高等数学(A)下期末试卷及答案
高等数学期末考试A(附答案)
-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。
[工学]常熟理工学院《高等数学a》下期末复习题
![[工学]常熟理工学院《高等数学a》下期末复习题](https://img.taocdn.com/s3/m/b416f07af01dc281e53af0fe.png)
虞山学院《高等数学(A)》（下）期末复习题一、选择题1．设向量},34,2{},1,2,3{k b a == ，已知b a ⊥，则k ＝（D ）A. 32B. 326C. 32- D. 326-2．设向量(2,3,6)a =-，则与a 同向的单位向量为( D ).A. (2,3,6)-B. 1(2,3,6)7-- C. 1(2,3,6)7±- D.1(2,3,6)7- 3．设32,2a i j k b i j k =--=+-，则a b ⋅= （ B ）.A. 2B. 3C. 4D. 54．当k =（ ）时，向量}{a k , 1, -1 =r与向量 }{b 1 , 2, 3 =r 垂直。
（ B ）A. 0B. 1C. 2D. 35．向量112a {,,}=-在304b {,,}=上的投影为 （ A ）A. 115B. 8C. 72D. 06．设211a {,,}=，001b {,,}=，则(,)a b ∧= ( C )A. 2πB. 3π C. 66arccos D. 66arccos π-7．设向量{4,3,4}a =-，{2,2,1}b =，则(,)a b ∧=（ C ）A.2arcsin41B. 0C.2arccos41D. 4π 8. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ D ）A. （1，3，1）B. （-1，3，-1）C. （-1，-3，1）D. （-1，3，1）9. 直线⎩⎨⎧=+-=+-082053z y z x 化成点向式方程为（ B ）A. 112135+=+=-z y x B. 12835z y x =+=+ C.112235-=+=-z y x D. 122335+=-=+z y x10. 设向量a 与}2,1,2{-=b 平行，18-=⋅b a ，则a＝（ C ）A.{4,2,4}-- B.{4,2,4}- C. {4,2,4}-- D.{4,2,4}-11. 直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系是（ D ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交 12.xoy 平面内抛物线2y x =绕y 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是（ D ） A.22y x z z ⎧=+⎨=⎩ B.20y z x z ⎧+=⎨=⎩ C.222x y z =+ D.22y x z =+13. 平面A xB y C zD +++=0过x 轴，则 ( A ) A.AD ==0B. B C =≠00,C.B C ≠=00, D.BC ==014. 平面032=+y z 是 （ C ）A. 与x 轴平行但无公共点的平面B. 与yOz 平面平行的平面C. 通过x 轴的平面D. 与x 轴垂直的平面15.在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ B ）A. （1，-2，-3）B. （-1，2，-3）C. （-1，-2，-3）D. （1，-2，-3）16. 平面3510x z -+= ( B ) A.平行于z o x 平面 B.平行于y 轴 C.垂直于y 轴 D.垂直于x 轴 17.221(,)sin 1f x y xx y=+--的定义域为（ D ） A. {(,)|||1,||1}x y x y << B.{(,)|||1,1}x y x y << C.{(,)|||1}x y x <D.22{(,)|1}x y xy +<18.函数1412222-++--=y x y x z 的定义域是（ C ）A. }41|),{(22≤+≤y x y x B. }41|),{(22≤+<y x y x C. }41|),{(22<+≤y x y x D. }41|),{(22<+<y x y x19.2(,)ln()1f x y xy x y =+--的定义域是（ D ）.A. {(,)|1}x y x y +≤B. {(,)|01}x y x y <+≤C. {(,)|0,1}x y x x y <+≤D. {(,)|0,0,1}x y x y x y <≠+≤ 20.设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ A ）A. )ln(2y x - B. )ln(y x - C. )ln (ln 21y x - D. )ln(2y x -21.设22),(y xy x xy f +=-，则 (,)f x y = ( B )A.2x y +B. 22x y + C. y x 22+ D. 22x y -22.设函数22(,)xyz f x y x y ==+，则下列各式中正确的是 （ C ）A.(,)(,)y f x f x y x= B.(,)(,)f x y x y f x y +-=C.(,)(,)f y x f x y =D.(,)(,)f x y f x y -= 23. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点（0,0）处 （ C ）A. 连续，偏导数存在B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数不存在 24.函数)y ,x (f z =在点(x 0,y 0)处具有偏导数是它在该点连续的( D ).A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件25.201sin limx y x xy →→=（ A ） A.0 B. 1 C. 不存在 D. 存在，既不是0，也不是126.322(,)(0,0)lim x y xy x y →=（ D ） A. 1 B.-1 C. 0 D. 不存在 27.22limx y xy x y→→=+（ A ）.A. 0B. 1C. 21 D. 不存在28.()()2222,0,0lim 1x y x y x y→+==-+（ D ）A. 2- B.2 C.不存在D. 029.设xy )y ,x (f =,则f(x,y)在(0,0)点处一阶偏导数( B ).A.不存在B.存在C.可能存在也可能不存在D. 以上都不对 30. 设22),(y xy x xy f +=-，则 =+),('),('y x f y x f y x( A )A.y 22+B. y 22-C. y x 22+D. y x 22-31.设)32ln(),(xy x y x f += ，则=')0,1(yf （ A ）A.32B.23C.1D.032.设xy e y x z +=2，则=∂∂)2,1(yz（ B ）A. e +1B. 21e + C. 221e + D. e 21+33.设)cos(2y x z =，则=∂∂yz （ B ）.A. )sin(2y x -B.)sin(22y x x- C. )sin(2y x D. )sin(22y x x34. 设2()z f x y =，则 z x∂=∂（ A ）A.()22xyf x y ' B.()2yf x y ' C.()22x f x y ' D.()2xyf x y '35.设22(,)x f x y xy x y =++，则'(0,1)xf=（ A ）A ． 2 B. 2- C. 12D. 12-36.设fxy x yx y x y (,)=+-+-32231，则f x'(,)32=( B )A. 59B. 56C. 58D. 55 37.设xyz e =，则dz =（ B ） A.xyedx B. ()xyeydx xdy + C. ydx xdy + D.()xy e dx dy +38.设yz e sin x=，则2zx y∂=∂∂( D ) A. yecos x- B.y y e e sin x+ C. yesin x- D. ye cos x39.设ln()z xy =，则dz =（ C ） A.11dx dy y x+ B.11xy xy dx dy+ C.11dx dy x y+ D. xdx ydy + 40. 22(,)2f x y xy =--的极值点是（ C ）A.（1，－1）B.（1，1）C.（0，0）D. （0，2） 41.函数222y xz +=在点)1,1(P 处沿方向{2,1}l =的方向导数等于（ C ）A. 5B. 5-C. 52D. 52-42.函数xy z y x u 3422-++=在点)1,1,1(M 处沿}2,2,1{=l方向的方向导数Mlu∂∂为（ A ） A.35 B. 53 C.}2,2,1{31D. }2,4,1{-43.222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)3,1,1(grad -f 为（ C ）．A. 111-； B. {}2,2,1-； C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-113,111,111； D. 044.下列命题错误的是（ B ）A. 偏导数存在是可微的必要条件B. 偏导数存在是连续的充分条件C. 偏导数连续是可微的充分条件D. 连续是可微的必要条件 45. 若0),(00=y x fx，0),(00=y x f y ，则),(y x f 在),(00y x 处有 （ D ）A. 连续；B.可微；C.),(00y x 为极值点；D. ),(0y x 可能是极值点，也可能不是极值点46.设函数),(y x f z =在点),(0y x 处可微，且0(,)0, (,)0xyf x y f x y ''==，0000(,)0, (,)0xx yy f x y f x y ''''>>，则函数),(y x f 在),(00y x 处（ B ）.A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小B. 可能有极值，也可能无极值C. 必有极大值D. 必有极小值47.二元函数22)1()1(y x z -+-=的极值点是（ D ） A.)0 , 0( ; B. )1 , 0( ; C. )0 , 1(; D. )1 , 1(48.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx 0 0 )0(),(的积分次序的结果为（ A ） A. ⎰⎰a a y dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰aadxy x f dy 0),(C. ⎰⎰ay dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰ay adx y x f dy 0),(49.交换二次积分顺序后，⎰⎰x-1 0 10 y)dy f(x, dx =（ D ） A.⎰⎰11 0y)dx f(x, dy B.⎰⎰x-1 0 1y)dx f(x, dy C.⎰⎰1x-1 0y)dx f(x, dy D.⎰⎰y-1 01y)dx f(x, dy设),(y x f 在0,1:22≥≤+y y x D 连续，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（C ）A.⎰⎰πθθθ2 01)sin ,cos (rdr r r f d B. ⎰⎰1x -1 02),(dy y x f dxC. ⎰⎰πθθθ 01 0 )sin ,cos (rdr r r f dD. ⎰⎰----11x 1 1 22),(x dy y x f dx50.设f (x ,y )为连续函数，则积分⎰⎰⎰⎰-+121202),(),(x xdy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序为 ( C ) A. 1y 22y1dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰⎰⎰⎰B. 21x 22x1dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰⎰⎰⎰C. 12y 0y dy f (x,y)dx -⎰⎰D. 212xx dy f (x,y)dx -⎰⎰51. 设D 由x y y x ===,1,0围成，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(（ D ）A.⎰⎰11 0 ),(dx y x f dyB.⎰⎰10 0),(x dy y x f dxC.⎰⎰11 ),(y dx y x f dyD.⎰⎰1),(y dx y x f dy52.设22:1,D xy +≤则Dxdxdy ⎰⎰＝（ C ）.A.πB.1C.0D. π2 53.设dxdy e ,1y x:D D)y x(2222⎰⎰+-≤+则＝（ B ）.A. )e 1(-πB. )e11(-π C. )1e (-π D. )e11(+π54. 若区域D 为221xy +≤，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为累次积分为（ B ） A. 1 00(,)d F r dr πθθ⎰⎰B. 1 0(,)d F r dr ππθθ-⎰⎰C.122(,)d F r drππθθ-⎰⎰ D.120 02(,)d F r drπθθ⎰⎰ 其中r r r f r F )sin ,cos (),(θθθ=55. 设22:1,D xy +≤f是D 上的连续函数，则22()Df x y dxdy +⎰⎰＝（ A ）.A.⎰π10dr )r (rf 2 B. ⎰π10dr )r (rf 4 C. ⎰π102dr )r(f 2 D. ⎰πr 0dr )r (rf 456.设积分区域}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，则⎰⎰Dd σ＝( D )。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学A(下册)期末考试试题附参考答案
华侨大学高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年6月26日院（系）别班级 学号 姓名成绩 大题 一 二三 四 五 六 七 小题 1 2 34 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、满足G b G 0a b +=G G G ，2a =G，2b =G ，则a b ⋅=G G ．2、设，则ln()z x xy =32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面在点(处的切平面方程为229x y z ++=1,2,4) ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ−上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在处收敛于 3x =，在x π=处收敛于 ． 5、设为连接(1与两点的直线段，则L ,0)()L(0,1)x y ds +=∫ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线在点222222233x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩90M (1,1,2)−处的切线及法平面方程．2、求由曲面及所围成的立体体积． 2222z x y =+26z x =−−2y 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+−∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dS z Σ∫∫其中Σ是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面被平面2z x y =+21x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx d −+−∫y )其中为常数，为由点至原点的上半圆周m L (,0)A a (0,0)O 22(0x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy Σ=++−∫∫， 其中为曲面的上侧．Σ221(z x y z =−−≥0)七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，，其中是由曲面222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++∫∫∫tΩz =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； →不得带走试卷。
高数a2下期末考试题及答案
高数a2下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)上可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a, b)上一定连续B. f(x)在(a, b)上一定单调C. f(x)在(a, b)上一定有极值D. f(x)在(a, b)上一定有最大值和最小值答案：A2. 若函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，则f'(x)为：A. 3x^2+6x+3B. x^3+3x^2+3C. 3x^2+6xD. 3x^2+6x+3x+1答案：A3. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，则f'(x)为：A. 1/(1+x^2)B. 1/(1+x+√(1+x^2))C. 1/(1+√(1+x^2))D. 1/(1+x+√(1+x^2))^2答案：B4. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f''(x)=_________。
答案：6x-32. 设函数f(x)=e^x+ln(x+1)，则f'(x)=_________。
答案：e^x/(x+1)3. 若函数f(x)=x^2-6x+10，则f(x)的最小值为_________。
答案：-24. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，则f(0)=_________。
答案：-1三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。
答案：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x-32. 求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。
答案：f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)3. 求函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))的导数。
答案：f'(x)=1/(1+x+√(1+x^2))四、解答题（每题15分，共15分）1. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在x=1处的切线方程。
浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)
浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级 学号 姓名 一、 选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为 （ ）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝ （ ）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为 （ ）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。
L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（ ）。
(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。
5、 设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （ ）。
(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。
6、下列级数收敛的是 （ ）(A) ∑∞=1sin n n π； （B ）∑∞=1100!n n n ； （C ）∑∞=+12)11ln(n n ； （D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （ ）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。
《高等数学》 2020-2021学年第二学期期末试卷A卷
河海大学2020—2021学年第二学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一．填空题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分) 1. 设xy e z sin =，则=dz _______。
2. 母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是 3.⎰=++-12222y x y x xdyydx =4. 函数y=x1在x=3处的幂级数展开式为: 5. 微分方程02=+'-''y y y 的通解是:二. 选择题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)1.已知a ϖ=（0, 3, 4）, b ϖ=(2, 1, -2),则=b j a ϖPr [ ]A. 3B.31- C. -1 D.1 2. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C. 在点(5, 2)处取极大值 D . 在点(5, 2)处取极小值3．I=1:,)(222222=++Ω++⎰⎰⎰Ωz y x dv z y x 球面内部， 则I= [ ]A. ⎰⎰⎰ΩΩ=dv 的体积B.⎰⎰⎰1042020sin dr r d d θϕθππ C. ⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ D. ⎰⎰⎰104020sin dr r d d θϕθππ4. I=⎰+Ly dy xe dx x 22 其中L 是由y=x-1, y=1, x=1所围区域的正向边界曲线, 则I=[ ]A. 21B. )1(21-e C. 2eD. e5. 若级数∑∞=--11)1(n nn x n 的收敛域是 [ ]A. (-1, 1)B. [-1, 1]C. [)1,1-D. (]1,1-三．解答下列各题 (本题共5小题，每小题6分，满分30分)1. 计算I=⎰⎰Ddxdy x D={(x, y)x y x ≤+22}。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
高等数学(A)(下)期末考试试题.解答.
2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dx ++D.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学(A)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A》(下）期末试卷A答案及评分标准得分一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分的积分次序为（）(A) (B)(C) (D)2、锥面在柱面内的那部分面积为（）(A) (B)(C) (D)3、若级数在处收敛，则级数在（）(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不确定4、下列级数中收敛的级数为（）(A) (B)(C) (D)5、若函数在复平面上处处解析，则实常数a的值为（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面在点处的切平面方程为2、已知，则3、Ω是由曲面及平面所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分为三次积分为4、函数展开成以2π为周期的正弦级数为，收敛区间为5、得分得分三、(本题8分）设，其中函数二阶可导，具有二阶连续偏导数，求解：… 3分5分得分四、(本题8分）在已知的椭球面内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
解：设顶点坐标为，….2分令….2分，，解得：，….3分，….1分五、(本题7分），其中.解： 原式= (5)分….2分六、(本题8分）计算，其中L 为抛物线上由点(0,0)到的一段弧。
得 分得 分装订 线内不要 答 题自 觉 遵守 考 试 规 则，诚信 考 试，绝 不 作证明：，所以曲线积分与路径无关….3分….5分七、(本题8分）计算，其中 为上半球面的上侧。
解：补面下侧原式=……5分=得分=………3分八、(本题8分）讨论级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。
解：原级数不绝对收敛 ……3分又 为交错级数，……2分设当时单调递减，所以当时单调递减，……2分原级数条件收敛。
…1分九、（本题共12分，每题6分） 1、将在区域内展开成洛朗级数。
得 分得 分解：…..3分…..3分2、沿指定曲线的正向计算下列复积分解：原式=…2分……2 分……2 分十、（本题6分）设，其中，（1）求出;(2)求出幂级数的收敛域及和函数。
高等数学下期末试卷A
《 高等数学》第二 学期期末试卷（A ）3×6=18分）1、 690y y y '''-+=的特征方程是2、sin(23),z x y dz =+=则3、(,), ( (,)0 )Df x y dxdy f x y >⎰⎰的几何意义4、计算()121233⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5、已知向量()()12122,231,αα==-则1223αα-=6、线性方程组Ax b =有解的充要条件是2×6=12分） 1、二重积分{}⎰⎰≤+==Dy x y x D d y x f I 1|),(,),(22其中σ，则可将I 化为累次积分（ ） A 、⎰⎰--dy y x f dx x ),(21011 B 、⎰⎰----dy y x f dx x y ),(221111C 、⎰⎰--dy y x f dx ),(1111D 、⎰⎰rdr r r f d )sin ,cos (1020θθθπ2、方阵 A 可逆的充分必要条件是（ ）A 0≠AB 0≠AC 0*≠A D 0>A3、下列命题成立的是（ ）A 、若AB AC =，则B C = B 、若0AB =，则00A B ==或 C 、若0A ≠，则0A ≠D 、若0A ≠，则0A ≠4、设A 为34⨯矩阵，且()2R A =，则下列结论中，不正确的是（ ）A 、A 的所有3阶子式都为零B 、A 的所有2阶子式都不为零C 、A 的列向量线性相关D 、A 的行向量线性相关5、向量()()()()1234100,010,000,110αααα====的极大线性无关组为（ ）A 、123,,ααα B 、124,,ααα C 、12,αα D 、34,αα6、若非齐次线性方程组Ax b =中方程个数少于未知数个数，那么（ ）A 、Ax b =必有无穷多解B 、0Ax =必有非零解C 、0Ax =仅有零解D 、0Ax =一定无解三、求下列微分方程的通解：(6分) 1、dxdy =yx e -，四、解答下列各题：(2×5=10分)1、已知向量→a ={1,2,3},→b ={1,0,1},求→a ∙→b ，→a ×→b2、已知平面π与平面2340x y z -+=平行，且过点(1,2,-1).求平面π的方程。
海南大学高数A下试卷及答案
海南大学高数A下试卷及答案试卷题目一：函数的极限1.计算下列极限：(a)$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}$(b)$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x$(c)$\\lim_{x\\to\\infty} \\frac{x+2}{x+3}$2.求函数$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}$的极限，并说明极限存在的条件。
题目二：导数与微分1.求函数$f(x)=\\sqrt{x+1}$的导数。
2.求曲线y=y y在y=0处的切线方程。
题目三：积分1.计算定积分$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx$。
2.求曲线y=y2与y轴所围成的面积。
题目四：级数1.讨论级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的敛散性。
2.求级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}$的和。
答案题目一：函数的极限(a)使用夹逼定理可知，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}=1$(b)根据自然对数的性质，$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x=e$(c)当$x\\to\\infty$时，$\\frac{x+2}{x+3}\\to1$1.当y yy1时，根据因式分解，$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}=(x+2)$。
当y=1时，y(1)不存在。
所以存在极限的条件是y yy1。
题目二：导数与微分1.根据求导法则，$f'(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$2.在y=0处，y=y y的斜率为1，所以切线方程为$y=1\\cdot x= x$题目三：积分1.根据积分的基本公式，$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx=\\left[x^3-x^2+x\\right]_{0}^{1}=1$2.曲线y=y2与y轴所围成的面积为$\\int_{0}^{1}x^2dx=\\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1} =\\frac{1}{3}$题目四：级数1.根据比较判别法，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收敛，因为$\\frac{1}{n^2}$与y-级数$\\frac{1}{n^p}$（其中y>1）同阶，且y=2>1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ）(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
解：设顶点坐标为)0,,(),,(>z y x z y x ，xyz v 8=….2分令(8),,(λ+=xyz z y x F )134222-++z y x ….2分 028),,(=+=x yz z y x F x λ，028),,(=+=y xz z y x F y λ，0328),,(=+=z xy z y x F z λ解得：1,31,32===z y x ， (3)分，316max =V ….1分五、(本题7分）⎰⎰+Dy x dxdy e22，其中)0(:222>≤+a a y x D .解： 原式=⎰⎰ad e d 020ρρθρπ….5分ae e 0)(2ρρρπ-= ]1)1[(2+-=a e a π….2分六、(本题8分）计算⎰+-+-Ldyy x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223，其中L 为抛物线22y x π=上由点(0,0)到)1,2(π的一段弧。
装 订线 内不 要 答 题自觉遵 守考试 规则，诚 信 考 试，绝 不证明：x y xy yP x Q cos 262-=∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分4)4321(0212220πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx 原式….5分七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为上半球面221y x z --=的上侧。
解：补面),1(,0:221≤+=y x z ∑下侧 原式=⎰⎰+++1333∑∑dxdy z dzdx y dydz x⎰⎰++-1333∑dxdy z dzdx y dydz x⎰⎰⎰++=Ωdxdydzz y x )(32220-……5分=⎰⎰⎰14220sin 3dr r d d ϕϕθππ=π56………3分八、(本题8分）讨论级数∑∞=-2ln)1(nnnn的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。
解：,1lnnnn>原级数不绝对收敛……3分又∑∞=-2ln)1(nnnn为交错级数，,0lim=∞→nnu……2分设,ln)(xxxf=2ln1)(xxxf-='当ex>时单调递减，所以}ln{}{nnun=当2>n时单调递减，……2分原级数条件收敛。
…1分九、（本题共12分，每题6分）1、将)1(1)(-=zzzf在区域+∞<-<|1|1z内展开成洛朗级数。
解：111)1(1)(-+-=z z z f1111)1(12-+⋅-=z z …..3分2)1(1-=z ∑∞=--0)1(1)1(n nnz∑∞=+--=02)1(1)1(n n nz …..3分2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分}])1()1[(lim )!12(1)1(lim {222120'-⋅--+-⋅=→→z z e z z z e z i zz z z π ……2 分i z e ze i z z z ππ2}1{212=-+==……2 分十、（本题6分）设,40π=a ，⎰⎰=++=-D n n n dxdy y x yn a )2,1()1)(1(arctan 221 其中}10,0|),{(≤≤≤≤=x x y y x D，（1）求出n a ;(2)求出幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域及和函数。
解：⎰⎰++=-122110)1)(1(arctan y n n dx y x yn dy a 1)4(11++=n n π……2 分 ∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[ππ-……2 分∑∑∞=+∞=+==010)4(11)(n nn n nn xn x a x S π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=04)41ln(1x x x x ππ……2 分十、附加题（本题10分）强化班做，普通班不做（做了不得分）设函数)(x f 在]1,1[-内有连续的二阶导数，,0)(,0≠≠x f x 当0→x 时，)(x f 是x 的高阶无穷小，且|,)1()11(|||1nf n f b b nn +≤+证明级数∑∞=+11||n n n b b 收敛。
【证明】 因为当0→x 时，)(x f 是x 的高阶无穷小，所以,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间 221)(1)0()0()1(n f n f f n f ξ''+'+=221)(nf ξ''=|)1(|nf ,22n K ≤所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |)11(|+n f 也收敛……5 分 由于|)1()11(|||||1n f n f b b n n +≤+|)1()11(||)11()1(|||1n f n f n f n f b n +-≤-|)11()11(|||1-+≤-n f n f b n大学数学 ≤≤ |)1()11(|||1f n f b +⇒∑∞=1n ||1+n b 收敛，由此得∑∞=1n ||n b 也收敛 又|)||(|21||11n n n n b b b b +≤++，所以∑∞=+11||n n n b b 收敛。
……5 分。