20112515直线一级倒立摆机理建模
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
一级倒立摆系统
直线一级倒立摆建模与性能分析直线一级倒立摆建模及性能分析一、数学模型建立在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
u 为外界作用力；x 为小车位移； 为摆杆与铅垂方向的夹角；O 、G 分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M 为小车的质量；m 为摆杆的质量；J 为摆杆绕G 的转动惯量；l 为O 到摆杆质心的距离,L 为摆杆的长度；0f 为小车与导轨间的滑动摩擦系数，1f 为摆杆绕 O 转动的摩擦阻力矩系数。
对于上图的物理模型我们做以下假设： M ：小车质量 m ：摆杆质量 b ：小车摩擦系数l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。
因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2（1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ （1-2） 1.1 微分方程模型设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dt d θ。
直线一级倒立摆控制器设计 自动控制理论课程设计说明书
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书课程名称：自动控制理论设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：电气工程系班级：0806152设计者：段大坤学号：1082710118指导教师：郭犇设计时间：2011.6.13-2011.6.20哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书1.1数学模型建立数学模型的建立过程需要用到以下参数：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），其中θπφ=+分析小车水平方向所受的合力可得：Mx F bx N =-- （1）由摆杆水平方向受力分析可得：22(sin )d N m x l dtθ=+ （2）即2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-（3）将（3）代入（1）可得系统的第一个运动方程：2()cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= （4）对摆杆垂直方向的合力进行分析可得：()22cos d P mg m l dtθ-=- （5）即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+（6）力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--=（7）将（6）（7）合并可得第二个运动方程：2()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- （8）1、微分方程模型由于θπφ=+，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ和1（弧度）相比很小时，即1φ时，可进行如下近似处理：cos 1θ=-，sin θφ=-，2()0d dtθ=。
用u 代表被控对象的输入力F ，将模型线性化可得系统的微分方程表达式：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml uφφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩ （9） 2、传递函数模型设初始条件为0，,对（9）进行拉普拉斯变换可得：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s sM m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩（10） 输出为角度φ，解方程组（10）的第一个方程可得：22()()[]()I ml gX s s ml s+=-Φ （11）或222(()()s mls X s I ml s mglΦ=+-）（12） 令小车加速度v x =则有22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- 将（11）式代入方程组（10）的第二个方程可得222222()()()[]()[]()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s+++-Φ+-Φ-Φ=以u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出的传递函数为：22432()()()()ml ss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s sq q qΦ=+++--其中22[()()()]q M m I ml ml =++- 3、状态空间数学模型取x 、x 、φ、φ为状态变量作出系统的状态空间方程为2112222222220000x x -(I +ml )b m gl I ml 00x x I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml u 0000-mlbmgl(M +m)ml 00I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于质量均匀分布的摆杆有：213I ml =有（9）的第一个式子可得243ml mgl mlx φφ-= 化简得：3344g x l lφφ=+ 设u x '=则有10011330440000x x 00x x u 0000g00l l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦实际系统参数：小车质量0.5kg M =，摆杆质量m 0.2kg =，小车摩擦系数0.1N/m/s b =,摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m l =，摆杆惯量20.006I kg m =。
电气系统综合设计实验报告--直线一级倒立摆控制系统设计
电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111 姓名李杰学号 2011125036 姓名韩学建学号 2011125035 成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析，二阶控制器的设计，二阶系统的数字仿真与调试，二阶系统的实物仿真与调试。
二阶状态观测器的数字仿真与调试，二阶状态观测器的实物仿真与调试。
李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析，四阶控制器的设计，四阶系统的数字仿真与调试，四阶系统的实物仿真与调试。
四阶状态观测器的数字仿真与调试，四阶状态观测器的实物仿真与调试。
前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。
熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，研究调节器参数对系统动态性能的影响，非常直观的了解控制器的控制作用。
目录第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构 (4)1.2 设计的目的 (4)1.3 设计的基本任务 (4)1.4 设计的要求 (4)1.5 设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析2.1 微分方程的推导 (5)2.2 系统的稳定性和能控能观性分析 (11)2.3 二阶的能观性、能控性分析 (13)2.4 四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试3.1 设计的要求 (22)3.2 极点配置 (22)3.3 控制器仿真设计与调试 (23)3.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试4.1 设计的要求 (26)4.2 极点配置 (26)4.3 控制器仿真设计与调试 (27)4.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构与工作原理图1.1 倒立摆系统硬件框图图1.2 倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统。
一级倒立摆数学模型建立
一、直线一级倒立摆系统的数学模型1、倒立摆系统是一种复杂的非线性系统，为了简化对系统的反洗，在建立数学模型的过程中，作以下假设：1.）小车、摆杆在运动过程中都是不变得刚体；2.）皮带轮与传动带之间没有相对滑动，皮带不能拉伸变长，传动带没有抖振以及伸长的现象；3.）交流伺服电机的输入和输出之间是纯线性的关系；而且忽略不计电机的电枢绕组中的电感等动态特性；4.）将整个系统运行中的摩擦、各种阻力及机械传动间隙等不确定性忽略不计。
通过上述假设，则可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和均质敢组成的系统，如图1.1所示。
图1.1倒立摆系统2、各参数符号含义如下：符号含义单位数值M 小车质量kg 1.096m 摆杆质量kg 0,109b 小车摩擦系数N/m/sec 0.1l 摆杆转动轴心到杆质心的长度m 0.25I 摆杆转动惯性Kg*m²0.0034g 重力加速度N/kg 9.8x 小车的水平位置mθ摆角大小radN 小车对摆杆水平方向作用力NP 小车对摆杆竖直方向作用力NF 电动机经传动机构给小车的力Nφ摆杆与垂直向上方向的夹角rad3、采用牛顿--欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
图1.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
(a)小车的受力分析 (b)摆杆受力分析图1.2小车与摆杆的受力分析对小车水平方向所受的力进行受力分析，可以得到方程：N x b F x M --=⋅⋅⋅ 式（1.1）对摆杆水平方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到等式：θθθθsin cos 2⋅⋅⋅⋅⋅-==ml ml x m N 式（1.2）将式（1.2）带入式（1.1）中，可以得到系统的第一个运动方程：θθθθsin cos )(2⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+++=ml ml x b x m M F 式（1.3）对摆杆垂直方向所受的力进行受力分析并化简整理，可以得到下面等式：θθθθcos sin 2⋅⋅⋅--=ml ml mg P 式（1.4）力矩平衡方程如下：⋅⋅=--θθθI Nl Pl cos sin 式（1.5）将有关P 和N 的等式代入式（1.5）中，得到系统的第二个运动方程：θθθcos sin )(2⋅⋅⋅⋅-=++x ml mgl ml I 式（1.6）假设φ与1(单位弧度)相比很小，即φ<<1，并设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向的夹角)，可以作近似处理：φθθθ-=-==⎪⎭⎫⎝⎛s i n ,1c o s,02dt d 式（1.7）将被控对象的输入力F 用u 来表示，可以得到两个线性化后运动方程，如下 所示：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u m l x b x m M x m l m glm l I φφφ)()(2式（1.8）对方程组式（1.8）进行拉氏变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 式（1.9）假设初始条件为零，对上述方程组的第一个方程求解，可得：)()()(22s s g ml ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 式（1.10）将式(1.10)代入方程组式(1.9)中的第二个方程，可得：222222)()()()()()()(s s ml s s s g ml ml I b s s s g ml ml I m M s U Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++= 式（1.11）整理，可以得到摆角的传递函数为：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s sqm l s U s -+-++=Φ23242)()()()( 式（1.12）式中：]))([(222l m ml I m M q -++=将倒立摆的实际参数值代入上式，得到摆角的传递函数为：ss s s s s U s 3141.28853.270883.03566.2)()(2342-++=Φ 式（1.13）同理，可以得到小车位置的传递函数：sq bm gl s q m gl m M s q m l I b s qm gls q m l I s U s X -+-++-+=23242)()()()()( 式（1.14）将实际的参数值代入，得到小车位置的传递函数为：s s s s s s U s X 3141.28853.270883.01413.238832.0)()(2342--+-= 式（1.15）在方程组（1.8）中对⋅⋅x 、⋅⋅φ求解代数方程，得到解如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u Mm l m M I m l Mm l m M I m M m gl x Mm l m M I m lb u Mm l m M I m l I Mm l m M I gl m x Mm l m M I b m l I x xx 2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ 式（1.16）设系统状态空间方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⋅Du Cx y Bu Ax x 式（1.17）整理式（1.16），得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I bml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222222222)(0)()(00)()()(010000)()()(00010φφφφ 式（1.18）u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.19）将已知的M 、m 、b 、g 、l 、I 代入式（1.18）可得状态方程u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3566.208832.0008285.272357.00100006293.00883.000010φφφφ 式（1.20）输出方程u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅0001000001φφφ 式（1.21）。
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。
因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。
系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。
我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。
对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。
在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。
令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。
其次，我们需要确定系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。
最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。
牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。
具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。
2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。
3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
直线一级倒立摆MATLAB仿真报告
1便携式倒立摆实验简介倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。
本实验基于便携式直线一级倒立摆试验系统研究其稳摆控制原理。
1.1主要实验设备及仪器便携式直线一级倒立摆实验箱一套控制计算机一台便携式直线一级倒立摆实验软件一套1.2便携式倒立摆系统结构及工作原理便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图1所示：图1 便携式一级倒立摆试验系统总体结构图主体结构包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。
主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据交换，另有一条线接220v交流电源。
便携式直线一级倒立摆的工作原理如图2所示：图2 便携式一级倒立摆工作原理图数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。
控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。
2便携式倒立摆控制原理方框图便携式倒立摆是具有反馈功能的闭环系统，其控制目标是实现在静态和动态下的稳摆。
当输入量为理想摆角，即∅∅=0时，偏差为0，控制器不工作；当输入量不为理想摆角时，偏差存在，控制器做出决策，驱动电机，使小车摆杆系统发生相应位移，输出的摆角通过角位移传感器作用于输出量，达到减小偏差的目的。
根据控制原理绘制出控制方框图如图3所示：图3 便携式一级倒立摆控制原理方框图3建立小车-摆杆数学模型便携式倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成，它们之间自由连接。
小车可以在导轨上自由移动，摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动。
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将便携式倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的刚体系统，在惯性坐标内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析方法建立小车-摆杆的数学模型。
一级倒立摆模型的机理建模
一级倒立摆模型的建模问题提出：质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。
由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。
（忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件）分析过程：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。
当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。
现对小车和细杆摆分别受力分析：水平受力分析：对小车有： 'sin ''F F M x θ-=（a ） 对小球有： F'sin (x sin )''m l θθ=+=2''''(')m x m lcos m lsin θθθθ+⨯+⨯（b ）由（a ）、（b ）两式得 2()'('''')F M m x m lcos m lsin θθθθ+⨯=++(c)垂直受力分析：对小球有：'cos (cos )''F mg m l θθ-=即 2'()'('')F cos m g m l sin cos θθθθθ⨯+⨯=-（d ） 由（a ）、(d ）两式得2''sin (tan ''('))cos m g F M x m l θθθθθ=+-⨯+(e)以上方程组为非线性方程组，做如下线性化处理：32sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-当θ很小时，认为可以忽略高次项，得2cos 1sin 0θθθθ≈≈=，，(') 故线性化后（c ）式可简化为()''''F M m x ml θ=++ (f) （e ）式可简化为''F Mx mg =+（g ）传递函数：(由廖斐完成)由（g ）式可得：F m g x Mθ-˝=（h ）将（h ）式代入式（f ），有：()"M m F F m g m l Mθθ+=-+（）化简得：()"F M m g Ml θθ=+- （i ） 经拉氏变换得：()()()()F s M m g s Ms l s θθ=+-² （j ） 故其传递函数为：()1()()()s G s F s M m g M s lθ==+-² （k ）模型建立完成。
一级倒立摆数学模型
一级倒立摆数学模型一、啥是一级倒立摆嘿，小伙伴们！咱们来聊聊一级倒立摆这个有趣的玩意儿。
其实啊，一级倒立摆就是一个简单又神奇的系统。
想象一下，一根杆子，上面顶着个重物，然后这根杆子还能自由地转动。
咱们要研究的就是怎么让这个杆子不倒，还能稳定地保持平衡。
是不是感觉有点难理解？没关系，接着往下看！二、为啥要研究它你可能会问，研究这东西有啥用啊？这用处可大了去啦！它能帮助我们理解和控制很多不稳定的系统。
比如说走路、飞机的平衡控制，甚至是火箭的姿态调整。
通过研究一级倒立摆，咱们能掌握让这些复杂系统稳定运行的方法和技巧。
而且，这也是学习控制理论的一个很好的例子，能让我们更深入地理解那些抽象的数学概念。
三、数学模型咋建立好啦，重点来啦！咱们来说说怎么建立一级倒立摆的数学模型。
咱们得搞清楚这个系统的物理特性，像杆子的长度、重物的质量、转动的摩擦力等等。
然后，根据牛顿定律和一些数学知识，就能列出一堆方程啦。
这里面会涉及到微分方程、线性代数这些知识，可别被吓到哦！其实就是把物理现象用数学语言描述出来。
比如说，咱们可以用一个角度来表示杆子的倾斜程度，然后根据力和力矩的平衡关系，就能得到描述这个系统动态变化的方程。
当然，这只是个简单的介绍，真正的模型建立可要复杂得多，但只要咱们一步一步来，也能搞明白的！四、模型有啥特点这个数学模型有一些很有趣的特点哦！比如说，它是非线性的，这就意味着它不像咱们平时学的那些简单方程那么好处理。
而且，它对初始条件很敏感，一点点小的变化可能就会导致系统的行为完全不同。
不过，咱们可以通过一些方法，把它近似地转化为线性模型，这样就能用我们熟悉的控制方法来研究啦。
好啦，小伙伴们，关于一级倒立摆的数学模型就先讲到这里，希望大家能对它有个初步的认识和了解，要是感兴趣的话，还可以自己深入研究研究哦！。
直线一级倒立摆建模
一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。
由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。
直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制
直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制直线一级倒立摆是一种基于控制理论的研究对象，它可以通过数学建模来进行分析和控制。
数学建模的过程中，需要将倒立摆的动力学方程、控制器以及传感器等元器件进行建模。
根据建模结果可以分析系统的稳定性、响应速度等特征，并为设计控制策略提供参考。
根轨迹控制是一种常用于控制系统设计的方法，它通过分析控制系统的传递函数，绘制根轨迹图来评估控制系统的稳定性和性能。
对于直线一级倒立摆，可以根据其数学模型进行传递函数分析，得出控制系统的传递函数，并绘制根轨迹图。
在根轨迹图上，可以根据根轨迹的位置来判断系统的稳定性和响应速度，从而确定控制策略并调整控制参数，以实现目标控制效果。
因此，直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制在控制理论研究和工程应用中具有重要意义，可以为控制系统设计提供有效的方法和手段。
直线一级倒立摆系统建模
自动化学院 控制理论与控制工程
• 自动控制领域中，建立数学模型的方法有两个，即 机理法和实验法。 • 实验法一般只用于建立输入输出模型，它是根 据输入和输出的实测数据进行进行相应的处理和计 算后得到系统的模型。其主要特点为：把研究对象 视为一个黑匣子，完全从外部特性上描述它的动态 性能而不需要深入了解被控对象的内部机理。实验 法在工程技术上有很大的用途，它让研究者省去了 对于现实环境中复杂、恶劣被控对象的深入研究， 从而让建模过程简单易行。但是，这也并不意味着 对内部过程一无所知。 • 就倒立摆系统而言，由于其本身是自然不稳定 的系统，非线性严重，应用实验法建模存在一定的 困难。另一方面，经过理想化的假设、忽略一些次 要影响时，倒立摆就是一个典型的运动系统，应用 经典力学相关理论可以方便的建立起数学模型。这 就意味着，机理建模法对于倒立摆系统更加合适。 下面就其中的牛顿－欧拉方法展开具体论述。
M m b
小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数
1.096 0.109 0.1
Kg Kg N/m/sec m kg*m*m 秒
l
I T
摆杆转动轴心到 0.25 杆质心的长度 0.0034 摆杆惯量 采样频率 0.005
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型：
Φ(s ) 0.02725s 2 （1） = X (s ) 0.0102125s 2 − 0.26705
&&, φ& 求解，得： x & − (I + ml )b & x+
(
)
把上式改写成状态空间表达式的形式： 1 0 0 2 2 & x − (I + ml b) m gl 2 && 0 2 2 x = I (M + m) + Mml I (M + m) + Mml & 0 0 φ 0 − mlb mgl(M + m) && φ 0 2 2 I (M + m) + Mml I (M + m) + Mml x & x 1 0 0 0 x y= = φ 0 0 1 0 φ & φ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海电力学院课程设计报告课名：自动控制原理应用实践题目：倒立摆控制装置院系：自动化工程学院专业：测控技术与仪器班级：2011151班姓名：马玉林学号：20112515 时间：2014年1月14日倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
1.1 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。
2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。
因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。
2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数I 摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2-1 直线一级倒立摆模型系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。
图2-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --=∙∙∙(2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin (θl x dtd m N +=22(2-2)即：θθθθsin cos 2∙∙∙∙∙-+=ml ml x m N(2-3)把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2(2-4)为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：)cos (θl dtd m mg P 22=-(2-5)θθθθcos sin 2∙∙∙--=-ml ml mg P(2-6)力矩平衡方程如下：∙∙=--θθθI Nl Pl cos sin(2-7)注意：方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=(6)和（3）代入(7)，约去P 和N ，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：θθθcos sin )(∙∙∙∙-=++x ml mgl ml I 2(2-8)设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行线性化近似处理：012=-=-=)(,sin ,cos dtd θφθθ 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+∙∙∙∙∙∙∙∙∙uml x b x m M xml mgl ml I φφφ)()(2进行拉氏变换，得：⎩⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 22222 （2-9）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：)()()(s s g ml ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=22，即：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()( （2-10） （10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数 如令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()( （2-11）（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现在实验中常采用此式。
把（10）式代入（9）式的第二个方程中，得到：)()()(()()()(s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++22222qbmgls q mgl m M s q ml I b s sq mls U s -+-++=Φ)()()()(223 （2-12）其中，[]22)())((ml ml I m M q -++=（12）式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数2.2 实际系统的模型参数M ：小车质量 1.096kg m ：摆杆质量0.109kg b ：小车摩擦系数0.1N/sec l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I ：摆杆惯量0.0034kgm 2代入模型参数得3 开环系统的时域分析3.1 摆杆角度为输出响应的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应在matlab中建立m文件oloop1.m内容如下：m=[0.02725];n=[0.0102125 0 -0.26705];t=0:0.1:20;step(m,n,t)axis([0 4 0 100])102030405060708090100Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-1 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应在matlab 中建立m 文件命名为 oloop2.m 内容如下：m=[0.02725];n=[0.0102125 0 -0.26705];t=0:0.1:20;impulse(m,n,t)axis([0 4 0 100])102030405060708090100Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-2 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图3.2 小车位置为输出响应的时域分析采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数为2()1()X s V s s (3-3)图3-3 小车位置的单位脉冲响应曲线图图 3-4 小车位置的单位阶跃响应曲线图由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，需要校正。
四根轨迹设计4.1 原系统的根轨迹分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，2、在matlab中输入以下程序求出传函clcclearA=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];B=[0;1;0;3];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];D=0;Sys=ss(A,B,C,D);sy=tf(Sys)结果为 1#1: --- S^23 #2: ------------------------- s^2 - 8.882e-016 s - 29.4则可知G1（s ）=1/s^2; 取近似值G2(s)=3/(s^2-29.4)3、绘制原根轨迹图 num=[1]; den=[1 0 0]; rlocus(num,den)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图四：小车位移根轨迹图 num=[3];den=[1 0 -29.4]; rlocus(num,den)-6-4-2246Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图五：摆杆角度的根轨迹图4、绘制系统伯德图：num=3; den=[1 0 -29.4]; ss=tf(num,den); bode(ss)-80-70-60-50-40-30-20M a g n i t u d e (d B )101010-181-180.5-180-179.5-179P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)图六：摆杆角度的bode 图 num=1; den=[1 0 0]; ss=tf(num,den); bode(ss)-40-30-20-10010M a g n i t u d e (d B)1010-181-180.5-180-179.5-179P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)图七：小车位移的bode 图可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。
画出系统闭环传递函数的根轨迹如图，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。
4.2 串联超前校正装置设计对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：调整时间： ts=2s 最大超调量： p 《=60%4.2.1确定闭环期望极点的位置sigma=0.6;zeta=(((log(1/sigma))^2)/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^0.5 结果为zeta =0.1605由于原系统存在两个零点处极点，等幅振荡，故取期望阻尼系数满足zeta=0.6，另外，系统过渡过程时间与系统阻尼比和无阻尼自然频率的关系，可选omiga=5。