高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）

1、交换二次积分

⎰

⎰

x e dy y x f dx ln 0

1

),(的积分次序为

（

c ）

(A ) ⎰

⎰

x e dx y x f dy ln 0

1

),( (B )

⎰⎰

1

),(dx y x f dy e e y

(C )

⎰

⎰

e

e

y

dx y x f dy ),(10

(D )

⎰⎰

e

x dx y x f dy 1

ln 0

),(

2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22

2≤+内的那部分面

积为 （D ）

(A )

⎰

⎰

-

θπ

π

ρρθcos 20

22

d d (B )

⎰

⎰

-

θπ

π

ρ

ρθcos 20

222

d d

(C )

⎰

⎰

-

θπ

π

ρρθcos 20

2

22

2d d (D )

⎰

⎰

-

θπ

π

ρρθcos 20

22

2d d

3、若级数∑∞

=-1

)2(n n

n x a 在2-=x 处收敛，则级数

∑∞

=--1

1

)2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （

A ）

(A ) ∑∞

=-1

)13(n n

n n (B )

∑∞

=+1

21n n n (C ) ∑∞

=+1

11

sin n n (D )

∑∞

=1

3!n n n 5、若函数

)()2()(2

222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （

c ）

(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）

1、曲面

12

2-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x

2

、

已

知

)

0(:222>=+a a y x L ，

则

=-+⎰L

ds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=

及平面)0(>=R R z 所围成的

闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ω

dxdydz y x f )(22为

三次积分为⎰⎰⎰

R

R dz f d d ρ

πρρρθ)(20

20

4、函数

x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦

级数为

nx n

x n n sin )1(2

11+∞

=-=∑

，收敛区间为π<≤x 0

5

、

=

+-)1(i Ln

2,1,0),24

3(2ln ±±=++k k i ππ

=

-]0,[Re 2z

z e s z

1-

三、(本题8分）设),()(2

2

xy y x

g y x f z ++=，

其中函数

)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏

导数，求

y x z x z ∂∂∂∂∂2,

解：211

2yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分

=∂∂∂y

x z

2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分

四、(本题8分）在已知的椭球面13

42

2

2=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

解：设顶点坐标为)0,,(),,(>z y x z y x ，

xyz v 8=….2分

令(8),,(λ+=xyz z y x F )13

42

2

2-++z y x ….2分 02

8),,(=+

=x yz z y x F x λ

，

028),,(=+=y xz z y x F y λ，

03

28),,(=+=z xy z y x F z λ

解得：

1,31,32===z y x ， (3)

分，

3

16

max =V ….1分

五、(本题7分）

⎰⎰+D

y x dxdy e

2

2，其中

)0(:222>≤+a a y x D .

解： 原式=

⎰⎰

a

d e d 0

20

ρρθρ

π

….5分

a

e e 0)(2ρρρπ-= ]1)1[(2+-=a e a π….2分

六、(本题8分）计算

⎰

+-+-L

dy

y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2

223，其中L 为抛物线2

2y x π=上由点(0,0)到)1,2

(π

的

一段弧。

装 订

线 内

不 要 答 题

自

觉

遵 守

考

试 规

则，诚 信 考 试，绝 不