()4,3d P l =; 3p :满足()(),0d O M C C =>的点M 的轨迹为正方形;4p :若点1(,0)F c -,()2,0F c ,则满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-的点M 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点;则其中真命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】D 【解析】①讨论A ,B ,C 三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -,可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,讨论|3|x -,|22|x -的大小,可得距离d ,再由函数的性质,可得最小值; ①运用新定义,求得点的轨迹方程,即可判断;①讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况,求得轨迹方程,即可判断. 【详解】①对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y ,如图,结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B为AN ,CM ,AK ,或CN ,BM ,BK ,则(d C ,)(A d C +,)(B d A =,)B ; 若B ,C 或A ,C 对调,可得(d C ,)(A d C +,)(B d A >,)B ;若A ,B ,C 不共线,且三角形中C 为锐角或钝角,由矩形CMNK 或矩形BMNK ,(d C ,)(A d C +,)(B d A ≥,)B ;则对任意的三点A ,B ,C ,都有(d C ,)(A d C +,)(B d A ≥,)B ;故①正确; 设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -, 可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,由|3||22|x x --,解得513x -,即有(,)|3|d P Q x =-,当53x =时,取得最小值43;由|3||22|x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(,)|22|d P Q x =-,(,)d P Q 的范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,无最值, 综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43.故①正确;①由题意,到原点的“切比雪夫距离” 等于C 的点设为(),x y ,则{},max x y C =, 若||||y x ,则||y C =;若||||y x <,则||x C =,故所求轨迹是正方形,则①正确; ①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ,动点(,)P x y 满足|(d P ,1)(F d P -,2)|2(220)F a c a =>>, 可得P 不y 轴上,P 在线段12F F 间成立, 可得()2x c c x a +--=,解得x a =,由对称性可得x a =-也成立,即有两点P 满足条件; 若P 在第一象限内,满足|(d P ,1)(F d P -,2)|2F a =,即为2x c y a +-=,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线, 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 故①正确;综上可得,真命题的个数为4个, 故选:D. 【点睛】 关键点点睛:求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解,“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值;理解新定义的基础上,结合曲线与方程的有关性质,即可求解.10.在平面直角坐标系中,定义(){}1212,max d A B x x y y =--,为两点()()1122,,A x y B x y 、的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作(),d P l ,给出下列四个命题: ①对任意三点,,A B C ,都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥;①已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=,则()43d P l =,;①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形; 其中真命题的是( ) A .①① B .①① C .①① D .①①①【答案】D 【解析】 【分析】①讨论A ,B ,C 三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -,可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,讨论|3|x -,|22|x -的大小,可得距离d ,再由函数的性质,可得最小值; ①根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【详解】① 对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y ,如图,结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 为AN ,CM ,AK ,或CN ,BM ,BK ,则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +;若B ,C 或A ,C 对调,可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +; 若A ,B ,C 不共线,且三角形中C 为锐角或钝角,如图,由矩形CMNK 或矩形BMNK ,(,)(,)(,)d C A d C B d A B +;则对任意的三点A ,B ,C ,都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +,故①正确; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -, 可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,由|3||22|x x --,解得513x -,即有(,)|3|d P Q x =-,当53x =时,取得最小值43;由|3||22|x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(,)|22|d P Q x =-,(,)d P Q 的范围是4(,)3+∞,无最值;综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43;故①正确;①由题,到原点O 的“切比雪夫距离”的距离为1的点(),P x y 满足(){},max ,1d O P x y ==,即,1,x y x ⎧≥⎪⎨=⎪⎩或,1,x y y ⎧<⎪⎨=⎪⎩,显然点P 的轨迹为正方形,故①正确; 故选:D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.11.在平面直线坐标系中,定义(){}1212max d A B x x y y =--,,为两点()()1122A x y B x y ,、,的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q,称()a P Q ,的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作()d P l ,,给出下列四个命题:( ) ①对任意三点A 、B 、C ,都有()()()d C A d C B d A B +≥,,,; ①已知点P (3,1)和直线:210l x y --=,则()43d P l =,;①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形;①定点()()1200F c F c -,、,,动点()P x y ,满足()()()122220d P F d P F a c a -=,,>>,则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】A 【解析】 【分析】①讨论A ,B ,C 三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -,可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,讨论|3|x -,|22|x -的大小,可得距离d ,再由函数的性质,可得最小值; ①运用新定义,求得点的轨迹方程,即可判断;①讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况,求得轨迹方程,即可判断. 【详解】解:①对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y ,如右图,结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B为AN ,CM ,AK ,或CN ,BM ,BK ,则(d C ,)(A d C +,)(B d A =,)B ; 若B ,C 或A ,C 对调,可得(d C ,)(A d C +,)(B d A >,)B ;若A ,B ,C 不共线,且三角形中C 为锐角或钝角,由矩形CMNK 或矩形BMNK ,(d C ,)(A d C +,)(B d A ,)B ;则对任意的三点A ,B ,C ,都有(d C ,)(A d C +,)(B d A ,)B ;故①正确; 设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -, 可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,由|3||22|x x --,解得513x -,即有(,)|3|d P Q x =-,当53x =时,取得最小值43;由|3||22|x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(,)|22|d P Q x =-,(,)d P Q 的范围是(3,4)(3+∞⋃,4)(3+∞=,)+∞.无最值,综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43.故①正确;①由题意,到原点的“切比雪夫距离” 等于1的点设为(),x y ,则{},1=max x y , 若||||y x ,则||1y =;若||||y x <,则||1x =,故所求轨迹是正方形,则①正确; ①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ,动点(,)P x y 满足|(d P ,1)(F d P -,2)|2(220)F a c a =>>, 可得P 不y 轴上,P 在线段12F F 间成立, 可得()2x c c x a +--=,解得x a =,由对称性可得x a =-也成立,即有两点P 满足条件; 若P 在第一象限内,满足|(d P ,1)(F d P -,2)|2F a =,即为2x c y a +-=,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线, 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 故①正确;综上可得,真命题的个数为4个, 故选:A .【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.12.在平面直角坐标系中,定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y ,()22,B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(),d P l ,给出下列三个命题: ①对任意三点A 、B 、C ,都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥; ①已知点()3,1P 和直线l :210x y --=,则()4,3d P l =; ①到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个【答案】C 【解析】①讨论A ,B ,C 三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -,可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,讨论|3|x -,|22|x -的大小,可得距离d ,再由函数的性质,可得最小值; ①设定点(0,0)M ,且相等距离为1,从而可判断出命题的真假. 【详解】① 对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y ,如图,结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 为AN ,CM ,AK ,或CN ,BM ,BK ,则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +;若B ,C 或A ,C 对调,可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +; 若A ,B ,C 不共线,且三角形中C 为锐角或钝角,如图,由矩形CMNK 或矩形BMNK , (,)(,)(,)d C A d C B d A B +;则对任意的三点A ,B ,C ,都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +,故①正确; ①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(,21)Q x x -, 可得(,){|3|d P Q max x =-,|22|}x -,由|3||22|x x --,解得513x -,即有(,)|3|d P Q x =-,当53x =时,取得最小值43;由|3||22|x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(,)|22|d P Q x =-,(,)d P Q 的范围是4(3,)(,)3+∞+∞⋃,无最值;综上可得,P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43;故①正确;①假设定点(0,0)M ,到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为(,)Q x y ,则到定点(0,0)M 的距离为1的点Q 的轨迹为单位圆;到M 的“切比雪夫距离”的距离为1的点Q ,所以(){},max ,1d M Q x y ==,即,1,x y x ⎧≥⎪⎨=⎪⎩或,1,x y y ⎧≤⎪⎨=⎪⎩显然点Q 的轨迹为正方形,所以只有四个点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--符合要求,故①错误;故选:C 【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题. 二、多选题13.由倍角公式2cos 22cos 1x x =-,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地,存在一个*()n n ∈N 次多项式2012012,),((),,=+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∈nn n n P t a a t a t a t a a a a R ,使得cos cos ()=n nx P x ,这些多项式()n P t 称为切比雪夫(P .L .Tschebyscheff )多项式.则( )A .3343()=-P t t tB .当3n ≥时,00a =C .1222+++⋅⋅⋅+≤n a a a aD .sin18︒=【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A 正确,令2x π=,可得0cos2n a π=,可判断出B 错误,令0x =可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ,结合00,1=±a 可判断出C 正确,根据二倍角公式可知sin18︒=D 正确. 【详解】因为32cos3cos2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos =-=--x x x x x x x x x ,所以()323cos32cos cos 21cos cos 4cos 3cos =---=-x x x x x x x ,即3343()=-P t t t ,故选项A 正确;令2x π=,则cos02==t π,则0cos2n a π=,则00,1=±a ,即选项B 错误;令0x =,则cos 1t x ==,可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ,所以10,1,2+⋅⋅⋅+=n a a ,则选项C 正确;设sin18︒=x ,则()222cos722cos 3612121=︒=︒-=--x x ,将x =入,方程成立,即选项D 正确. 故选:ACD .14.由倍角公式cos2x =2cos 2x -1,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地,存在一个n (n ①N *)多项式使得Pn (t )=a 0+a 1t +a 2t 2+…+antn (a 0,a 1,a 2,…,an ①R ),使得cos nx (cos )=n P x ,这些多项式Pn (t )称为切比雪夫(P .L .Tschebyscheff )多项式.则( ) A .P 3(t )=4t 3-3t B .当n ≥3时,00a =C .12341a a a a +++=D .sin18?=【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A 正确,令2x π=,可得0cos2n a π=,可判断出B 错误,令0x =可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ,结合00,1=±a 可判断出C 错误,根据二倍角公式可知sin18︒=D 正确. 【详解】因为32cos3cos2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos =-=--x x x x x x x x x ,所以()323cos32cos cos 21cos cos 4cos 3cos =---=-x x x x x x x ,即3343()=-P t t t ,故选项A 正确; 令2x π=,则cos02==t π,则0cos2n a π=,则00,1=±a ,即选项B 错误; 令0x =,则cos 1t x ==,可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ,由B 知00,1=±a ,所以选项C 错误;因为cos54sin36︒=︒,所以()cos 3182sin18cos18⨯︒=︒︒, 由A 可得34cos 183cos182sin18cos18︒-︒=︒︒,而cos180︒>,故24cos 1832sin18︒-=︒即24sin 182sin1810︒+︒-=,所以sin18︒=D 正确. 故选:AD .15.由倍角公式2cos 22cos 1x x =-,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地,存在一个n (n *∈N )次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+(012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ),使得()cos cos n nx P x =,这些多项式()n P t 称为切比雪夫(P .L .Tschebyscheff )多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得( )A .()3343P t t t =-+B .()424881P t t t =-+C .sin18︒=D .cos18︒=【答案】BC 【解析】 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ,来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-,所以()3343P t t t =-,A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+-- 428cos 8cos 1x x =-+,所以()424881P t t t =-+,B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=-()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos 2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+-- ()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=,由于cos180︒≠,所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=,由于cos18cos30︒>︒,所以223cos 18cos 304︒>︒=,所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=所以sin18︒,C正确. 2=≠⎝⎭,所以D 错误. 故选:BC 【点睛】三角函数化简求值问题,关键是根据题意,利用三角恒等变换的公式进行化简. 三、填空题16.切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E :对任意的[],x m n ∈,函数()()y f x ax b =-+的最大值为E ,即()()max E f x ax b =-+.把使E 取得最小值时的直线y ax b =+叫切比雪夫直线,已知()2f x x =,[]1,2x ∈-,有同学估算处了切比雪夫直线中x 的系数1a =,在这个前提下,b 的值为___________. 【答案】78【解析】 【分析】根据新定义,结合绝对值的三角不等式,即可求解. 【详解】当1a =时,令221124t x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,因为[]1,2x ∈-,可得1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故2max max E x x b t b =--=-,而t b -的最大值必然在端点处取到,故1max 4E b =--,1111922224248b b b b b ⎛⎫⎛⎫-≥--+-≥---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当124b b --=-,且14b --与2b -异号,即78b =时取等号.故答案为:7817.以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff ,1821-1894)的名字命名的第一类切比雪夫多项式()n T x 和第二类切比雪夫多项式()n U x ,起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式,是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列,是计算数学中的特殊函数.()n T x 有许多良好的结论,例如:①()1T x x =,()2221T x x =-,对于正整数3n ≥时,有()()()122n n n T x x T x T x --=⋅-成立,①R θ∀∈,()cos cos n T n θθ=成立.由上述结论可得()4cos18T ︒的数值为______.【解析】 【分析】根据已知条件和余弦的三倍角公和二倍角公式,再利用两角互余及诱导公式, 再结合同角三角函数的平方关系及一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由题意()4cos18cos72sin18T ︒==︒︒,()33cos18cos544cos 183cos18T =-︒=︒︒︒,又cos54sin362sin18cos18==︒︒︒︒, 故32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒,因为cos180︒≠,所以222sin184cos 18314sin 18︒︒=-=-︒, 即24sin 182sin1810︒+︒-=,解得sin18︒=sin18︒=sin180,sin18︒>∴︒=,所以()4cos18cos 72sin18T ︒︒=︒==18.在平面直角坐标系中,定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(),d P l ,给出四个命题,正确的是________. ①对任意三点A 、B 、C ,都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥; ① 到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形; ① 已知点()3,1P 和直线:210l x y --=,则()4,3d P l =; ① 定点()1,0F c -、()2,0F c ,动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a -=>>,则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 【答案】①①①① 【解析】 【分析】①讨论A 、B 、C 三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断; ①运用新定义,求得点的轨迹方程,即可判断;①设点Q 是直线21y x =-上一点,且点(),21Q x x -,可得(){},max 3,22d P Q x x =--,讨论3x -和22x -的大小,可得距离d ,再由函数的性质,可得最小值; ①讨论点P 在坐标轴上和各个象限的情况,求得轨迹方程,即可判断. 【详解】①对任意三点A 、B 、C ,若它们共线,设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y , 如下图,结合三角形相似可得(),d C A AN =或CN ,(),d C B CM =或BM ,(),d A B AK =或BK ,则()()(),,,d C A d C B d A B +=;若B 、C 或A 、C 对调,可得()()(),,,d C A d C B d A B +>;若A 、B 、C 不共线,且ABC ∆中C 为锐角或钝角,由矩形CMNK 或矩形BMNK ,()()(),,,d C A d C B d A B +≥;则对任意的三点A 、B 、C ,都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥,命题①正确;①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点,即为{}max ,1x y =,若y x ≥,则1y =; 若y x <,则1x =,故所求轨迹是正方形,命题①正确;①设点Q 是直线21y x =-上一点,且(),21Q x x -,可得(){},max 3,22d P Q x x =--, 由322x x -≥-,解得513x -≤≤,即有(),3d P Q x =-. 当53x =时,(),d P Q 取得最小值43;由322x x -<-,解得1x <-或53x >,即有(),22d P Q x =-,(),d P Q 的取值范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,无最值, 所以,P 、Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43,命题①正确;①定点()1,0F c -、()2,0F c ,动点(),P x y ,满足()()()12,,2220d P F d P F a c a -=>>, 可得P 不在y 上,P 在线段12F F 间成立,可得()2x c c x a +--=,解得x a =. 由对称性可得x a =-也成立,即有两点P 满足条件;若P 在第一象限内,满足()()12,,2d P F d P F a -=,即为2x y c a -+=,为射线, 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点,命题①正确. 故答案为:①①①①. 【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算求解能力和推理能力,属于难题. 四、双空题19.任何一个复数i z a b =+(i 为虚数单位,,R a b ∈)都可以表示为(cos si )i n z r θθ=+(0,R)θ≥∈r 的形式,通常称之为复数z 的三角形式.瑞士著名数学家欧拉首先发现i cos isin e θθθ+=(e 为自然对数的底数),此结论被称为“欧拉公式”,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系.因此可得i (cos isin )e cos θθθ+==n n isin θθ+n n .由复数相等可知对:N *∀∈n ,存在一个关于t 的n 次多项式()111001(),,,R --=++⋯++⋯∈n n n n n n P t a t a ta t a a a a 使得cos cos ()=n nx P x ,这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”,由2cos 22cos 1x x =-知22()21=-P t t ,则3()=P t ___________;运用探求切比雪夫多项式的方法可得cos36︒=___________.【答案】 3343()=-P t t t 1cos364+= 【解析】 【分析】根据3cos34cos 3cos t t t =-以及“切比雪夫多项式”即可求解出3()P t ;利用33(cos )cos34cos 3cos P t t t t ==-,代入cos36t =即可求解.【详解】()()22cos3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1cos 2sin cos t t t t t t t t t t t =+=⋅-⋅=-⋅-⋅ ()()2232cos 1cos 21cos cos 4cos 3cos t t t t t t =-⋅--⋅=-,所以3343()=-P t t t ,取cos36t =,则()()()33(cos36)4cos363cos36cos 336cos72P =-=⨯=-︒, 所以()()()324cos363cos362cos361-+-=()()324cos364cos362cos36cos3610-++-=,所以()()2cos3614cos 362cos3610+--=,则24cos 362cos3610--=且cos360>,解得:1cos364+=. 故答案为:3343()=-P t t t ,1cos364+= 五、解答题20.由倍角公式2cos 22cos 1x x =-,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.对于cos3x ,我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-.可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式.一般地,存在一个n 次多项式()n P t ,使得()cos cos n nx P x =,这些多项式()4P t 称为切比雪夫(P .L .Tschebyscheff )多项式.请尝试求出()n P t ,即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x .利用结论3cos34cos 3cos x x x =-,求出sin18︒的值.(提示:31890218⨯=︒-⨯︒︒)【答案】42cos 48cos 8cos 1x x x =-+,sin18︒=【解析】 【分析】两次使用二倍角公式,即可得到cos4x .利用sin36cos54︒=︒,可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒,解方程求出sin18︒的值.【详解】解:22242cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1x x x x x x =⋅=-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+.即42cos 48cos 8cos 1x x x =-+sin36cos54︒=︒,32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒,22sin184cos 183∴︒=︒-24sin 182sin1810∴︒+︒-=,∴sin18︒=sin18︒.21.在平面直角坐标系中,设点()111,P x y ,()222,P x y ,(){}121212,max ,d P P x x y y =--(其中max{,}a b 表示a 、b 中的较大数)为1P 、2P 两点的“切比雪夫距离”.(1)若()3,1P ,Q 为直线21y x =-上动点,求P 、Q 两点“切比雪夫距离”的最小值; (2)定点()00,C x y ,动点(),P x y 满足(,)d C P r =(0)r >,请求出P 点所在的曲线所围成图形的面积.【答案】(1)43;(2)24r【解析】 【分析】(1)设(),21Q x x -,可得(){},max 3,22d P Q x x =--,讨论3,22x x --的大小,可得距离d ,再结合函数的性质求最小值即可;(2)运用分段函数的形式求得(),d C P ,分析各段与不等式表示的平面区域的图形,即可求得面积. 【详解】解:(1)设(),21Q x x -,可得(){},max 3,22d P Q x x =--, 由322x x -≥-,解得513x -≤≤,即有(),3d P Q x =-,则当53x =时,(),d P Q 取最小值43; 由322x x -<-,解得1x <-或53x >,即有(),22d P Q x =-,即()54,2233d P Q >-⨯=, 综上可得:P 、Q 两点“切比雪夫距离”的最小值为43;(2)由题意可得()000000,,,x x x x y y d C P r y y x x y y ⎧--≥-⎪==⎨--<-⎪⎩ , 当000,x x y y x x r -≥--=,即有0x x r =±, 则围成的图形为关于点00(,)x y 对称的三角形区域, 当000,x x y y y y r -<--=,即有0y y r =±, 则围成的图形为关于点00(,)x y 对称的三角形区域,综上可得,P 点所在的曲线所围成图形为边长为2r 的正方形区域,则该区域面积为22(2)4r r =,故P 点所在的曲线所围成图形的面积为24r .【点睛】本题考查了对新定义的理解,重点考查了分段函数的最值的求法,属中档题. 22.在平面直角坐标系中,定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及直线l 上任一点Q ,称(,)d P Q 的最小值为点P到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(,)d P l .(1)求证:对任意三点A 、B 、C ,都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥; (2)已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=,求(,)d P l ;(3)定点00(,)C x y ,动点(,)P x y 满足(,)d C P r =(0r >),请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)4(,)3d P l =;(3)24S r =.【解析】(1)利用新定义,证明A 、B 、C 三点间的“切比雪夫距离”,满足的不等式即可; (2)设点Q 是直线:210l x y --=上一点,且(,21)Q x x -,可得{}(,)max 3,22d P Q x x =--,讨论3,22x x --的大小,可得距离d ,再由函数的性质,求得最小值;(3)运用新定义,求得点的轨迹图形,计算图形的图积即可 【详解】(1)证明:设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ,则{}{}13133232133212(,)(,)max ,max ,d A C d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-,同理可得12(,)(,)d A C d C B y y +≥-,所以{}1212(,)(,)max ,(,)d A C d C B x x y y d A B +≥--=, (2)解:设(,21)Q x x -为直线:210l x y --=上一点,则{}(,)max 3,22d P Q x x =--,由322x x -≥-,解得513x -≤≤,即有(,)3d P Q x =-,当53x =时,取得最小值43; 由322x x -<-,解得53x >或1x <-,即有(,)22d P Q x =-,(,)d P Q 的范围是44(3,)(,)(,)33+∞+∞=+∞,无最大值, 综上可得,,P Q 两点的最小值为43, 所以4(,)3d P l =;(3)解:设轨迹上动点为(,)P x y ,则{}00(,)max ,d C P x x y y r =--=, 等价于000x x r y y x x ⎧-=⎪⎨-≤-⎪⎩或000x x y y y y r ⎧-≤-⎪⎨-=⎪⎩,所以点(,)P x y 的轨迹是以00(,)C x y 为中心,边长为2r 的正方形, 所以点P 所在的曲线所围成图形的面积为24r 【点睛】关键点点睛:此题考查新定义的理解和运用,解题的关键是正确理解新定义,定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”,又设点P 及直线l 上任一点Q ,称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作(,)d P l ,注意两种距离区别与联系,考查运算能力和推理能力,属于难题。
切比雪夫不等式及大数定律
的数学期望
方差
E(X )
D( X ) 2 存在,则对任意的
0, 有: P
即有 P X
证:
仅就连续型随机变量的
X
2
2 1 2
2
(5)
(4)
f (x)
情形进行证明.
设 X 的概率密度函数为
f (x)则有来自P X PX
|x|
f
( x)dx
|x|
(
x
2
)2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为
E( X ) 100 ,
方差为
D( x) 10 ,2 试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解:
由切比雪夫不等式有:
P{80 X 120}
P{80 100 X 100 120 100}
即在进行精密测量时,为减少测量误差,可以重复 测量多次,然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时,这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
p
p
p
n
N
因此,只能求其次,去求证下面两式成立:
(2)
P| fn p | 0 或
(3)
lim P
n
|
fn
p |
0
或
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式——
P| fn p | 1
lim
n
P|
fn
p
|
1
切比雪夫不等式.
一 . 切比雪夫不等式
【高考数学经典题型】纵向距离——切比雪夫最佳逼近线(一题多解)
1 / 6纵向距离——切比雪夫最佳逼近线已知32()6f x x x ax b =−++,对于任意实数a 和b ,总存在0[0,3]x ∈,使得0()f x m ≥,求实数m的最大值. 答案:2解法一:分类讨论+绝对值不等式由题意,,a b R ∀∈,max ()f x m ≥,从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时,()f x 的最大值为M ,记32()6g x x x ax b =−++,2'()312g x x x a =−+,12(12)a ∆=−,(0)g b =,(3)327g a b =+−.(1)若0∆≤,即12a ≥时,'()0g x ≥恒成立,()g x 在[0,3]递增,所以max{|(0)|,|(3)|}max{||,|327|}M g g b a b ==+−,所以119(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥(2)若0∆>,即12a <时,令'()0g x =,解得12x =−,22x =+①若0a ≤,则1203x x ≤<<,()g x 在[0,3]递减, 同(1)可得,1127(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥②若09a <≤,则1203x x <<≤,所以()g x 在1[0,]x 递增,在1[,3]x 递减,321()2)169g x a b a =++−−且(3)(0)g g ≤所以321max{|()|,|(3)|}max{|2(12)16|,|327|}9M g x g a b a a b ==++−−+−, 所以332211(|2(12)16||327|)|)11|22929M a b a a b a a ++−−++−−+−≥≥≥ 当9a =,2b =−时,min 2M =③若912a <<,则1203x x <<<,所以()g x 在1[0,]x 递增,在12[,]x x 递减,在2[,3]x 递增,322()2)16g x a b a =+−−−且2()(0)g x g >所以321max{|(0)|,|()|,|(3)|}max{||,|2)16|,|327|}M g g x g b a b a a b ==+−−+−,所以33221(|||2)16|)8)2M b a b a a a +++−−−+−≥≥令32()8)(912)h a a a a =−−<<,'()10h a =>, 所以()(9)2h a h >=,所以2M >综上所述,min 2M =,当9a =,2b =−时取到最小值, 所以2m ≤,即实数m 的最大值为2.解法二:分类讨论,法一的改进设[0,3]x ∈时,()f x 的最大值为M ,记32()6g x x x ax =−+,则min max min 1(()())2M g x g x =− 22'()3123(2)12g x x x a x a =−+=−+−,当[0,3]x ∈时,23(2)[0,12]y x =−∈(0)0g =,(3)327g a =−.(1)若12a ≥时,'()0g x ≥恒成立,()g x 在[0,3]递增,所以min 119[(3)(0)](327)222M g g a =−=−≥,(2)若0a ≤时,'()0g x ≤恒成立,()g x 在[0,3]递减, 所以min 1127[(0)(3)](273)222M g g a =−=−≥,(3)若012a <<时,令'()0g x =,解得12x =−,22x =+①若09a <≤,则1203x x <<≤,所以()g x 在1[0,]x 递增,在1[,3]x 递减,321()2)169g x a a =+−−且(3)(0)g g ≤所以32min111[()||(3)][)11]2229M g x g a a =−=−+−≥, 当9a =,2b =−时,min 2M =②若912a <<,则1203x x <<<,所以()g x 在1[0,]x 递增,在12[,]x x 递减,在2[,3]x 递增,3 / 6322()2)16g x a a =−−且2()(0)g x g >所以32min1111[max{(),(3)}(0)][()(0)]8)22M g x g g g x g a a =−−=−+−≥, 令32()8)(912)h a a a a =−−<<,'()10h a =>, 所以()(9)2h a h >=,所以min 2M >综上所述,min 2M =,当9a =,2b =−时取到最小值, 所以2m ≤,即实数m 的最大值为2.解法三:三点控制+绝对值不等式设[0,3]x ∈时,()f x 的最大值为M ,记32()6g x x x ax b =−++,则(0)g b =,(1)5g a b =+−,(3)327g a b =+−.由于2(0)3(1)(3)12g g g −+=−,且|(0)|M g ≥,|(1)|M g ≥,|(3)|M g ≥, 所以62|(0)|3|(1)||(3)||2(0)3(1)(3)|12M g g g g g g ++−+=≥≥所以2M ≥,要保证取到等号,令(0)(3)g g =,解得9a =,再令(1)(0)g g =−,解得2b =−,此时32()692f x x x x =−+−,易求得max ()2f x =,所以M 的最小值为2.所以2m ≤,即实数m 的最大值为2.解法四:三角换元法3232()6|6128(12)8|f x x x ax b x x x a x b =−++=−+−+−++3|(2)(12)(2)216|x a x a b =−+−−++−因为[0,3]x ∈,所以2[2,1]x −∈−,令22cos x t −=,[,]6t ππ∈所以3()()|8cos 2(12)cos 216|f x g t t a t a b ==+−++−cos3cos |82(12)cos 216|4t ta t ab +=⋅+−++−|2cos3(218)cos 216|t a t a b =+−++−当9a =,2b =−时,()()2|cos3|f x g t t ==,此时max ()2f x =当9a ≠或2b ≠−时,()|2|cos3||(218)cos ||216|f x t a t a b ≤+−++− 显然|2|cos3||(218)cos ||216|t a t a b +−++−的最大值大于或等于2 此时max ()2f x ≥综上所述,max min [()]2f x =,当9a =,2b =−时取到最小值, 所以2m ≤,即实数m 的最大值为2.解法五:切比雪夫切线法由题意,,a b R ∀∈,max ()f x m ≥,从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时,()f x 的最大值为M ,32()|6()|f x x x ax b =−−−−可以看作32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离,则问题等价于求函数32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离的最大值的最小值.记(3,27)A −,连接OA ,则9OA k =−,所以直线OA 方程为9y x =−,此直线恰好与()g x 图像相切于点A ,记直线OA 为1L ,设直线2L 与1L 平行且与()g x 的图像相切于点00(,)B x y ,2'()312g x x x =−,令23129x x −=−,解得1x =或3x =,所以切点(1,5)B −,从而切线2L 的方程为94y x =−+ 所以min 4022M −==,当9a =,2b =−时取到最小值, 所以2m ≤,即实数m 的最大值为2.解法六:构造平口单峰函数32()69+(9)f x x x x a x b =−+−+,令32()69g x x x x =−+,5 / 622'()31293(1)(3)g x x x x x =−+=−−,所以()g x 在[0,1]递增,在[1,3]递减,且(0)(3)0g g ==,(1)4g =,()g x 是“平口单峰”函数, 所以max min 40[()]22f x −==,所以2m ≤,即实数m 的最大值为2. 评论与赏析:本题求函数()|()()|f x g x ax b =−+(,a b 为参数,[,]x m n ∈)最大值的最小值问题,是一类多变量双重最值问题,也是学考,高考,自招,竞赛中常考的题型,多年来一直被当做难题,原因就在于含有多个参数,题目表述上也不常规,首先在审题比较难,既有存在,又有恒成立,既有最大值,又有最小值,很多同学初读题目不知云里雾里,审题的关键是抓住“对于x 是存在,对,a b 是任意实数都成立”.第一层意思是max ()m f x ≤,这时()f x 的最大值,可以看成,a b 的二元函数(,)M a b ,注意已经没有了变量x ;第二层意思是(,)m M a b ≤对于任意的实数,a b 恒成立,即问题转化为先求关于x 的最大值,再求这个最大值关于,a b 的最小值.解法一与解法二是常规思路分类讨论,但是对基本功要求非常高,运算量很大,可以说在考场上学生用这种方法很难算到底,解法一结合绝对值不等式避免比较大小,解法二把参数b 单独分出来,结合简单图形很容易把绝对值去掉;解法三书写简洁,是做解答题的最佳书写方式,此法解题的关键是:选取三个关键的代表数进行逼近,它们分别是两个区间端点和一个区间中的点(此点最为关键,实际上就是法五中的切点B 的横坐标,也是法六中的极大值点),用这三个点的函数值近似的表示整个区间上的函数值,然后利用绝对值不等式的性质进行放缩,消去字母,a b 得到常数,进而求出最小值,这里体现了用局部研究整体的思想方法;解法四采用三角换元,利用三角函数有界性以及绝对值不等式的性质,进而求出最小值;解法五与解法六,本质上是数形结合,其中解法五把绝对值理解成“纵向距离”,利用切线逼近,解法六作了一个代换,相当于把切线转成平行x 轴的直线,通过图形直观很容易求出最小值.相似题1已知函数1()||f x x ax b x =+−−,当1[,2]2x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ,则(,)M a b 的最小值为_______. 答案:14相似题2设函数()|f x ax b =−−,若,a b R ∀∈,总0[0,4]x ∃∈,使得m x f ≥)(0成立,则实数m 的取值范围为________. 答案:14相似题3已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数),且存在实数,a b 使得M 的最小值为2,则a b c ++=________. 答案:2 相似题4设函数3()|(1)|f x x ax b =−−−,其中0,a b >∈R ,则()f x 在区间[]0,2上的最大值的最小值为_________. 答案:14。
5-1切比雪夫不等式
4n(n 1)(2n 1) 2 2(2n 1) 2 2 2 3n(n 1) 6n (n 1)
从而对任意给定的 0,由切比谢夫不等式得
D( Yn ) 0 P{| Yn | } 2
2(2n 1) 2 0 2 3n(n 1)
(n )
因此Yn .
P
四、小结
伯努利大数定理 四个大数定理 泊松大数定理 辛钦定理
契比雪夫大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
第 五 章
大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说,要从随机现象中去寻求必然 的法则,应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象,常常采用极限 形式,由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛,其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
1 n 则 对 于 任 意 正 数, 有 limP X k 0. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理5.1相比, 不要求方差存在; (2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.
例如要估计某地区的平均亩产量,要 收割某些有代表性的地块,例如n 块. 计 算其平均亩产量,则当n 较大时,可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理5.2(贝努利大数定理)
伯努利
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机,在系统运行期间,每台交切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机,在系统运行期间,每台交换机能清晰接收信号的概率为0.90,系统工作时,要求能清晰接收信号的交换机至少40台。
估计该通信系统能正常工作的概率。
求用切比雪夫不等式解答…蟹蟹
切比雪夫定理(chebyshev's theorem;切比雪夫不等式),内容为设X 是一个随机变数取区间(0,∞)上的值,F(x)是它的分布函数,设X α(α>0)的数学期望M(Xα)存在,a>0,则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中,论证并用标准差表达了一个不等式,这个不等式具有普遍的意义,被称作切比雪夫定理,其大意是:任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/m2,其中m为大于1的任意正数。
对于m=2,m=3和m=5有如下结果:所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望。
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)第一篇:切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)设随机变量X有数学期望μ及方差σ,则对任何正数ε,下列不等式成立 2σ2P{X-E(X)≥ε}≤2 ε证明:设X是离散型随机变量,则事件X-E(X)≥ε表示随机变量X 取得一切满足不等式xi-E(X)≥ε的可能值xi。
设pi表示事件X=xi的概率,按概率加法定理得P{X-E(X)≥ε}=xi-E(X)≥ε∑pi这里和式是对一切满足不等式xi-E(X)≥ε的xi求和。
由于xi-E(X)≥ε,即(xi-E(X))2≥ε2xi-E(X))(,所以有2ε2≥1。
2(xi-E(X))又因为上面和式中的每一项都是正数,如果分别乘以ε2,则和式的值将增大。
于是得到P{X-E(X)≥ε}=xi-E(X)≥ε∑pi≤xi-E(X)≥ε∑(xi-E(X))ε22pi=1ε2xi-E(X)≥ε∑(xi-E(X))2pi因为和式中的每一项都是非负数,所以如果扩大求和范围至随机变量X的一切可能值xi求和,则只能增大和式的值。
因此P{X-E(X)≥ε}≤1ε2∑(x-E(X))ii2pi上式和式是对X的一切可能值xi求和,也就是方差的表达式。
所以,σ2P{X-E(X)≥ε}≤2 ε第二篇:切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次,其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且~XB(1000,1/2).因此500211000=×==npEX,250)2答题完毕,祝你开心!11(21000)1(=××==pnpDX,而所求的概率为}500600500400{}600400{<<=}100{<=EXXp975.0=≥DX.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式对于任一随机变量X,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|=1-DX/ε^2切比雪夫不等式说明,DX越小,则p{|X-EX|>=ε}越小,p{|X-EX|同时当EX和DX已知时,切比雪夫不等式给出了概率p{|X-EX|>=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理(chebyshev's theorem;切比雪夫不等式),内容为设X 是一个随机变数取区间(0,∞)上的值,F(x)是它的分布函数,设X α(α>0)的数学期望M(Xα)存在,a>0,则不等式成立。
1公式提出编辑19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中,论证并用标准差表达了一个不等式,这个不等式具有普遍的意义,被称作切比雪夫定理,其大意是:任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/m2,其中m为大于1的任意正数。
对于m=2,m=3和m=5有如下结果:所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
2基本内容编辑切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望,方差则对任意正数ε,不等式或成立。
注意:应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O,当n很大时,事件“”的概率接近于1,则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。
正因为是概率,所以不排除小概率事件“”发生。
所以,依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法,记为。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理(切比雪夫理论;切比雪夫不等式)的内容是,令x为随机变量,取区间(0,∞)中的值,而F(x)是其分布函数。
如果存在Xα(α> 0)的数学期望M(Xα)并且a> 0,则不等式成立。
在19世纪,俄罗斯数学家切比雪夫(Chebyshev)研究统计定律时,他证明并表达了具有标准偏差的不等式。
这个不等式具有普遍意义,被称为切比雪夫定理。
它的一般含义是:在任何数据集中,其平均值的m个标准偏差内的比例(或部分)始终至少为1-1 / m2,其中m为大于1的任何正数。
对于m = 2,m = 3和m = 5 ,可获得以下结果:●所有数据中至少有3/4(或75%)在平均值的2个标准差之内。
●在所有数据中,至少有8/9(或88.9%)在平均值的3个标准差之内。
●在所有数据中,至少24/25(或96%)在平均值的5个标准差之内。
“概率接近1,则随机变量序列{Xn}在a中被称为概率收敛。
因为它是概率,所以不排除发生小概率事件”。
因此,概率收敛表示关于不确定现象的收敛,写为。
切比雪夫定理令X1,X2,...,Xn,...是独立的随机变量序列,并且数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i = 1,2,…),并且D(Xi)<C(i = l,2,…),那么对于任何给定的ε> 0,有特别是:X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量序列,其数学期望为E(Xi)=μ,方差D(Xi)=σ2(i = 1,2,…),则对于任何给定ε> 0,有切比雪夫定理的推论为算术平均值定律提供了理论基础。
假设在恒定条件下重复测量了n次特定的物理量A,则结果X1,X2, (X)并不完全相同。
这些测量结果可以视为n个独立随机变量X1,X2,…,Xn的实验值,并且具有相同的数学期望a。
因此,根据大数定理j,当n足够大时,以下公式成立。
切比雪夫不等式应用几例
从标准正态分布, 所以 P(|X- μ|>3))= P(| (X- μ) /*|>3) (X- μ) /+|≤3) =1- 0.9974=0.0026 =1- P(| 将估计值和计算值比较可知, 切比雪夫不等式的优点是 无需知道 X 的分布,只知道其期望和方差就可以估计事件 的概率, 因而适用性强。其缺点是所给估值一 (|X- E(X)|≥ε) 般较粗糙, 精度不够。且只限于以均值 E (X) 为中心的有限对 称区间。 三、 求解或证明一些有关概率的不等式 例 5 在 n 重贝努里实验中,若已知每次实验事件 A 出 试用切比雪夫不等式估计 n, 使 A 出现的 现的概率为 0.75, 频率在 0.74 至 0.76 之间的概率不小于 0.9。 解:设在 n 重贝努里实验中事件 A 出现的次数为 X, 显 然 X 服从二项分布 B (n,0.75) D(X)=npq=0.1875n, 又 n 次实验中, A 且 E(X)=np=0.75n,
由 Xi 的分布为 P(X=Xi)=1/6(i=1,2,……, 6)得到 E(Xi)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 E(Xi2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 故 D(Xi)=E(Xi2)- [E(Xi)]2=91/6- 49/4=35/12 因而, 由 Xi 的独立性有 E(X)=E(∑Xi)=6E(Xi)=6×
i=1 6
≥∫- ∞
E(X)- ε
(X- E(X))2P(x)dx+∫E(X)+ε(X- E(X))2P(x)dx P(x)dx+ε2 ∫E(X)+εP(x)dx
+∞
+∞
≥ε2 ∫- ∞
2
E(X)- ε
=ε2 P(X≤E(X)- ε)+ε2(X≥E(X)+ε) =ε P(| X- E(X)| ≥ε) ∴P(| X- E(X)| ≥ε)≤ D(X) ε
切比雪夫不等式
解:设每毫升白细胞数为X 依题意,E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100}
在切比雪夫不等式中取
n,则
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
依题意,取 解得
即n 取18750时,可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
解:设X为n 次试验中,事件A出现的次数, 则 X~B(n, 0.75)
E(X)=0.75n, D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
所求为满足
的最小的n .
可改写为
P(0.74n< X<0.76n )
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)= P{ 源自X-E(X)| <0.01n}
由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100}
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例2 在每次试验中,事件A发生的概率为 0.75, 利 用切比雪夫不等式求:n需要多么大时,才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中,切比雪夫不等式是一个重要的不等式,利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理,如切比雪夫大数定律等,然而有些同学对这个不等式不是很理解,也不太会利用该不等式去解决相关问题,另外,很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明,为此,在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结,供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到,利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计,它也说明了方差的基本特性,即随机变量的方差越小,随机变量取值越集中,方差越大,则取值越分散,不论对于什么随机变量,它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助,最后预祝各位考生2016考研成功。
切比雪夫不等式和中心极限定理
Y X 1 X 2 X 3 X n xi N (n , n )
每箱平均重 50kg,标准差为 5kg
E ( X ) 50, D( X ) 52 50, 5
Y xi N (n , n 2 ) Y xi N (50n,5n)
D( X ) 即 P ( X E ( X ) 10) 0.16 102
所以 P ( X E ( X ) 10) 1 P ( X E ( X ) 10) 即 P ( X E ( X ) 10) 0.84 例题 2:设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 2 和 2 ,方差分别为 1 和 4 ,相关系数为
A. 切比雪夫不等式
P( X E ( X ) )
D( X )方差为 16,则 P ( X E ( X ) 10)
A. 0.16
B. 0.16
C. 0.84
D. 0.84
解:方差 D( X ) 16 ,所以 P( X E ( X ) 10)
P( X Y E ( X Y ) 6)
D( X Y ) 1 P( X Y E ( X Y ) 6) 2 6 12
B. 中心极限定理
X 1 , X 2 , X 3 , X n 相互对立且服从同一个分布(数学期望都是 ,方差都是 )
x N (n , n
0.5 ,求 P ( X Y 6) ?
1 设 Z X Y ,所以 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 0 解:○
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 xy D( X ) D(Y ) 3
2 P ( X Y 6) P ( X Y E ( X Y ) 6) ○
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1.用切比雪夫不等式估计下列各题的概率.(1)废品率为03.0,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率;(2)200个新生儿中,男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0).解:(1)设X 为1000个产品中废品的个数,则X ~)1000,03.0(B ,有30)(=X E ,1.29)(=X D ,由切比雪夫不等式,得)3040303020()4020(-<-<-=<<-="X" )103010(<-<-="X" 709.010<="" bdsfid="71" p="" x="">1.2912=-≥.(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数,则X ~)200,5.0(B ,有100)(=X E ,50)(=X D ,由切比雪夫不等式,得)10012010010080()12080(-<-<-=<<-="X" )2010020(<-<-="X" 8<="" bdsfid="77" p="" x="">7205012=-≥.2.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X ,估计)1810(<<="">解:设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数,则61)(==k X P i ,6,,2,1 =i ,6,,2,1 =k .27)654321(61)(=+++++=i X E ,691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ,35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ,4,3,2,1=i .因为4321X X X X X +++=,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,故有14)(=X E ,335)(=X D .由切比雪夫不等式,得)1418141410()1810(-<-<-=<<-<-="X" )<="" bdsfid="88" p="" x="">414(<-=X P 271.0433512=-≥.3.袋装茶叶用及其装袋,每袋的净重为随机变量,其期望值为100g ,标准差为10g ,一大盒内装200袋,求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率.解:设i X 为一袋袋装茶叶的净重,X 为一盒茶叶的净重,由题可知∑==2001i i X X ,100)(=i X E ,100)(=i X D ,200,,2,1 =i .因为1X ,2X ,…,200X 相互独立,则20000)()(2001==∑=i i X E X E ,20000)()(2001==∑=i i X D X D .)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(?->?-=X P )2251020020000(>?-=X P 由独立同分布的中心极限定理,1020020000?-X 近似地服从)1,0(N ,于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>?-X P .4.有一批建筑用木桩,其80%的长度不小于3m .现从这批木桩中随机取出100根,试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少?解:设X 为100根木桩中短于3m 的根数,则由题可知X ~)2.0,100(B ,有20)(=X E ,16)(=X D ,由棣莫弗—拉普拉斯定理,得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=.5.某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布.现随机选取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率.解:设i X 为第i 只电器元件的寿命,由题可知i X ~)01.0(E ,16,,2,1 =i ,且1X ,2X ,…,16X 相互独立,则100)(=i X E ,10000)(=i X D .记∑==161i i X X ,则1600)()(161==∑=i i X E X E ,160000)()(161==∑=i i X D X D .))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ,由独立同分布的中心极限定理,1600-X 近似地服从)1,0(N ,于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P .6.在数值计算中中,每个数值都取小数点后四位,第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--??-上服从均匀分布),现有1200个数相加,求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率.解:设i X 为每个数值的误差,则i X ~)105,105(55--??-U ,有0)(=i X E ,1210)(8-=i X D ,1200,,2,1 =i .从而0)()(12001==∑=i i X E X E ,61200110)()(-===∑i i X D X D .由独立同分布的中心极限定理,X 近似地服从)10,0(6-N ,于是)03.0(<="" bdsfid="123" p="">()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--?-≤?-=X P 9974.01)3(2=-Φ=.7.某药厂断言,该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0.医院检验员任取100个服用此药的病人,如果其中多于75个治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0,问接受这一断言的概率是多少?(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0,问接受这一断言的概率是多少?解:设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数,(1)由题可知X ~)8.0,100(B ,则80)(=X E ,16)(=X D ,由棣莫弗—拉普拉斯定理,得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=.(2)由题可知X ~)7.0,100(B ,则70)(=X E ,21)(=X D ,由棣莫弗—拉普拉斯定理,得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=.8.一射手在一次射击中,所得环数的分布律如下表:X678910P 05.005.01.03.05.0求:(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少?(2)超过950环的概率是多少?解:设X 为100次射击中所得的环数,i X 为第i 次射击的环数,则∑==1001i i X X ,15.9)(=i X E ,95.84)(2=i X E ,2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ,100,,2,1 =i .由1X ,2X ,…,100X 相互独立,得915)()(1001==∑=i i X E X E ,75.122)()(1001==∑=i i X D X D .由独立同分布的中心极限定理,75.122915-X 近似地服从)1,0(N ,于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=XP )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈.(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈.9.设有30个电子元件1A ,2A ,…,30A ,其寿命分别为1X ,2X ,…,30X ,且且都服从参数为1.0=λ的指数分布,它们的使用情况是当i A 损坏后,立即使用1+i A (29,,2,1 =i ).求元件使用总时间T 不小于350h 的概率.解:由题可知i X ~)1.0(E ,30,,2,1 =i ,则10)(=i X E ,100)(=i X D .记∑==301i i X T ,由1X ,2X ,…,30X 相互独立,得300)()(301==∑=i i X E T E ,3000)()(301==∑=i i X D T D .))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(?->?-=T P )91.03010300(>?-≈T P ,由独立同分布的中心极限定理,3010300?-T 近似地服从)1,0(N ,于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>?-T P .10.大学英语四级考试,设有85道选择题,每题4个选择答案,只有一个正确.若需要通过考试,必须答对51道以上.试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大?解:设X 为该学生答对的题数,由题可知X ~41,85(B ,则25.21)(=X E ,9375.15)(=i X D ,85,,2,1 =i .由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,近似地有9375.1525.21-X ~)1,0(N ,得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=.即学生靠运气能通过四级考试的概率为0.。
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切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理(chebyshev's theorem;切比雪夫不等式),内容为设X是一个随机变数取区间(0,∞)上的值,F(x)是它的分布函数,设Xα(α >0)的数学期望M(Xα)存在,a>0,则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中,论证并用标准差表达了一个不等式,这个不等式具有普遍的意义,被称作切比雪夫定理,其大意是:
任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/m2,其中m为大于1的任意正数。
对于m=2,m=3和m=5有如下结果:
所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫定理的这一推论,使我们关于算术平均值的法则有了
理论根据.设测量某一物理量a,在条件不变的情况下重复测量n次,得到的结果X1,X2,…,Xn是不完全相同的,这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1,X2,…,Xn的试验数值,并且有同一数学期望a。
于是,按大数定理j可知,当n足够大时,下式成立,即切比雪夫定理
设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1,2,…),且D(Xi)<C(i=l,2,…),则对任意给定的ε>0。