恒力作用下质点运动的万能公式

恒力作用下质点运动的万能公式

刘 勤

（电子科技大学）

在大学普通物理及中学物理中，平抛运动、斜抛运动与自由落体、竖直上抛运动这些内容是分开的，它们属于比较典型的几种运动。虽然看起来有区别，但是这几种运动之间也有联系，因为它们都是在受到一个恒定的作用力条件下的运动。因此，我们建立了一个在恒力作用下质点运动的模型，在初速度矢量不同时，对应了不同运动。

如图1中所示，物体的初速度为0V ，初速度方向与恒定合外力方向成夹角0θ，物体所受合外力合F 方向竖直向下，设竖直向下方向为y 轴正方向，水平向右为x 轴正方向。

图1 恒力作用下的质点运动示意图

因此，物体在水平方向和竖直方向的速度分量分别为 000000cos .sin .θθV V V V V y x

x ===

我们可以得到物体运动的总方程 t m F V V y 合+=00cos .θ V 0

θ0 F 合

y

x

O

2000021.cos .)(.sin .)(t m F t V t S t

V t S y x 合+==θθ

其中，)(t S x ，)(t S y 分别表示时刻t 质点在x 轴和y 轴方向的位移。当y S 的值为正，表示物体相对初始位置向y 轴正方向运动；当y S 值为负，表示物体相对初始位置向y 轴负方向运动。

下面我们分几种情况进行讨论：

1，在mg G F ==合的情况下，即质点只受重力作用：

（1）当角度00=θ，00=V 时，物体做初速度为0的竖直向下的匀加速直线运动，加速度为g ，即做自由落体运动。

0=x V , gt t m F V y ==合，

222121)(gt t m F t S y ==合 （2）当角度o 900=θ，00>V 时，物体做初速度为0V 的平抛运动。

0V V x =，gt t m F V y ==合，202

1)(.)(gt t S t V t S y x == （3）当角度o o 180900<<θ，00>V 时，物体做初速度为0V 的斜抛运动。

00sin .θV V x =, gt

V V y +=00cos .θ 2000021.cos .)(.sin .)(gt t V t S t

V t S y x +==θθ

（4）当角度o 1800=θ，00>V 时，物体做初速度为0V 的竖直上抛运动。

0=x V ，gt V V y --=0，2021.)(gt t

V t S y -=

2，在mg F ≠合的情况下, 分析和求解方法跟前面相同，只需要把重力G 换成合外力，求得加速度即可。前面的

运动就成为类平抛运动、类斜抛运动、类自由落体、类竖直上抛运动。

例：

图2 带电油滴在电场中运动示意图

如图2所示，一个质量为m 的带正电荷油滴从O 点以速度V 0向右上方射入水平向右匀强电场E 中，受重力及水平向右恒定的电场力F 。V 0与竖直向下方向夹角为θ0，求经过t 时间运动后油滴的速度大小及位移大小。

解：

分析油滴受力，可知其受到恒定的重力G 及恒定的电场力F 作用，由于初速度与合外力不在一条直线上，因此做曲线运动。因为重力G 及恒定的电场力F 合成后仍然是一个恒定的力，因此油滴将作类斜抛运动。我们可以运用本文的统一求解公式进行直接求解。 首先我们将重力G 及恒定的电场力F 合成一个力 22F G F +=合，

并将这个力的方向设为y 轴正方向，并过O 点作y 轴的垂线为x 轴

重力G 与合F 所成角度1θ满足合F F =1sin θ，则y 轴与初速度V 0夹角为10θθθ-= 据统一公式可得：

θsin .0V V x =, t m F V V y 合+

=θcos .0

因此t 时刻油滴的速度大小 22y x V V V +=

又根据位移公式

O F G θ1 V 0 F 合 y E x

2

0021.cos .)(.sin .)(t m F t V t S t

V t S y x 合+==θθ

因此t 时刻油滴的位移大小

)()()(22t S t S t S y x +=。

（本文系作者多年教学总结原创，转载需说明原作者及来源）