等差数列及通项公式
等差数列与等比数列的通项(new)
四、例题 某种细菌在培养过程中， 某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次 分钟分裂一次（ 20分钟分裂一次（一次分裂 为两个），经过3小时， ），经过 为两个），经过3小时，这 种细菌一共可繁殖成几个？ 种细菌一共可繁殖成几个？
例1.某种储蓄以一年为一个计息期限，以复利 1.某种储蓄以一年为一个计息期限， 某种储蓄以一年为一个计息期限 计息。年利率是2.25%,若某人存入50000 2.25%,若某人存入50000元 计息。年利率是2.25%,若某人存入50000元,存 10年取出所有的存款 此人共可得多少元？ 年取出所有的存款， 满10年取出所有的存款，此人共可得多少元？
已知某工厂1994年生产某种产品 万件 计划从 年生产某种产品2万件 例4.已知某工厂 已知某工厂 年生产某种产品 万件,计划从 1995年开始 每年的产量比上一年增长 年开始,每年的产量比上一年增长 年开始 每年的产量比上一年增长20%,问:从哪一 问 从哪一 年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过 这家工厂生产这种产品的年产量超过12万 年开始 这家工厂生产这种产品的年产量超过 万 已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 件?(已知 已知
{ （2）an }等比，求证：ak • al = ar • as
例 （ {an}等 , a10 = 37, a5与 6的 ： 1 ） 差 a 算 平 数 19,求 术 均 为 d
例 （）n}等 ， 4a7 = −512, a3 +a8 =124 ： 2 {a 比 a q为 数 求: a10 整 ，
a3 = a8 • q
3 −8
1 −5 = 32 • ( ) = 32 × 32 = 1024 2
练习 ：
在等差数列{a 已知a 在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19, 求a1与d.
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是数学中常见的数列类型，它的每个相邻项之间的差值是相等的。
在解决等差数列相关问题时，求和公式是一个重要的工具。
本文将介绍等差数列的求和公式以及如何推导得到，并给出相关例题进行说明。
一、等差数列的定义和通项公式等差数列是指数列中的每个项之间的差值都是相等的。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。
二、等差数列的部分和公式在等差数列中，若要求前n项的和Sₙ，可以利用部分和公式进行计算。
设前n项和为Sₙ，则部分和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2三、等差数列求和公式的推导过程为了得到等差数列求和公式，我们可以利用等差数列的通项公式进行推导。
首先，代入部分和公式中的n，得到：Sₙ = (a₁ + (a₁ + (n-1)d)) * n / 2化简得到：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2继续化简得到：Sₙ = (n * (2a₁ + (n-1)d)) / 2最终，我们得到等差数列的求和公式：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2四、等差数列求和公式的应用现在我们通过一个例题来说明等差数列求和公式的应用。
例题：求等差数列5，8，11，14，17的前10项和。
解：根据题目可知，等差数列的首项a₁为5，公差d为3，项数n 为10。
我们可以利用求和公式计算：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2代入已知条件得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + (10-1) * 3)) / 2化简计算得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + 27)) / 2S₁₀ = 10 * (5 + 32) / 2S₁₀ = 10 * 37 / 2S₁₀ = 185所以，等差数列5，8，11，14，17的前10项和为185。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了等差数列的求和公式以及推导过程。
数列的等差数列与等比数列的通项公式
数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。
在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。
等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。
等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。
等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。
通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。
等差数列及其通项公式
在其他问题中的应用
运动员比赛排名
在一些体育比赛中，运动员的得分或成绩按照一定规则构成等差数列。通过等差数列的 通项公式和求和公式，可以快速地计算出运动员的总得分或总成绩，从而确定比赛排名
。
音乐会座位安排
在音乐会的座位安排中，通常按照等差数列的方式排列座位，使得观众能够均匀地分布 在演出场地中。利用等差数列的性质，可以方便地计算出任意排数的座位数量和总座位
公差d>0的等差数列，各项逐渐增大 。
公差d=0的等差数列，各项均为常数 。
递减等差数列
公差d<0的等差数列，各项逐渐减小 。
02
等差数列的通项公式
通项公式的推导
等差数列的定义
等差数列是一种常见数列，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常 数被称为公差。
通项公式的推导过程
等差数列的通项公式可以通过等差数列的定义推导出来。假设等差数列的首项 为a1，公差为d，则第n项an可以表示为an=a1+(n-1)d。
05
等差数列在实际问题 中的应用
在物理问题中的应用
自由落体运动
自由落体运动中，物体下落的距离与 时间的平方成正比，因此可以构成等 差数列。通过等差数列的通项公式， 可以方便地求出物体在任意时刻的下 落距离。
匀变速直线运动
在匀变速直线运动中，物体的速度随 时间均匀变化，因此速度与时间的关 系可以构成等差数列。利用等差数列 的性质，可以求出物体在任意时刻的 速度和位移。
在经济问题中的应用
等额本息贷款
在等额本息贷款中，每个月还款金额相同，但每月还款中本金和利息的比例不同。通过等差数列的求和公式，可 以计算出贷款期限内总共需要还款的金额。
折旧计算
在固定资产折旧计算中，通常采用直线折旧法，即每年折旧金额相同。利用等差数列的性质，可以方便地计算出 资产在任意时刻的账面价值和累计折旧额。
4.2.1.1等差数列得的概念和通项公式(知识梳理+变式+例题))
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
数列的通项公式
na n an 1 an 0，求通项公式an
2
1 2、已知数列{an }满足a1 3, an 1 an ， n(n 1) 求通项公式an
1 an n
4n 1 an n
(整体)换元法
4 13 3、已知数列{an }满足：a1 , a2 ,当n 3时 3 9 1 an an 1 (an 1 an 2 )，求通项公式an 3 3 n 3 an 2
的递推关系求
an 。
可以用待定系数来求通项； （2）形如
an 1 an k an 1 b
的递推数列
可以用倒数法求通项。
类等差(比)型 用累加(积)法
an 形如：an an 1 f (n) f ( n) an 1 1、已知首项为 的正项数列{an }满足： 1
( n 1) a
1 an 2n 1
6、已知数列{an }满足：a1 1, , 当n 2时 an 1 an an 1 an ，求通项公式an
1 an 2 n
形如an pan1 q 待定系数法
7、已知数列{an }满足：a1 1,当n 2时 an 2an 1 3，求通项公式an
an 2 n 1 3
8、设正项数列a0 , a1 , a2 , an ,,当n 2时 an an 2 an1 an 2 2an 1，其中a0 a1 1, 求通项公式an
1，n 0 an 2 2 n (2 1)( 2 1) (2 1) , n 1
考点：数列是一种特殊的函数,从近几年了高考
来看,数列的通项公式是一个重要的考点,
特别是已知 s n 求
等差数列的概念及通项公式
题型三
等差数列的通项公式
例 3 项公式．
已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通
(1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a.
【解析】
(1)设首项为 a1，公差为 d，则
a1＝1， 解得 d＝2.
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
【解析】
用{an}表示梯子自上而下的各组宽度所成的等差
数列，由已知，得 a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得 a12＝a1＋(12－1)d，即 110＝33＋11d.解得 d ＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6 ＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 所以梯子中间各组的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
探究 3
要想求出等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 那
么 a1 和 d 就是必须求出的量，我们称之为基本量，在解题中， 要时刻把握这两个量，它们常常是我们解题的基础．
思考题 3
在等差数列{an}中，
(1)已知 a1＝2，d＝3，n＝10，则 an＝________； (2)已知 a1＝3，d＝2，an＝21，则 n＝________； (3)已知 a1＝12，a6＝27，则 d＝________； 1 (4)已知 d＝－3，a7＝8，则 a1＝________.
)
答案
D
4．若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为 28° ，则其它两角的度数为( A．54° ，98° C．60° ，92°
高中等差数列公式大全
高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。
1. 基本公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。
2. 变形公式。
- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。
三、等差数列的前n项和公式。
1. 公式一。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
2. 公式二。
- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
四、等差数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。
2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。
等差数列的通项公式与求和公式
等差数列的通项公式与求和公式等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是一个常见的数学概念，它指的是一个数列中的每个相邻的元素之间都有相同的差值。
通项公式是求解等差数列中任意一项的公式，而求和公式则是用于计算等差数列中前n项和的公式。
在本文中，我们将详细介绍等差数列的通项公式与求和公式，并提供一些相关的例子和推导过程。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以表示为：An = A1 + (n-1)d其中，An表示等差数列中的第n个数，A1是等差数列的首项，d 是等差数列中的公差，n表示数列中的项数。
利用这个通项公式，我们可以轻松地求解等差数列中任意一项的数值。
下面是一个例子：例子1：求解公差为3，首项为2的等差数列中的第7项。
根据通项公式，我们可以得到An = A1 + (n-1)d。
代入已知的值，即可求解：A7 = 2 + (7-1)3 = 2 + 18 = 20因此，公差为3，首项为2的等差数列中的第7项为20。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，Sn表示等差数列前n项和，A1是等差数列的首项，An是等差数列的第n项，n表示数列中的项数。
利用这个求和公式，我们可以迅速地计算等差数列前n项的和。
下面是一个例子：例子2：计算公差为4，首项为3的等差数列的前10项和。
根据求和公式，我们可以得到Sn = (n/2)(A1 + An)。
代入已知的值，即可计算：S10 = (10/2)(3 + A10)为了求解A10，我们需要使用通项公式：A10 = A1 + (10-1)d。
代入公差d=4，首项A1=3，得到：A10 = 3 + (10-1)4 = 3 + 36 = 39将A10的值代入求和公式，即可计算出前10项的和：S10 = (10/2)(3 + 39) = 5(42) = 210因此，公差为4，首项为3的等差数列的前10项和为210。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
等差数列与通项公式
环球雅思学科教师辅导学案⑧若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S n ′，则＝21'21n n S S -- 5、知三求二等差数列有5个基本量，1,,,,n n a d n a S ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。
注意要弄准它们的值。
6、特殊设法三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++。
1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
1、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（） A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++Λ21*n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
3、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
2、等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( ) A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13D ．S 153、等差数列{a n }中，已知a 1＝，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．48B ．49C ．50D ．51(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；4、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.5、已知数列{a n }为等差数列，若<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11B ．19 C ．20D ．21（1）数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝；（2）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
等差数列的定义及通项公式
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，
即 31＝10＋7d，∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
C．2n－1
D．2n＋1
解析：由已知2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，整理得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，d＝a2－a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－3.
重点 等差数列的单调性及通项公式
(1)由等差数列的定义知 an＋1－an＝d， 当 d＞0 时， an＋1＞an 即{an}为递增数列； 当 d＝0 时，an＋1＝an 即{an}为常数列； 当 d＜0 时，an＋1＜an 即{an}为递减数列． (2)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，等差数列任意的 两项间有 an＝ak＋(n－k)d，即 d＝ ann－－kak.
巩固练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
C.- 1
5
D.
3
11
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提示： d=an+1- an=-4
难点 等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差 数列，一般利用等差中项证明 b＝a＋2 c； (3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k、b 为常数)．
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
等差数列与等比数列的通项公式
等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中非常重要的概念，它是按照一定的规律排列的一列数。
在数列中，等差数列和等比数列是最为常见的两种类型。
今天我们将探讨等差数列和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每个数与它的前一个数之差保持恒定的数列。
我们可以用一个公式来表示等差数列的通项公式。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
根据等差数列的定义，可以得到以下关系式：a₂ = a₁ + da₃ = a₂ + d = a₁ + 2da₄ = a₃ + d = a₁ + 3d......aₙ = aₙ₋₁ + d = a₁ + (n - 1)d因此，等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过等差数列的通项公式，我们可以轻松计算出数列中的任意一项，无需逐个相加或者列出整个数列。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每个数与它的前一个数之比保持恒定的数列。
同样，我们也可以用一个公式来表示等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。
根据等比数列的定义，可以得到以下关系式：a₂ = a₁ × ra₃ = a₂ × r = a₁ × r²a₄ = a₃ × r = a₁ × r³......可以发现，等比数列的通项公式中，每一项都是前一项乘以公比的结果。
因此，等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n - 1)借助等比数列的通项公式，我们同样可以轻松计算出数列中的任意一项。
三、总结与应用通过上述的讨论，我们可以得出等差数列和等比数列的通项公式。
这些公式可以帮助我们更加便捷地计算数列中的任意一项，无需进行繁琐的逐个相加或者列出整个数列。
此外，等差数列和等比数列在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，金融领域中的利息计算、成长模型中的人口增长等都可以使用数列来描述，并借助通项公式进行计算和预测。
等差等比数列通项及前N项和公式
等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。
而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。
1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。
等差数列与通项公式
辅导科目：数学
年级：高一
学科教师：
课 时 数： 3
授课类型 教学目的
等差数列与通项公式 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
教学内容
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 d 就
叫做这个数列的公差。即 an an1 d (n 2, n N )
＜0
＝0
＞S5
与 S7 均为 Sn 的最大值
（2）等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项 公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
类型 1 an1 an f (n)
（ 4 ） 若 {an} 、 {bn} 是 等 差 数 列 ， 则 {kan} 、 {kan pbn} ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {apnq}( p, q N*) 、
Sn , S2n Sn , S3n S2n ，…也成等差数列，而{aan }成等比数列；若{an} 是等比数列，且 an 0 ，则{lg an} 是等差数
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
3、等差数列{an}中，已知 a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则 n 为(
)
A．48
B．49
C．50
D．51
(1)等差数列{an} 中， a10 30 ， a20 50 ，则通项 an
；
（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
等差数列及通项公式
等差数列及通项公式等差数列是指数列中的每个数与其前后两个数之差相等的数列。
所谓通项公式，就是通过这个公式可以直接算出数列的第n项。
一个等差数列可以表示为a1，a2，a3，...，an，其中a1表示第一个数，an表示第n个数，d表示公差（任意两项之间的差），n表示数列中的第n项。
首先，我们先来看看等差数列的性质。
性质1：任意三项可以组成一个等差数列，其中第n项可以通过前两项和公差来计算得到。
即：an = a1 + (n-1) * d性质2：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2性质3：如果一个数列是等差数列，那么将其倒序得到的新数列也是等差数列，并且其公差与原数列相同。
下面我们来推导等差数列的通项公式。
首先，我们已知等差数列中的任意两项的差为d，那么我们可以将第n项表示为：an = a1 + (n-1) * d我们可以从第1项开始计算，并根据性质1，不断计算第n项的公式，直到得到通项公式。
当n=1时，an = a1 + (1-1) * d = a1 + 0 = a1当n=2时，an = a1 + (2-1) * d = a1 + d当n=3时，an = a1 + (3-1) * d = a1 + 2d......当n=k时，an = a1 + (k-1) * d当n=k+1时，an = a1 + k * d由此可见，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1) * d。
最后，我们来验证等差数列的前n项和公式。
假设等差数列前n项和为Sn，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
我们可以将等差数列从头到尾和从尾到头分别相加，并对相加结果求和，如下所示：S = a1 + a2 + a3 + ... + anS = an + an-1 + an-2 + ... + a1将两式相加，每一项相加的结果都是2S，共有n项，则有：2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an + a1)由等差数列的性质3可知，每一项都等于a1+(n-1)*d，即：2S=(a1+(n-1)*d)+(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+...+(a1+0)+(a1+d)合并同类项得：2S=n*a1+(n-1)*d+(n-2)*d+...+d+0+d2S=n*a1+(n-1+n-2+...+1)*d2S=n*a1+(n*(n-1)/2)*d将等差数列的通项公式代入，得到：2S = n * (a1 + an)Sn = (a1 + an) * n / 2综上所述，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
等差数列与通项公式
等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为
。
（ 5 ） 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 当 项 数 为 偶 数 2n 时 ， S偶－S奇 nd ； 项 数 为 奇 数 2n 1 时 ， S奇 S偶 a中 ， S2n1 (2n 1) a中 （这里 a中 即 an ）； S奇 : S偶 (k 1) : k 。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为
基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， a 2d, a d, a, a d, a 2d …（公差
环球雅思学科教师辅导学案
辅导科目：数学
年级：高一
学科教师：
课 时 数： 3
授课类型 教学目的
等差数列与通项公式 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
教学内容
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 d 就
叫做这个数列的公差。即 an an1 d (n 2, n N )
类型 8 an1 panr ( p 0, an 0)
例：已知数列｛ an
｝中， a1
1, an1
1 a
an2
(a
0) ，求数列an的通项公式 .
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an1 pan q ，再利用待定系数法求解。
类型 9
an1
f (n)an g(n)an h(n)
求数列通项之做差法
2023届高考数学复习讲义5.8由递推公式求数列通项公式——作差法1.等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d=a m ＋(n －m )d （n ≧m ）．2.等差数列前n 项和公式：n d a n d d n n na a a n S n )2(22)1(2)(12121-+=-+=+=3.等差数列的常用性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)；(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)；(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d ；(5)S 2n -1=(2n-1)a n ；(6)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列；(7)若{a n }是等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.作差法当条件暗示S n 与a n 或者S n 与n 的关系式时，适合作差：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.必明易错1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．3.检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n .4.写出a n 的完整表达式考向一：由n 与S n 的关系求通项公式例1已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[解题技法]已知S n 与n 的关系，求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2时的表达式合并．【举一反三】1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.2、已知数列{a n }的前n 项和Sn ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是。
数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一系列数字的集合，是数学中重要的概念之一。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列有许多不同的类型，如等差数列、等比数列等。
在讨论数列时，我们经常需要找到数列的通项公式和求和公式，以便能够方便地计算出数列中的任意项以及求和。
本文将介绍常见数列的通项公式与求和公式，并以具体的例子加以说明。
一、等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d]其中，Sn表示等差数列的前n项和。
举个例子来说明，比如一个等差数列的首项a1为2，公差d为3，则该数列的通项公式为an = 2 + (n-1)3，求和公式为Sn = (n/2)(2 + 2n)。
二、等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
等比数列的求和公式分两种情况：1. 若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 若公比q等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = n * a1举个例子来说明，比如一个等比数列的首项a1为3，公比q为2，则该数列的通项公式为an = 3 * 2^(n-1)。
若q不等于1，则求和公式为Sn = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)；若q等于1，则求和公式为Sn = 3n。
三、其他数列的通项公式与求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有其他类型的数列，如等差- 等比混合数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，通项公式和求和公式的推导可能会更加复杂。
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等差数列及通项公式教案
一、教学目标
1.理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练运用。
2.通过对等差数列概念及通项公式归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的概括、抽象能力。
3培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力。
二、教学重、难点
1.教学重点：等差数列的概念及通向公式。
2.教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，等差数列的性质及应用。
三、教学方法
启发探究式教学法、情景教学法。
四、教学过程
（一）等差数列的概念教学
T：我们在中学的时候学习了实数研究了它的一些运算与性质（如加、减、乘、除运算，能被3,5,7整除的数的特征等）。
现在，我们面对一列数，能不能也像研究实数一样，研究它的项与项之间的关系，运算与性质呢？为此，我们从一些特殊数列入手来研究这些问题。
在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。
（1）我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0,5，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，………………………..；
（2）水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：
18，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，5.5；
（3）有一堆桃子共100个，此时有20个猴子，每个猴子分得5个桃子，每个猴子所的桃子个数组成的数列为：
5,⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，…………………..，5:；
T:下面请同学们来观察以上三数列有什么共同特征吗？（给时间让同学观察）教师总结这个共同特征，并再提问。
T：那是不是所有的数列都具有这样的特征喃？请同学们来看这样一组数列：3,5,8,2,10,9；所以只有特殊的数列才具有这样的特征，今天我们就给这些特殊的数列一个准确的称呼-----等差数列，这也是我们今天要学习的新课。
(教师板书等差数列的定义)教师请同学将前面的数列的公差求出来)
T:请同学们观察以上三数列的公差，很明显公差可以大于0，小于零，也可以等于零，是还是不是？那么在请同学们观察当公差大于零时，数列的趋势是怎么样的？当公差小于零时呢？等于零时呢？（带领同学观察数列变化趋势，培养同学的观察能力）
T：日常生活中，人们用到的等差数列还很多，有兴趣的同学可以下来搜集下。
现在老师这儿有由三个数组成的一个等差数列，他们是a，A，b；这时，我们把A称作是等差中项。
当然这是一列最简单的等差数列，以后我们将一列等差数列的每三项的中间一项都叫做等差中项。
那么请同学思考下A可以用a和b来表示吗？（带领学生用等差数列的定义推导出A=（a+b）/2）
（二）等差数列通项公式的推导
T：在请同学们看看第一列等差数列，如果我想知道这个数列的第5项是多少怎么办？当然同学们能很快回答我，那么第10项，甚至100项呢？下面我们就来探讨这个问题，他们是否存在一个通项公式呢？
T:我们用a1，a2，a3，a4，……………..an；来表示一列等差数列，由等差数列的定义我们有以下的结论：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
:
:
:
a(n-1)-a(n-2)=d………………..n-2
an-a(n-1)=d……………………n-1
将上面（n-1）个式子相加就得到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d。
这个方法是累加法。
至此，我们就得到了等差数列的通项公式，同学们可以从式子中可以看到这个通项公式总共涉及四个量，它们分别是该数列的首项、末项、公差以及项数，所以只要我们知道其中任意的三个量就可以知道它的第四个量了。
（三）解释应用
1. （1）求等差数列8，5，2，…的第20项．
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
2. 某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km （不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．
令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km 处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．答：须要支付车费23.2元．
3. 已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａ－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．
n
解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得
ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝
ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．
它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．
（四）、拓展延伸
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？
（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？
（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn ｝和｛b n ｝，｛ａn ＋b n ｝，｛ａn ·b n ｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？
五、作业布置
P40第1、3、4题
六、板书设计
数学与信息学院 2009级二班 李伶艳 学号：200908140219 §2.2等差数列
一、等差数列
1定义
2等差中项
二、通项公式 推导过程 （1）0,5,10,15,20，...... (2)18,15.5,13,10.5,8,5.5 (3)5,5,5,5, (5)。